Х як побудувати пряму на координатній площині. Відеоурок «Координатна площина. Область поза прямими

Розділи: Математика

Клас: 6

Тип уроку:урок узагальнення та систематизації знань.

Методи:словесні, наочні, парні, самостійної роботи, фронтального опитування, контролю та оцінки

Обладнання:інтерактивна дошка, картки для самостійної роботи

Ціль:закріпити навички знаходження координат зазначених точок та будувати точки за заданими координатами.

Завдання уроку:

Освітні:

узагальнення знань та вмінь учнів на тему «Координатна площина»;
проміжний контроль знань та вмінь учнів.

Розвиваючі:

розвиток обчислювальних навичок учнів;
розвиток логічного мислення;
розвиток математично грамотної мови, кругозору учнів;
розвиток уміння самостійної роботи.

Виховні:

виховання дисциплінованості при організації роботи на уроці;
виховання акуратності і під час побудов.

Структура уроку:

Організаційний момент.
Перевірка домашнього завдання.
Актуалізація опорних знань.
Діагностика засвоєння знань та вмінь учнів.
Підбиття підсумків уроку.
Домашнє завдання.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Сьогодні ми з вами повторимо, що пройшли протягом кількох уроків. Згадайте, чим ми з вами займалися на уроках, які вивчали теми, що вас зацікавило найбільше, що запам'яталося, що залишилося незрозумілим на тему «Координатна площина. Побудова точки за її координатами». Наше завдання: повторити, узагальнити, систематизувати знання на тему «Координатна площина».

2. Перевірка домашнього завдання

А зараз перевіримо, як ви виконали домашнє завдання. За заданими координатами ви повинні були побудувати фігуру, поєднуючи, у міру побудови, сусідні точки один з одним. В результаті виконання роботи у вас повинна була вийти фігура:

3. Актуалізація опорних знань

Завдання «Розгадай кросворд» допоможе згадати основні поняття на тему «Координатна площина».
На екрані інтерактивної дошки з'являється кросворд і учням пропонується вирішити його.

1. Дві координатні прямі утворюють координатну … (площину)
2. Координатні прямі – це координатні … (осі)
3. Який кут утворюється під час перетину координатних прямих? (прямий)
4. Як називається пара чисел, що визначають положення точки на площині? (координата)
5. Як називається перша координата? (абсцису)
6. Як називається друга координата? (ордината)
7. Як називається відрізок від 0 до 1? (поодинокий)
8. На скільки частин ділиться координатна площина координатними прямими? (чотири)

4. Діагностика засвоєння знань та умінь учнів

На координатній площині позначте точки:

А(-3; 0); В(2; -3); З(-4; 2); D(0; 4); E(1; 3); О(0; 0)

А тепер перейдемо до побудови фігури за допомогою точок на координатній площині. Дані координати точок. Побудувати фігуру, з'єднуючи, у міру побудови, сусідні точки одна з одною.

Самостійна робота.
(перевірка методом взаємоперевірки)

Варіант 1.

(2; 9),
(3; 8),
(4; 9),
(5; 7),
(7; 6),
(6; 5),
(8; 3),
(8; 4),
(9; 4),
(9; -1),
(5; -2),
(5; -1),
(2; 2),
(4; -6),
(1; -6),
(0; -3),
(-4; -2),
(-4; -6),
(-7; -6),
(-7; 2),
(-8; 5),
(-5; 2),
(0; 2),
(2; 9).

Око: (3; 5).

Варіант 2.

(2; 4),
(2; 6),
(0; 6),
(-1; 7),
(-1; 9),
(1; 11),
(2; 11),
(2,5; 12),
(3; 11),
(3,5; 12),
(5; 10),
(5; 9),
(8; 8),
(6; 8),
(4; 7),
(4; 5),
(5; 5),
(7; 3),
(7; -1),
(5; -3),
(0; -4),
(-3; -4),
(-9; -1),
(-9; 7),
(-6; 2),
(0; 2),
(2; 4).

Крило:
(2; 2),
(2; -2),
(-4; 0),

Око:
(2; 9).

5. Підбиття підсумків уроку

Питання учням:

1) Що таке координатна площина?
2) Як називаються координатні осі ОХ та ОУ?
3) Який кут утворюється під час перетину координатних прямих?
4) Як називається пара чисел, що визначають положення точки на площині?
5) Як називається перше число?
6) Як називається друге число?

6. Домашнє завдання

P(-1,5; 10),
(-1,5; 11),
(-2; 12),
(-3; 12),
(-3,5; 11),
(-3,5; 10),
(-5; 12),
(-9; 14),
(-14; 15),
(-12; 10),
(-10; 8),
(-8; 7),
(-4; 6),
(-6; 6),
(-9; 5),
(-12; 3),
(-14; 0),
(-14; -2),
(-12; -2),
(-7; -1),
(-3; 3),
(-4; 1),
(-3; 0),
(-4; -1),
(-2,5; -2),
(-1; -1),
(-2; 0),
(-1; 1),

(-2; 3),
(2; -1),
(7; -2),
(9; -2),
(9; 0),
(7; 3),
(4; 5),
(1; 6),
(-1; 6),
(3; 7),
(5; 8),
(7; 10),
(9; 15),
(4; 14),
(0; 12),
(-1,5; 10).
P (-3,5; 10),
(-4; 6),
(-3; 3),
P (-1,5; 10),
(-1; 6),
(-2; 3).

(-2; 11),
(-3; 11)

Дві взаємно перпендикулярні координатні прямі, що перетинаються в точці О - початку відліку, утворюють прямокутну систему координат, що називається також декартовою системою координат.
Площина, де обрана система координат, називається координатною площиною.Координатні прямі називаються координатними осями. Горизонтальна – вісь абсцис (Ох), вертикальна – вісь ординат (Оy).
Координатні осі розбивають координатну площину на чотири частини – чверті. Порядкові номери чвертей прийнято рахувати проти годинникової стрілки.
Будь-яка точка в координатній площині задається своїми координатами - абсцисою та ординатою. Наприклад, А(3; 4). Читають: точка А з координатами 3 та 4. Тут 3 – абсцисса, 4 – ордината.

I. Побудова точки А (3; 4).

Абсцисса 3 показує, що з початку відліку — точки О потрібно відкласти праворуч 3 одиничних відрізка, а потім вгору відкладемо 4 одиничних відрізка і поставимо крапку.

Це і є крапка А(3; 4).

Побудова точки В(-2; 5).

Від нуля відкладемо вліво 2 одиничних відрізка, а потім вгору 5 одиничних відрізків.

Ставимо крапку В.

Зазвичай за одиничний відрізок приймають 1 клітку.

ІІ. У координатній площині xOy побудувати точки:

A (-3; 1);B (-1; -2);

C (-2: 4);D (2; 3);

F (6: 4);K (4; 0)

ІІІ. Визначити координати збудованих точок: A, B, C, D, F, K.

А(-4; 3);В(-2; 0);

З(3; 4);D (6; 5);

F (0; -3);K (5; -2).

Стверджувати, що ви знаєте математику неможливо, якщо ви не вмієте будувати графіки, зображати нерівності на координатній прямій, працювати з осями координат. Візуальна складова в науці життєво необхідна, адже без наочних прикладів у формулах та обчисленнях часом можна заплутатися. У цій статті ми подивимося, як працювати з осями координат і навчимося будувати найпростіші графіки функцій.

Застосування

Координатна пряма - це основа найпростіших видів графіків, із якими стикається школяр своєму навчальному шляху. Вона використовується практично в кожній математичній темі: при розрахунку швидкості та часу, проектуванні розмірів об'єктів та обчисленні їх площі, у тригонометрії під час роботи з синусами та косинусами.

Головна цінність такої прямої – це наочність. Оскільки математика - це наука, де вимагається високий рівень абстрактності мислення, графіки допомагають у поданні об'єкта у світі. Як він поводиться? В якій точці простору перебуватиме через кілька секунд, хвилин, годин? Що можна сказати про нього у порівнянні з іншими об'єктами? Яку швидкість він має у випадково вибраний момент часу? Як охарактеризувати його рух?

А про швидкість мова йде недарма - саме її найчастіше відображають графіки функції. А ще вони можуть відображати зміну температури або тиску всередині об'єкта, його розмірів, орієнтації щодо горизонту. Таким чином, побудувати координатну пряму часто потрібно і у фізиці.

Одновимірний графік

Існує поняття багатовимірності. Достатньо всього одного числа, щоб визначити місце розташування точки. Це якраз і є випадок із застосуванням координатної прямої. Якщо простір двомірний, то знадобиться два числа. Графіки такого типу використовуються набагато частіше, і далі в статті ми їх обов'язково розглянемо.

Що можна побачити за допомогою точок на осі, якщо вона лише одна? Можна побачити розмір об'єкта, його положення у просторі щодо деякого «нуля», тобто точки, обраної як початок відліку.

Зміна параметрів з часом побачити не вдасться, оскільки всі показання відображатимуться для одного конкретного моменту. Однак із чогось треба починати! Отже, почнемо.

Як побудувати координатну вісь

Для початку потрібно провести горизонтальну лінію – це і буде наша вісь. З правого боку «загостримо» її, щоб вона була схожа на стрілку. Таким чином ми позначимо напрямок, у якому числа будуть збільшуватися. У бік зменшення стрілка звичайно ставиться. Традиційно вісь направлена вправо, тому ми просто підемо даному правилу.

Поставимо нульову позначку, яка відображатиме початок координат. Це те саме місце, від якого ведеться відлік, чи то розмір, вага, швидкість або будь-що інше. Крім нуля, ми обов'язково повинні позначити так звану ціну поділу, тобто ввести стандарт одиниці, відповідно до якої відкладатимемо на осі ті чи інші величини. Це обов'язково потрібно робити, щоб уміти знаходити довжину відрізка на координатній прямій.

Через рівну відстань один від одного поставимо крапки або зарубки на лінії, а під ними напишемо відповідно 1,2,3 і так далі. І ось, все готове. Але з графіком, що вийшов, треба ще навчитися працювати.

Види точок на координатній прямій

З першого погляду на запропоновані у підручниках малюнки стає зрозуміло: крапки на осі можуть бути зафарбовані чи не зафарбовані. Ви думаєте, що це випадковість? Зовсім ні! «Суцільна» точка використовується при несуворій нерівності - тій, яка читається як «більше або одно». Якщо ж потрібно суворо обмежити інтервал (наприклад, «ікс» може набувати значень від нуля до одиниці, але не включає її), ми скористаємося «порожнистою» точкою, тобто, по суті, маленьким кружком на осі. Слід зазначити, що учні не дуже люблять суворі нерівності, бо з ними складніше працювати.

Залежно від того, які точки ви використовуєте на графіку, будуть називатись і побудовані інтервали. Якщо нерівність з обох боків не суворе, ми отримаємо відрізок. Якщо з одного боку він виявиться «відкритий», то називатиметься напівінтервалом. Нарешті, якщо частина прямої обмежена з двох сторін порожніми точками, вона називатиметься інтервалом.

Площина

При побудові двох прямих ми вже можемо розглядати графіки функцій. Скажімо, горизонтальна лінія буде віссю часу, а вертикальна – відстанню. І ось уже ми можемо визначити, яку відстань подолає об'єкт за хвилину або годину шляху. Таким чином, робота з площиною дозволяє стежити за зміною стану об'єкта. Це набагато цікавіше, ніж дослідження статичного стану.

Найпростіший графік на такій площині – пряма, вона відображає функцію Y(X) = aX + b. Лінія згинається? Це означає, що об'єкт змінює свої характеристики у процесі дослідження.

Уявіть, ви стоїте на даху будівлі та тримаєте у витягнутій руці камінь. Коли ви відпустите його, він полетить униз, розпочавши свій рух із нульової швидкості. Але вже за секунду він долатиме 36 кілометрів на годину. Камінь продовжить прискорюватися і надалі, і щоб намалювати його рух на графіці, вам потрібно буде заміряти його швидкість у кілька моментів часу, виставивши крапки на осі у відповідних місцях.

Відмітки на горизонтальній координатній прямій за замовчуванням отримують назву X1, X2, X3, а вертикальній - Y1, Y2, Y3 відповідно. Проеціруя їх на площину і знаходячи перетину, ми знаходимо фрагменти результуючого малюнка. Поєднавши їх однією лінією, ми отримаємо графік функції. У разі падіння каменю квадратична функція матиме вигляд: Y(X) = aX * X + bX + c.

Масштаб

Звісно, необов'язково виставляти поруч із поділами на прямий цілі значення. Якщо ви розглядаєте рух равлика, що повзе зі швидкістю 0,03 метра за хвилину, виставте як значення на координатному прямому дробі. У цьому випадку задайте ціну поділу як 0,01 метра.

Особливо зручно виконувати такі креслення у зошиті в клітку - тут відразу видно, чи вистачить місця на аркуші для вашого графіка, чи не вийдете за поля. Свої сили розрахувати нескладно, адже ширина клітини в такому зошиті – 0,5 сантиметра. Знадобилося – зменшили малюнок. Від зміни масштабу графіка не втратить і змінить своїх властивостей.

Координати точки та відрізка

Коли на уроці дається математичне завдання, у ній можуть бути параметри різних геометричних фігур як у вигляді довжин сторін, периметра, площі, так і у вигляді координат. І тут може знадобитися як побудувати фігуру, і отримати якісь дані, пов'язані з нею. Виникає питання: як знайти на координатній прямій потрібну інформацію? І як збудувати фігуру?

Наприклад, йдеться про точку. Тоді за умови завдання фігуруватиме велика літера, а дужках стоятимуть кілька цифр, найчастіше дві (це означає, рахувати ми будемо у двомірному просторі). Якщо в дужках три числа, записані через точку з комою або через кому, це тривимірний простір. Кожне з значень - це координата на відповідній осі: спочатку горизонтальною (X), потім - вертикальною (Y).

Пам'ятаєте, як збудувати відрізок? Ви проходили це геометрії. Якщо є дві точки, між ними можна провести пряму. Їхні координати і вказуються в дужках, якщо в задачі фігурує відрізок. Наприклад: A(15, 13) – B(1, 4). Щоб побудувати таку пряму, потрібно на координатній площині знайти та відзначити точки, а потім їх з'єднати. От і все!

А будь-які багатокутники, як знаєте, можна намалювати за допомогою відрізків. Завдання вирішено.

Розрахунки

Допустимо, є певний об'єкт, положення якого по осі X характеризується двома числами: починається він у точці з координатою (-3) і закінчується (+2). Якщо ми хочемо дізнатися довжину цього предмета, то маємо відняти з більшого числа менше. Зверніть увагу, що негативне число поглинає знак віднімання, тому що мінус на мінус дає плюс. Отже, ми складаємо (2+3) та отримуємо 5. Це і є необхідний результат.

Інший приклад: нам дана кінцева точка та довжина об'єкта, але не дана початкова (і потрібно її знайти). Нехай положення відомої точки буде (6), а розмір предмета, що вивчається - (4). Віднімаючи довжину з кінцевої координати, ми отримаємо відповідь. Разом: (6 – 4) = 2.

Негативні числа

Нерідко потрібно практично працювати з негативними значеннями. В цьому випадку ми йтимемо по осі координат вліво. Наприклад, об'єкт заввишки 3 сантиметри плаває у воді. На третину він занурений у рідину, на дві третини перебуває у повітрі. Тоді, обравши як осі поверхню води, ми з допомогою найпростіших арифметичних обчислень отримуємо два числа: верхня точка об'єкта має координату (+2), а нижня - (-1) сантиметр.

Неважко помітити, що у випадку з площиною у нас утворюється чотири чверті координатної прямої. Кожна з них має власний номер. У першій (верхній правій) частині розташовуватимуться точки, що мають дві позитивні координати, у другій - зліва зверху - значення по осі «ікс» будуть негативні, а по «гравець» - позитивні. Третя та четверта відраховуються далі проти годинникової стрілки.

Важлива властивість

Ви знаєте, що пряму можна представити як безліч точок. Ми можемо переглянути скільки завгодно уважно будь-яку кількість значень у кожний бік осі, але не зустрінемо повторюваних. Це здається наївним і зрозумілим, але виникає те твердження з важливого факту: кожному числу відповідає одна і лише одна точка на координатній прямій.

Висновок

Пам'ятайте, що будь-які осі, фігури та по можливості графіки необхідно будувати за лінійкою. Одиниці вимірів були придумані людиною не випадково - припустившись похибки при кресленні, ви ризикуєте побачити вже не те зображення, яке мало вийти.

Будьте уважні та акуратні у побудові графіків та обчисленнях. Як і будь-яка наука, що вивчається у школі, математика любить точність. Прикладіть трохи старання, і хороші оцінки не забаряться.

§ 1 Система координат: визначення та спосіб побудови

У цьому уроці познайомимося з поняттями "система координат", "координатна площина", "осі координат", навчимося будувати точки на площині координат.

Візьмемо координатну пряму х із початком координат точкою О, позитивним напрямком та одиничним відрізком.

Через початок координат точку координатної прямої х проведемо ще одну координатну пряму y, перпендикулярну х, позитивний напрямок зададимо вгору, одиничний відрізок такий же. Отже, ми побудували систему координат.

Дамо визначення:

Дві взаємно перпендикулярні координатні прямі, що перетинаються в точці, яка є початком координат кожної з них, утворюють систему координат.

§ 2 Координатна вісь та координатна площина

Прямі, які утворюють систему координат, називають координатними осями, кожна з яких має свою назву: координатна пряма х – вісь абсцис, координатна пряма y – вісь ординат.

Площина, де обрана система координат, називається координатної площиною.

Описана система координат називається прямокутною. Часто її називають декартовою системою координат на честь французького філософа та математика Рене Декарта.

Кожна точка координатної площини має дві координати, які можна визначити опустивши з точки перпендикуляри на осі координат. Координати точки на площині - це пара чисел, у тому числі перше число - абсцисса, друге число - ордината. Абсцис показує перпендикуляр до осі х, ординату - перпендикуляр до осі y.

Зазначимо на координатній площині точку А, проведемо з неї перпендикуляри до осей системи координат.

По перпендикуляру до осі абсцис (вісь х) визначаємо абсцис точки А, вона дорівнює 4, ординату точки А - по перпендикуляр до осі ординат (вісь у) - це 3. Координати нашої точки 4 і 3. А (4; 3). Таким чином, координати можна знайти будь-якої точки координатної площини.

§ 3 Побудова точки на площині

Як побудувати точку на площині із заданими координатами, тобто. за координатами точки площини визначити її положення? У цьому випадку дії виконуємо у зворотному порядку. На координатних осях знаходимо точки, що відповідають заданим координатам, через які проводимо прямі, перпендикулярні осям х і y. Крапка перетину перпендикулярів і буде шуканою, тобто. точкою із заданими координатами.

Виконаємо завдання: побудувати на координатній площині точку М (2; -3).

Для цього на осі абсцис знаходимо точку з координатою 2, проводимо через цю точку пряму перпендикулярну до осі х. На осі ординат знайдемо точку з координатою -3 через неї проведемо пряму перпендикулярну осі y. Точка перетину перпендикулярних прямих і буде заданою точкою М.

А тепер розглянемо кілька окремих випадків.

Відзначимо на координатній площині точки А (0; 2), (0; -3), С (0; 4).

Абсциси даних точок дорівнюють 0. На малюнку видно, що всі точки знаходяться на осі ординат.

Отже, точки, абсциси яких дорівнюють нулю, лежать на осі ординат.

Поміняємо координати даних точок місцями.

Вийде А (2; 0), В (-3; 0) С (4; 0). У цьому випадку всі ординати дорівнюють 0 і точки знаходяться на осі абсцис.

Значить, точки, ординати яких дорівнюють нулю, лежать на осі абсцис.

Розберемо ще два випадки.

На координатній площині відзначимо точки М (3; 2), N (3; -1), Р (3; -4).

Легко помітити, що всі абсцис точок однакові. Якщо ці точки з'єднати, вийде пряма, паралельна осі ординат та перпендикулярна осі абсцис.

Напрошується висновок: точки, що мають ту саму абсцис, лежать на одній прямій, яка паралельна осі ординат і перпендикулярна осі абсцис.

Якщо змінити координати точок М, N, Р місцями, то вийде М (2; 3), N (-1; 3), Р (-4; 3). Одноманітними стануть ординати точок. У разі, якщо ці точки з'єднати, вийде пряма паралельна осі абсцис і перпендикулярна осі ординат.

Таким чином, точки, що мають ту саму ординату, лежать на одній прямій паралельній осі абсцис і перпендикулярній осі ординат.

У цьому уроці Ви познайомилися з поняттями "система координат", "координатна площина", "вісь координат - вісь абсцис і вісь ординат". Дізналися, як знайти координати точки на координатній площині та навчилися будувати точки на площині за її координатами.

Список використаної литературы:

Математика. 6 клас: поурочні плани до підручника І.І. Зубарєвої, А.Г. Мордковича// автор-упорядник Л.А. Топілін. - Мнемозіна, 2009.
Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх закладів. І.І.Зубарєва, А.Г.Мордкович. - М.: Мнемозіна, 2013.
Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів/Г.В. Дорофєєв, І.Ф. Шаригін, С.Б. Суворова та ін/за редакцією Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна; Рос.акад.наук, Рос.акад.освіти. - М: «Освіта», 2010
Довідник з математики - http://lyudmilanik.com.ua
Довідник для учнів у середній школі http://shkolo.ru

Застосування

Одновимірний графік

Існує поняття багатовимірності. В одномірному просторі достатньо всього одного числа, щоб визначити місце розташування точки. Це якраз і є випадок із застосуванням координатної прямої. Якщо простір двомірний, то знадобиться два числа. Графіки такого типу використовуються набагато частіше, і далі в статті ми їх обов'язково розглянемо.

Як побудувати координатну вісь

Види точок на координатній прямій

Площина

При побудові двох прямих координатної площині ми можемо розглядати графіки функций. Скажімо, горизонтальна лінія буде віссю часу, а вертикальна – відстанню. І ось уже ми можемо визначити, яку відстань подолає об'єкт за хвилину або годину шляху. Таким чином, робота з площиною дозволяє стежити за зміною стану об'єкта. Це набагато цікавіше, ніж дослідження статичного стану.

Масштаб

Координати точки та відрізка

А будь-які багатокутники, як знаєте, можна намалювати за допомогою відрізків. Завдання вирішено.