Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (крапок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. В… … Енциклопедія Кольєра
Геометрія просторів розмірності, більшої за три; термін застосовується до тих просторів, геометрія яких була спочатку розвинена для випадку трьох вимірювань і тільки потім узагальнена на число вимірювань n>3, перш за все евклідове простір, ... Математична енциклопедія
N мірна евклідова геометрія узагальнення евклідової геометрії на простір більшої кількості вимірів. Хоча фізичний простір є тривимірним, і людські органи почуттів розраховані на сприйняття трьох вимірів, N мірна ... Вікіпедія
Цей термін має й інші значення, див. Пірамідацу (значення). Вірогідність цього розділу статті поставлена під сумнів. Необхідно перевірити точність фактів, викладених у цьому розділі. На сторінці обговорення можуть бути … Вікіпедія
- (Constructive Solid Geometry, CSG) технологія, що використовується у моделюванні твердих тіл. Конструктивна блокова геометрія найчастіше, але не завжди, є способом моделювання в тривимірній графіці та САПР. Вона дозволяє створити складну сцену чи … Вікіпедія
Конструктивна блокова геометрія (Constructive Solid Geometry, CSG) – технологія, що використовується в моделюванні твердих тіл. Конструктивна блокова геометрія найчастіше, але не завжди, є способом моделювання в тривимірній графіці та САПР. Вона… … Вікіпедія
Цей термін має й інші значення, див. Обсяг (значення). Обсяг це адитивна функція від множини (заходу), що характеризує місткість області простору, яку вона займає. Спочатку виникло і застосовувалося без строгого ... Вікіпедія
Куб Тип Правильний багатогранник Грань квадрат Вершин Рёбер Граней … Вікіпедія
Обсяг це адитивна функція від множини (заходу), що характеризує місткість області простору, яку вона займає. Спочатку виникло і застосовувалося без строгого визначення щодо тривимірних тіл тривимірного евклідового простору.
Частина простору, обмежена сукупністю кінцевого числа плоских багатокутників (див. ГЕОМЕТРІЯ), з'єднаних таким чином, що кожна сторона будь-якого багатокутника є стороною рівно одного іншого багатокутника (називається… Енциклопедія Кольєра
За допомогою цього відеоуроку всі бажаючі зможуть самостійно ознайомитись із темою «Поняття багатогранника. Призма. Площа поверхні призми. Під час заняття вчитель розповість у тому, що є такі геометричні постаті, як багатогранник і призми, дасть відповідні визначення і пояснить їх суть на конкретних прикладах.
За допомогою цього уроку всі бажаючі зможуть самостійно ознайомитись із темою «Поняття багатогранника. Призма. Площа поверхні призми.
Визначення. Поверхня, що складається з багатокутників і обмежує деяке геометричне тіло, називатимемо багатогранною поверхнею або багатогранником.
Розглянемо такі приклади багатогранників:
1. Тетраедр ABCD- Це поверхня, складена з чотирьох трикутників: АВС, ADB, BDCі ADC(Рис. 1).
Рис. 1
2. Паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- Це поверхня, складена з шести паралелограмів (рис. 2).
Рис. 2
Основними елементами багатогранника є грані, ребра, вершини.
Грані - це багатокутники, що становлять багатогранник.
Ребра – це сторони граней.
Вершини – це кінці ребер.
Розглянемо тетраедр ABCD(Рис. 1). Зазначимо його основні елементи.
Грані: трикутники АВС, ADB, BDC, ADC.
Ребра: АВ, АС, НД, DC, AD, BD.
Вершини: А, В, З, D.
Розглянемо паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Рис. 2).
Грані: паралелограми АА 1 D 1 D, D 1 DСС 1 , ВВ 1 З 1 З, АА 1 В 1 В, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .
Ребра: АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.
Вершини: A, B, C, D, A1, B1, C1, D1.
Важливим окремим випадком багатогранника є призма.
АВСА 1 В 1 З 1(Рис. 3).
Рис. 3
Рівні трикутники АВСі А 1 В 1 З 1розташовані в паралельних площинах α і β так, що ребра АА 1, ВВ 1, СС 1паралельні.
Тобто АВСА 1 В 1 З 1- трикутна призма, якщо:
1) Трикутники АВСі А 1 В 1 З 1рівні.
2) Трикутники АВСі А 1 В 1 З 1розташовані в паралельних площинах α та β: ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Ребра АА 1, ВВ 1, СС 1паралельні.
АВСі А 1 В 1 З 1- Підстави призми.
АА 1, ВВ 1, СС 1- Бічні ребра призми.
Якщо з довільної точки Н 1однієї площини (наприклад, β) опустити перпендикуляр ПН 1на площину α, цей перпендикуляр називається висотою призми.
Визначення. Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, то призма називається прямою, а інакше - похилою.
Розглянемо трикутну призму АВСА 1 В 1 З 1(Рис. 4). Ця призма – пряма. Тобто, її бічні ребра перпендикулярні до основ.
Наприклад, ребро АА 1перпендикулярно до площини АВС. Ребро АА 1є висотою цієї призми.
Рис. 4
Зауважимо, що бічна грань АА 1 В 1 Вперпендикулярна до основ АВСі А 1 В 1 З 1оскільки вона проходить через перпендикуляр. АА 1до основ.
Тепер розглянемо похилий призму АВСА 1 В 1 З 1(Рис. 5). Тут бічне ребро не перпендикулярне площині основи. Якщо опустити з точки А 1перпендикуляр А 1 Нна АВС, цей перпендикуляр буде висотою призми. Зауважимо, що відрізок АН- це проекція відрізка АА 1на площину АВС.
Тоді кут між прямою АА 1та площиною АВСце кут між прямою АА 1і її АНпроекцією на площину, тобто кут А 1 АН.
Рис. 5
Розглянемо чотирикутну призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Рис. 6). Розглянемо, як вона виходить.
1) Чотирьохкутник ABCDдорівнює чотирикутнику A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.
2) Чотирикутники ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Чотирикутники ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1розташовані так, що бічні ребра паралельні, тобто: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.
Визначення. Діагональ призми - це відрізок, що сполучає дві вершини призми, що не належать до однієї грані.
Наприклад, АС 1- діагональ чотирикутної призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Визначення. Якщо бічне ребро АА 1перпендикулярно до площини основи, то така призма називається прямою.
Рис. 6
Приватним випадком чотирикутної призми є відомий паралелепіпед. Паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1зображено на рис. 7.
Розглянемо, як він влаштований:
1) В основі лежать рівні фігури. В даному випадку – рівні паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.
2) Паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1лежать у паралельних площинах α та β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).
3) Паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1розташовані таким чином, що бічні ребра паралельні між собою: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.
Рис. 7
З точки А 1опустимо перпендикуляр АНна площину АВС. Відрізок А 1 Нє заввишки.
Розглянемо, як влаштовано шестикутну призму (рис. 8).
1) В основі лежать рівні шестикутники ABCDEFі A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.
2) Площини шестикутників ABCDEFі A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1паралельні, тобто основи лежать у паралельних площинах: ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Шестикутники ABCDEFі A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1розташовані так, що всі бічні ребра між собою паралельні: АА 1 ║ВВ 1 …║FF 1.
Рис. 8
Визначення. Якщо якесь бічне ребро перпендикулярно площині основи, то така шестикутна призма називається прямою.
Визначення. Пряма призма називається правильною, якщо її основи – правильні багатокутники.
Розглянемо правильну трикутну призму АВСА 1 В 1 З 1.
Рис. 9
Трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- правильна, це, що у підставах лежать правильні трикутники, тобто всі сторони цих трикутників рівні. Також ця призма – пряма. Отже, бічне ребро перпендикулярно площині основи. А це означає, що всі бічні грані – рівні прямокутники.
Отже, якщо трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- правильна, то:
1) Бокове ребро перпендикулярно площині основи, тобто є висотою: AA 1 ⊥ АВС.
2) В основі лежить правильний трикутник: ∆ АВС- правильний.
Визначення. Площею повної поверхні призми називається сума площ її граней. позначається S повний.
Визначення. Площею бічної поверхні називається сума площ усіх бічних граней. позначається S бік.
Призма має дві підстави. Тоді площа повної поверхні призми:
S повн = S бік + 2S осн.
Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми.
Доказ проведемо з прикладу трикутної призми.
Дано: АВСА 1 В 1 З 1- Пряма призма, тобто. АА 1 ⊥ АВС.
АА1 = h.
Довести: S бік = Р осн ∙ h.
Рис. 10
Доказ.
Трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- Пряма, значить, АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С -прямокутники.
Знайдемо площу бічної поверхні як суму площ прямокутників АА 1 В 1 В, АА 1 З 1 З, ВВ 1 З 1 З:
S бік = АВ∙h+ВС∙h+СА∙h=(AB+ВС+CA)∙h=P осн∙h.
Отримуємо, S бік = Р осн ∙ h,що і потрібно було довести.
Ми познайомилися з багатогранниками, призмою, її різновидами. Довели теорему про бічній поверхні призми. На наступному уроці ми вирішуватимемо завдання на призму.
- Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене та доповнене - М.: Мнемозіна, 2008. - 288 с. : іл.
- Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
- Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. :іл.
- Яклас ().
- Shkolo.ru ().
- Стара школа ().
- WikiHow ().
- Яка мінімальна кількість граней може мати призма? Скільки вершин, ребер у такої призми?
- Чи існує призма, яка має точно 100 ребер?
- Бокове ребро нахилено до поверхні під кутом 60°. Знайдіть висоту призми, якщо бічне ребро дорівнює 6 див.
- У прямій трикутній призмі усі ребра рівні. Площа її бічної поверхні становить 27 см2. Знайдіть площу повної поверхні призми.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.
Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.
Опис презентації з окремих слайдів:
1 слайд
Опис слайду:
2 слайд
Опис слайду:
Визначення 1. Багатогранник, дві грані якого - однойменні багатокутники, що лежать у паралельних площинах, а будь-які два ребра, що не лежать у цих площинах, є паралельними, називається призмою. Термін "призму" грецького походження і буквально означає "відпиляне" (тіло). Багатокутники, що у паралельних площинах, називають підставами призми, інші грані - бічними гранями. Поверхня призми, таким чином, складається з двох рівних багатокутників (підстав) та паралелограмів (бічних граней). Розрізняють призми трикутні, чотирикутні, п'ятикутні тощо. залежно від кількості вершин основи.
3 слайд
Опис слайду:
Усі призми поділяються на прямі та похилі. (рис. 2) Якщо бічне ребро призми перпендикулярне площині її основи, то таку призму називають прямою; якщо бічне ребро призми перпендикулярно до площини її основи, то таку призму називають похилою. У прямої призми бічні грані – прямокутники. Перпендикуляр до площин підстав, кінці якого належать цим площинам, називають висотою призми.
4 слайд
Опис слайду:
Властивості призми. 1. Підстави призми є рівними багатокутниками. 2. Бічні грані призми є паралелограмами. 3. Бічні ребра призми рівні.
5 слайд
Опис слайду:
Площа поверхні призми та площа бічної поверхні призми. Поверхня багатогранника складається з кінцевого числа багатокутників (гранів). Площа поверхні багатогранника є сумою площ усіх його граней. Площа поверхні призм (Sпр) дорівнює сумі площ її бічних граней (площі бічної поверхні Sбок) та площ двох основ (2Sосн) - рівних багатокутників: Sпов=Sбок+2Sосн. Теорема. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу і довжини бічного ребра.
6 слайд
Опис слайду:
Доказ. Бічні грані прямої призми - прямокутники, основи яких сторони основи призми, а висоти рівні висоті h призми. Sбік поверхні призми дорівнює сумі S зазначених трикутників, тобто. дорівнює сумі творів сторін основи висоту h. Виносячи множник h за дужки, отримаємо у дужках суму сторін підстави призми, тобто. периметр P. Отже, Sбок = Ph. Теорему доведено. Наслідок. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи та висоти. Дійсно, у прямої призми основу можна розглядати як перпендикулярне перетин, а бічне ребро є висота.
7 слайд
Опис слайду:
Переріз призми 1. Перетин призми площиною, паралельною до основи. У перетині утворюється багатокутник, рівний багатокутнику, що лежить на підставі. 2. Перетин призми площиною, що проходить через два не сусідні бічні ребра. У перетині утворюється паралелограм. Такий переріз називається діагональним перетином призми. У деяких випадках може бути ромб, прямокутник або квадрат.
8 слайд
Опис слайду:
9 слайд
Опис слайду:
Визначення 2. Пряма призма, основою якої є правильний багатокутник, називається правильною призмою. Властивості правильної призми 1. Заснування правильної призми є правильними багатокутниками. 2. Бічні грані правильної призми є рівними прямокутниками. 3. Бічні ребра правильної призми рівні.
10 слайд
Опис слайду:
Переріз правильної призми. 1. Перетин правильної призми площиною, паралельною до основи. У перерізі утворюється правильний багатокутник, рівний багатокутнику, що лежить у підставі. 2. Перетин правильної призми площиною, що проходить через два не сусідні бічні ребра. У перетині утворюється прямокутник. У деяких випадках може утворитись квадрат.
11 слайд
Опис слайду:
Симетрія правильної призми 1. Центр симетрії при парному числі сторін основи - точка перетину діагоналей правильної призми (рис. 6)
Діагональні перерізи Перетин призми площиною, що проходить через діагональ основи і два бічні ребра, що прилягають до неї, називається діагональним перетином призми. Перетин піраміди площиною, що проходить через діагональ основи та вершину, називається діагональним перетином піраміди. Нехай площина перетинає піраміду і паралельна до її основи. Частина піраміди, укладена між цією площиною та основою, називається усіченою пірамідою. Перетин піраміди також називається основою усіченої піраміди.
Побудова перерізів При побудові перерізів багатогранників, базовими є побудови точки перетину прямої та площини, а також лінії перетину двох площин. Якщо дані дві точки A і B прямий і відомі їх проекції A' і B' на площину, точкою перетину даних прямої і площини буде точка перетину прямих AB і A'B' Якщо дані три точки A, B, C площини і відомі їх проекції A', B', C' на іншу площину, то знаходження лінії перетину цих площин знаходять точки P і Q перетину прямих AB і AC з другою площиною. Пряма PQ буде шуканою лінією перетину площин.
Вправа 1 Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через точки E, F, що лежать на ребрах куба та вершину B. Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через точки E, F та вершину B, З'єднаємо відрізками точки E та B, F та B. Через точки E та F проведемо прямі, паралельні BF та BE, відповідно. Отриманий паралелограм BFGE буде шуканим перетином.
Вправа 2 Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через точки E, F, G, що лежать на ребрах куба. Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через точки E, F, G, проведемо пряму EF і позначимо її точку перетину з AD. Позначимо Q точку перетину прямих PG та AB. З'єднаємо точки E і Q, F і G. Отримана трапеція EFGQ буде шуканим перетином.
Вправа 3 Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через точки E, F, G, що лежать на ребрах куба. Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через точки E, F, G, проведемо пряму EF і позначимо її точку перетину з AD. Позначимо Q, R точки перетину прямої PG з AB та DC. Позначимо точку перетину FR c СС 1. З'єднаємо точки E і Q, G і S. Отриманий п'ятикутник EFSGQ буде шуканим перетином.
Вправа 4 Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через точки E, F, G , що лежать на ребрах куба. Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через точки E, F, G, знайдемо точку P перетину прямої EF та площини грані ABCD. Позначимо Q, R точки перетину прямої PG з AB та CD. Проведемо пряму RF та позначимо S, T її точки перетину з CC 1 і DD 1. Проведемо пряму TE та позначимо U її точку перетину з A 1 D 1. З'єднаємо точки E та Q, G та S, U та F. Отриманий шестикутник EUFSGQ буде шуканим перетином.
Вправа 5 Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через точки E, F, G, що належать граням BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B відповідно. Рішення. З даних точок опустимо перпендикуляри EE', FF', GG' на площину грані ABCD, і знайдемо точки I та H перетину прямих FE та FG з цією площиною. IH буде лінією перетину шуканої площини та площини грані ABCD. Позначимо Q, R точки перетину прямої IH з AB та BC. Проведемо прямі PG та QE та позначимо R, S їх точки перетину з AA 1 та CC 1. Проведемо прямі SU, UV та RV, паралельні PR, PQ та QS. Отриманий шестикутник RPQSUV буде шуканим перетином.
Вправа 6 Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через точки E, F, що лежать на ребрах куба, паралельно діагоналі BD. Рішення. Проведемо прямі FG та EH, паралельні BD. Проведемо пряму FP, паралельну EG, і з'єднаємо точки P та G. З'єднаємо точки E та G, F та H. Отриманий п'ятикутник EGPFH буде шуканим перетином.
Побудуйте переріз призми ABCA 1 B 1 C 1 площиною, що проходить через точки E, F, G. Вправа 8 Рішення. З'єднаємо точки E і F. Проведемо пряму FG та її точку перетину з CC 1 позначимо H. Проведемо пряму EH та її точку перетину з A 1 C 1 позначимо I. З'єднаємо точки I та G. Отриманий чотирикутник EFGI буде шуканим перетином.
Побудуйте переріз призми ABCA 1 B 1 C 1 площиною, яка проходить через точки E, F, G. Вправа 9 Рішення. Проведемо пряму EG і позначимо H та I її точки перетину з CC 1 та AC. Проведемо пряму IF та її точку перетину з AB позначимо K. Проведемо пряму FH та її точку перетину з B 1 C 1 позначимо L. З'єднаємо точки E та K, G та L. Отриманий п'ятикутник EKFLG буде шуканим перетином.
Побудуйте переріз призми ABCA 1 B 1 C 1 площиною, паралельною AC 1, яка проходить через точки D 1. Вправа 10 Рішення. Через точку D проведемо пряму паралельну AC 1 і позначимо E її точку перетину з прямою BC 1. Ця точка належатиме площині грані ADD 1 A 1. Проведемо пряму DE і позначимо F її точку перетину з ребром BC. З'єднаємо відрізком точки F і D. Через точку D проведемо пряму паралельну прямій FD і позначимо G точку її перетину з ребром A 1 C 1 H – точку її перетину з прямою A 1 B 1. Проведемо пряму DH і позначимо P її точку перетину з ребром AA 1. З'єднаємо відрізком точки P і G. Отриманий чотирикутник EFIK буде шуканим перетином.
Побудувати переріз призми ABCA 1 B 1 C 1 площиною, що проходить через точки E на ребері BC, F на грані ABB 1 A 1 та G на грані ACC 1 A 1. Вправа 11 Рішення. Проведемо пряму GF та знайдемо точку H її перетину з площиною ABC. Проведемо пряму EH, та позначимо P та I її точки перетину з AC та AB. Проведемо прямі PG та IF, та позначимо S, R та Q їх точки перетину з A 1 C 1, A 1 B 1 та BB 1. З'єднаємо точки E та Q, S та R. Отриманий п'ятикутник EQRSP буде шуканим перетином.
Побудувати переріз правильної шестикутної призми площиною, що проходить через точки A, B, D 1. Вправа 12 Рішення. Зауважимо, що перетин проходитиме через точку E 1. Проведемо пряму AB і знайдемо її точки перетину K та L з прямими CD та FE. Проведемо прямі KD 1, LE 1 і знайдемо їх точки перетину P, Q із прямими CC 1 та FF 1. Шестикутник ABPD 1 E 1 Q буде шуканим перетином.
Побудувати переріз правильної шестикутної призми площиною, що проходить через точки A, B', F'. Вправа 13 Рішення. Проведемо відрізки AB' та AF'. Через точку B' проведемо пряму, паралельну AF' і її точку перетину з EE 1 позначимо E'. Через точку F' проведемо пряму, паралельну AB' і її точку перетину з CC 1 позначимо C'. Через точки E' і C' проведемо прямі, паралельні AB' і AF', та його точки перетину з D 1 E 1 і C 1 D 1 позначимо D', D”. З'єднаємо точки B', C'; D', D”; F', E'. Отриманий семикутник AB'C'D'D'E'F' буде шуканим перетином.
Побудувати переріз правильної шестикутної призми площиною, яка проходить через точки F', B', D'. Вправа 14 Рішення. Проведемо прямі F'B' і F'D' і знайдемо їх точки перетину P і Q з площиною ABC. Проведемо пряму PQ. Позначимо R точку перетину PQ та FC. Точку перетину F'R та CC 1 позначимо C'. З'єднаємо точки B', C' та C', D'. Через точку F' проведемо прямі, паралельні C'D' і B'C', та його точки перетину з AA 1 і EE 1 позначимо A' і E'. З'єднаємо точки A', B' та E', D'. Отриманий шестикутник A'B'C'D'E'F' буде шуканим перетином.