Час не можна побачити чи помацати. Але якщо знати деякі хитрощі та практичні прийоми, можна легко навчити дитину розуміти час і визначати її по годинах. Теорія та практичні завдання, ігри та вправи, з яких можна почати – читайте та пробуйте.

Трапляється так, що вже в пристойному віці люди зізнаються, що користуються лише електронним годинником. І у всіх одна причина – або батьки не пояснили їм у дитинстві, як використовувати годинник зі стрілками, або пояснили помилково. Щоб такого не сталося, важливо не залишати проблему поза увагою. З чого ж почати вчити дитину розуміти час щогодини?

Що має знати дитина, щоб визначати час щогодини?

Перш ніж приступити до вивчення часу, перевірте, наскільки ваша дитина розуміє основи. Чи вміє він рахувати? Чи орієнтується на ключові поняття, пов'язані з часом? Нерідко батьки стикаються з труднощами в навчанні і вперто не помічають корінь проблеми (дитина плутає "ліво" і "право", недостатньо добре вважає і т.д.) Тому буде корисно пробігтися за основними вміннями та переконатися, що прогалин, які можуть завадити дитині просунутися далі, ні.

Рахувати до 60

Як мінімум. А краще взагалі до 100. Закріплюємо навички рахунку вправами:

• - називаємо подвійні числа, які бачимо (це можуть бути цінники у магазині, номери будинків та ін.);
• - Тренуємо зворотний рахунок (від 100 до 1);
• - вчимося називати «сусідів» круглих чисел (50 – сусіди 49 та 51, 90 – сусіди 89 та 91 тощо).

Вважати числами, які кратні 5

Напевно, ви вже пояснили дитині, що такі числа завжди закінчуються на 5 або на 0. Залишилося навчитися без затримок їх перераховувати і використовувати.

• - вважаємо числами, кратними 5, у прямому та зворотному порядку;
• - моделюємо завдання, де потрібно вважати п'ятірками (Влад вирішив віджиматися щодня по п'ять разів. Скільки разів він буде віджиматися за тиждень, два тижні, місяць? Як зміняться ці числа, якщо з другого місяця Влад віджиматиметься не 5, а 10 разів на день?)

Спробуйте онлайн-заняття на ЛогікЛайк.

• Пройдіть 3 стартові розділи курсу – та відкрийте доступ до різних категорій. Обов'язково вирішуйте «Розумний рахунок» та «Логічні завдання».
• Спробуйте завдання різного рівня складності: «Новачок», «Дослідний», «Експерт».

Розрізняти «ліво» та «право»

Для навчання загалом і щоб не плутати поняття «за годинниковою стрілкою» та «проти годинникової стрілки» у тому числі.

Мати загальне уявлення про час

Пояснюємо дитині поняття "вчора", "сьогодні", "завтра"; «минуле», «сьогодення», «майбутнє»; "Ранок", "день", "вечір", "ніч", "доба". Часто діти самі пов'язують час із конкретною подією: «вранці я робив зарядку», «обід я їв суп», «перед сном я чистив зуби» тощо. Тому пояснюючи перераховані вище поняття, батькові найкраще прив'язувати до них конкретні події.

Акуратно виправляйте дитину, якщо вона десь припускається помилок. Важливо, щоб у нього не склалося хибне розуміння часу.

Успішно пройшли підготовчий етап? Тепер можемо вчити дитину розуміти час години зі стрілками.

Вчимо дитину розуміти час по годинах зі стрілками

Ох уже ці дорослі! І чому вони дозволяють дивитися мультики всього якихось 15 чи 20 хвилин? Для дітей час – незрозуміла цифра. Щоб розібратися, звідки вона береться, знадобиться годинник зі стрілками. Якщо будинки таких немає, а є тільки електронні, дитині буде й зовсім складно зрозуміти, що таке час. Тому перший крок для батька - обзавестися настінним або спеціальним дитячим годинником, на якому будуть чітко видно цифри і стрілки.

Знайомимо дитину з влаштуванням годинника

Спочатку поясніть дитині поняття «циферблат», «добу», «годинник», «хвилини», «секунди»; "рівно годину", "півгодини", "чверть години", розкажіть про годинну, хвилинну, секундну стрілки. Зверніть увагу, що всі стрілки мають різну довжину. Нехай дитина поспостерігає, яка зі стрілок найшвидша, а яка практично стоїть на місці. І скільки часу потрібно кожній, щоб пройти ціле коло.

Усі основні поняття обов'язково зв'яжіть в один логічний ланцюжок: на добу 24 години, 1 година – це 60 хвилин, а 1 хвилина – 60 секунд. Не проходьте повз поняття «за годинниковою стрілкою» і «проти годинникової стрілки». Дайте дитині зрозуміти, що час завжди рухається лише вперед.

Вчимо дитину «читати» годинну та хвилинну стрілки одночасно

Насамперед навчіть дитину відраховувати хвилини інтервалами, кратними 5. Хвилини не вказані на звичайному стрілочному годиннику, тому цю навичку потрібно відпрацювати. Можна вигадати легенду про те, що у кожного числа на циферблаті є своя «тінь». 1 – це 5 хвилин, 2 – 10 хвилин, 3 – 15 хвилин і т.д. "Тінь" можна побачити лише тоді, коли на число вказує хвилинна стрілка. Коли дитина легко орієнтуватиметься в п'ятихвилинних інтервалах, розкажіть їй про дрібніші проміжки.

Годинникова стрілка теж має два значення. У першій половині дня ми бачимо цифри такими, якими вони постають на циферблаті, але після щільного полуденка о 12:00 вони починають «товстіти»: 1 перетворюється на 12, 2 – на 14 тощо. Кумедна аналогія допоможе дитині швидше вловити сенс.

Вміння визначати час по годинниках зі стрілками необхідно закріпити на конкретних прикладах. Найчастіше звертайте увагу дитини на годинник. Виправляйте його, якщо він неправильно називатиме час.

Найкращий подарунок для дитини, яка вчиться визначати час по годинах, це наручний годинник. З ними він охоче відповідатиме на запитання «Котра година?» і обов'язково питатиме про це вас, щоб звіритися зі своїми «ходиками».

В ідеалі у дитини повинен бути «чорновий» годинник, який він зможе «експлуатувати», як йому завгодно: виставляти на них час, дописувати «тіні» кожної з цифр, підписувати назви стрілок. Для навчання можна використовувати старий непрацюючий годинник (настінний або настільний). Вони потрібно зняти скло, щоб стрілки можна було крутити. Якщо ви не знайшли таких будинків, ми пропонуємо вам змайструвати свої.

Майструємо саморобний годинник

Саморобний годинник допоможе зробити час більш відчутним. За наявності потрібних матеріалів, їх створення піде трохи більше 15 хвилин.

Як змайструвати годинник самостійно

Основою для циферблату може стати одноразова тарілка або коло з картону. Розкреслюємо коло навпіл, потім ще раз навпіл і наносимо перші цифри. Далі кожну четвертинку акуратно ділимо на три частини і дописуємо цифри, що залишилися. Циферблат готовий, а значить, настав час прикріпити стрілки. Вирізаємо їх із картону різних кольорів та кріпимо на коло за допомогою кнопки. Макет годинника, що вийшов, ставимо поруч із справжнім годинником.

Створюючи свій годинник, буде корисно пробігтися по вже вивченим поняттям. Розкреслили коло на чотири частини – згадали про «чверть години», прикріпили годинникову стрілку – згадали її функцію тощо.

Саморобний годинник може виглядати незвично. Наприклад, ось так:

Ігри та завдання з годинником

Закріпити вміння визначати час по годинах допоможуть ігри та завдання.

"Котра година"

Покажіть дитині, як рухаються стрілки. Змінюйте їхнє положення і називайте час. Потім нехай дитина виконає цю вправу. Змінюйте час за годинниковою та проти годинникової стрілки.

Ускладнюємо гру. Показуємо час на годиннику та асоціюємо його з подіями («ось 7:00», у цей час ми прокидаємося», «ось 18:00, у цей час ми вечеряємо» тощо). Тепер пропонуємо дитині навмисно прожити весь день.

«Малюємо піцу»

Саморобний циферблат хороший тим, що на ньому можна робити свої позначки. Попросіть дитину провести лінії від центру циферблату до числа та заштрихувати кожен сектор своїм кольором. Вийде «кольоровий пиріг» або «кольорова піца» (так простіше розумітиме 5-хвилинні інтервали). Позначте другі значення кожного з чисел (2 – 10, 3 – 15) та хвилини (від 1 до 60).

"Режим дня"

Візьміть аркуш паперу, розпишіть режим дня, і разом з дитиною проілюструйте його зображеннями годинника, в якому позначений проміжок часу (8:00 - пора до школи, 15:00 - пора робити уроки тощо). Повісьте над ліжком чи робочим столом дитини. Так дитина навчиться як робити все вчасно, а й орієнтуватися у часі.

Звертайте увагу дитини, скільки часу вона витрачає на ту чи іншу дію. Так ви зможете ще змалку привчити його до пунктуальності.

«Два варіанти назвати час»

Розкажіть дитині, що можна називати по-різному (наприклад, 1 годину 18 хвилин - це вісімнадцять хвилин другого і т.д.). Запишіть на листку другий, складніший варіант, і вкажіть цифри-підказки, щоб дитині було простіше впоратися (приклад: «без п'яти вісім», числа підказки – 9, 5, 5, 1). Поступово відмовтеся від підказок.

«Кубики»

Для гри знадобиться 4 гральні кубики і наш саморобний годинник. Кидаємо кубики попарно. Перша пара кубиків визначить годинник, друга пара - хвилини. Час, який випав, потрібно встановити на іграшковому годиннику.

Інтерактивні ігри з годинником є ​​і на платформі ЛогікЛайк. Ми маємо понад 3500 захоплюючих завдань для дітей дошкільного та молодшого шкільного віку, які допомагають розвивати логіку, мислення, пам'ять.

Знайомимо дитину з електронним, сонячним, пісковим годинником

Коли дитина навчилася визначати час по годинах зі стрілками, настав час познайомити його з іншими годинниками. Вам є куди рухатися далі! Знайомство з електронним, сонячним, пісковим годинником допоможе дитині поглибити своє розуміння часу. Тим більше, що з ними не менш цікаво розібратися.

Електронний годинникбільш умовні, ніж годинник із стрілками, за ними не відстежити хід часу наочно. Але якщо дитина розібралася з тим, як рахуються години та хвилини, то проблем виникнути не повинно. Обзаведіться електронним годинником і доручайте дитині стежити за часом і на них. У тій же програмі телепередач завжди вказано час в електронному форматі, тому насамперед можна запам'ятати, у скільки починаються мультики та дитячі передачі.

Сонячний годинникбільше схожі на годинник зі стрілками, тому з ними простіше розібратися. Залишилося дочекатися сонячного дня, накреслити на піску коло, встановити в центрі дерев'яну паличку, звірити час із механічним годинником і домалювати циферблат. І можна заворожено спостерігати, як тінь від палички поступово повзе за годинниковою стрілкою.

Пісочний годинниктакож буде найзручніше зіставити зі стрілочними. Вони відмірюють невеликі проміжки часу. Запропонуйте дитині одночасно спостерігати за секундною стрілкою на механічному годиннику та ходом часу в пісочному годиннику. До речі, з ними набагато веселіше виконувати завдання на якийсь час: застелити ліжко, скласти всі іграшки в коробку тощо, поки пісок не перестане сипатися.

Навчити дитину розуміти час не так складно, як здається. Вирішивши цю проблему в дитинстві, ви допоможете дитині стати людиною пунктуальною, для якої відчуття часу не буде слабким місцем.

У 5-7 років більшість дітей - пік пізнавальної активності. І це багато в чому найкращий час, щоб разом цікаво та різноманітно розвиватися. Поки що дитину не затягло у шкільні будні.

Батькам у допомогу - цікаві логічні завдання, вправи на розвиток мислення, уваги, пам'яті та мови.

Спробуйте вирішити самостійно!
Якщо щось не виходить, не впадайте у відчай, відповідь і рішення розташовані нижче.

1. Скільки разів на добу показання годинника мають ту властивість, що, міняючи місцями хвилинну і годинну стрілки, ми прийдемо до показання годинника, що має сенс?

2. Скільки разів на добу годинна та хвилинна стрілки утворюють прямий кут?

3. Через скільки хвилин стрілки годинника (нормального) після суміщення накладуться знову?

4. У скільки разів число, що показує, у скільки разів швидкість секундної стрілки більша за швидкість хвилинної, більша за число, що показує, у скільки разів швидкість хвилинної стрілки більша за швидкість годинної стрілки?

5. Скільки разів годинникові стрілки будуть одна над одною протягом 12 годин?

6. Деяка робота була розпочата о п'ятій годині, а закінчена о восьмій годині, причому показання годин на початку і наприкінці роботи перекладаються один в одного, якщо поміняти місцями годинну та хвилинну стрілки. Визначити тривалість роботи та показати, що на початку та в кінці роботи стрілки були однаково відхилені від вертикального напрямку.

7. Скільки разів на добу хвилинна стрілка обганяє вартову? А секундна?

8. Годинник пробив північ. Скільки разів і в які моменти часу до наступної опівночі годинна та хвилинна стрілки будуть суміщені?

9. Між якими цифрами знаходиться секундна стрілка в момент першого суміщення годинної стрілки з хвилинною після полудня?

10. Чому на годиннику стрілки ходять зліва направо (за годинниковою стрілкою), а не навпаки?

11. На годиннику з трьома стрілками - годинниковою, хвилинною та секундною - о 12 годині всі три стрілки збігаються. Чи існують інші моменти часу, коли всі три стрілки збігаються?

12. Завдання, запропоноване Льюїсом Керроллом : який годинник точніше показує час: той, який відстає на хвилину на добу, або той, який зовсім не йде?

13. На скільки градусів повертається за хвилину хвилинна стрілка? Годинникова стрілка?

14. Визначте величину кута між годинниковою та хвилинною стрілками годинника, що показує 1 годину 10 хвилин за умови, що обидві стрілки рухаються з постійними швидкостями.

15.

16. Але ви помічали, ймовірно, що це не єдиний момент, коли стрілки годинника зустрічаються: вони наздоганяють один одного протягом дня кілька разів. Чи можете ви вказати всі моменти, коли це трапляється?

17. Коли відбудеться наступна зустріч?

18. О 6 годині, навпаки, обидві стрілки направлені в протилежні сторони. Але чи тільки о 6 годині це буває чи є й інші моменти, коли стрілки так розташовані?

19. Я глянув на годинник і помітив, що обидві стрілки відстоять від цифри 6, по обидва її боки однаково. О котрій годині це було?

20. О котрій годині хвилинна стрілка випереджає годинникову рівно на стільки ж, на скільки годинна знаходиться попереду числа 12 на циферблаті? А може, таких моментів буває в день кілька або зовсім не буває?

21. Який кут утворюють стрілки годинника о 12 годині 20 хвилині?

22. Знайдіть кут між годинною та хвилинною стрілками а) о 9 годині 15 хвилин; б) о 14 годині 12 хвилин?

23. Коли кут між годинниковою та хвилинною стрілками годин більше а) о 13:45 або о 22:15; б) о 13:43 або о 22:17; в) через t хвилин після полудня або за t хвилин до опівночі?

24. Стрілки годинника щойно зійшлися. Через скільки хвилин вони "дивитимуться" у протилежні сторони?

25. Як можна пояснити, що у справному годиннику за одну секунду хвилинна стрілка пройшла 6 хвилин.

26. По точному хронометру було встановлено, що годинна і хвилинна стрілки годинників, що рівномірно йдуть (але з неправильною швидкістю!) збігаються через кожні 66 хвилин. На скільки хвилин на годину поспішає або відстає цей годинник?

27. В Італії випускають годинник, в якому годинникова стрілка робить на добу один оборот, а хвилинна – 24 обороти, причому, як завжди, хвилинна стрілка довша за годинну (у звичайних годинах годинна стрілка робить на добу два обороти, а хвилинна – 24). Розглянемо всі положення двох стрілок і нульового поділу, які зустрічаються і на італійському годиннику, і на звичайному. Скільки таких положень існує? (Нульовий поділ відзначає 24 години в італійському годиннику і 12 годин у звичайному годиннику).

28. Вася виміряв транспортиром і записав у зошит кути між годинниковою та хвилинною стрілками спочатку о 8:20, а потім о 9:25. Після цього Петя забрав свій транспортир. Допоможіть Васі знайти кути між стрілками о 10:30 та 11:35.

29. Скільки разів з 12:00 до 23:59 збігаються хвилинна та годинна стрілки годинника?

30. На годиннику опівдні. Коли годинна та хвилинна стрілки співпадуть наступного разу?

31. Вкажіть хоча б один момент часу, відмінний від 6:00 і 18:00, коли годинна і хвилинна стрілки правильно годинника, що йдуть, спрямовані в протилежні сторони.

32. Коли Петя почав вирішувати це завдання, він помітив, що годинна та хвилинна стрілки його годинника утворюють прямий кут. Поки він вирішував її, кут весь час був тупим, а коли Петя закінчив рішення, кут знову став прямим. Скільки часу Петя вирішував це завдання?

33. Петя прокинувся о восьмій годині ранку і помітив, що годинникова стрілка його будильника ділить навпіл кут між хвилинною стрілкою та стрілкою дзвінка, що показує на цифру 8. Через який час повинен продзвеніти будильник?

34. Коля вирушив за грибами між вісьмою та дев'ятою годинами ранку в момент, коли годинникова та хвилинна стрілки його годинника були поєднані. Додому він повернувся між двома і трьома годинами дня, при цьому стрілки його годинника були направлені в протилежні сторони. Скільки тривала Коліна прогулянка?

35. Учень почав вирішувати завдання між 9 та 10 годинами та закінчив між 12 та 13 годинами. Скільки часу він вирішував завдання, якщо за цей час годинна та хвилинна стрілки годинника помінялися місцями?

36. Скільки разів протягом доби годинна і хвилинна стрілки годинників, що правильно йдуть, утворюють кут в 30 градусів?

37. Перед вами годинник. Скільки існує положень стрілок, за якими не можна визначити час, якщо не знати, яка годинникова стрілка, а яка хвилинна? (Вважається, що положення кожної зі стрілок можна визначити точно, але слідкувати за тим, як рухаються стрілки, не можна.)

38. У світі антиподів хвилинна стрілка годинника йде з нормальною швидкістю, але в протилежний бік. Скільки разів на добу стрілки антиподного годинника а) збігаються; б) протилежні?

39. Скільки разів на добу антиподний годинник неможливо відрізнити від нормальних (якщо не знати, котра година насправді)?

40. Муха опівдні сіла на секундну стрілку годинника і поїхала, дотримуючись наступних правил: якщо вона обганяє якусь стрілку або її обганяє якась стрілка (крім секундної годинника є годинна і хвилинна стрілки), то муха переповзає на цю стрілку. Скільки кіл проїде муха протягом години?

Закономірність часу

З'ясувати закономірність у зміні часу на годиннику та визначити, що повинен показувати годинник під номером п'ять.

Завдання з ОДЕ

1. Який кут (у градусах) утворюють хвилинна та годинна стрілки годинника в 4 год?
2. Який кут (у градусах) визначає хвилинна стрілка за 6 хвилин?

Завдання ЄДІ

1. Годинник зі стрілками показує 8 годин 00 хвилин. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вчетверте порівняється з годинною?

Це завдання нітрохи не складніше, ніж завдання на рух по колу. У нас по колу рухаються годинна та хвилинна стрілки. Хвилинна стрілка протягом години проходить повне коло, тобто 360°. Значить, її швидкість дорівнює 360 ° за годину. Годинна стрілка за годину проходить кут 30 ° (це кут між двома сусідніми числами на циферблаті). Значить, її швидкість 30 ° на годину.

У 8 годин 00 хвилин відстань між стрілками становить 240°:

Нехай хвилинна стрілка вперше зустрінеться з годинниковою через годину. За цей час хвилинна стрілка пройде 360 ° t, а годинна 30 ° t, причому хвилинна пройде на 240 ° більше, ніж годинна. Отримаємо рівняння:

360°t-30°t=240°

t=240°/330°=8/11

Тобто через 8/11 години стрілки вперше зустрінуться.

Тепер до наступної зустрічі хвилинна стрілка пройде на 360° більше годинної. Нехай це відбудеться через х годин.

Отримаємо рівняння:

360 ° х-30 ° х = 360 °. Звідси х = 12/11. І так ще двічі.

Отримуємо, що хвилинна стрілка вчетверте порівняється з годинною через 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 години = 240 хв.

Відповідь: 240 хв.

2. Годинник зі стрілками показує 1 годину 35 хвилин. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вдесяте порівняється з годинною?

У цьому завдання швидкість руху стрілок виражатимемо в градусах/хвилину.

Швидкість хвилинної стрілки дорівнює 360/60=6 в хвилину.

Швидкість годинної стрілки дорівнює 30/60=0,5 в хвилину.

О 0 годині становище годинної і хвилинної стрілок збігалося. 1 година 35 хвилин – це 95 хвилин. За цей час хвилинна стрілка пройшла 95х6=570˚=360˚+210˚, а годинна пройшла 95x0,5˚=47,5˚. І у нас така картинка:

Перший раз стрілки зустрінуться через час , коли годинна стрілка повернеться на , а хвилинна на 150 + 47,5 більше. Отримуємо рівняння для:

Наступного разу стрілки зустрінуться, коли хвилинна пройде на коло більше вартового:

І так 9 разів.

Хвилинна стрілка вдесяте порівняється з годинною через хвилину

Відповіді:

1. за 12 годин 132, за 24 години 264 моменти плюс 22 накладення, разом 286

2. За добу годинна стрілка робить 2 обороти, а хвилинна - 24 . Звідси хвилинна стрілка обганяє годинникову 22 рази і щоразу з годинниковою стрілкою утворюється по два прямі кути, тобто. відповідь - 44 .

3. Неважко збагнути, що це станеться через 1 годину 5 5/11 хвилини, тобто в 2 години 10 10/11 хвилини. Наступна - ще через 1 годину 5 5/11 хвилини, тобто в 3 години 16 4/11 хвилини, і т. д. Всіх зустрічей, як легко бачити, буде 11; 11-а настане через 1 1/11 -12 годин після першої, тобто о 12 годині; інакше кажучи, вона збігається з першою зустріччю, і подальші зустрічі повторяться знову в попередні моменти.

Ось усі моменти зустрічей:

1-я зустріч - в 1 годину 5 5/11 хвилини

2-а " - "2 години 10 10/11 "

3-я "-" 3 години 16 4/11

4-а " - "4 години 21 9/11 "

5-а "-" 5 годин 27 3/11

6-а" - "6 годин 32 8/11 "

2 години 46, 153 хв.

7. За добу годинна стрілка робить 2 обороти, а хвилинна - 24 . Звідси хвилинна стрілка обганяє годинникову 22 рази.

9 . 4 та 5

10. Саме так рухається тінь у перших годинах - сонячних. А потім уже механічний годинник скопіював напрямок руху стрілок. До речі, у Південній півкулі все навпаки - тінь у сонячному годиннику рухається проти годинникової стрілки.За годину хвилинна стрілка робить оборот. Значить, за хвилину вона повертається на 1/60 частину кута 360°, тобто на 6°. Годинна стрілка за годину проходить 1/12 частину кола, тобто рухається в 12 разів повільніше за хвилинну. За хвилину вона повертається на 0,5 °.

14 . О першій годині хвилинна стрілка "відставала" від годинникової на 30°. За 10 хвилин, що минули після цього моменту, годинна стрілка "пройде" 5°, а хвилинна – 60°, тому кут між ними дорівнює 60° – 30° – 5° = 25°.

15 . Нехай х – проміжок часу в хвилинах, який має пройти, перш ніж стрілки розмістяться на одній прямій та будуть спрямовані у різні боки. Хвилинна стрілка встигне за цей час пройти х хвилинних поділів циферблату, а годинна - х/12 хвилинних поділів. Коли стрілки розмістяться на одній прямій і будуть спрямовані в різні боки, їх розділятимуть 30 хвилин розподілу циферблата. Отже, у цей час x – x/12 = 30, звідки x = 32 (8/11). Через 32 (8/11) хвилин стрілки "дивитимуться" у протилежні сторони.

16 . Почнемо спостерігати за рухом стрілок о 12 годині. У цей момент обидві стрілки покривають один одного. Так як годинникова стрілка рухається в 12 разів повільніше, ніж хвилинна (вона описує повне коло в 12 годин, а хвилинна в 1:00), то протягом найближчої години стрілки, звичайно, зустрітися не можуть. Але ось минула година; годинна стрілка стоїть у цифри 1, зробивши 1/12 частку повного обороту; хвилинна ж зробила повний оборот і знову стоїть у 12 — на 1/12 частку кола позаду вартовий. Тепер умови змагання інші, ніж раніше: годинна стрілка рухається повільніше за хвилинну, але вона попереду, і хвилинна повинна її наздогнати. Якби змагання тривало цілу годину, то за цей час хвилинна стрілка пройшла повне коло, а годинна 1/12 кола, тобто хвилинна зробила б на 11/12 кола більше. Але, щоб наздогнати годинникову стрілку, хвилинної потрібно пройти більше, ніж вартовий, тільки на ту 1/12 частку кола, що їх відокремлює. Для цього потрібно часу не цілу годину, а менше у стільки разів, у скільки разів 1/12 менше 11/12, тобто в 11 разів. Отже, стрілки зустрінуться через 1/11 години, тобто через 60/11 = 5/5 хвилини. Отже, зустріч стрілок трапиться через 5 5/11 хвилин після того, як пройде 1 година, тобто в 5 5/11 хвилини другого.

21. Відповідь: Неважко збагнути, що це станеться через 1 годину 5 5/11 хвилини, тобто в 2 години 10 10/11 хвилини. Наступна - ще через 1 годину 5 5/11 хвилини, тобто в 3 години 16 4/11 хвилини, і т. д. Всіх зустрічей, як легко бачити, буде 11; 11-а настане через 1 1/11 -12 годин після першої, тобто о 12 годині; іншими словами, вона збігається з першою зустріччю, і подальші зустрічі повторяться знову в колишні моменти.

24. Нехай обидві стрілки стояли біля 12, а потім годинна відійшла від 12 на деяку частину повного обороту, яку ми позначимо літерою х. Хвилинна стрілка за той самий час встигла повернутись на 12х. Якщо часу минуло не більше однієї години, то для задоволення вимоги нашого завдання необхідно, щоб хвилинна стрілка відстояла від кінця цілого кола на стільки ж, скільки годинна стрілка встигла відійти від початку; іншими словами: 1 - 12 х = х Звідси 1 = 13 х. Отже, х = 1/13 частці цілого обороту. Таку частку обороту годинна стрілка проходить в 12/13 годин, тобто показує 55 5/13 хвилин першого. Хвилинна стрілка водночас пройшла у 12 разів більше, тобто 12/13 повного обороту; обидві стрілки, як бачите, відстоять від 12 однаково, а отже, однаково відсунуті та від 6 по різні боки. Ми знайшли одне становище стрілок — саме те, що настає протягом першої години. Протягом другої години подібне положення настане ще раз; ми знайдемо його, розмірковуючи за попереднім, з рівності 1 - (12х - 1) = х, або 2 - 12х = х, звідки 2 = 13х, і, отже, х = 2/13 повного обороту. У такому положенні стрілки будуть о 1 11/13 години, тобто в 50 10/13 хвилин другого. Втретє стрілки займуть необхідне положення, коли годинникова стрілка відійде від 12 на 3/13 повного кола, тобто 2 10/13 години, і т. д. Усіх положень 11, причому після 6 годин стрілки змінюються місцями: Якщо ви уважно спостерігаєте за годинами, то, можливо, вам траплялося спостерігати і саме зворотне розташування стрілок, чим зараз описано: годинна стрілка випереджає хвилинну на стільки ж, на скільки хвилинна просунулась вперед від числа 12. Коли це буває? Відповідь: Вперше необхідне розташування стрілок буде в той момент, який визначається рівністю: 12х - 1 = х / 2, звідки 1 = 11 ½ х, або х = 2/23 цілого обороту, тобто через 1 1/23 години після 12. Отже, о 1 годині 21 4/23 хвилини стрілки будуть розташовані необхідним чином. Дійсно, хвилинна стрілка повинна стояти посередині між 12 і 1 1/23 годинами, тобто на 12/23 години, що якраз і становить 1/23 повного обороту (годинна стрілка пройде 2/23 цілого обороту). Другий раз стрілки розташуються необхідним чином у момент, який визначиться з рівності: 12х - 2 = х / 2, звідки 2 = 11 1/2 х і х = 4/23; шуканий момент - 2 години 5 5/23 хвилини. Третій шуканий момент - 3 години 7 19/23 хвилини, і т.д.

Це завдання - варіант класичного питання, що ставилося на співбесідах в Microsoft, коли претендентів запитували, скільки разів на день годинна і хвилинна стрілки зустрічаються один з одним. Оскільки це питання зараз стало широко відомим, інтерв'ювери почали використовувати його різновид.

Розглянемо спочатку варіант найочікуванішого рішення, математичного. По-перше, уявіть ситуацію, коли годинникова та хвилинна стрілки наклалися. Всі знають, що це відбувається опівночі, потім приблизно о 1:05, 2:10, 3:15 і таке інше. Іншими словами, вони накладаються один на одного щогодини, за винятком періоду від 11:00 до 12:00. Об 11:00 швидша хвилинна стрілка знаходиться на 12, а повільніша годинна - на 11:00. До 12:00 вони один з одним не зустрінуться, і тому їх накладення в районі 11 годин не буде.

Таким чином, за кожен 12-годинний період відбувається 11 накладень. Вони рівномірно розподілені у часі, оскільки обидві стрілки рухаються із постійною швидкістю. Це означає, що інтервали між накладеннями становлять 12/11 години. Це еквівалентно 1 годині 5 хвилин 27 і 3/11 секунд. Тому за кожен 12-годинний цикл накладання відбуваються в періоди, вказані на зображенні.

Повернемося до секундної стрілки. Її накладання на хвилинну можливе тоді, коли кількість хвилин збігається з числом секунд. Точне накладання відбувається о 00:00:00. Загалом хвилинні та секундні стрілки накладаються лише частку секунди. Наприклад, о 12:37:37 секундна стрілка показуватиме на 37, відстаючи від хвилинної, яка в цей час між 37 і 38 і відставатиме від годинникової. За мить хвилинна і секундна накладуться, але вартовий біля них не буде. Тобто. накладення всіх трьох стрілок не відбудеться.

Секундна стрілка не накладеться в жодному з варіантів на картинці, за винятком півночі та полудня. Це означає, що фінальна відповідь на запитання: двічі на день.

А ось відповідь, вітається у Google. Секундна стрілка призначена для показу коротких часових інтервалів, а не для часу з точністю до секунди. Якщо вона не синхронізована із двома іншими стрілками, це цілком нормально. Під «синхронізацією» тут розуміється, що опівночі та опівдні всі три стрілки вказують точно на 12. Більшість аналогових годинників всіх видів не дозволяють вам точно встановити секундну стрілку. Потрібно було б витягнути батарейку або почекати, якщо говорити про механічний годинник, коли закінчиться завод пружини, а потім, коли секундна стрілка зупинена, синхронізувати хвилинну і годинну стрілки один з одним, після чого дочекатися, коли настане час, показаний на годиннику, щоб повернути батарейку або завести годинник.

Щоб усе це зробити, потрібно бути маніяком чи фанатіти від пунктуальності. Але якщо ви цього не проробите, секундна стрілка не буде показувати «реального» часу. Вона відрізнятиметься від точних секунд на якусь величину у випадковому інтервалі, що сягає 60 секунд. Враховуючи випадкові розбіжності, шансів на те, що всі три стрілки будь-коли зустрінуться, не існує. Цього ніколи не буває.