На малюнку 18 показано, як за допомогою лінійки на півпрямій, а з початковою точкою А можна відкласти відрізок даної довжини (3 см).
Подивіться на рисунок 19. а, продовжена за початкову точку А, розбиває площину на дві півплощини. На малюнку показано, як за допомогою транспортира відкласти від напівпрямої а у верхню півплощину кут з цією градусною мірою (60 °).
Основними властивостями відкладання відрізків та кутів ми називатимемо наступні властивості:
VI. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і лише один.
VII. Від будь-якої напівпрямої в заданунапівплощинаможна відкласти кут із заданим градусним заходом, меншим 180°, і тільки один.
Завдання (30). На промені АВ відкладено відрізок АС, менший відрізка АВ. Яка з трьох точок А, В, С лежить між двома іншими? Поясніть відповідь.
Рішення (рис. 20). Оскільки точки У і З лежать однією полупрямой з початковою точкою А, всі вони не поділяються точкою А, т. е. точка А лежить між точками У і З.
Чи може точка лежати між точками A і С? Якби вона лежала між точками А та С, то було б АВ + ВС = АС.
Але це неможливо, оскільки за умовою ВідрізокАС менше відрізка АВ. Значить, точка не лежить між точками А і С.
З трьох точок А, В, С одна лежить між двома іншими. Тому точка, крапкаЗ лежить між точками А та В.
А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ
Геометрія
Основні властивості найпростіших геометричних фігур
Визначення. Аксіоми
Геометрія- це наука про властивості геометричних постатей. Зверніть увагу: геометрична фігура - це не тільки трикутник, коло, піраміда і т.д., а й будь-яке безліч точок.
Планіметрія- це розділ геометрії, у якому вивчаються постаті на площині.
Точка, крапкаі прямає основними поняттями планіметрії. Це означає, що це поняття не можна дати точне визначення. Їх можна лише уявити, спираючись на досвід та перерахувавши їх властивості.
Твердження, справедливість яких приймається без доказу, називаються аксіомами. Вони містять формулювання основних властивостей найпростіших фігур.
Твердження, які доводять, називаються теоремами.
Визначення- це пояснення будь-якого поняття, яке спирається чи основні поняття, чи поняття, визначені раніше.
Позначення: точки позначаються великими латинськими літерами; прямі - малими латинськими літерами або двома великими латинськими літерами (якщо на прямій позначені дві точки).
На малюнку точки A, B, C, N,Мта прямі aі b. Пряму аможна позначити як пряму MN(або NM).
Запис означає, що точка Mлежить на прямий а. Запис означає, що точка Зне лежить на прямій а.
Потрібно розуміти, що прямі aі bна малюнку перетинаються, хоча ми не бачимо, у точці.
Основні властивості (аксіоми) приналежності точок та прямих на площині
Аксіома І. 1. Якою б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну. (Треба розуміти, що тут містяться два твердження: по-перше – існування такої прямої, а по-друге – її єдиність.)
Аксіома ІІ. З трьох точок на прямий одна і лише одна лежить між двома іншими.
Відрізкомназивається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. На малюнку зображено відрізок АВ(Відрізок позначають, записуючи його кінці).
Основні властивості (аксіоми) вимірювання відрізків
Аксіома ІІІ. 1. Кожен відрізок має певну довжину, більшу за нуль.
2. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.
Основна властивість розміщення точок щодо прямої на площині
Аксіома IV. Пряма розбиває площину на дві півплощини. Це розбиття має таку властивість: якщо кінці якогось відрізка належать до однієї півплощини, то відрізок не перетинає пряму; якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму.
Півпрямою, або променем,називають частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать з одного боку від даної на ній точки. Ця точка називається початковою точкою променя. Різні півпрямі однієї прямої із загальною початковою точкою називаються додатковими.
На малюнку представлені промені AB(він же AC), DA(або DB, DC), BC, CB(або CA, CD), BA(або BD), AD.
Промені ABі AD, BCі BD- додаткові. Промені BDі ACне є додатковими, тому що мають різні відправні точки.
Кут- це фігура, яка складається з точки - вершини кута- і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки,- сторін кута.
Кут, представлений малюнку, можна позначити так: , , .
Якщо сторони кута є доповняльними півпрямими, кут називають розгорнутим:
Кажуть що промінь проходить між сторонами кутаякщо він виходить з його вершини і перетинає якийсь відрізок з кінцями на його сторонах. Для розгорнутого кута вважаємо, що будь-який промінь, що виходить з його вершини і відрізняється від його сторін, проходить між сторонами кута.
Основні властивості вимірювання кутів
Аксіома V. 1. Кожен кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює.
2. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних заходів кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
Основні властивості відкладання відрізків та кутів
Аксіома VI. На будь-який півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини, і лише один. Аксіома VІІ. Від будь-якої півпрямої в цю півплощину можна відкласти кут з цією градусною мірою, менше , і тільки один.
Трикутникомназивається фігура, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з'єднують ці точки. Крапки називаються вершинами трикутника, а відрізки - його сторонами.
Трикутник малюнку можна позначити так: або , тощо.
Основні елементи надання вище трикутника: сторони AB, AC, BC(або a, b, c); кути (або ), , . та - прилеглі до сторони AC. - протилежний боці AC.
Трикутники називаються рівнимиякщо у них відповідні сторони рівні і відповідні кути рівні. При цьому відповідні кути мають лежати проти відповідних сторін.
Запис означає (див. малюнок), що:
; ;
; ;
; .
Основна властивість існування рівних трикутників
Аксіома VIII. Яким би не був трикутник, існує трикутник, який дорівнює йому в заданому розміщенні щодо цієї півпрямої. Прямі називаються паралельнимиякщо вони не перетинаються.
Паралельні прямі, зображені малюнку, можна позначити так: або .
Аксіома паралельних прямих
Аксіома ІХ. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше ніж одну пряму, паралельну даній. Зверніть увагу: аксіома утверджує єдиність такої прямої, але не стверджує його існування.
Взаємне розташування прямих на площині
Дві прямі на площині можуть: збігатися;
бути паралельними (тобто не перетинатися);
мати одну загальну точку.
(Дійсно, якби дві прямі могли мати хоча б дві спільні точки, то через ці дві точки проходили б дві різні прямі, що суперечить аксіомі І, п. 2).
>>Математика 7 клас. Повні уроки >> Геометрія: Відкладання відрізків та кутів. Повні уроки
Відкладання відрізків та кутів
На малюнку зображено як за допомогою лінійкина півпрямій a з початковою точкою A можна відкласти відрізок довжиною 3 см.
На цьому малюнку зображено як за допомогою транспортиравідкласти від напівпрямої a у верхню площину кут з градусною мірою 60° 
Сформулюємо основні властивості відкладення відрізків та кутів:
- на будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини і лише один;
- від будь-якої напівпрямої в задану напівплощину можна відкласти кут із заданим градусним заходом, менше 180°.
Приклад розв'язання задачі.
На промені AB відкладено відрізок AC, менший відрізка AB. Яка із трьох точок A, B, C лежить між двома іншими?
Рішення.
Оскільки точки B і C лежать однією полупрямой з початковою точкою A, отже точкою A де вони поділяються, тобто точка A лежить між точками B і C.
Якщо точка B лежить між точками A і C, то була б правильна рівність: AB+BC=AC. Це неможливо, оскільки за умовою відрізок AC менше відрізка AB. Отже, точка C не лежить між точками A і C.
З трьох точок A, B, C лише одна лежить між двома іншими. У нашому випадку: точка C розташована між точками A та B.
Промінь.
Проведемо пряму а та відзначимо на ній точку О (рис. 11).
Ця точка поділяє пряму на дві частини, кожна з яких називається променем, що виходить з точки (на малюнку 11 один з променів виділений жирною лінією). Точка О називається початком кожного з променів. Зазвичай промінь позначають або малою латинською літерою (наприклад, промінь h на малюнку 12, а), або двома великими латинськими літерами, перша з яких позначає початок променя, а друга - якусь точку на промені (наприклад, промінь ОА на малюнку 12, б).
Кут.
Нагадаємо, що кут- це геометрична фігура, яка складається з точки та двох променів, що виходять із цієї точки. Промені називаються сторонами кута, які загальне початок - вершиною кута. На малюнку 13 зображено кут з вершиною О та сторонами h і k На сторонах відзначені точки A та В. Цей кут позначають так: hk, або АОВ, або О.
Кут називається розгорнутимякщо обидві його сторони лежать на одній прямій. Можна сказати, кожна сторона розгорнутого кута є продовженням іншої сторони. На рисунку 14 зображено розгорнутий кут з вершиною С та сторонами р і q.
Будь-який кут поділяє площину на дві частини. Якщо кут не розгорнутий, то одна з частин називається внутрішньої, а інша - зовнішньоїобластю цього кута (рис. 15 а). На малюнку 15 б зображений нерозгорнутий кут. Точки А, В, С лежать усередині цього кута (тобто у внутрішній ділянці кута), точки D і Е - на сторонах кута, а точки Р і Q - поза кутом (тобто у зовнішній ділянці кута). Якщо кут розгорнутий, то будь-яку із двох частин, на які він поділяє площину, можна вважати внутрішньою областю кута. Фігуру, що складається з кута та його внутрішньої області, також називають кутом.
Якщо промінь виходить з вершини нерозгорнутого кута і проходить усередині кута, він ділить цей кут на два кути. На малюнку (16,а) промінь ОС поділяє кут АОВ на два кути: АОС та СОВ. Якщо кут АОВ розгорнутий, то будь-який промінь ОС, що не збігається з променями ОА та ОВ, ділить цей кут на два кути: АОС та СОВ (рис. 16,б). 
Порівняння відрізків та кутів.
На малюнку 20, а зображено два відрізки. Щоб встановити, чи рівні вони чи ні, накладемо один відрізок на інший так, щоб кінець одного відрізка поєднався з кінцем іншого (рис. 20, б). Якщо при цьому два інші кінці також поєднаються, то відрізки повністю поєднаються і, значить, вони рівні. Якщо ж два інших кінця не сумісний, то меншим вважається той відрізок, який становить частину іншого. На малюнку 20, у відрізок АС становить частину відрізка АВ, тому відрізок АС менший від відрізка АВ (пишуть так: АС<АВ).
Точка відрізка, що ділить його навпіл, тобто на два рівні відрізки, називається серединою відрізка. На малюнку 21 точка З середина відрізка АВ.
На малюнку 22, а зображені нерозгорнуті кути 1 та 2. Щоб встановити, рівні вони чи ні, накладемо один кут на інший так, щоб сторона одного кута поєдналася зі стороною іншого, а дві інші опинилися по один бік від сторін, що сумісилися (рис. 22,б). Якщо дві інші сторони також поєднаються, то кути повністю поєднаються і, отже, вони рівні. Якщо ж ці сторони не поєднаються, то меншим вважається той кут, що становить частину іншого. На малюнку (22,б) кут 1 становить частину кута 2 тому 1<2.
Нерозгорнутий кутскладає частина розгорнутого(Рис. 23), тому розгорнутий кут більше нерозгорнутого кута. Будь-які два розгорнуті кути, очевидно, рівні.
Промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на два рівні кути, називається бісектрисоюкута. На малюнку 24 промінь l- бісектриса кута hk.
Запитання:
- Скільки градусів розгорнутий кут?
- Що таке бісектрис?
- Навіщо служить транспортир?
Список використаних джерел:
- П. І. Алтинов, Геометрія 7-9 класи. Москва. Видавничий дім "Дрофа", 2005.
- Програми загальноосвітніх установ. Геометрія 7-9 класів. Упорядник: С.А. Бурмистрова. Москва. "Освіта", 2009 рік.
- Газета "Математика" № 19, 2000 рік.
- Атанасян, Геометрія 7-9 клас.
- Павлов А. Н. Геометрія: Планіметрія в тезах та рішеннях.
- Відредаговано та надіслано Потунаком С.А.
Над уроком працювали:
Потурнак С.О.
В основі системи навчання, яку я зараз використовую на своїх уроках, лежить принцип: позиція вчителя - до класу не з відповіддю (готові знання, вміння та навички), а з питанням, чи позиція учня - за пізнання світу. Створення під час уроків умов формування інтелектуальних умінь і пізнавальних навичок, які у основі мислення, розвитку творчих здібностей і самостійної активності учнів, формування ключових компетентностей добре поєднується з проблемно-поисковым підходом навчання. Саме на основі навчання через відкриття я намагаюся будувати всі свої уроки. З перших уроків геометрії в 7 класі я привчаю хлопців терпляче і усвідомлено, методом "проб та помилок" набувати невідомих знань. Засобом управління мислення стають проблемні питання, суперечливі факти, що взаємовиключають точки зору або відповіді учнів, практичні завдання, які наводять на область пошуку невідомого знання. Я хочу запропонувати кілька презентацій уроків з геометрії у 7 класі, які побудовані на перерахованих вище принципах.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Основні властивості відкладання відрізків та кутів
1. Проведіть пряму (горизонтально), позначте на ній точки О та В. 2. На промені ОВ від його початкової точки відкладіть відрізок, що дорівнює 5см. 3. Від променя ОВ у нижню півплощину відкладіть кут ВОА, що дорівнює 50° Запитання: Скільки відрізків заданої довжини можна відкласти на півпрямій від її початкової точки? Скільки відрізків заданої довжини можна відкласти на даній прямій від цієї точки? Скільки кутів заданої величини (градусної міри) можна відкласти від напівпрямої в задану напівплощину? Скільки кутів заданого градусного заходу можна відкласти від даної напівпрямої?
О В С ОС = 5 см В О А 50 ° ∠ ВОА = 50 ° О В С С " ОС = 5 см ОС ' = 5 см О В А В " 50 ° 50 ° ∠ ВОА = 50 ° ∠ В ' ОА = 50 °
VI. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини і лише один. VII. Від будь-якої напівпрямої в задану півплощину можна відкласти кут із заданим градусним заходом, меншим 180°, і тільки один.