Кут – основна геометрична фігура, яку розберемо протягом всієї теми. Визначення, способи завдання, позначення та вимірювання кута. Розберемо принципи виділення кутів на кресленнях. Вся теорія проілюстрована і має багато наочних креслень.
Визначення 1Кут- Проста важлива фігура в геометрії. Кут безпосередньо залежить від визначення променя, який у свою чергу складається з базових понять точки, прямої та площини. Для досконального вивчення необхідно заглибитись за темами пряма на площині – необхідні відомостіі площина – необхідні відомості.
Поняття кута починається з понять про точку, площину та пряму, зображену на цій площині.
Визначення 2
Дано пряму a на площині. На ній позначимо деяку точку O. Пряма розділена крапкою на дві частини, кожна з яких має назву промінь, А точка O - початок променя.
Інакше кажучи, промінь чи напівпряма -це частина прямої, що складається з точок заданої прямої, розташованих на одній стороні щодо початкової точки, тобто точки O .
Позначення променя допустимо у двох варіаціях: однієї малої або двома великими літерами латинського алфавіту. При позначенні двома літерами промінь має назву, що складається із двох літер. Розглянемо докладніше на кресленні.
Перейдемо до поняття визначення кута.
Визначення 3
Кут– це фігура, розташована в заданій площині, утворена двома несупадними променями, що мають загальний початок. Сторона кутає променем, вершина- Загальний початок сторін.
Має місце випадок, коли сторони кута можуть виступати у ролі прямої лінії.
Визначення 4
Коли обидві сторони кута розташовані на одній прямій або його сторони служать як додаткові напівпрямі однієї прямої, такий кут називають розгорнутим.
На малюнку нижче зображено розгорнутий кут.
Крапка на прямій - це і є вершина кута. Найчастіше має місце її позначення точкою O.
Кут у математиці позначається знаком «∠». Коли сторони кута позначають малими латинськими, то правильного визначення кута записуються підряд букви відповідно сторонам. Якщо дві сторони мають позначення k і h, то кут позначається як ∠ k h або ∠ h k.
Коли йде позначення великими літерами, відповідно сторони кута мають назви O A і O B . У такому разі кут має назву з трьох букв латинського алфавіту, записані поспіль, у центрі з вершиною - ∠ A O B та ∠ B O A . Існує позначення у вигляді цифр, коли кути не мають назв або літерних позначень. Нижче наведено малюнок, де різними способами позначаються кути.
Кут поділяє площину на дві частини. Якщо кут не розгорнутий, то одна частина площини має назву внутрішня область кута, інша – зовнішня область кута. Нижче наведено зображення, яке пояснює, які частини поверхні зовнішні, а які внутрішні.
При розділенні розгорнутим кутом на поверхні будь-яка з його частин вважається внутрішньою областю розгорнутого кута.
Внутрішня область кута – елемент, який служить другого визначення кута.
Визначення 5
Кутомназивають геометричну фігуру, що складається з двох несупадних променів, що мають загальний початок і відповідну внутрішню область кута.
Дане визначення є суворішим, ніж попереднє, оскільки має більше умов. Обидва визначення не бажано розглядати окремо, тому що кут – це геометрична фігура, перетворена за допомогою двох променів, що виходять із однієї точки. Коли необхідно виконувати дії з кутом, то під визначенням розуміють наявність двох променів із загальним початком та внутрішньою областю.
Визначення 6Два кути називають суміжнимиякщо є спільна сторона, а дві інші є додатковими напівпрямими або утворюють розгорнутий кут.
На малюнку видно, що суміжні кути доповнюють одне одного, оскільки є продовженням одне одного.
Визначення 7
Два кути називають вертикальнимиякщо сторони одного є додатковими напівпрямими іншого або є продовженнями сторін іншого. На малюнку нижче показано зображення вертикальних кутів.
При перетині прямих виходить 4 пари суміжних та 2 пари вертикальних кутів. Нижче показано малюнку.
Стаття показує визначення рівних та нерівних кутів. Розберемо який кут вважається більшим, яким меншим та інші властивості кута. Дві фігури вважаються рівними, якщо при накладенні вони збігаються. Така ж властивість застосовується для порівняння кутів.
Дано два кути. Необхідно дійти висновку, рівні ці кути чи ні.
Відомо, що має місце накладення вершин двох кутів та сторони першого кута з будь-якою іншою стороною другого. Тобто при повному збігу при накладенні кутів сторони заданих кутів поєднуються повністю. рівні.
Можливо так, що при накладенні сторони можуть не поєднатися, то кути нерівні, меншийз яких складається з іншого, а більшиймає у своєму складі повний інший кут. Нижче зображені нерівні кути, які не суміщені при накладенні.
Розгорнуті кути є рівними.
Вимірювання кутів починається з вимірювання боку кута, що вимірюється, і його внутрішньої області, заповнюючи яку одиничними кутами, прикладають один до одного. Необхідно порахувати кількість покладених кутів, вони й визначають міру кута, що вимірюється.
Одиниця виміру кута може бути виражена будь-яким кутом, що вимірюється. Є загальноприйняті одиниці виміру, які застосовують у науці та техніці. Вони спеціалізуються на інших назвах.
Найчастіше використовують поняття градус.
Визначення 8
Один градусназивають кутом, що має одну сто вісімдесяту частину розгорнутого кута.
Стандартне позначення градуса йде за допомогою "°", тоді один градус - 1°. Отже, розгорнутий кут складається із 180 таких кутів, що складаються з одного градуса. Всі наявні кути щільно укладені один до одного і сторони попереднього поєднані з наступним.
Відомо, що кількість покладених градусів у вугіллі, це і є той самий захід кута. Розгорнутий кут має 180 покладених кутів у своєму складі. Нижче на малюнку наводяться приклади, де укладання кута йде в 30 разів, тобто одна шоста розгорнутого, і 90 разів, тобто половина.
Для точності визначення вимірювання кутів використовуються хвилини та секунди. Їх застосовують, коли величина кута не є цілим позначенням градуса. Такі частини градуса дозволяють виконувати точніші розрахунки.
Визначення 9
Хвилиноюназивають одну шістдесяту частину градуса.
Визначення 10
Секундоюназивають одну шістдесяту частину хвилини.
Градус містить 3600 секунд. Хвилини позначають " " ", а секунди " "" ».
1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,
а позначення кута 17 градусів 3 хвилин і 59 секунд має вигляд 17°3 "59"".
Визначення 11
Наведемо приклад позначення градусної міри кута рівного 17 ° 3 " 59 ". Запис має ще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .
Для точного виміру кутів використовують такий вимірювальний прилад як транспортир. При позначенні кута ∠ A O B та його градусній мірі в 110 градусів застосовують зручніший запис ∠ A O B = 110 ° , який читається «Кут А О В дорівнює 110 градусам».
У геометрії використовується міра кута з інтервалу (0, 180], а в тригонометрії довільний градусний захід має назву кутів повороту.Значення кутів завжди виражається дійсним числом. Прямий кут- Це кут, що має 90 градусів. Гострий кут- Кут, який менше 90 градусів, а тупий- Більше.
Гострий кут вимірюється в інтервалі (0, 90), а тупий – (90, 180). Нижче наочно зображено три види кутів.
Будь-яка градусна міра будь-якого кута має однакове значення. Більший кут відповідно має більшу градусну міру, ніж менший. Градусна міра одного кута – це сума всіх градусних заходів внутрішніх кутів. Нижче наведено малюнок, де показаний кут АОВ, що складається з кутів АОС, СОD та DОВ. Докладно це виглядає так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.
Виходячи з цього, можна зробити висновок, що сумавсіх суміжних кутів дорівнює 180 градусів,бо всі вони й становлять розгорнутий кут.
Звідси випливає, що будь-які вертикальні кути рівні. Якщо розглянути це на прикладі, ми отримаємо, що кут А О В і С О D - вертикальні (на кресленні), тоді пари кутів А О В і В О С, С О D і В О С вважають суміжними. У такому випадку рівність ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° разом з ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° вважаються однозначно вірними. Звідси маємо, що ∠ A O B = ∠ C O D . Нижче наведено приклад зображення та позначення вертикальних уловів.
Крім градусів, хвилин та секунд використовується ще одна одиниця виміру. Вона називається радіаном. Найчастіше її можна зустріти у тригонометрії при позначенні кутів багатокутників. Що ж називають радіаном?
Визначення 12
Кутом в один радіанназивають центральний кут, який має довжину радіуса кола дорівнює довжині дуги.
На малюнку радіан зображується у вигляді кола, де є центр, позначений точкою, з двома точками на колі, з'єднаними і перетвореними на радіуси О А і О В. За визначенням даний трикутник AOB є рівностороннім, отже довжина дуги AB дорівнює довжинам радіусів О В і Про А.
Позначення кута приймається за «рад». Тобто запис у 5 радіан скорочено позначається як 5 рад. Іноді можна зустріти позначення, що має назву пі. Радіани немає залежності від довжини заданого кола, оскільки постаті мають певне обмеження з допомогою кута та її дугою з центром, що у вершині заданого кута. Вони вважаються такими.
Радіани мають такий самий сенс, як і градуси, тільки різниця в їхній величині. Щоб визначити, необхідно обчислену довжину дуги центрального кута поділити на довжину її радіуса.
На практиці використовують переведення градусів у радіани та радіани у градусидля зручнішого вирішення завдань. Зазначена стаття має інформацію про зв'язок градусного заходу з радіаною, де можна докладно вивчити переклади з градусного до радіану та назад.
Для наочного та зручного зображення дуг, кутів використовують креслення. Не завжди можна правильно зобразити та відзначити той чи інший кут, дугу чи назву. Рівні кути мають позначення як однакової кількості дуг, а нерівні як різного. На кресленні зображено правильне позначення гострих, рівних та нерівних кутів.
Коли необхідно відзначити більше 3 кутів, використовуються спеціальні позначення дуг, наприклад хвилясті або зубчасті. Це не має такого важливого значення. Нижче наведено малюнок, де показано їх позначення.
Позначення кутів повинні бути простими, щоб не заважали іншим значенням. При вирішенні завдання рекомендовано виділяти тільки необхідні для розв'язання кути, щоб не захаращувати все креслення. Це не завадить рішенню та доказу, а також надасть естетичного вигляду малюнку.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Кутовий захід
Кут вимірюють в градусній мірі (градус, хвилина, секунда), в оборотах - відношення довжини дуги s до довжини кола L , в радіанах - відношення довжини дуги s до радіуса r ; історично застосовувалася також градова міра виміру кутів, нині вона майже ніде не використовується.
1 оборот = 2π радіанам = 360 ° = 400 град.
У морській термінології кути позначаються румбами.
Типи кутів
Сумежні кути - гострий (a) та тупий (b). Розгорнутий кут (c)
Крім цього, розглядається кут між гладкими кривими в точці торкання: за визначенням, його величина дорівнює величині кута між кривими дотичними.
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Розгорнутий кут" в інших словниках:
Кут, що дорівнює двом прямим. *РАЗВЕРТКА поверхні фігура, що у площині при такому суміщенні точок даної поверхні з цією площиною, у якому довжини ліній залишаються незмінними. Розгортка кривої див. Великий Енциклопедичний словник
кут- ▲ різниця напрямок (у просторі) кут протяжність повороту від одного напрямку до іншого; різницю напрямків; частина повного обороту (# нахилу. утворювати #). нахил. похилий. відхилення. ухилитися (дорога ухилилася вправо).
Кут- кути: 1 загального виду; 2 суміжні; 3 прилеглі; 4 вертикальні; 5 розгорнутий; 6 прямий, гострий та тупий; 7 між кривими; 8 між прямою та площиною; 9 між схрещуються прямими (не лежать однією площиною) прямими. КУТ, геометрична… … Ілюстрований енциклопедичний словник
Геометрична фігура, що складається з двох різних променів, що виходять із однієї точки. Промені зв. сторонами У., які загальне початок вершиною У. Нехай [ ВА),[ ВС) боку кута, У його вершина, площина, визначається сторонами У. Фігура ділить площину… Математична енциклопедія
Кут, що дорівнює двом прямим. * * * РОЗгорнутий кут розгорнутий кут, кут, рівний двом прямим … Енциклопедичний словник
Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (крапок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. В… … Енциклопедія Кольєра
1) Замкнена ламана лінія, саме: якщо різні точки, ніякі послідовні три з яких не лежать на одній прямій, то сукупність відрізків зв. багатокутником (див. рис. 1). М. можуть бути просторовими або плоскими (нижчими… Математична енциклопедія
впоперек- ▲ під кутом максимум, косий кут поперечний. упоперек під прямим кутом. . прямий кут кут максимального відхилення; кут, рівний своєму суміжному; чверть обороту. перпендикуляр. перпендикулярний, що знаходиться під прямим кутом. перпендикулярно. Ідеографічний словник російської мови
градус- а, м. 1) Одиниця виміру плоского кута, що дорівнює 1/90 прямого кута або відповідно 1/360 кола. Кут 90 градусів називається прямим кутом. Розгорнутий кут складає 180 градусів. 2) Одиниця виміру температурного інтервалу, що має… Популярний словник російської
Теорема Шварца Крістоффеля важлива теорема в теорії функцій комплексного змінного, носить назву німецьких математиків Карла Шварца та Елвіна Крістоффеля. Дуже важливою з практичної точки зору є проблема про конформне ... Вікіпедія
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здавання Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин та без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 задач) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості та легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
У цій статті ми всебічно розберемо одну з основних геометричних фігур – кут. Почнемо з допоміжних понять та визначень, які приведуть нас до визначення кута. Після цього наведемо прийняті способи позначення кутів. Далі докладно розберемося з процесом виміру кутів. На закінчення покажемо як можна відзначити кути на кресленні. Усю теорію ми забезпечили необхідними кресленнями та графічними ілюстраціями для кращого запам'ятовування матеріалу.
Навігація на сторінці.
Визначення кута.
Кут є однією з найважливіших фігур у геометрії. Визначення кута дається через визначення променя. У свою чергу, уявлення про промені неможливо отримати без знання таких геометричних фігур як точка, пряма і площина. Тому перед знайомством з визначенням кута рекомендуємо освіжити в пам'яті теорію з розділів і .
Отже, відштовхуватимемося від понять точки, прямої на площині та площині.
Дамо спочатку визначення променя.
Нехай нам дано деяку пряму на площині. Позначимо її літерою a. Нехай O – деяка точка пряма a . Точка O поділяє пряму a дві частини. Кожна з цих частин разом із точкою О називається променем, а точка О називається початком променя. Ще можна почути, що промінь називають напівпрямий.
Для стислості та зручності ввели такі позначення для променів: промінь позначають або малою латинською літерою (наприклад, промінь p або промінь k ), або двома великими латинськими літерами, перша з яких відповідає початку променя, а друга позначає деяку точку цього променя (наприклад, промінь ОА або промінь СD). Покажемо зображення та позначення променів на кресленні.
Тепер ми можемо дати перше визначення кута.
Визначення.
Кут– це плоска геометрична фігура (тобто повністю лежить у певній площині), яку становлять два несупадні промені із загальним початком. Кожен з променів називають стороною кута, загальний початок сторін кута називають вершиною кута.
Можливий випадок, коли сторони кута становлять пряму лінію. Такий кут має свою назву.
Визначення.
Якщо обидві сторони кута лежать на одній прямій, то такий кут називається розгорнутим.
Пропонуємо до Вашої уваги графічну ілюстрацію розгорнутого кута.
Для позначення кута використовується значок кута «». Якщо сторони кута позначені малими латинськими літерами (наприклад, одна сторона кута k , а інша h ), то для позначення цього кута після піктограми кута записують поспіль літери, що відповідають сторонам, причому порядок запису значення не має (тобто, або ). Якщо сторони кута позначені двома великими латинськими літерами (наприклад, одна сторона кута OA , а друга сторона кута OB ), то кут позначають наступним чином: після значка кута записують три літери, що беруть участь у позначенні сторін кута, причому буква, що відповідає вершині кута, розташовується посередині (у разі кут буде позначений як або ). Якщо вершина кута не є вершиною ще якогось кута, то такий кут можна позначати буквою, що відповідає вершині кута (наприклад, ). Іноді можна бачити, що кути на кресленнях відзначають цифрами (1, 2 і т.д.), позначають ці кути як і таке інше. Для наочності наведемо малюнок, на якому зображені та позначені кути.
Будь-який кут поділяє площину на дві частини. При цьому якщо кут не розгорнутий, то одну частину площини називають внутрішньою областю кута, а іншу – зовнішньою областю кута. Наступне зображення пояснює, яка частина поверхні відповідає внутрішній області кута, а яка - зовнішньої.
Будь-яку із двох частин, на які розгорнутий кут розділяє площину, можна вважати внутрішньою областю розгорнутого кута.
Визначення внутрішньої області кута призводить до другого визначення кута.
Визначення.
Кут– це геометрична фігура, яку складають два несупадні промені із загальним початком і відповідна внутрішня область кута.
Слід зазначити, що друге визначення кута суворіше першого, оскільки містить більше умов. Проте слід відмітати перше визначення кута, також слід розглядати перше і друге визначення кута окремо. Пояснимо цей момент. Коли йдеться про вугілля як про геометричну фігуру, то під кутом розуміється фігура, складена двома променями із загальним початком. Якщо ж виникає необхідність провести будь-які дії з цим кутом (наприклад, вимір кута), то під кутом вже слід розуміти два промені із загальним початком і внутрішньою областю (інакше виникла б двояка ситуація через наявність як внутрішньої, так і зовнішньої області кута) ).
Дамо ще визначення суміжних та вертикальних кутів.
Визначення.
Сумежні кути– це два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші утворюють розгорнутий кут.
З визначення слідує, що суміжні кути доповнюють один одного до розгорнутого кута.
Визначення.
Вертикальні кути- Це два кути, у яких сторони одного кута є продовження сторін іншого.
На малюнку зображені вертикальні кути.
Очевидно, що дві прямі, що перетинаються, утворюють чотири пари суміжних кутів і дві пари вертикальних кутів.
Порівняння кутів.
У цьому пункті статті ми розберемося з визначеннями рівних і нерівних кутів, а також у разі нерівних кутів роз'яснимо, який кут вважається більшим, а меншим.
Нагадаємо, дві геометричні фігури називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням.
Нехай нам дано два кути. Наведемо міркування, які допоможуть нам отримати відповідь на запитання: «Рівні ці два кути чи ні»?
Очевидно, що ми завжди можемо поєднати вершини двох кутів, а також одну сторону першого кута з будь-якою стороною другого кута. Сумісний бік першого кута з тією стороною другого кута, щоб сторони кутів, що залишилися, опинилися по одну сторону від прямої, на якій лежать суміщені сторони кутів. Тоді, якщо дві інші сторони кутів поєднаються, то кути називаються рівними.
Якщо ж дві інші сторони кутів не поєднуються, то кути називаються нерівними, причому меншимвважається той кут, який становить частину іншого ( великимє той кут, що повністю містить інший кут).
Очевидно, що два розгорнуті кути рівні. Також очевидно, що розгорнутий кут більший за будь-який нерозгорнутий кут.
Вимірювання кутів.
Вимірювання кутів ґрунтується на порівнянні кута з кутом, взятим в якості одиниці вимірювання. Процес виміру кутів виглядає так: починаючи від однієї зі сторін вимірюваного кута, його внутрішню область послідовно заповнюють одиничними кутами, щільно укладаючи їх один до одного. При цьому запам'ятовують кількість покладених кутів, що і дає міру кута, що вимірюється.
Фактично, як одиниця виміру кутів може бути прийнятий будь-який кут. Однак існує безліч загальноприйнятих одиниць виміру кутів, що відносяться до різних галузей науки і техніки, вони отримали спеціальні назви.
Однією з одиниць виміру кутів є градус.
Визначення.
Один градус– це кут, що дорівнює одній сто вісімдесятій частині розгорнутого кута.
Градус позначають символом "", отже, один градус позначається як .
Таким чином, у розгорнутому куті ми можемо укласти 180 кутів за один градус. Це буде виглядати як половинка круглого пирога, що розрізає на 180 рівних шматочків. Дуже важливо: «шматочки пирога» щільно укладаються один до одного (тобто сторони кутів поєднуються), причому сторона першого кута поєднується з однією стороною розгорнутого кута, а сторона останнього одиничного кута збігається з іншою стороною розгорнутого кута.
При вимірі кутів з'ясовують, скільки разів градус (або інша одиниця виміру кутів) укладається у вугіллі до повного покриття внутрішньої області вимірюваного кута. Як ми вже переконалися, у розгорнутому куті градус укладається рівно 180 разів. Нижче наведено приклади кутів, у яких кут в один градус укладається рівно 30 разів (такий кут становить шосту частину розгорнутого кута) і 90 разів (половина розгорнутого кута).
Для виміру кутів, менших одного градуса (або іншої одиниці виміру кутів) і у випадках, коли кут не вдається виміряти цілим числом градусів (взятих одиниць виміру), доводиться використовувати частини градуса (частини взятих одиниць виміру). Певні частини градуса одержали спеціальні назви. Найбільшого поширення набули, звані, хвилини і секунди.
Визначення.
Хвилина- Це одна шістдесята частина градуса.
Визначення.
Секунда- Це одна шістдесята частина хвилини.
Іншими словами, у хвилині міститься шістдесят секунд, а у градусі – шістдесят хвилин (3600 секунд). Для позначення хвилин використовують символ «», а для позначення секунд – символ «» (не плутайте зі знаками похідної та другої похідної). Тоді при введених визначеннях та позначеннях маємо , а кут, в якому укладаються 17 градусів 3 хвилини та 59 секунд, можна позначити як .
Визначення.
Градусною мірою кутаназивається позитивне число, яке показує скільки разів градус та його частини укладаються в даному вугіллі.
Наприклад, градусний захід розгорнутого кута дорівнює ста вісімдесяти, а градусний захід кута дорівнює 
.
Для вимірювання кутів існують спеціальні вимірювальні прилади, найбільш відомим є транспортир.
Якщо відомо і позначення кута (наприклад, ) та його градусна міра (нехай 110), то використовують короткий запис виду 
і кажуть: «Кут АОВ дорівнює ста десяти градусам».
З визначень кута і градусної міри кута випливає, що в геометрії міра кута в градусах виражається дійсним числом з інтервалу (0, 180) (в тригонометрії розглядають кути з довільним градусним заходом, їх називають ). Кут у дев'яносто градусів має спеціальну назву, його називають прямим кутом. Кут менший 90 градусів називається гострим кутом. Кут більший дев'яноста градусів називається тупим кутом. Отже, міра гострого кута в градусах виражається числом з інтервалу (0, 90), міра тупого кута – числом з інтервалу (90, 180), прямий кут дорівнює дев'яноста градусам. Наведемо ілюстрації гострого кута, тупого кута та прямого кута.
З принципу вимірювання кутів випливає, що градусні міри рівних кутів однакові, градусна міра більшого кута більша за градусну міру меншого, а градусна міра кута, який становлять кілька кутів, дорівнює сумі градусних заходів складових кутів. На малюнку нижче показаний кут АОВ, який становлять кути АОС, СОD і DОВ, у своїй.
Таким чином, сума суміжних кутів дорівнює ста вісімдесяти градусам, Оскільки вони становлять розгорнутий кут.
З цього твердження випливає, що . Справді, якщо кути АОВ і СОD – вертикальні, то кути АОВ та ВОС - суміжні та кути СОD та ВОС також суміжні, тому, справедливі рівності і , звідки слідує рівність .
Поряд із градусом зручна одиниця виміру кутів, звана радіаном. Радіанний захід широко використовується у тригонометрії. Дамо визначення радіану.
Визначення.
Кут в один радіан– це центральний кут, Якому відповідає довжина дуги, що дорівнює довжині радіуса відповідного кола.
Дамо графічну ілюстрацію кута в один радіан. На кресленні довжина радіуса OA (як і радіуса OB) дорівнює довжині дуги AB, тому, за визначенням кут AOB дорівнює одному радіану.
Для позначення радіанів використовують скорочення "рад". Наприклад, запис 5 рад означає 5 радіанів. Однак на листі позначення "рад" часто опускають. Наприклад, коли написано, що кут дорівнює пі, то мається на увазі пірад.
Варто окремо відзначити, що величина кута, виражена в радіанах, залежить від довжини радіуса кола. Це пов'язано з тим, що фігури, обмежені даним кутом і дугою кола з центром у вершині даного кута, подібні між собою.
Вимірювання кутів у радіанах можна виконувати так само, як і вимірювання кутів у градусах: з'ясувати, скільки разів кут в один радіан (і його частини) укладаються в даному куті. А можна вирахувати довжину дуги відповідного центрального кута, після чого розділити її на довжину радіуса.
Для потреб практики корисно знати, як співвідносяться між собою градусний і радіанний заходи, так як досить частина доводиться здійснювати. У зазначеній статті встановлено зв'язок між градусним і радіанним мірою кута, і наведено приклади переведення градусів у радіани і назад.
Позначення кутів на кресленні.
На кресленнях для зручності та наочності кути можна відзначати дугами, які прийнято проводити у внутрішній області кута від однієї сторони кута до іншої. Рівні кути відзначають однаковою кількістю дуг, нерівні кути різною кількістю дуг. Прямі кути на кресленні позначають символом виду «», який є у внутрішній області прямого кута від однієї сторони кута до іншої.
Якщо на кресленні доводиться відзначати багато різних кутів (зазвичай більше трьох), то при позначенні кутів, крім звичайних дуг, допустимо використання дуг якого-небудь спеціального виду. Наприклад, можна зобразити зубчасті дуги або щось подібне.
Слід зазначити, що не варто захоплюватися з позначенням кутів на кресленнях і не захаращувати малюнки. Рекомендуємо позначати лише ті кути, які необхідні у процесі розв'язання чи доказу.
Список літератури.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7 – 9 класи: підручник для загальноосвітніх закладів.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
- Погорєлов А.В., Геометрія. Підручник для 7-11 класів загальноосвітніх закладів.
Кутом називається геометрична фігура, яка складається з двох різних променів, що виходять із однієї точки. В даному випадку ці промені називаються сторонами кута. Крапка, що є початком променів, називається вершиною кута. На малюнку ви можете побачити кут з вершиною у точці Про, та сторонами kі m.
На сторонах кута відмічені точки А та С. Цей кут можна позначити як кут AOC. У середині обов'язково має стояти назва точки, де знаходиться вершина кута. Також існують інші позначення, кут Про або кут km. У геометрії замість слова кут часто пишуть спеціальний значок.
Розгорнутий та нерозгорнутий кут
Якщо у кута обидві сторони лежать на одній прямій, то такий кут називається розгорнутимкутом. Тобто одна сторона кута є продовженням іншої сторони кута. На малюнку нижк представлений розгорнутий кут О.
Слід зазначити, що будь-який кут поділяє площину на дві частини. Якщо кут не є розгорнутим, то одна із частин називається внутрішньою областю кута, а інша зовнішньою областю цього кута. На малюнку нижче представлений нерозгорнутий кут і відзначені зовнішня та внутрішня області цього кута.
У разі розгорнутого кута будь-яку з двох частин, на які він ділить площину, можна вважати зовнішньою областю кута. Можна говорити про положення точки щодо кута. Крапка може лежати поза кутом (в зовнішній області), може бути на одній з його сторін, або може лежати всередині кута (у внутрішній області).
На малюнку нижче, точка А лежить поза кутом, точка B лежить на одній зі сторін кута, а точка С лежить усередині кута.
Вимірювання кутів
Для вимірювання кутів існує званий транспортиром. Одиницею виміру кута є градус. Слід зазначити, що кожен кут має певну градусну міру, яка більша за нуль.
Залежно від градусної міри кути поділяються на кілька груп.