Koncept druhej odmocniny zápornej veličiny
Pozrime sa na zarovnanie x2 = 4. Poďme si to graficky rozložiť. Pre koho v jednom systéme súradnice zbuduєmo parabola y \u003d x2 i priamka y \u003d 4 (obr. 74). Zápach je tónovaný v dvoch bodoch A (- 2; 4) a B (2; 4). Bod úsečky A i є korene sa rovnajú x2 = 4. Tiež x1 = - 2, x2 = 2.
Razmirkovuyuchi je to tak, poznáme koreň rovný x2 = 9 (oddiel obr. 74): x1 = - 3, x2 = 3.
Teraz skúsime virishitu rovnú x2 = 5; geometrické ilustrácie sú uvedené na obr. 75. Je zrejmé, že existujú dva korene x1 a x2, navyše počet čísel, ako a v dvoch smeroch dopredu, je rovnaký pre absolútnu hodnotu a dĺžku pre znamienko (x1 - - x2), ak by boli známe bez praxe (lebo by ich bolo možné poznať a neprekryť grafmi), s x2 = 5 vpravo to tak nie je: za stoličkami nemôžeme ukázať význam koreňov, môžeme ho len vložiť, len jeden koreň tri body vľavo od bodu - 2 a ďalšie - tri vpravo od bodu 2.
Ale, tu nás čaká neprijateľné prekvapenie. Zdá sa, že taký neexistuje zlomky DIV_ADBLOCK32">
Je prijateľné, že je to taký krátkodobý drіb, pre ktorý víťazí vyrovnanosť https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:.jpg" width="55" height="36">!}!}, t.j. m2 = 5n2. Zostávajúca žiarlivosť to znamená prirodzené číslo m2 možno bez prebytku deliť 5 (privátna šírka má n2).
Neskôr číslo m2 končí číslom 5, číslom 0. Ale prirodzene číslo m končí číslom 5, číslom 0, teda číslo m sa vydelí 5 bez prebytku. Inak sa zdá, že ak je číslo m delené 5, potom súkromné vide je prirodzené číslo k. Ze znamená, že m = 5k.
A teraz sa čuduj:
Predpokladajme, že 5k namiesto m pre vyrovnanosť pershú:
(5k) 2 = 5n2, potom 25k2 = 5n2 alebo n2 = 5k2.
Zostávajúca žiarlivosť znamená, že číslo. 5n2 sa vydelí 5 bez prebytku. Rozmirkovuchi, ako viac, prideme do visnovky o tych, ze cislo n je delitelne 5 bez. prebytok.
Otzhe, m je delené 5, n je delené 5, tiež drib môže byť krátky (o 5). A potom sme dovolili, aby ten drib nebol krátky. Prečo je to vpravo? Prečo, správne, mirkuyuchi, sme sa dostali do bodu absurdity, alebo, ako sa často zdá matematici, sňali odpadky “! ).
Ak v dôsledku správneho mirkuvanu prídeme s mysľou k znamenitosti, potom robimo fúzy: naše odpustenie je neoveriteľné, potom veríme tým, ktoré bolo potrebné priniesť.
Otec, vznášam sa len na tvoj príkaz racionálne čísla(A stále nepoznáme ostatné čísla), rovná sa x2 = 5 a nemôžeme to prekonať.
Po preštudovaní podobnej situácie si matematici uvedomili, že je potrebné uhádnuť, ako opísať matematický jazyk. Do hľadiska uviedli nový symbol, ktorý nazvali odmocnina, a pomocou tohto koreňového symbolu x2 \u003d 5 ho zapísali takto: ). Teraz, z akéhokoľvek dôvodu, x2 = a, de a > Oh, môžete poznať koreň - sú to číslahttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:.jpg" width="32" height="31">!}!} nie zdravé a nie suché.
Neskôr, nie racionálne číslo, ale číslo novej povahy, o takýchto číslach budeme hovoriť neskôr, pri delení 5.
Zatiaľ je to menej výrazné, no nové číslo je medzi číslami 2 a 3, črepy 22 = 4 a menej, nižšie 5; Z2 \u003d 9 a viac nižšie ako 5. Môžete určiť:
Ešte raz, rešpekt: tabuľky majú menej kladných čísel, črepy nie sú označené označením odmocniny. Ak je napríklad = 25 - rovnosť správna, prejdite na ďalší záznam v zázname odmocniny (napíšte čo). .jpg" alt="(!JAZYK:(!JAZYK:.jpg" width="42" height="30">!}!}- kladné číslo, https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:.jpg" width="35" height="28">!}!}. Bolo rozumnejšie, že to bolo viac, nižšie 4 a menej, nižšie 5, pretože 42 = 16 (nižšie, nižšie 17) a 52 = 25 (vyššie, nižšie 17).
Vtіm, najbližšia hodnota čísla môže byť známa ako pomoc mikrokalkulačka Ako pomstiť operáciu druhej odmocniny; hodnota je drahšia 4,123.
Číslo, lajknite a pozrite sa na číslo, nie je racionálne.
e) Nie je možné vypočítať, nemožno použiť druhú odmocninu záporného čísla; záznam o odpustkoch zmyslom. Úloha bola navrhnutá nesprávne.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!} Oskilki 75 > 0 a 752 = 5625.
V najjednoduchších prípadoch sa hodnoty druhej odmocniny vypočítajú raz:
https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
Riešenie.
Prvé štádium. Nezáleží na tom, či uhádnete, že vidpovid viide má 50 іz "chvost". V skutočnosti je 502 = 2500 a 602 = 3600 a číslo 2809 je medzi číslami 2500 a 3600.
Plocha štvorcového pozemku je 81 dm2. Poznať stránku jogy. Predpokladajme, že dĺžka strany štvorca je dobrá X decimetre. Todi oblasť domu je drahšia X² štvorcových decimetrov. Črepy pre myseľ, plocha je teda 81 dm² X² \u003d 81. Dĺžka strany štvorca je kladné číslo. Kladné číslo, ktorého druhá mocnina je 81, є je číslo 9. Pri riešení úloh je na vyriešenie úlohy potrebné poznať číslo x, ktorého druhá mocnina je 81. X² \u003d 81. Cena má dva korene: X 1 = 9 X 2 \u003d - 9, črepy 9² \u003d 81 і (- 9) ² \u003d 81. Obťažujúce čísla 9 і - 9 sa nazývajú odmocniny čísla 81.
Vážení, to je jedna z odmocnin X= 9 є kladné číslo. Yogo sa nazýva aritmetická druhá odmocnina z čísla 81 a označuje √81, takéto poradie je √81 = 9.
Aritmetická druhá odmocnina čísla a sa volá mne neznáme číslo, štvorec nejakého starého a.
Napríklad čísla 6 i - 6 sú odmocniny čísla 36. Keď je číslo 6 aritmetickou druhou odmocninou čísla 36, zlomky 6 nie sú číslom i 6² = 36. Číslo - 6 nie je aritmetický koreň.
Aritmetická druhá odmocnina čísla a znamenal takto: √ a.
Znamienko sa nazýva znamienko aritmetickej odmocniny; a- sa nazýva podkoreňový vírus. Viraz √ ačítať takto: aritmetická druhá odmocnina čísla a. Napríklad √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. V pokojnej nálade, ak je jasné, že existuje aritmetická odmocnina, bude krátka: „druhá odmocnina z a«.
Hodnota druhej odmocniny v sklade sa nazýva hodnota druhej odmocniny. Tsya diya є zabalené do štvorca.
Je možné umocniť druhú mocninu, či ide o číslo, ale na získanie druhej odmocniny je možné nebyť číslo. Napríklad nie je možné nakresliť druhú odmocninu čísla - 4. Po nájdení takého koreňa potom, keď sme ho rozpoznali písmenom X, Odstránili by sme nesprávnu rovnosť x² = - 4, takže to stojí za cenu neznámeho čísla, ale vpravo je záporné.
Viraz √ a maє sens tilki pre a ≥ 0. Hodnotu druhej odmocniny môžeme stručne zapísať takto: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Vlastný kapitál (√ a)² = a spravodlivé pre a ≥ 0. Takýmto spôsobom zmeniť na skutočnosť, že druhá odmocnina záporného čísla a dorivnyuє b, potom v tom √ a =b, je potrebné revidovať, že títo dvaja si myslia: b ≥ 0, b² = a.
Druhá odmocnina zlomku
Poďme počítať. S rešpektom, že √25 = 5, √36 = 6 a je reverzibilné, že rovnosť je víťazná.
tak jaka 
i , potom je vyrovnanosť pravdivá. Otzhe, 
.
Veta: Yakscho a≥ 0 a b> 0, teda odmocnina zo zlomku sa rovná odmocninu z číselnej knihy, vydelená odmocninou z prúžku. Je potrebné priniesť, že: 
.
Bo √ a≥0 ta √ b> 0, potom .
Pre yak_styu zvedennya strieľal na nohy a znak druhej odmocniny 
veta bola dokončená. Poďme sa pozrieť na šprot aplikácií.
Vypočítajte pre hotovú vetu 
.
Ďalší zadok: Prineste čo 
, Páči sa mi to a ≤ 0, b < 0. 
.
Ďalší zadok: Vypočítajte.
.
Obrátenie druhej odmocniny
Vina násobilky z-pіd na znak koreňa. Nech sa dá Viraz. Yakscho a≥ 0 a b≥ 0, potom podľa vety o vytvorení koreňa môžeme napísať:
Takáto transformácia sa nazýva chyba násobiteľa z-pod znak koreňa. Pozrime sa na zadok;
Vypočítajte pri X= 2. Žiadne stredné striedanie X= 2 v koreni vírusu, aby sa vytvoril výpočet skladania. Výpočet Qi si možno odpustiť, ako keby sme obviňovali znak z-pіd koreňových multiplikátorov: . Ak teraz dosadíme x = 2, vezmeme:.
Otzhe, s vinou multiplikátora z-pіd znamienka koreňa є podkoreňový viraz pri stvorení, v ktorom je jeden alebo viac multiplikátorov v štvorcoch neznámych čísel. Potom vypracujme vetu o koreňoch stvorenia a nakreslime korene z kožného multiplikátora. Pozrime sa na zadok: Odpustenie A \u003d √8 + √18 - 4√2 v prvých dvoch dodankiv multiplikátoroch koreňového znamenia, berieme:. Povzbudzujem ťa, tá žiarlivosť 
spravodlivé len pre a≥ 0 a b≥ 0. dobre a < 0, то .
Pozrime sa na zarovnanie x 2 = 4. Poďme si to graficky rozložiť. Pre cgo v jednom súradnicovom systéme vytvoríme parabolu y \u003d x 2 i priamku y \u003d 4 (obr. 74). Zápach je tónovaný v dvoch bodoch A (- 2; 4) a B (2; 4). Bod úsečky A i є korene sa rovnajú x 2 \u003d 4. Tiež x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.
Rozmіrkovuyuchi presne tak, poznáme koreň rovný x 2 \u003d 9 (oddiel obr. 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.
Teraz skúsme virishity rovnajúce sa x 2 = 5; geometrické ilustrácie sú uvedené na obr. 75. Je zrejmé, že existujú dva korene x 1 a x 2; Korene de boli známe bez praxe (pretože ich bolo možné poznať a nie sú korózne s grafmi), pričom sa rovná x 2 = 5 vpravo nie je: za kreslá nemôžeme ukázať význam koreňov, môžeme len nastaviť, že jeden koreň je roztashovuetsya tri body - 2, a ten druhý je trochu správnejší
Body 2.
Aké je číslo (bod), ako dávajú tri pravotočivé body 2 a aká druhá mocnina 5? Zrozumіlo, sho tse 3, oskіlki Z 2 = 9, t.j. ísť von viac, nižšie je potrebné (9\u003e 5).
Čiže u nás je číslo rozložené medzi čísla 2 a 3. Ale medzi číslami 2 a 3 sú neosobné racionálne čísla, napr. 
a tak ďalej. Možno je medzi nimi taký priateľ, čo? Nebudeme mať rovnaké problémy od rovných x 2 - 5, môžeme napísať aké 
Ale, tu nás čaká neprijateľné prekvapenie. Zdá sa, že neexistuje taký zlomok, pre ktorý víťazí žiarlivosť
Dôkaz formulovaného tvrdenia je potrebné doplniť. Tim nie je menší, vedie nás joga, čriepky sú krajšie a vzadu ešte lepšie vyskúšať jogový intelekt.
Je prijateľné, že taký krátkodobý drіb, na yak vykonuєtsya vyrovnanosť. Potom, potom m2 = 5n2. Zostávajúca rovnosť znamená, že prirodzené číslo m 2 je deliteľné bez prebytku 5 (pre súkromný pohľad n2).
Neskôr číslo m 2 končí číslom 5, číslom 0. Ale prirodzené číslo m končí číslom 5, teda číslom 0. Číslo m je deliteľné 5 bez prebytku. Inak sa zdá, že ak je číslo m delené 5, potom súkromné vide je prirodzené číslo k. Tse znamená
že m = 5k.
A teraz sa čuduj:
m 2 \u003d 5n 2;
Predpokladajme, že 5k namiesto m pre vyrovnanosť pershú:
(5k)2 = 5n2, potom 25k2 = 5n2 alebo n2 = 5k2.
Zostávajúca žiarlivosť znamená, že číslo. 5n 2 je deliteľné 5 bez prebytku. Rozmіrkovuchi, ako ešte viac, prichádzame k visnovke o tých, že číslo n je deliteľné 5 bez prebytku.
Otzhe, m je delené 5, n je delené 5, tiež drib môže byť krátky (o 5). A potom sme dovolili, aby ten drib nebol krátky. Prečo je to vpravo? Prečo, správne, mirkuyuchi, sme sa dostali do bodu absurdity, alebo, ako sa často zdá matematici, sňali odpadky “!
Zvіdsi robimo visnovok: taký zlomok neexistuje.
Metóda dôkazu, na ktorú sme tvrdohlavo narazili, sa v matematike nazýva metóda dôkazu protivolego. Prichádza podstata jogy. Je potrebné, aby sme diakonovi priniesli pevnosť, ale dovolíme, aby to bolo neprijateľné (matematici sa zdajú: „tolerovateľne neprijateľné“ – nie v zmysle „neprijateľné“, ale v zmysle „pokiaľ je to potrebné“).
Ak v dôsledku správneho mirkuvanu prídeme s mysľou k znamenitosti, potom robimo fúzy: naše odpustenie je neoveriteľné, potom veríme tým, ktoré bolo potrebné priniesť.
Otzhe, vynárajúci sa nad racionálnymi číslami (a ďalšie čísla ešte nepoznáme), rovný x 2 \u003d 5 pre nás nie je možný.
Po preštudovaní podobnej situácie si matematici uvedomili, že je potrebné uhádnuť, ako opísať matematický jazyk. Zaviedli zdanlivo nový symbol, ktorý nazvali odmocnina, a pre dodatočný symbol odmocniny rovný x 2 \u003d 5 to zapísali takto: 
očakáva sa: „druhá odmocnina z 5“). Teraz, pre akýkoľvek druh rovnakej mysle, x 2 \u003d a, de a\u003e O, môžete poznať odmocninu – sú to čísla 
, (Mal. 76).
Viac nebeskej podpory, scho to číslo nie je celé a ani párne.
Neskôr, nie racionálne číslo, ale číslo novej povahy, o takýchto číslach budeme hovoriť neskôr, pri delení 5.
Zatiaľ je to menej výrazné, no nové číslo je medzi číslami 2 a 3, črepy 2 2 = 4, a menej, nižšie 5; Z 2 \u003d 9 a ešte nižšie 5. Môžete určiť:
Pravda, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Môžete
špecifikovať: 
naozaj, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
V praxi je dôležité poznamenať, že číslo jeden je 2,23, alebo je to drahšie 2,24, ale nie je to len rovné, ale rovné je blízko, aby sa rozpoznalo, čo je víťazný symbol.
Otzhe, 
Diskusia o riešení rovného x 2 \u003d a; Tráviť čas v neštandardnej, neštandardnej situácii (napríklad milovať kozmonautov) a nevedieť, ako sa z toho dostať pre ďalšiu pomoc, predpovedajú matematici pre matematický model, ktorý sa predtým používal, nový pojem a nový význam (nový symbol); inak zjavne zavádzajú nové chápanie, že buv zvýši silu toho
pojmov. Tim sám, nové chápanie tohto chápania jogy sa stáva hlavou matematického hnutia. Postupovali sme rovnako: zaviedli pojem „druhá odmocnina čísla a“, zaviedli symbol pre jeho význam a tri roky pre silu nového pojmu. Zatiaľ vieme len jednu vec: že a > 0,
potom - kladné číslo, ktoré spĺňa rovnosť x 2 \u003d a. Inými slovami, toto je kladné číslo, po druhej mocnine vyjde číslo a.
Oskilki sa rovná x 2 \u003d 0 maє koreň x \u003d 0
Teraz sme pripravení na prečítanie menovania.
Vymenovanie.
Druhá odmocnina nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a.
Znamená číslo Tse a číslo, pri ktorom sa nazýva koreňové číslo.
Otzhe, ako keby a nebolo číslo, potom: 
Yakscho a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
V tomto poradí je vírusový zmysel menší ako > 0.
Povedzte, čo 
- jeden a ten istý matematický model (jedna a tá istá zatuchlina medzi neznámymi číslami
(a to b), ale iba priateľ je opísaný jednoduchšie bane, nižšie prvé (jednoduché symboly víťazstva).
Operácia nájdenia druhej odmocniny záporného čísla sa nazýva zmena druhej odmocniny. Operácia Tsya je zvrat oživením na námestí. Úroveň:
Ešte raz, rešpekt: tabuľky majú menej kladných čísel, črepy nie sú označené označením odmocniny. Chcem napríklad (- 5) 2 \u003d 25 - rovnosť je správna, prejdite na ďalší záznam s druhou odmocninou variantu (tak napíšte čo.)
nemôže. Za ospravedlnenie,. - Kladné číslo znamená 
.
Často sa zdá, že to nie je „druhá odmocnina“, ale „aritmetická druhá odmocnina“. Pojem "aritmetika" je vynechaný kvôli štýlu. 
D) Na pohľade na predné zadky môžeme uviesť presnú hodnotu čísla. Je menej jasné, že je to väčšie, nižšie 4, pivo menej, nižšie 5, oscalki
42 = 16 (menší, nižší 17) a 52 = 25 (vyšší, nižší 17).
Vtіm, najbližšia hodnota čísla môže byť známa pomocou mikrokalkulačky, ako pomstiť operáciu druhej odmocniny; hodnota je drahšia 4,123.
Otzhe, 
Číslo, lajknite a pozrite sa na číslo, nie je racionálne.
e) Nie je možné vypočítať, nemožno použiť druhú odmocninu záporného čísla; záznam o odpustkoch zmyslom. Úloha bola navrhnutá nesprávne.
e) , oskіlki 31 > 0 і 31 2 = 961. V takýchto prípadoch môžete vyhrať tabuľku druhých mocnín prirodzených čísel a mikrokalkulačku.
g), črepy 75 > 0 a 75 2 = 5625.
V najjednoduchších prípadoch sa hodnoty druhej odmocniny vypočítajú dvakrát: atď. A ako buti, ako môže jedna ruka žiadne tabuľky, žiadna kalkulačka? Vidpovіmo tse pitannya, virishivshi útočný zadok.
zadok 2. Vypočítajte
Riešenie.
Prvé štádium. Nezáleží na tom, či uhádnete, že vidpovid viide má 50 іz "chvost". V skutočnosti, 50 2 \u003d 2500 a 60 2 \u003d 3600, číslo 2809 je medzi číslami 2500 a 3600.
Ďalšia etapa. Poznáme „chvost“, tobto. Nechám číslo hlúpeho čísla. Pokiaľ vieme, že koreň rastie, potom v budúcnosti môžete mať 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 alebo 59. Treba skontrolovať iba dve čísla: 53 a 57 Výsledok je iné číslo, ktoré končí číslom 9, potom rovnaké číslo, ktoré končí číslom 2809.
Maєmo 532 = 2809 - Tse tie, ktoré potrebujeme (mali sme šťastie, raz sme boli konzumovaní do „jablka“). Otzhe, = 53.
Návrh:
53
Príklad 3 Nohy rovno strihaného tricutnika sú hrubé 1 cm a 2 cm Prečo je prepona tricutnika? (Obr. 77)
Riešenie.
Rýchlo sledujeme geometriu Pytagorovej vety: súčet druhých mocnín dĺžok nôh rovno strihaného trikotu sa rovná štvorcu dĺžky jeho prepony, takže a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - nohy, c - prepona rovno strihaného trikotu.
Znamenať,
Tento zadok ukazuje, že zavedenie druhej odmocniny nie je matematickým problémom, ale objektívnou nevyhnutnosťou: v reálnom živote sa situácie stávajú bežnejšími, ktorých matematické modely dokážu prekonať operáciu vynútenia odmocniny. Možno, že najdôležitejšia z takýchto situácií súvisí s
rozvyazuvannyam námestie rivnyan. Dosi, pomocou štvorca rovná sa ax 2 + bx + c = 0, sme buď rozložili ľavú časť na multiplikátory (ktoré sa ukázali byť ďaleko od reality), alebo víťazné grafické metódy (ktoré nie sú príliš fantazijné, ale krásne). Naozaj pre srandu
koreň x 1 a x 2 štvorcovej rovnice ax 2 + bx + c = 0
pomsta, ako vidíte, znamenie odmocniny. Vzorce Qi zastosovuyutsya prakticky v takejto hodnosti. Napríklad, musíte rozdeliť 2x 2 + bx - 7 = 0. Tu a = 2, b = 5, c = - 7. Neskôr
b2-4ac = 5 2-4. 2. (- 7) \u003d 81. Dali je známy. Znamenať,
Viac sme určili, čo nie je racionálne číslo.
Matematici označujú takéto čísla za iracionálne. Iracionálne - či už ide o číslo, ako keby sa druhá odmocnina neobjavila. Napríklad, 
atď. - Iracionálne čísla. V 5 správach si povieme o racionálnych a iracionálnych číslach. Racionálne a iracionálne čísla sa razom stávajú neosobnými reálnymi číslami. neosobné čísla, s ktorými pracujeme v reálnom živote (napr
správy). Toto všetko sú napríklad platné čísla.
Rovnako, ako sme si už určili pojem odmocniny, môžeme priradiť pojem odmocnina: odmocnina neznámeho čísla a sa nazýva mne neznáme číslo, ktorého druhá mocnina je číslo. Inými slovami, vyrovnanosť znamená, že b3 = a.
Na kurze algebry 11. ročníka je možné všetko.
Na tsіy statti mi zaprovadimo pochopiť koreň čísla. Dyatimemo postupne: počnúc od druhej odmocniny, prejdime k popisu kubickej odmocniny, po ktorej môžeme pochopiť koreň, označujúci koreň n-tého stupňa. Zároveň uvádza názov, znak, navrhuje použitie koreňov a poskytuje potrebné vysvetlenia pre tento komentár.
Druhá odmocnina, aritmetická druhá odmocnina
Na pochopenie významu odmocniny čísla, i odmocniny, zokrema, potrebuje matka. V tomto bode mi často zishtovhuvatimosya s ďalším krokom čísla - druhou mocninou čísla.
Pochnemo s druhá odmocnina menovateľ.
Vymenovanie
Druhá odmocnina z a- Tse číslo, druhá mocnina nejakého starého a.
Schob olovo aplikujte druhú odmocninu, Vezmime si nejaké čísla, napríklad 5 , −0.3 , 0.3 , 0 (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 i 0 2 = 0 0 = 0). Potom pre dané úlohy je číslo 5 druhou odmocninou čísla 25, čísla −0,3 a 0,3 sú odmocniny z 0,09 a 0 je druhá odmocnina z nuly.
Ďalej označte, že pre akékoľvek číslo a je druhá mocnina nejakého druhu a. A pre seba, pre žiadne záporné číslo a, nepoužívajte rovnaké desatinné číslo b, druhú mocninu akéhokoľvek iného čísla a. Pravda, rovnosť a=b 2 je nemožná pre žiadne záporné a , črepy b 2 - pre žiadne b nepoznám číslo. takýmto spôsobom, na neosobných reálnych číslach neexistuje druhá odmocnina záporného čísla. Inými slovami, na neosobných reálnych číslach druhá odmocnina záporného čísla nevyniká a nedáva zmysel.
Znie to ako logické jedlo: „A aká je druhá odmocnina z a, či je veľa a“? Vidpovid - tak. Na základe tejto skutočnosti možno zaviesť konštruktívnu metódu, ktorá sa používa na určenie hodnoty druhej odmocniny.
Uvádzate logickejší dôvod: „Aký je počet všetkých druhých odmocnín daného nekonečného čísla a – jeden, dva, tri alebo dokonca viac“? Os vіdpovіd on new: ak sa a rovná nule, potom jedna druhá odmocnina nuly je nula; ak a je kladné číslo, potom je počet odmocnín z čísla a rovný dvom, navyše odmocnina je є. Obguruntuemo tse.
Dovidenia a=0. Na druhej strane sa ukazuje, že nula platí odmocninou z nuly. Dôvod zjavnej rovnosti je 02 = 00 = 0 a je zvolená druhá odmocnina.
Teraz môžeme povedať, že 0 je jedna druhá odmocnina z nuly. Zrýchľovanie metódou videnia neprijateľného. Povedzme, že je to číslo b, ktoré sa rovná nule a že je to druhá odmocnina z nuly. Potom je možné vyhrať myseľ b 2 \u003d 0, čo je nemožné, na to, že v prípade akéhokoľvek druhu nuly b je hodnota vírusu b 2 kladná. Urobili sme super-ostrosť. Je potrebné uviesť, že 0 je jedna druhá odmocnina z nuly.
Prejdeme na vipadkіv, ak a je kladné číslo. Viac nám bolo povedané, že musíte použiť druhú odmocninu ľubovoľného čísla, nech sa odmocnina a rovná číslu b. Je prijateľné, že є je číslo c, ale aj є je druhá odmocnina z a. Potom pre účely druhej odmocniny platí rovnosť b 2 \u003d a i c 2 \u003d a, z ktorých je zrejmé, že b 2 − c 2 \u003d a − a \u003d 0, ale črepy b 2 − c 2 \u003d (b − c) ( b + c), potom (b-c) · (b + c) = 0 . Žiarlivosť je zbavená sily právomoci dіy іz dіysnimi čísla možno len vtedy, ak b-c=0 alebo b+c=0. V tomto poradí sú čísla b a c rovnaké alebo protilege.
Ak pripustíme, že číslo d, ešte jedna druhá odmocnina na sklade a, tak zrkadlením, podobným tomu, na ktoré sme už upozornili, treba dospieť k tomu, že d je bližšie k číslu b alebo k číslu c. . Tiež počet druhých odmocnín z kladného čísla sa rovná dvom, navyše odmocnina sú opačné čísla.
Pre efektívnosť práce s odmocninami je záporná odmocnina „posilnená“ ako kladná. Zadajte metódu Z tієyu odvodenie aritmetickej druhej odmocniny.
Vymenovanie
Aritmetická druhá odmocnina záporného čísla a- Tse nevіd'єmne číslo, ktorého štvorec dovnyuє a.
Pre aritmetickú druhú odmocninu skladu a sa berie hodnota. Znamienko sa nazýva aritmetická odmocnina. Jogo sa nazýva aj znakom radikála. Môže to byť čiastočne niečo ako „koreň“ a tiež „radikál“, čo znamená ten istý objekt.
Číslo pod znamienkom aritmetickej odmocniny sa volá koreňové číslo, a vírus v znamení koreňa - podkorenový virázom, sa v ich pojme „podkoreňové číslo“ často nahrádza „podkorenové číslo viraz“. Napríklad v položke je číslo 151 hlavným koreňovým číslom a v položke viraz a je koreňom viraz.
Pri čítaní sa slovo „aritmetika“ často vynecháva, napríklad záznam sa číta ako „druhá odmocnina zo siedmich dvadsaťdeväť centov“. Slovo „aritmetika“ sa používa iba raz, ak chcete byť obzvlášť očividní, môžete ísť o kladnú druhú odmocninu čísla.
Vo svetle zavedenej hodnoty má aritmetická druhá odmocnina aritmetickej odmocniny rovnakú hodnotu ako akékoľvek nezáporné číslo a.
Druhá odmocnina kladného čísla a za doplnkovým znamienkom aritmetickej odmocniny sa zapíše ako i. Napríklad druhá odmocnina čísla 13 є i. Aritmetická druhá odmocnina nuly sa rovná nule, potom . Pre záporné čísla a nie sú položky mi vystavené senzácii až do udalosti komplexné čísla. Napríklad zmierniť zmysel pre vislovlyuvannya.
Pre čiastkové vaky druhej odmocniny sa uvádza hodnota druhej odmocniny, čo je najpraktickejšie.
Na konci tohto bodu stojí za to rešpektovať, že druhá odmocnina čísla a є riešenia tvaru x 2 \u003d lepšia zmena x.
Kubická odmocnina čísla
Definícia odmocniny kocky sklad a sa udáva rovnako ako odmocnina. Je ľahké vymaniť sa z chápania kocky čísla, ale nie štvorca.
Vymenovanie
Kubický koreň v sklade a volá sa číslo, ktorého kocka sa rovná a.
Splavné aplikovať kubický koreň. Pre aký počet čísel, napríklad 7, 0, −2/3, poznám їx y kocka: 7 3 \u003d 7 7 7 \u003d 343, 0 3 \u003d 0 0 0 \u003d 0 
. Takže na základe označenia odmocniny môžete potvrdiť, že číslo 7 je odmocnina z 343, 0 je odmocnina z nuly a −2/3 je odmocnina z −8/27.
Môžete ukázať, že odmocnina skladu a, na druhú odmocninu, zavzhd іsnuє, navyše pre nezáporné a, ale pre akékoľvek reálne číslo a. Pre koho môžete vyhrať rovnakým spôsobom, o ktorom sme hádali druhú odmocninu.
Nad nimi je len jeden kubický odmocnina z celého čísla a. Prinášame zvyšok tuhosti. Pre ktorú z nich sa berú do úvahy tri vipady: a je kladné číslo, a=0 a a je záporné číslo.
Je ľahké ukázať, že pre kladné a nemôže byť odmocninou pre a ani záporné číslo, ani nula. Pravda, nech b є kubická odmocnina pre a, potom pre to isté môžeme napísať rovnosť b 3 \u003d a. Zdá sa, že spoľahlivosť môže byť správna so záporným b і pre b=0, zlomky v záporoch b 3 =b·b·b budú samozrejme záporné číslo chi nula. Odmocnina z kladného čísla a je tiež kladné číslo.
Teraz je prijateľné, že číslo b má o jednu kubickú odmocninu viac od čísla a, výrazne o jedno c. Potom c 3 = a. Neskôr b 3 −c 3 =a−a=0 , ale b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(vzorec pre krátke násobenie rozdiel kociek), hviezdy (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Otrimanova žiarlivosť je možná len vtedy, ak b−c=0 alebo b 2 +b c+c 2 =0 . Z prvej rovnosti môžeme b=c a iné riešenie neexistuje, pretože ľavá časť je kladné číslo pre ľubovoľné kladné čísla b і c ako súčet troch kladných sčítaní b 2 , b c і c 2 . Cim priniesol jednotu odmocniny kladného čísla a.
Keď a=0, odmocnina skladu a є je väčšia ako číslo nula. Je zrejmé, že ak predpokladáte, že je použité číslo b, ak vidíte nulu ako odmocninu od nuly, potom môžete vyhrať párnosť b 3 = 0, ako môžete len pre b = 0.
Pre záporné a môžete vyvolať zrkadlenie, podobné kladnému a. Po prvé, ukazuje sa, že odmocnina záporného čísla sa nemôže rovnať kladnému číslu ani nule. Iným spôsobom, predpokladajme, že existuje ďalší kubický koreň zo záporného čísla a ukazuje sa, že víno je obov'yazkovo s prvým.
Otzzhe, zavzhd іsnuіє korіnіch s ľubovoľného daného desatinného čísla a, navyše jedna.
Damo označenie aritmetickej odmocniny.
Vymenovanie
Aritmetická odmocnina záporného čísla ačíslo sa mi volá neznáme, kocka nejakého starého a.
Aritmetická odmocnina neznámeho čísla a je označená ako , znamienko sa nazýva znamienko aritmetickej odmocniny, v tomto zázname sa volá číslo 3 koreňový indikátor. Číslo pod znamienkom koreňa - tse koreňové číslo, viraz pod znamenim korena - tse podkorenný vírus.
Ak chcete, aby sa aritmetickej odmocnine priradili iba záporné čísla a, môžete tiež manuálne ohodnotiť záznamy, pri ktorých znamienko aritmetickej odmocniny zmení záporné čísla. Predstavte si ich takto: , de a je kladné číslo. Napríklad, 
.
O sile kubického koreňa si povieme v hlavnom článku o sile koreňov.
Výpočet hodnoty odmocniny sa nazýva variácia odmocniny, dôvod je prevzatý z článku variácie koreňov: metódy, aplikácie, riešenia.
Na konci tohto odseku povedzme, že odmocnina skladu je a є riešenia tvaru x 3 =a.
Koreň n-tého štádia, aritmetický koreň štádia n
Je ľahké pochopiť koreň čísla - predstavujeme označenie koreňa n-tého štádia pre n.
Vymenovanie
Koreň n-tého stupňa čísla a- Tse číslo, n-tý krok nejakého druhu a.
Od prvého stretnutia sa pochopilo, že koreňom prvého kroku z čísla a je samotné číslo a, črepy toho istého kroku s prirodzeným indikátorom mali hodnotu 1 \u003d a.
Bližšie sme sa pozreli na odmocniny n-tého stupňa pri n=2 a n=3 – odmocnina a odmocnina. Odmocnina je teda odmocnina z inej úrovne a odmocnina je odmocnina z tretej úrovne. Na extrakciu koreňov n-tého kroku s n=4, 5, 6, ... їх ručne rozdeliť do dvoch skupín: prvá skupina - korene spárovaných krokov (t. j. s n = 4, 6, 8, ...), druhá skupina - koreň nepárových krokov (tobto, pri n=5, 7, 9, ...). Preto je odmocnina párových krokov podobná druhej odmocnine a odmocnina nepárových krokov je kubická. Poďme si ich s nimi vyriešiť.
Pozrime sa na koreň, ktorého kroky sú chlapci čísla 4, 6, 8, ... Ako sme už povedali, smrad je podobný druhej odmocnine čísla a. Tobto, koreň každého párového kroku v sklade a іsnuє len pre nezáporné a. Navyše, ak a=0, potom koreň a je jednoduchý a rovný nule, a ak a>0, potom sú dva korene párového kroku od čísla a, navyše sú to opačné čísla.
Obguruntuemo zostáva tvrdené. Nech b je koreň párového stupňa (výrazne її jak 2m, de m je prirodzené číslo) z čísla a. Predpokladajme, že číslo c je ďalší odmocnina kroku 2·m v sklade a. Potom b 2m −c 2m =a−a=0 . Poznáme tvar b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2) potom (b-c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z ієї іїї іїї vіplivaє, scho b−c=0 аbo b+c=0 , аbo b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvé dve rovnaké znamenajú, že čísla b a c sú rovnaké alebo b a c sú protilegy. A zvyšok rovnosti je spravodlivý len pre b = c = 0, črepy ľavej časti ľavej časti sú virazované, keďže je nezáporné, keď b je súčet nezáporných čísel.
Pokiaľ ide o korene n-tého stupňa s nepárovým n, potom je smrad podobný kubickému koreňu. Preto koreň nepárového sveta z čísla a platí pre skutočné číslo a, navyše pre dané číslo je a jedna.
Jednota odmocniny nepárového kroku 2 m+1 v sklade a je uvedená analogicky s dôkazom jednoty odmocniny a. Len tu je zástupca žiarlivosti a 3 −b 3 = (a−b) (a 2 +a b+c 2) víťaznosť formy b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viraz vo zvyšku oblúka je možné prepísať ako b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m-2 +c 2 m-2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Napríklad pri m=2 možno b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b-c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Ak a a b sú útočné kladné alebo urážlivé záporné їх tvіr є kladné číslo, potom viraz b 2 +c 2 +b·c, ktorý je v oblúkoch najvyššej úrovne investície, je kladný ako súčet kladných čísel. Teraz, vyčnievajúc postupne až po viráz na oblúkoch dopredných schodov investície, prehodíme, že smrad je tiež pozitívny, ako súčet kladných čísel. Pre výsledok je potrebné, aby rovnosť b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 Je to možné iba raz, ak b−c=0, potom ak sa číslo rovná číslu c.
Nastal čas preskúmať korene n-tej úrovne. Pre koho je to dané označenie aritmetického koreňa n-tého stupňa.
Vymenovanie
Aritmetický koreň n-tého stupňa nekonečného čísla a volá sa nezáporné číslo, ktorého n-tým krokom je viac a.
Ešte raz pohľad na znamenie... A poďme!
Začnime od jednoduchého:
Khvilinka. tse a tse znamená, že to môžeme napísať takto:
dobyl? Os vášho postupu:
Zdá sa, že koreň z čísel, ktoré vychádzajú, spolu nevychádza? Nebіda - os z vás tak aplikujte:
A koľko násobiteľov nie sú dva, ale viac? To isté! Vzorec na násobenie koreňov pracuje s tým, či existuje nejaký počet násobiteľov:
Teraz to urobím sám:
Návrhy: Výborne! Počkajte, všetko je jednoduché, poznáte násobilku!
Podil koreň
Vstali sme z mnohých koreňov, teraz poďme k moci.
Hádam, že vzorec pre neslávne vyzerá takto:
Čo to znamená root z časti súkromného koreňa.
No šup, poďme sa pozrieť na zadky:
Os a celá veda. A os je taký príklad:
Všetko nie je také hladké, ako prvý zadok, pivo, ako bachish, nič sa neskladá.
A čo, ako opiť taký viráz:
Je potrebné jednoducho zastosuvat vzorec pri bráne priamo:
A os je taký príklad:
Môžete vidieť takýto vírus:
Napriek tomu len tu musíte hádať, ako posunúť zlomky (ak si nepamätáte, pozrite sa na tému a otočte sa!). Hádať? Teraz to vidíme!
Upevnena, scho z usim, usim oddychnut, teraz skusime rootnut svet.
Zvedennya v nohe
A čo urobíte, ako druhá odmocnina k druhej mocnine? Je to jednoduché, uhádneme zmysel druhej odmocniny skladu – to isté číslo, odmocnina nejakého starého.
Ako teda vytvoríme číslo, druhú odmocninu z určitého čísla, druhú mocninu, čo sa potom vezme?
No to je úžasné!
Poďme sa pozrieť na príklady:
Všetko je jednoduché, však? A v čom bude iný koreň? Nič hrozné!
Hľadajte túto logiku a pamätajte na silu a schopnosť krok za krokom.
Prečítajte si teóriu na tému "" a bude vám to veľmi jasné.
Os, napríklad taký viraz:
Koho zadok sveta má pár, ale čo ak bude nepárový? Viem, zastavte úroveň sily a rozložte všetko do multiplikátorov:
Z tsim nachebto všetko je jasné, ale ako vyhrať koreň kroku z-pomіzh? Os, napríklad:
Ľahko sa pije, však? A čo je väčší krok pre dvoch? Dorimuёmosya ієї zh logika, vikoristuyuyuchi mocenské kroky:
No, ako to všetci pochopili? Použite tieto isté verše sami:
A axis i vidіdpovіdі:
Zavedený pid koreňový znak
Prečo sme sa nenaučili pracovať s koreňmi! Len ma unavilo pokúšať sa zadať číslo pid koreňa!
Je to príliš jednoduché!
Predpokladajme, že máme číslo
Čo s ním môžeme robiť? No, zvichayno, zatvorte trojicu pod odmocninou a zároveň si pamätajte, že trojica je druhá odmocnina!
Čo ešte potrebujeme? Je to také jednoduché, rozšíriť naše možnosti o dokonalé aplikácie:
Aká je sila koreňa? Je to naozaj otázka života? Na mňa, to je pravda! Tilki Majte na pamäti, že ku kladnému číslu môžeme pridať iba druhú odmocninu.
Virish nezávisle na osi zadku -
Ponáhľal sa? Podivme sa, čo na sebe vidíte:
Výborne! Máte dosť ďaleko na to, aby ste zadali číslo pіd znak koreňa! Prejdime k niečomu, čo nie je menej dôležité – pozrime sa na to, ako opraviť čísla, aby sa pomstila odmocnina!
Koreňová oprava
Čo keby sme sa naučili zisťovať čísla, ako pomstiť druhú odmocninu?
Akési jednoduché. Pri veľkých a triviálnych virázach, ktoré hovoria v spánku, často berieme iracionálne dôkazy (pamätajte, aké to je? Dnes sme už o vás hovorili!)
Otrimani vіdpovіdі je potrebné roztashuvat na súradnicovej línii, napríklad určiť, ktorý interval je vhodný na zarovnanie. Prvá os je vodítko: kalkulačka sa nepoužíva, ale ako zistiť, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie, bez nej? Os a von!
Napríklad vyznach, čo je viac: chi?
nepovieš to hneď. No čo, je to rýchle nakresliť mocninu predstaveného čísla pod znamienkom odmocniny?
Pokračujte:
Je zrejmé, že čím väčšie číslo pod znamienkom koreňa, tým väčší je samotný koreň!
Tobto. yakscho, otzhe, .
Zv_dsi pevne robimo visnovok, scho. A nikto nás nemôže zmeniť z druhej strany!
Predzvesť koreňa veľkých čísel
Pred kým sme pridali násobilku pod znakom koreňa, ako to môžem viniť? Je potrebné jednoducho rozložiť jogu na multiplikátory a vyhrať tých, ktorí lezú!
Dalo sa piť aj iným spôsobom a natrieť na iné multiplikátory:
Nie je to zlé, však? Be-yaky іz tsikh podkhodіv vіrniy, virіshuy ako vy šikovne.
Usporiadanie pre multiplikátorov bude mať šťastie pri vykonávaní takýchto neštandardných úloh, ako je os reťazca:
Nie lakaєmos, ale diemo! Rozloženie koženého multiplikátora pod koreňmi na okremi multiplikátorov:
A teraz si to vyskúšajte na vlastnej koži (bez kalkulačky! Na joge nebudete môcť spať):
Hiba tse kinets? Nedajte sa oklamať pivdorozom!
Os a všetko, nie všetko a strašidelné, však?
Wiishlo? Výborne, máš pravdu!
A teraz skúste tento zadok virishiti:
A zadok je mitzny hrniec, takže ho nebudete môcť hneď vybrať, ako keby ste nastúpili do nového. Ale nám vínam, samozrejme, v zuboch.
No a čo tak zariadiť množiteľov? Je veľmi úctivé, že číslo môžete pridať do (uhádnite známky nepravdivosti):
A teraz to skúste sami (viem, bez kalkulačky!):
No scho, wiyshlo? Výborne, máš pravdu!
P_vedemo p_bags
- Druhá odmocnina (aritmetická odmocnina) nezáporného čísla je také nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina je lepšia.
. - Ak vezmeme odmocninu čohokoľvek, vždy vezmeme jeden negatívny výsledok.
- Sila aritmetického koreňa:
- Keď je odmocnina rovnaká, je potrebné si uvedomiť, že čím väčšie číslo pod znamienkom odmocniny, tým väčší je samotný odmocninec.
Aká je vaša druhá odmocnina? Malo všetko zmysel?
Snažili sme sa vám bez šoférovania vysvetliť všetko, čo je potrebné vedieť v spánku o druhej odmocnine.
Teraz tvoj diabol. Napíšte nám vhodnú tému pre vás.
Keď som ťa teraz spoznal, všetko bolo také jasné.
Napíšte do komentárov a veľa šťastia v spánku!