Сьогодні розглянемо завдання B8 з тригонометрією у її класичному розумінні, де вивчаються звичайні. прямокутні трикутники. Тому жодних тригонометричних кіл і негативних кутів сьогодні не буде — лише звичайні синуси та косинуси.
Такі завдання становлять приблизно 30% від загальної кількості. Пам'ятайте: якщо завдання B8 хоч раз згадується кут π , вона вирішується зовсім іншими способами. Ми обов'язково розглянемо їх найближчим часом. А зараз – головне визначення уроку:
Трикутник - фігура на площині, що складається з трьох точок та відрізків, що їх з'єднують. Фактично це замкнута ламана з трьох ланок. Крапки називаються вершинами трикутника, а відрізки - сторонами. Важливо зауважити, що вершини не повинні лежати на одній прямій, інакше трикутник вироджується у відрізок.
Досить часто трикутником називають не тільки саму ламану, але й частину площини, яка обмежена цією ламаною. Таким чином, можна визначити площу трикутника.
Два трикутники називаються рівними, якщо один можна отримати з іншого шляхом одного або кількох рухів площини: зсуву, повороту або симетрії. Крім того, існує поняття подібних трикутників: їхні кути рівні, а відповідні сторони є пропорційними.
Це трикутник ABC. Більше того, це прямокутний трикутник: у ньому ∠C = 90°. Саме такі найчастіше зустрічаються в задачі B8.
Все, що треба знати для розв'язання задачі B8 – це кілька простих фактів із геометрії та тригонометрії, а також загальна схема розв'язання, в якій ці факти використовуються. Потім залишиться просто «набити руку».
Почнемо із фактів. Вони розбиті на три групи:
- Визначення та наслідки з них;
- Основні тотожності;
- Симетрії у трикутнику.
Не можна сказати, що якась із цих груп важливіша, складніша чи простіша. Але інформація, що міститься в них, дозволяє вирішити будь-яке завдання B8. Тож знати треба все. Тож поїхали!
Група 1: визначення та наслідки з них
Розглянемо трикутник ABC, де ∠C — прямий. Для початку - визначення:
Синус кута - це відношення протилежного катета до гіпотенузи.
Косинус кута - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Тангенс кута - це відношення протилежного катета до прилеглого.
Один кут або відрізок може входити до різних прямокутних трикутників. Більш того, дуже часто той самий відрізок є катетом в одному трикутнику і гіпотенузою - в іншому. Але про це далі, а поки що працюватимемо зі звичайним кутом А . Тоді:
- sin A = BC: AB;
- cos A = AC: AB;
- tg A = BC: AC.
Основні наслідки з визначення:
- sin A = cos B; cos A = sin B — найчастіше використовувані наслідки
- tg A = sin A : cos A — зв'язує тангенс, синус та косинус одного кута
- Якщо ∠A + ∠B = 180 °, тобто. кути суміжні, то: sin A = sin B; cos A = -cos B.
Хочете – вірте, хочете – ні, але цих фактів достатньо, щоб вирішити приблизно третину всіх тригонометричних завдань B8.
Група 2: основні тотожності
Перша і найголовніша тотожність — теорема Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Стосовно трикутника ABC, розглянутому вище, цю теорему можна записати так:
AC 2 + BC 2 = AB 2
І відразу - невелике зауваження, яке вбереже читача від багатьох помилок. Коли вирішуєте завдання, завжди (чуйте, завжди!) Записуйте теорему Піфагора саме в такому вигляді. Не намагайтеся відразу висловлювати катет, як це потрібно. Можливо, ви заощадите пару рядків обчислень, але саме на цій «економії» було втрачено більше балів, ніж будь-де в геометрії.
Друга тотожність — із тригонометрії. Виглядає наступним чином:
sin 2 A + cos 2 A = 1
Воно так і називається: основне тригонометричне тотожність. З його допомогою можна через синус виразити косинус і навпаки.
Група 3: Симетрії у трикутнику
Те, що написано нижче, стосується лише рівнобедрених трикутників. Якщо завдання такої не фігурує, то для вирішення достатньо фактів з перших двох груп.
Отже, розглянемо рівнобедрений трикутник ABC де AC = BC . Проведемо до основи висоту CH. Отримаємо такі факти:
- ∠A = ∠B. Як наслідок, sin A = sin B; cos A = cos B; tg A = tg B.
- CH - як висота, а й бісектриса, тобто. ∠ACH = ∠BCH. Аналогічно рівні і тригонометричні функції цих кутів.
- Також CH - це медіана, тому AH = BH = 0,5 · AB.
Тепер коли всі факти розглянуті, перейдемо безпосередньо до методів вирішення.
Загальна схема розв'язання задачі B8
Геометрія відрізняється від алгебри тим, що в ній немає простих та універсальних алгоритмів. Кожне завдання доводиться вирішувати з нуля — і це складність. Проте загальні рекомендації дати все-таки можна.
Для початку слід позначити невідому сторону (якщо така є) за X . Потім застосовуємо схему рішення, що складається із трьох пунктів:
- Якщо задачі є рівнобедрений трикутник, застосувати до нього всі можливі факти з третьої групи. Знайдіть рівні кути та виразіть їх тригонометричні функції. Крім того, рівнобедрений трикутник рідко буває прямокутним. Тому шукайте завдання прямокутні трикутники — вони там обов'язково є.
- Застосувати до прямокутного трикутника факти з першої групи. Кінцева мета – отримати рівняння щодо змінної X . Знайдемо X — розв'яжемо завдання.
- Якщо фактів із першої групи виявилося недостатньо, застосовуємо факти із другої групи. І знову шукаємо X.
Приклади розв'язання задач
А тепер спробуємо за допомогою набутих знань вирішити найпоширеніші завдання B8. Не дивуйтеся, що з таким арсеналом текст рішення виявиться не набагато довшим за вихідну умову. І це радує:)
Завдання. У трикутнику ABC кут C дорівнює 90°, AB = 5, BC = 3. Знайдіть cos A .
За визначенням (група 1) cos A = AC : AB . Гіпотенуза AB нам відома, а ось катет AC доведеться шукати. Позначимо його AC = x.
Переходимо до групи 2. Трикутник ABC прямокутний. За теоремою Піфагора:
AC 2 + BC 2 = AB 2;
x 2 + 3 2 = 5 2;
x 2 = 25 − 9 = 16;
х = 4.
Тепер можна знайти косинус:
cos A = AC: AB = 4: 5 = 0,8.
Завдання. У трикутнику ABC кут B дорівнює 90°, cos A = 4/5, BC = 3. BH – висота. Знайдіть AH.
Позначимо шуканий бік AH = x і розглянемо трикутник ABH. Він прямокутний, причому ∠AHB = 90° за умовою. Тому cos A = AH: AB = x: AB = 4/5. Це пропорція, її можна переписати так: 5 · x = 4 · AB. Очевидно, ми знайдемо x, якщо знатимемо AB.
Розглянемо трикутник ABC. Він також прямокутний, причому cos A = AB: AC. Ні AB, ні AC нам не відомі, тому переходимо до другої групи фактів. Запишемо основне тригонометричне тотожність:
sin 2 A + cos 2 A = 1;
sin 2 A = 1 − cos 2 A = 1 − (4/5) 2 = 1 − 16/25 = 9/25.
Оскільки тригонометричні функції гострого кута є позитивними, отримуємо sin A = 3/5. З іншого боку, sin A = BC: AC = 3: AC. Отримуємо пропорцію:
3: AC = 3: 5;
3 · AC = 3 · 5;
AC = 5.
Отже, AC = 5. Тоді AB = AC · cos A = 5 · 4/5 = 4. Нарешті знаходимо AH = x :
5 · x = 4 · 4;
x = 16/5 = 3,2.
Завдання. У трикутнику ABC AB = BC, AC = 5, cos C = 0,8. Знайдіть висоту CH.
Позначимо шукану висоту CH = x. Перед нами рівнобедрений трикутник ABC, у якому AB = BC. Отже, із третьої групи фактів маємо:
∠A = ∠C ⇒ cos A = cos C = 0,8
Розглянемо трикутник ACH. Він прямокутний (∠H = 90°), причому AC = 5 та cos A = 0,8. За визначенням, cos A = AH : AC = AH : 5. Отримуємо пропорцію:
AH: 5 = 8: 10;
10 · AH = 5 · 8;
AH = 40: 10 = 4.
Залишилося скористатися другою групою фактів, а саме теоремою Піфагора для трикутника ACH:
AH 2 + CH 2 = AC 2;
4 2 + х 2 = 5 2;
x 2 = 25 - 16 = 9;
х = 3.
Завдання. У прямокутному трикутнику ABC ∠B = 90°, AB = 32, AC = 40. Знайдіть синус кута CAD .
Оскільки нам відома гіпотенуза AC = 40 і катет AB = 32, можна знайти косинус кута A: cos A = AB: AC = 32: 40 = 0,8. Це був факт із першої групи.
Знаючи косинус, можна знайти синус через основне тригонометричне тотожність (факт із другої групи):
sin 2 A + cos 2 A = 1;
sin 2 A = 1 − cos 2 A = 1 − 0,8 2 = 0,36;
sin A = 0,6.
При знаходженні синуса знову використали той факт, що тригонометричні функції гострого кута позитивні. Залишилося зауважити, що кути BAC та CAD суміжні. З першої групи фактів маємо:
∠BAC + ∠CAD = 180 °;
sin CAD = sin BAC = sin A = 0,6.
Завдання. У трикутнику ABC AC = BC = 5, AB = 8, CH – висота. Знайдіть tg A.
Трикутник ABC – рівнобедрений, CH – висота, тому зауважимо, що AH = BH = 0,5 · AB = 0,5 · 8 = 4. Це факт із третьої групи.
Тепер розглянемо трикутник ACH: у ньому ∠AHC = 90°. Можна висловити тангенс: tg A = CH: AH. Але AH = 4, тому залишається знайти сторону CH, яку позначимо CH = x. По теоремі Піфагора (факт із групи 2) маємо:
AH 2 + CH 2 = AC 2;
4 2 + х 2 = 5 2;
x 2 = 25 - 16 = 9;
х = 3.
Тепер все готове знайти тангенс: tg A = CH : AH = 3: 4 = 0,75.
Завдання. У трикутнику ABC AC = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Знайдіть висоту AH.
Позначимо шукану висоту AH = x. Знову трикутник ABC — рівнобедрений, тому зауважимо, що ∠A = ∠B, отже, cos B = cos A = 3/5. Це факт із третьої групи.
Розглянемо трикутник ABH. За умовою він прямокутний (∠AHB = 90°), причому відома гіпотенуза AB = 6 і cos B = 3/5. Але cos B = BH: AB = BH: 6 = 3/5. Отримали пропорцію:
BH: 6 = 3: 5;
5 · BH = 6 · 3;
BH = 18/5 = 3,6.
Тепер знайдемо AH = x за теоремою Піфагора для трикутника ABH :
AH 2 + BH 2 = AB 2;
x 2 + 3,6 2 = 6 2;
x 2 = 36 - 12,96 = 23,04;
х = 4,8.
Додаткові міркування
Бувають нестандартні завдання, де розглянуті вище факти та схеми марні. На жаль, у такому разі потрібен справді індивідуальний підхід. Подібні завдання люблять давати на всіляких «пробних» та «демонстраційних» іспитах.
Нижче наведено два реальні завдання, які пропонувалися на пробному ЄДІ у Москві. Впоралися з ними одиниці, що свідчить про високу складність цих завдань.
Завдання. У прямокутному трикутнику ABC із кута C = 90° провели медіану та висоту. Відомо, що A = 23°. Знайдіть ∠MCH.
Зауважимо, що медіана CM проведена до гіпотенузи AB тому M — центр описаного кола, тобто. AM = BM = CM = R , де R - радіус описаного кола. Отже, трикутник ACM — рівнобедрений і ∠ACM = ∠CAM = 23°.
Тепер розглянемо трикутники ABC та CBH. За умовою, обидва трикутники прямокутні. Крім того, ∠B – загальний. Отже, трикутники ABC і CBH подібні до двох кутів.
У подібних трикутниках відповідні елементи пропорційні. Зокрема:
BCH = BAC = 23 °
Нарешті розглянемо ∠C . Він прямий, і, крім того, ∠C = ∠ACM + ∠MCH + ∠BCH . У цій рівності ∠MCH — шуканий, а ∠ACM та ∠BCH відомі та рівні 23°. Маємо:
90 ° = 23 ° + MCH + 23 °;
MCH = 90 ° - 23 ° - 23 ° = 44 °.
Завдання. Периметр прямокутника дорівнює 34, а площа дорівнює 60. Знайдіть діагональ цього прямокутника.
Позначимо сторони прямокутника: AB = x, BC = y. Виразимо периметр:
P ABCD = 2 · (AB + BC) = 2 · (x + y) = 34;
x+y=17.
Аналогічно виразимо площу: S ABCD = AB · BC = x · y = 60.
Тепер розглянемо трикутник ABC. Він прямокутний, тому запишемо теорему Піфагора:
AB 2 + BC 2 = AC 2;
AC 2 = x 2 + y 2.
Зауважимо, що з формули квадрата різниці випливає рівність:
x 2 + y 2 = (x + y ) 2 − 2 · x · y = 17 2 − 2 · 60 = 289 − 120 = 169
Отже, AC2=169, звідки AC=13.
Трикутник має чудову властивість — це жорстка постать, тобто. при постійній довжині сторін не можна змінити форму трикутника. Ця властивість трикутника робить його незамінним у техніці та будівництві. Елементи конструкції у формі трикутника зберігають свою форму, на відміну, наприклад, елементів у формі квадрата або паралелограма. Крім того, трикутник є найпростішим багатокутником, і будь-який багатокутник можна представити у вигляді набору трикутників.
Основні властивості та формули трикутника
Позначення: A, B, C - кути трикутника,
a, b, c - протилежні сторони,
R - радіус описаного кола,
r - радіус вписаного кола,
p - напівпериметр, (a + b + c) / 2,
S – площа трикутника.
Сторони трикутника пов'язані наступними нерівностями
a ≤ b + c
b ≤ a + c
c ≤ a + b
У разі виконання рівності в одному з них трикутник називається виродженим. Далі скрізь передбачається невироджений випадок.
Трикутник можна однозначно (з точністю до зсуву та повороту) визначити за наступними трійками основних елементів:
a, b, c - по трьох сторонах;
a, b, C - з обох боків і куту між ними;
a, B, C - збоку і двом прилеглим до неї кутам.
Сума кутів будь-якого трикутника постійна
A + B + C = 180 °
1. Прямокутний трикутник. Визначення тригонометричних функцій.
Розглянемо прямокутний трикутник, показаний малюнку.Кут B = 90 ° (прямий).
Функція синус: sin(A) = a/b.
Функція косинус: cos(A) = c/b.
Функція тангенс: tg(A) = a/c.
Функція котангенс: ctg(A) = c/a.
2. Прямокутний трикутник. Тригонометричні формули.
a = b * sin(A)c = b * cos(A)
a = c * tg(A)
Див. також:
- Теорема Піфагора – кілька простих доказів теореми.
3. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.
b 2 = a 2 + c 2За допомогою теореми Піфагора можна побудувати прямий кут, якщо під рукою немає відповідних інструментів, наприклад, косинця. За допомогою двох лінійок або двох шматків мотузки відміряємо катети довжиною 3 і 4. Потім зрушуємо або розсуваємо їх, доки довжина гіпотенузи не стане рівною 5 (3 2 + 4 2 = 5 2).
На станиці Теорема Піфагора наведено кілька простих доказів теореми.
"Властивості прямокутного трикутника" - Доказ. Сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. Перше властивість. Розглянемо прямокутний трикутник АВС, у якому? А-прямий, ? В = 30 ° і значить? З = 60 °. Друга властивість. Друга властивість Друга властивість Третя властивість Завдання. Розглянемо прямокутний трикутник АВС, у якого катет АС дорівнює половині гіпотенузи ПС.
«Тригонометрія» – основні формули плоскої тригонометрії. Котангенс - відношення косинуса до синуса (тобто величина, обернена до тангенсу). Тригонометрія. Для гострих кутів нові визначення співпадають із колишніми. Площа трикутника: Косинус – відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Менелай Олександрійський (100 н. Е..) Написав «Сферику» у трьох книгах.
"Завдання на прямокутний трикутник" - Доказом ознак рівності трикутників займалися ще піфагорійці. У Єгипті Фалес застряг на багато років, вивчаючи науки у Фівах та Мемфісі. Біографія Фалес. Неподалік воріт стояв величний храм Аполлона з мармуровими жертовниками та статуями. Мілет – батьківщина Фалеса. У далекі подорожі вирушали мілетські торговці-моряки.
«Прямокутний паралелепіпед» - Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними. Паралелепіпед – шестигранник, усі грані якого (підстави) – паралелограми. Об'єм прямокутного паралелепіпеда. Слово зустрічалося у давньогрецьких вчених Евкліда та Герона. Довжина ширина висота. Паралелепіпед, усі грані якого квадрати, називається кубом.
«Тригонометрія 10 клас» - Відповіді. 1 варіант (2 варіант) Обчисліть: Робота з тестами. Математичний диктант. Історична довідка. Робота біля дошки. "Перетворення тригонометричних виразів". Щоб легше всім жилося, щоб вирішувалося, щоб могло. Доказ тотожностей.
«Об'єм прямокутного паралелепіпеда» - Які ребра дорівнюють ребру АЕ? Відрізок. Пам'ятка для знаходження площі поверхні прямокутного паралелепіпеда. Рівні. Квадрати. 5. У куба усі ребра рівні. Розв'язання задач. Математика 5 клас. Кубом. Довжини, ширини та висоти. (Плоска, об'ємна). Які вершини належать до основи? 4. У паралелепіпеда 8 ребер.
Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат - борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ і площа такого "борщового" прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються у рецептах приготування борщу.
Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб це зрозуміти, нам знадобляться лінійні кутові функції.
У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.
Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.
Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони вирішувати не вміють. Дивіться. Якщо нам відомий результат складання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Усе. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два доданки за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути одне доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути друге доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на доданки може знадобитися.
Ще один закон складання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.
На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у області описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць виміру різних об'єктів, ми зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з діями. Буквою Wя позначу воду, літерою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.
Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.
І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.
Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.
Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.
Як бачите, той самий закон складання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.
Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься за різних значень кута лінійних кутових функцій.
Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).
Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Досить один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.
Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. Ми маємо багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.
Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мене кухарі, це просто математика).
Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.
Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))
Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречні.
Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.
Поява математики на планеті.
Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.
субота, 26 жовтня 2019 р.
середа, 7 серпня 2019 р.
Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:
Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:
Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.
Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики і намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути невичерпне".
Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Спочатку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує - одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа добре вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.
Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх ніде. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона вже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з вже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:
Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.
Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншого безлічі натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:
Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.
Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.
Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою помилкових міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).
pozg.ru
неділя, 4 серпня 2019 р.
Дописував постскриптум до статті про та побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:
Читаємо: "... багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."
Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто у мене вийшло таке:
Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.
За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.
субота, 3 серпня 2019 р.
Як поділити безліч на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, що є частиною елементів обраної множини. Розглянемо приклад.
Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня в людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає - множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.
Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Звичайно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосована математика у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, насправді перетворень зроблено все правильно, досить знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.
Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одне надмножина можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.
Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, є те, що для теорії множин математики вигадали власну мову та власні позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.
На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з .
понеділок, 7 січня 2019 р.
У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той же бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Ця міра стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Арістотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони так чи інакше розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід має на увазі застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблений, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, то все стає на свої місця. Ахіллес біжить із постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно говоритиме "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха у той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.
Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.
Стріла, що летить, нерухома, тому що в кожен момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожен момент часу, то вона спочиває завжди.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. По одній фотографії автомобіля на дорозі неможливо визначити факт його руху, ні відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.
А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама безліч або дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.
Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. В чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.
Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" дійти такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їх "наукового" арсеналу.
За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.
Тригонометричні співвідношення (функції) у прямокутному трикутнику
Співвідношення сторін трикутника є основою тригонометрії та геометрії. Більшість завдань зводиться до використання властивостей трикутників та кіл, а також прямих. Розглянемо, що таке тригонометричні співвідношення простою мовою.
Тригонометричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику називаються співвідношення довжин його сторін. При цьому таке співвідношення завжди одне й те саме по відношенню до кута, що лежить між сторонами, співвідношення між якими має бути обчислене.
На малюнку позначено прямокутний трикутник ABC.
Розглянемо тригонометричні співвідношення його сторін щодо кута A (на малюнку він також позначений грецькою літерою α).
Візьмемо до уваги, що сторона AB трикутника є його гіпотенузою. Сторона AC є катетом, прилеглим до кута αа сторона BC є катетом, протилежному куту α.
Щодо кута α у прямокутному трикутнику існують наступні співвідношення:
Косинусом кутаназивається відношення катета, що прилягає до нього, до гіпотенузи даного прямокутного трикутника. (див. що таке косинус та його властивості).
На малюнку косинусом кута є співвідношення cos α =AC/AB(Прилежний катет ділити на гіпотенузу).
Зверніть увагу, що для кута β прилеглим катетом є сторона BC, тому cos β = BC/AB. Тобто тригонометричні співвідношення обчислюються відповідно до положення сторін прямокутного трикутника щодо кута.
При цьому літерні позначення можуть бути будь-якими. Важливо лише взаємне розташуваннякута та сторін прямокутного трикутника.
Синусом кутаназивається співвідношення протилежного до нього катета до гіпотенузи прямокутного трикутника (див. що таке синус та його властивості).
На малюнку синусом кута α є співвідношення sin α = BC/AB(Протилежний катет ділити на гіпотенузу).
Оскільки для визначення синуса важливими є взаємне розташування сторін прямокутного трикутника щодо заданого кута, то для кута β функція синуса буде sin β = AC/AB.
Тангенсом кутаназивається співвідношення протилежного даному куту катета до катета прямокутного трикутника (див. що таке тангенс і його властивості).
На малюнку тангенс кута α дорівнює співвідношенню tg α = BC/AC. (протилежний куту катет ділити на прилеглий катет)
Для кута β, керуючись принципами взаємного розташування сторін, тангенс кута можна буде обчислити як tg β = AC/BC.
Котангенсом кутаназивається співвідношення катета, що прилягає даному куту, на протилежний катет прямокутного трикутника. Як видно з визначення, котангенс - ця функція, пов'язана з співвідношенням тангенсом 1/tg α . Тобто, вони взаємно зворотні.
Завдання. Знайти тригонометричні співвідношення у трикутнику
У трикутнику АВС кут С дорівнює 90 градусів. cos α = 4/5. Надіти sin α, sin βРішення. 
Оскільки cos α = 4/5, то AC/AB = 4/5. Тобто сторони співвідносяться як 4:5. Позначимо довжину AC як 4x тоді AB = 5x.
За теоремою Піфагора:
BC 2 + AC 2 = AB 2
Тоді
BC 2 + (4х) 2 = (5х) 2
BC 2 + 16х2 = 25х2
BC 2 = 9х2
BC = 3x
Sin α = BC / AB = 3x / 5x = 3/5
sin β = AC / AB, яке значення і так відомо за умовою, тобто 4/5