Настав час розібрати способи вилучення коренів. Вони базуються на властивостях коренів, зокрема, на рівність, яка справедлива для будь-якого невід'ємного числа b.
Нижче по черзі розглянемо основні способи вилучення коренів.
Почнемо з найпростішого випадку – із вилучення коренів із натуральних чисел з використанням таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.
Якщо ж таблиці квадратів, кубів тощо. немає під руками, то логічно скористатися способом вилучення кореня, який має на увазі розкладання підкореного числа на прості множники.
Окремо варто зупинитися на те, що можливо для коріння з непарними показниками.
Нарешті, розглянемо спосіб, що дозволяє послідовно шукати розряди значення кореня.
Приступимо.
Використання таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.
У найпростіших випадках добувати коріння дозволяють таблиці квадратів, кубів тощо. Що ж є ці таблиці?
Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99 включно (вона показана нижче) і двох зон. Перша зона таблиці розташовується на сірому фоні, за допомогою вибору певного рядка і певного стовпця дозволяє скласти число від 0 до 99 . Наприклад виберемо рядок 8 десятків і стовпець 3 одиниці, цим зафіксували число 83 . Друга зона займає частину таблиці, що залишилася. Кожна її комірка знаходиться на перетині певного рядка та певного стовпця, і містить квадрат відповідного числа від 0 до 99 . На перетині вибраного нами рядка 8 десятків і стовпця 3 одиниці знаходиться осередок з числом 6889 , яке є квадратом числа 83 .
Таблиці кубів, таблиці четвертих ступенів чисел від 0 до 99 тощо аналогічні таблиці квадратів, тільки у другій зоні містять куби, четверті ступеня тощо. відповідних чисел.
Таблиці квадратів, кубів, четвертих ступенів тощо. дозволяють витягувати квадратні корені, кубічні корені, коріння четвертого ступеня і т.д. відповідно з чисел, що у цих таблицях. Пояснимо принцип їх застосування під час вилучення коренів.
Припустимо, нам потрібно витягти корінь n-ого ступеня з числа a, причому число a міститься в таблиці n-их ступенів. По цій таблиці знаходимо число b таке, що a = b n. Тоді 
, Отже, число b буде шуканим коренем n-ого ступеня.
Як приклад покажемо, як з допомогою таблиці кубів витягується кубічний корінь з 19683 . Знаходимо число 19683 в таблиці кубів, з неї знаходимо, що це число є кубом числа 27 , отже, 
.
Зрозуміло, що таблиці n -их ступенів дуже зручні при вилученні коріння. Проте їх часто не виявляється під руками, які складання вимагає певного часу. Більше того, часто доводиться добувати коріння з чисел, які не містяться у відповідних таблицях. У цих випадках доводиться вдаватися до інших методів добування коріння.
Розкладання підкореного числа на прості множники
Досить зручним способом, що дозволяє провести вилучення кореня з натурального числа (якщо звичайно корінь витягується) є розкладання підкореного числа на прості множники. Його суть полягає в наступному: після його досить легко подати у вигляді ступеня з потрібним показником, що дозволяє отримати значення кореня. Пояснимо цей момент.
Нехай з натурального числа a витягується корінь n-го ступеня, і його значення одно b. І тут правильна рівність a=b n . Число b як будь-яке натуральне число можна представити у вигляді добутку всіх своїх простих множників p 1 , p 2 , …, pm у вигляді p 1 2 · ... · pm) n . Оскільки розкладання числа на прості множники єдино, то розкладання підкореного числа a на прості множники матиме вигляд (p 1 ·p 2 ·...·p m) n , що дозволяє обчислити значення кореня як .
Зауважимо, що й розкладання на прості множники підкореного числа a може бути представлено як (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корінь n -ой ступеня з цього числа a націло не витягується.
Розберемося з цим під час вирішення прикладів.
приклад.
Вийміть квадратний корінь із 144 .
Рішення.
Якщо звернутися до таблиці квадратів, даної в попередньому пункті, то добре видно, що 144 = 122, звідки зрозуміло, що квадратний корінь зі 144 дорівнює 12 .
Але у світлі даного пункту нас цікавить, як витягується корінь за допомогою розкладання підкореного числа 144 на прості множники. Розберемо цей спосіб розв'язання.
Розкладемо 144 на прості множники:
Тобто, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 . На підставі отриманого розкладання можна провести такі перетворення: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Отже, 
.
Використовуючи властивості ступеня і коріння , рішення можна було оформити і трохи інакше: .
Відповідь:
Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще двох прикладів.
приклад.
Обчисліть значення кореня.
Рішення.
Розкладання на прості множники підкореного числа 243 має вигляд 243 = 35. Таким чином, 
.
Відповідь:
приклад.
Чи є значення кореня цілим числом?
Рішення.
Щоб відповісти на це питання, розкладемо підкорене число на прості множники і подивимося, чи представимо воно у вигляді куба цілого числа.
Маємо 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 . Отримане розкладання не представляється як куба цілого числа, оскільки ступінь простого множника 7 не кратна трьом. Отже, кубічний корінь із числа 285768 не витягується націло.
Відповідь:
Ні.
Вилучення коренів із дробових чисел
Настав час розібратися, як витягується корінь із дробового числа. Нехай дробове підкорене число записане як p/q . Відповідно до властивості кореня з частки справедлива наступна рівність. З цієї рівності випливає правило вилучення кореня з дробу: корінь із дробу дорівнює частці від поділу кореня з чисельника на корінь із знаменника.
Розберемо приклад вилучення кореня із дробу.
приклад.
Чому дорівнює квадратний корінь з звичайного дробу 25/169 .
Рішення.
По таблиці квадратів знаходимо, що квадратний корінь із чисельника вихідного дробу дорівнює 5 , а квадратний корінь із знаменника дорівнює 13 . Тоді 
. На цьому вилучення кореня із звичайного дробу 25/169 завершено.
Відповідь:
Корінь із десяткового дробу чи змішаного числа витягується після заміни підкорених чисел звичайними дробами.
приклад.
Вийміть кубічний корінь із десяткового дробу 474,552.
Рішення.
Подаємо вихідний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу: 474,552 = 474552/1000. Тоді 
. Залишилося витягти кубічні корені, що знаходяться в чисельнику і знаменнику отриманого дробу. Так як 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2·3·13) 3 =78 3 і 1 000=10 3 то 
і 
. Залишилося лише завершити обчислення 
.
Відповідь:
.
Вилучення кореня з негативного числа
Окремо варто зупинитися на добуванні коріння з негативних чисел. При вивченні коріння ми сказали, що коли показник кореня є непарним числом, то під знаком кореня може бути негативне число. Таким записам ми надали наступний сенс: для негативного числа −a та непарного показника кореня 2·n−1 справедливо 
. Ця рівність дає правило вилучення коренів непарного ступеня з негативних чисел: щоб витягти корінь із негативного числа потрібно витягти корінь із протилежного йому позитивного числа, і перед отриманим результатом поставити знак мінус.
Розглянемо рішення прикладу.
приклад.
Знайдіть значення кореня.
Рішення.
Перетворимо вихідний вираз, щоб під знаком кореня виявилося позитивне число: 
. Тепер змішане число замінимо звичайним дробом: 
. Застосовуємо правило вилучення кореня із звичайного дробу: 
. Залишилося обчислити коріння в чисельнику та знаменнику отриманого дробу: 
.
Наведемо короткий запис рішення: 
.
Відповідь:
.
Поразрядне знаходження значення кореня
У випадку під коренем перебуває число, яке з допомогою розібраних вище прийомів вдається у вигляді n -ой ступеня якогось числа. Але при цьому буває необхідність знати значення цього кореня, хоча б з точністю до певного знака. У цьому випадку для отримання кореня можна скористатися алгоритмом, який дозволяє послідовно отримати достатню кількість значень розрядів шуканого числа.
На першому етапі даного алгоритму необхідно з'ясувати, який старший розряд значення кореня. Для цього послідовно зводяться в ступінь n числа 0, 10, 100, ... до того моменту, коли буде отримано число, що перевищує підкорене число. Тоді число, яке ми зводили на ступінь n на попередньому етапі, вкаже відповідний старший розряд.
Наприклад розглянемо цей крок алгоритму під час вилучення квадратного кореня з п'яти. Беремо числа 0, 10, 100, … і зводимо їх у квадрат, доки одержимо число, що перевищує 5 . Маємо 02 = 0<5 , 10 2 =100>5 , Отже, старшим розрядом буде розряд одиниць. Значення цього розряду, а також молодших, буде знайдено на наступних кроках алгоритму вилучення кореня.
Всі наступні кроки алгоритму мають на меті послідовне уточнення значення кореня за рахунок того, що знаходяться значення наступних розрядів шуканого значення кореня, починаючи зі старшого та просуваючись до молодших. Наприклад, значення кореня першому етапі виходить 2 , другою – 2,2 , третьому – 2,23 , тощо 2,236067977… . Опишемо, як відбувається знаходження значень розрядів.
Знаходження розрядів проводиться з допомогою перебору їх можливих значень 0, 1, 2, …, 9 . У цьому паралельно обчислюються n -ые ступеня відповідних чисел, і вони порівнюються з підкореним числом. Якщо на якомусь етапі значення ступеня перевершить підкорене число, то значення розряду, що відповідає попередньому значенню, вважається знайденим, і проводиться перехід до наступного кроку алгоритму вилучення кореня, якщо цього не відбувається, то значення цього розряду дорівнює 9 .
Пояснимо ці моменти на тому ж прикладі вилучення квадратного кореня з п'яти.
Спочатку знаходимо значення розряду одиниць. Перебиратимемо значення 0, 1, 2, …, 9 , обчислюючи відповідно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 доти, доки одержимо значення, більше підкореного числа 5 . Всі ці обчислення зручно подавати у вигляді таблиці: 
Так значення розряду одиниць дорівнює 2 (оскільки 2 2<5
, а 2 3 >5). Переходимо до знаходження значення розряду десятих. При цьому будемо зводити в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9, порівнюючи отримані значення з підкореним числом 5: 
Оскільки 2,2 2<5
, а 2,3 2 >5 , то значення розряду десятих дорівнює 2 . Можна перейти до знаходження значення розряду сотих: 
Так знайдено таке значення кореня з п'яти, воно дорівнює 2,23. І так можна продовжувати далі знаходити значення: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Для закріплення матеріалу розберемо вилучення кореня з точністю до сотих з допомогою розглянутого алгоритму.
Спершу визначаємо старший розряд. Для цього зводимо до куба числа 0, 10, 100 і т.д. доки отримаємо число, що перевищує 2 151,186 . Маємо 03 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 таким чином, старшим розрядом є розряд десятків.
Визначимо його значення. 
Оскільки 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186 , то значення розряду десятків дорівнює 1 . Переходимо до одиниць. 
Отже, значення розряду одиниць дорівнює 2 . Переходимо до десяти. 
Оскільки навіть 12,9 3 менше за підкорене число 2 151,186 , то значення розряду десятих дорівнює 9 . Залишилося виконати останній крок алгоритму, він дасть значення кореня з необхідною точністю. 
На цьому етапі знайдено значення кореня з точністю до сотих: 
.
На закінчення цієї статті хочеться сказати, що існує безліч інших способів вилучення коренів. Але для більшості завдань достатньо тих, які ми вивчили вище.
Список літератури.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
- Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
- Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).
Слайд 2
Цілі уроку:
Повторити визначення арифметичного квадратного кореня. Ввести та довести теорему про квадратне коріння з твору. Навчитися знаходити. Перевірити знання та вміння за допомогою самостійної роботи.
Слайд 3
Квадратний корінь із твору
План уроку: Актуалізація знань. Вивчення нового матеріалу. Закріплення формули на прикладах. Самостійна робота. Підбиття підсумків. Завдання додому.
Слайд 4
Здрастуйте, хлопці!
Повторимо: 2. Що називається арифметичним квадратним коренем у складі 3. При якому значенні вираз має сенс? 1. Як називається вираз
Слайд 5
Знайдіть:
1) 2) 3) 7 або 7
Слайд 6
Сьогодні ми познайомимося з одним із властивостей арифметичного квадратного кореня. Введемо та доведемо теорему про квадратне коріння з твору, розглянемо приклади її застосування. Потім Вам будуть запропоновані завдання для самоперевірки. Бажаю удачі!
Слайд 7
Спробуємо вирішити
Розглянемо арифметичний корінь Знайдіть значення виразу: Отже, Отже, корінь із добутку двох чисел дорівнює добутку коріння з цих чисел.
Слайд 8
Корінь із твору неотрицательных множників дорівнює добутку коріння цих множників. Якщо те Теорема
Слайд 9
Квадратний корінь із твору
Доказ: отже, мають сенс. 4. Висновок: (т.к. добуток двох неотрицательных чисел неотрицательно) 5. Отже,
Слайд 10
Ми розглянули доказ теореми про вилучення квадратного кореня з твору. Перейдемо до практичної роботи. Зараз я вам покажу, як застосовується ця формула при вирішенні прикладів. Вирішуйте разом зі мною.
Слайд 11
Обчисліть значення квадратного кореня, використовуючи теорему про коріння з твору: Вирішуємо приклади:
Слайд 12
Вирішуємо приклади:
2. Знайдіть значення виразу:
Слайд 13
Швидкий рахунок
А я здогадався, як можна використати цю формулу для швидких обчислень. Дивись та вчися.
Слайд 14
Варіант 1 Варіант 2 Пропоную приклади для самостійного вирішення.
У цьому параграфі ми розглядатимемо арифметичні квадратні корені.
У разі літерного підкореного виразу вважатимемо, що літери, що містяться під знаком кореня, позначають негативні числа.
1. Корінь із твору.
Розглянемо такий приклад.
З іншого боку, зауважимо, що число 2601 є добутком двох співмножників, з яких корінь витягується легко:
Виймемо квадратний корінь з кожного співмножника і перемножимо це коріння:
Ми отримали однакові результати і тоді, коли витягували корінь із твору, що стоїть під коренем, і тоді, коли витягували корінь із кожного співмножника окремо та результати перемножували.
У багатьох випадках другим способом знайти результат легше, тому що доводиться добувати корінь із менших чисел.
Теорема 1. Щоб витягти квадратний корінь із твору, можна витягти його з кожного співмножника окремо та результати перемножити.
Доведемо теорему для трьох співмножників, тобто доведемо справедливість рівності:
Доказ проведемо безпосередньою перевіркою, виходячи з визначення арифметичного кореня. Припустимо, що нам треба довести рівність:
(А і В – невід'ємні числа). За визначенням квадратного кореня, це означає, що
Тому достатньо звести в квадрат праву частину рівності, що доводиться, і переконатися, що вийде підкорене вираз лівої частини.
Застосуємо це міркування до доказу рівності (1). Зведемо у квадрат праву частину; але в правій частині знаходиться твір, а щоб звести у квадрат твір, достатньо звести у квадрат кожен співмножник та результати перемножити (див. § 40);
Вийшов підкорений вираз, що стоїть у лівій частині. Отже, рівність (1) правильна.
Ми довели теорему для трьох співмножників. Але міркування залишаться тими самими, якщо під корінням буде 4 і т. д. співмножників. Теорема правильна для будь-якої кількості співмножників.
Результат легко знайдено усно.
2. Корінь із дробу.
Обчислимо
Перевірка.
З іншого боку,
Доведемо теорему.
Теорема 2. Щоб витягти корінь із дробу, можна витягти корінь окремо з чисельника та знаменника і перший результат розділити на другий.
Потрібно довести справедливість рівності:
Для доказу застосуємо спосіб, яким було доведено попередню теорему.
Зведемо праву частину квадрат. Будемо мати:
Отримали підкорене вираз, що стоїть у лівій частині. Отже, рівність (2) правильна.
Отже, ми довели такі тотожності:
та сформулювали відповідні правила вилучення квадратного кореня з твору та приватного. Іноді і під час перетворень доводиться застосовувати ці тотожності, читаючи їх «праворуч наліво».
Переставивши ліву та праву частини, перепишемо доведені тотожності таким чином:
Щоб перемножити коріння, можна перемножити підкорені вирази і витягти з твору корінь.
Щоб розділити коріння, можна розділити підкорені вирази та з приватного витягти корінь.
3. Корінь зі ступеня.
Обчислимо
Поглянув ще раз на табличку... І поїхали!
Почнемо з простенького:
Хвилинку. це, а це означає, що ми можемо записати так:
Засвоїв? Ось тобі наступний:
Коріння з чисел, що виходять, рівно не витягуються? Не біда – ось тобі такі приклади:
А якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:
Тепер повністю самостійно:
Відповіді:Молодець! Погодься, все дуже легко, головне знати таблицю множення!
Поділ коріння
З множенням коріння розібралися, тепер приступимо до властивості розподілу.
Нагадаю, що формула у загальному вигляді виглядає так:
А значить це, що корінь із частки дорівнює приватному коріння.
Ну що, давай розбиратися на прикладах:
Ось і вся наука. А ось такий приклад:
Все не так гладко, як у першому прикладі, але як бачиш, нічого складного немає.
А що, якщо трапиться такий вираз:
Потрібно просто застосувати формулу у зворотному напрямку:
А ось такий приклад:
Ще ти можеш зустріти такий вираз:
Все те саме, тільки тут треба згадати, як перекладати дроби (якщо не пам'ятаєш, зазирни в тему і повертайся!). Згадав? Тепер вирішуємо!
Упевнена, що ти з усім, усім упорався, тепер спробуємо зводити коріння у міру.
Зведення в ступінь
А що буде, якщо квадратний корінь звести в квадрат? Все просто, згадаємо сенс квадратного кореня у складі - це число, квадратний корінь якого дорівнює.
Так от, якщо ми зводимо число, квадратний корінь якого дорівнює, квадрат, то що отримуємо?
Ну звичайно, !
Розглянемо на прикладах:
Все просто, правда? А якщо корінь буде інакше? Нічого страшного!
Дотримуйся тієї ж логіки і пам'ятай властивості та можливі дії зі ступенями.
Почитай теорію на тему « » і тобі все стане гранично ясно.
Ось, наприклад, такий вираз:
У цьому прикладі міра парна, а якщо вона буде непарна? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади всі на множники:
З цим начебто все ясно, а як витягти корінь з-поміж ступеня? Ось, наприклад, таке:
Досить просто, правда? А якщо ступінь більший за два? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:
Ну як усе зрозуміло? Тоді виріши самостійно приклади:
А ось і відповіді:
Внесення під знак кореня
Що ми тільки не навчилися робити з корінням! Залишилося тільки потренуватися вносити число під знак кореня!
Це дуже легко!
Допустимо, у нас записано число
Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!
Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:
Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки Слід пам'ятати, що вносити під знак квадратного кореня ми можемо лише позитивні числа.
Виріши самостійно ось цей приклад -
Впорався? Давай дивитися, що в тебе має вийти:
Молодець! У тебе вдалося внести число під знак кореня! Перейдемо до не менш важливого – розглянемо, як порівнювати числа, що містять квадратний корінь!
Порівняння коренів
Навіщо нам вчитися порівнювати числа, які містять квадратний корінь?
Дуже просто. Часто, у великих і тривалих виразах, що зустрічаються на іспиті, ми отримуємо ірраціональну відповідь (пам'ятаєш, що це таке? Ми з тобою сьогодні про це вже говорили!)
Отримані відповіді необхідно розташувати на координатній прямій, наприклад, щоб визначити, який інтервал підходить для вирішення рівняння. І ось тут виникає загвіздка: калькулятора на іспиті немає, а без нього як уявити, яке число більше, а яке менше? Ось і воно!
Наприклад, визнач, що більше: чи?
Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня?
Тоді вперед:
Ну і, очевидно, чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь!
Тобто. якщо, отже, .
Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!
Вилучення коріння з великих чисел
До цього ми вносили множник під знак кореня, як його винести? Потрібно просто розкласти його на множники і витягти те, що витягується!
Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:
Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.
Розкладання на множники стане в нагоді при вирішенні таких нестандартних завдань, як ось це:
Не лякаємось, а діємо! Розкладемо кожен множник під корінням на окремі множники:
А тепер спробуй самостійно (без калькулятора! його на іспиті не буде):
Хіба це кінець? Не зупиняємось на півдорозі!
Ось і все, не так все і страшно, правда?
Вийшло? Молодець, все правильно!
А тепер спробуй такий приклад вирішити:
А приклад - міцний горішок, так відразу і не розберешся, як до нього підступитися. Але нам він, звичайно, по зубах.
Ну що, почнемо розкладати на множники? Відразу зауважимо, що можна поділити число на (згадуємо ознаки подільності):
А тепер, спробуй сам (знову ж таки, без калькулятора!):
Ну що, вийшло? Молодець, все правильно!
Підведемо підсумки
- Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем) з неотрицательного числа називається таке неотрицательное число, квадрат якого дорівнює.
. - Якщо ми просто витягуємо квадратний корінь з чогось, то завжди отримуємо один негативний результат.
- Властивості арифметичного кореня:
- При порівнянні квадратного коріння необхідно пам'ятати, що чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь.
Як тобі квадратне коріння? Все зрозуміло?
Ми постаралися пояснити тобі без води все, що потрібно знати на іспиті про квадратний корінь.
Тепер твоя черга. Напиши нам складна це для тебе тема чи ні.
Дізнався ти щось нове чи все було так ясно.
Пиши в коментарях та удачі на іспитах!
Учні завжди запитують: «Чому не можна користуватися калькулятором на іспиті з математики? Як витягти корінь квадратний із числа без калькулятора? Спробуємо відповісти це питання.
Як витягти корінь квадратний з числа без допомоги калькулятора?
Дія вилучення кореня квадратногоназад дії зведення у квадрат.
√81= 9 9 2 =81
Якщо з позитивного числа витягти корінь квадратний і звести до квадрата, отримаємо те ж число.
З невеликих чисел, що є точними квадратами натуральних чисел, наприклад 1, 4, 9, 16, 25, …, 100 квадратне коріння можна отримати усно. Зазвичай у школі навчають таблицю квадратів натуральних чисел до двадцяти. Знаючи цю таблицю легко витягти корені квадратні з чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. З чисел великих 400 можна витягувати методом підбору, використовуючи деякі підказки. Спробуймо на прикладі розглянути цей метод.
Приклад: Вийняти корінь із числа 676.
Зауважуємо, що 20 2 = 400, а 30 2 = 900, отже 20< √676 < 900.
Точні квадрати натуральних чисел закінчуються цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дають 4 2 та 6 2 .
Значить, якщо з 676 вилучається корінь, це або 24, або 26.
Залишилося перевірити: 242=576, 262=676.
Відповідь: √676 = 26 .
Ще приклад: √6889 .
Оскільки 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80< √6889 < 90.
Цифру 9 дають 3 2 і 7 2 то √6889 дорівнює або 83, або 87.
Перевіряємо: 832 = 6889.
Відповідь: √6889 = 83 .
Якщо важко вирішувати методом підбору, то можна підкорене вираз розкласти на множники.
Наприклад, знайти √893025.
Розкладемо число 893025 на множники, згадайте, ви робили це у шостому класі.
Отримуємо: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Ще приклад: √20736. Розкладемо число 20736 на множники:
Отримуємо √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Звичайно, розкладання на множники вимагає знання ознак подільності та навичок розкладання на множники.
І, нарешті, є ж правило вилучення коренів квадратних. Давайте познайомимося із цим правилом на прикладах.
Обчисліть √279841.
Щоб витягти корінь з багатоцифрового цілого числа, розбиваємо його праворуч наліво на межі, що містять по 2 цифри (у крайній лівій грані може виявитися і одна цифра). Записуємо так 27’98’41
Щоб отримати першу цифру кореня (5), витягуємо квадратний корінь з найбільшого точного квадрата, що міститься у першій ліворуч (27).
Потім віднімають з першої грані квадрат першої цифри кореня (25) і різниці приписують (зносять) наступну грань (98).
Зліва від отриманого числа 298 пишуть подвоєну цифру кореня (10), ділять на неї число всіх десятків раніше отриманого числа (29/2 ≈ 2), відчувають приватне (102 ∙2 = 204 має бути не більше 298) і записують (2) після першої цифри кореня.
Потім віднімають від отримане 298 приватне 204 і до різниці (94) приписують (зносять) наступну грань (41).
Ліворуч від отриманого числа 9441 пишуть подвоєний твір цифр кореня (52 ∙2 = 104), ділять на цей твір число всіх десятків числа 9441 (944/104 ≈ 9), відчувають приватне (1049 ∙9 = 9441) має бути 941 (9) після другої цифри кореня.
Отримали відповідь √279841 = 529.
Аналогічно витягують коріння з десяткових дробів. Тільки підкорене число треба розбивати на межі так, щоб кома була між гранями.
Приклад. Знайдіть значення √0,00956484.
Тільки треба пам'ятати, що якщо десятковий дріб має непарне число десяткових знаків, з нього точно квадратний корінь не виходить.
Тепер ви познайомилися з трьома способами вилучення кореня. Вибирайте той, який вам найбільше підходить і практикуйтеся. Щоб навчитися розв'язувати завдання, їх треба розв'язувати. А якщо у Вас виникнуть питання, записуйтесь на мої уроки.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.