Як знайти повну поверхню піраміди формули. Площа чотирикутної піраміди. Площа поверхні трикутної піраміди

Визначення 1. Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний багатокутник, при цьому вершина такої піраміди проектується до центру її основи.

Визначення 2. Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний багатокутник, а висота проходить через центр основи.

Елементи правильної піраміди

Висота бічної грані, проведена з її вершини апофема. На малюнку позначено як відрізок ON
Крапка, що з'єднує бічні ребра і не лежить у площині основи, називається вершиною піраміди(О)
Трикутники, що мають спільну сторону з основою і одну з вершин, що збігається з вершиною, називаються бічними гранями(AOD, DOC, COB, AOB)
Відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи заввишки піраміди(ОК)
Діагональний переріз піраміди- це перетин, що проходить через вершину та діагональ основи (AOC, BOD)
Багатокутник, якому не належить вершина піраміди, називається основою піраміди(ABCD)

Якщо на підставі правильної пірамідилежить трикутник, чотирикутник тощо. то вона називається правильної трикутної , чотирикутноїі т.д.

Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр.

Властивості правильної піраміди

Для вирішення завдань необхідно знати властивості окремих елементів, які в умові зазвичай опускаються, тому що вважається, що учень повинен це знати спочатку.

бічні ребра рівніміж собою
апофеми рівні
бічні грані рівніміж собою (при цьому, відповідно, рівні їх площі, бічні сторони та основи), тобто вони є рівними трикутниками
всі бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками
у будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати біля неї сферу
якщо центри вписаної та описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π, а кожен із них відповідно π/n, де n - кількість сторін багатокутника основи
площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему
біля основи правильної піраміди можна описати коло (див. також радіус описаного кола трикутника)
всі бічні грані утворюють із площиною основи правильної піраміди рівні кути.
всі висоти бічних граней рівні між собою

Вказівки до вирішення завдань. Властивості, наведені вище, повинні допомогти в практичному рішенні. Якщо потрібно знайти кути нахилу граней, їх поверхню і т. д., то загальна методика зводиться до розбиття всієї об'ємної фігури на окремі плоскі фігури та застосування їх властивостей для знаходження окремих елементів піраміди, оскільки багато елементів є спільними для кількох фігур.

Необхідно розбити всю об'ємну фігуру на окремі елементи – трикутники, квадрати, відрізки. Далі, до окремих елементів застосувати знання з курсу планіметрії, що значно спрощує знаходження відповіді.

Формули для правильної піраміди

Формули для знаходження об'єму та площі бічної поверхні:

Позначення:
V – обсяг піраміди
S - площа основи
h - висота піраміди
Sb - площа бічної поверхні
a - апофема (не плутати з α)
P - периметр основи
n - кількість сторін основи
b - довжина бічного ребра
α – плоский кут при вершині піраміди

Ця формула знаходження обсягу може застосовуватися тількидля правильної піраміди:

, де

V – обсяг правильної піраміди
h - висота правильної піраміди
n - число сторін правильного багатокутника, який є основою правильної піраміди
a - довжина сторони правильного багатокутника

Правильна усічена піраміда

Якщо провести переріз, паралельний підставі піраміди, то тіло, укладене між цими площинами та бічною поверхнею, називається усіченою пірамідою. Цей переріз для усіченої піраміди є одним із її підстав.

Висота бічної грані (яка є рівнобокою трапецією), називається - апофема правильної усіченої піраміди.

Усічена піраміда називається правильною, якщо піраміда, з якої вона була отримана - правильна.

Відстань між основами усіченої піраміди називається висотою усіченої піраміди
Усе грані правильної усіченої пірамідиє рівнобокими (рівностегновими) трапеціями

Примітки

Див. також:окремі випадки (формули) для правильної піраміди:

Як скористатися наведеними тут теоретичними матеріаламидля вирішення свого завдання:

Визначення піраміди

Піраміда- це багатогранник, основу якого лежить багатокутник, а грані його є трикутниками.

Онлайн-калькулятор

Варто зупинитися на визначенні деяких складових піраміди.

У неї, як і в інших багатогранників, є ребра. Вони сходяться до однієї точки, яка називається вершиноюпіраміди. На її підставі може лежати довільний багатокутник. Граньюназивається геометрична фігура, утворена однією зі сторін основи та двома найближчими ребрами. У нашому випадку це трикутник. ВисотоюПіраміди називається відстань від площини, в якій лежить її основа, до вершини багатогранника. Для правильної піраміди існує поняття апофеми- Це перпендикуляр, опущений з вершини піраміди до її основи.

Види пірамід

Існують 3 види пірамід:

Прямокутна- та, у якої якесь ребро утворює прямий кут з основою.
Правильна- у неї основа – правильна геометрична постать, а вершина самого багатокутника є проекцією центру основи.
Тетраедр- Піраміда, складена з трикутників. Причому кожен із них може бути прийнятий за основу.

Формула площі поверхні піраміди

Для знаходження повної площі поверхні піраміди потрібно скласти площу бічної поверхні та площу основи.

Найпростішим є випадок правильної піраміди, тому нею ми й займемося. Обчислимо повну площу поверхні такої піраміди. Площа бічної поверхні дорівнює:

S бік = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(сторона))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS бік = 2 1 ⋅ l ⋅p

L l l- апофема піраміди;
p p p- периметр основи піраміди.

Повна площа поверхні піраміди:

S = S бік + S осн S = S_ (text (сторона)) + S_ (text (осн))S =S бік + S осн

S бік S_(text(сторона)) S бік - площа бічної поверхні піраміди;
S осн S_(text(осн)) S осн - площа основи піраміди.

Приклад розв'язання задачі.

Приклад

Знайти повну площу трикутної піраміди, якщо її апофема дорівнює 8 (див.), а підставі лежить рівносторонній трикутник зі стороною 3 (див.)

Рішення

L = 8 l = 8 l =8
a = 3 a = 3 a =3

Знайдемо периметр основи. Оскільки в основі лежить рівносторонній трикутник зі стороною a a a, то його периметр p p p(Сума всіх його сторін):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a +a +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Тоді бічна площа піраміди:

S бік = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(сторона))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S бік = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (Див. кв.)

Тепер знайдемо площу основи піраміди, тобто площу трикутника. У нашому випадку трикутник рівносторонній та його площа можна обчислити за формулою:

S осн = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(осн))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S осн = 4 3 ⋅ a 2

A a a- сторона трикутника.

Отримуємо:

S осн = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(осн))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\approx3.9S осн = 4 3 ⋅ a 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (Див. кв.)

Повна площа:

S = S бік + S осн ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(text(сторона))+S_(text(осн))\approx36+3.9=39.9S =S бік + S осн ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (Див. кв.)

Відповідь: 39.9 см. кв.

Ще один приклад, трохи складніший.

Приклад

Підставою піраміди є квадрат із площею 36 (див. кв.). Апофема багатогранника в 3 рази більша за сторону основи a a a. Знайти повну площу поверхні цієї фігури.

Рішення

S квад = 36 S_(text(квад))=36S квад = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ a

Знайдемо бік основи, тобто бік квадрата. Його площа та довжина сторони пов'язані:

S квад = a 2 S_(\text(квад))=a^2S квад = a 2
36 = a 2 36 = a^2 3 6 = a 2
a = 6 a = 6 a =6

Знайдемо периметр основи піраміди (тобто периметр квадрата):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a +a +a +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Знайдемо довжину апофеми:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

У нашому випадку:

S квад = S осн S_(text(квад))=S_(text(осн))S квад = S осн

Залишилося знайти лише площу бічної поверхні. За формулою:

S бік = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(сторона))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S бік = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (Див. кв.)

Повна площа:

$S_ (text (сторона)) + S_ (text (осн)) = 216 +36 = 252$

Відповідь: 252 см. кв.

Інструкція

Насамперед, варто зрозуміти, що бічна поверхня піраміди представлена декількома трикутниками, площі яких можна знайти за допомогою найрізноманітніших формул, залежно від відомих даних:

S = (a * h) / 2 де h - висота, опущена на бік a;

S = a*b*sinβ, де a, b – сторони трикутника, а β – кут між цими сторонами;

S = (r * (a + b + c)) / 2, де a, b, c - Сторони трикутника, а r - радіус вписаної в цей трикутник кола;

S = (a*b*c)/4*R, де R - радіус описаного навколо кола трикутника;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (якщо трикутник – прямокутний);

S = S = (a²*√3)/4 (якщо трикутник – рівносторонній).

Насправді це лише основні з відомих формул для знаходження площі трикутника.

Розрахувавши за допомогою зазначених вище формул площі всіх трикутників, що є гранями піраміди, можна приступити до обчислення площі цієї піраміди. Робиться це дуже просто: потрібно скласти площі всіх трикутників, що утворюють бічну поверхню піраміди. Формулою це можна сказати так:

Sп = ΣSi, де Sп - площа бічної , Si - площа i-ого трикутника, що є частиною її бічної поверхні.

Для більшої ясності можна розглянути невеликий приклад: дано правильну піраміду, бічні грані якої утворені рівносторонніми трикутниками, а в основі її лежить квадрат. Довжина ребра даної піраміди становить 17 см. Потрібно знайти площу бічної поверхні даної піраміди.

Рішення: відома довжина ребра даної піраміди, відомо, що її межі - рівносторонні трикутники. Таким чином, можна сказати, що всі сторони всіх трикутників бічної поверхні дорівнюють 17 см. Тому для того, щоб розрахувати площу будь-якого з цих трикутників, потрібно застосувати формулу:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Відомо, що на підставі піраміди лежить квадрат. Таким чином, відомо, що даних рівносторонніх трикутників чотири. Тоді площа бічної поверхні піраміди розраховується так:

125.137 см ² * 4 = 500.548 см ²

Відповідь: площа бічної поверхні піраміди становить 500.548 см²

Спочатку обчислимо площу бічної поверхні піраміди. Під бічною поверхнею мається на увазі сума площ усіх бічних граней. Якщо ви маєте справу з правильною пірамідою (тобто такою, в основі якої лежить правильний багатокутник, а вершина проектується в центр цього багатокутника), то для обчислення всієї бічної поверхні достатньо помножити периметр основи (тобто суму довжин усіх сторін багатокутника, що лежить в основі піраміди) на висоту бічної грані (інакше званої апофемою) і розділити отримане значення на 2: Sб = 1/2P * h, де Sб - це площа бічної поверхні, P - периметр основи, h - висота бічної грані (апофема).

Якщо перед вами довільна піраміда, доведеться окремо обчислювати площі всіх граней, та був їх складати. Оскільки бічними гранями піраміди є трикутники, скористайтеся формулою площі трикутника: S=1/2b*h, де b - це основа трикутника, а h - висота. Коли площі всіх граней обчислені, залишається лише скласти їх, щоб отримати площу бічної поверхні піраміди.

Потім необхідно обчислити площу основи піраміди. Вибір формули для розрахунку залежить від того, який багатокутник лежить у підставі піраміду: правильний (тобто такий, усі сторони якого мають однакову довжину) чи неправильний. Площу правильного багатокутника можна обчислити, помноживши периметр на радіус вписаного в багатокутник кола і поділивши отримане значення на 2: Sn=1/2P*r, де Sn - це площа багатокутника, P - це периметр, а r - це радіус вписаного в багатокутник кола .

Усічена піраміда – це багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі. Визначити площу бічної поверхні піраміди дуже легко. Її дуже проста: площа дорівнює добутку половини суми підстав з апофему. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні усіченої піраміди. Допустимо, дана правильна чотирикутна піраміда. Довжини основи дорівнюють b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Щоб знайти площу бічної поверхні піраміди, потрібно спочатку знайти периметр основ. У великій підставі він дорівнює p1=4b=4*5=20 см. У меншій підставі формула буде наступною: p2=4c=4*3=12 см. Отже, площа дорівнюватиме: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 див.

Піраміда – це багатогранник, одна з граней якого (основа) – довільний багатокутник, інші грані (бокові) – трикутники, мають спільну вершину. За кількістю кутів основи піраміди бувають трикутні (тетраедр), чотирикутні тощо.

Піраміда є багатогранником, що має основу у вигляді багатокутника, а інші грані є трикутниками із загальною вершиною. Апофемою називається висота бічної грані правильної піраміди, яка з її вершини.

– це багатогранна постать, основу якої лежить багатокутник, інші грані представлені трикутниками із загальної вершиною.

Якщо в основі лежить квадрат, то піраміду називається чотирикутний, якщо трикутник - то трикутної. Висота піраміди проводиться з її вершини перпендикулярно до основи. Також для розрахунку площі використовується апофема- Висота бічної грані, опущена з її вершини.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ її бічних граней, які рівні між собою. Однак цей спосіб розрахунку застосовується дуже рідко. В основному площа піраміди розраховується через периметр основи та апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.

Нехай дана піраміда з основою ABCDE та вершиною F . AB =BC =CD =DE =EA =3 см. Апофема a = 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.
Знайдемо периметр. Оскільки всі грані основи рівні, то периметр п'ятикутника дорівнюватиме:
Тепер можна знайти бічну площу піраміди:

Площа правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда складається з основи, в якій лежить правильний трикутник і трьох бічних граней, які рівні площі.
Формула площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди може бути розрахована у різний спосіб. Можна застосувати звичайну формулу розрахунку через периметр та апофему, а можна знайти площу однієї грані та помножити її на три. Оскільки грань піраміди – це трикутник, то застосуємо формулу площі трикутника. Для неї буде потрібна апофема і довжина основи. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Дано піраміду з апофемою a = 4 см і гранню основи b = 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Для початку знаходимо площу однієї з бічних граней. У цьому випадку вона буде:
Підставляємо значення у формулу:
Так як у правильній піраміді всі бічні сторони однакові, то площа бічної поверхні піраміди дорівнюватиме сумі площ трьох граней. Відповідно:

Площа усіченої піраміди

Усіченоюпірамідою називається багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі.
Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди дуже проста. Площа дорівнює добутку половини суми периметрів підстав на апофему:

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.