Теорема про суворо монотонної функції. Монотонні функції, визначення. Достатня умова монотонності функції. Функція не зростає

Графік спадної функції

· Зменшені та зростаючі функції разом утворюють клас монотоннихфункцій. Монотонні функції мають ряд спеціальних властивостей.

Функція f(х),монотонна на відрізку [ а,b], обмежена на цьому відрізку;

· Сума зростаючих (убутних) функцій є зростаючою (убутною) функцією;

· якщо функція fзростає (зменшується) і n- непарне число, то також зростає (зменшується);

· якщо f"(x)>0для всіх xÎ(a,b),то функція y=f(x)є зростаючою на інтервалі (a, b);

· якщо f"(x)<0 для всіх xÎ(a,b),то функція y=f(x)є спадною на інтервалі (a, b);

· якщо f(x) –безперервна та монотонна функція на безлічі Х, то рівняння f(x)=C, де З- дана константа, може мати на Хне більше одного рішення;

· Якщо в області визначення рівняння f(x)=g(x)функція f(x)зростає, а функція g(x)спадає, то рівняння неспроможна мати більше рішення.

Теорема. (Достатня умова монотонності функції). Якщо безперервна на відрізку [ а, b] функція у = f(х) у кожній точці інтервалу ( а, b) має позитивну (негативну) похідну, то ця функція зростає (зменшується) на відрізку [ а, b].

Доказ. Нехай >0 для всіх хÎ(а,b). Розглянемо два довільні значення x 2 > x 1 ,належать [ а, b]. За формулою Лагранжа х 1<с < х 2 . (з) > 0 і х 2 – х 1 > 0, тому > 0, звідки > , тобто функція f(х) зростає на відрізку [ а, b]. Аналогічно доводиться друга частина теореми.

Теорема 3. (Необхідна ознака існування екстремуму функції). Якщо функція, що диференціюється в точці c у=f(х) має у цій точці екстремум, то .

Доказ. Нехай, наприклад, функція у= f(х) має у точці c максимум. Це означає, що існує така проколота околиця точки c, що для всіх точок xцієї околиці виконується f(x) < f (c), тобто f(c) – найбільше значення функції у цій околиці. Тоді за теоремою Ферма.

Аналогічно доводиться випадок мінімуму у точці с.

Зауваження. Функція може мати екстремум у точці, де її похідна немає. Наприклад, функція має мінімум у точці x = 0, хоч не існує. Точки, у яких похідна функції дорівнює нулю чи немає, називаються критичними точками функції. Однак не у всіх критичних точках функція має екстремум. Наприклад, функція у = x 3не має екстремумів, хоча її похідна =0.

Теорема 4. (Достатня ознака існування екстремуму). Якщо безперервна функція у = f(x) має похідну у всіх точках деякого інтервалу, що містить критичну точку С (за винятком, можливо, самої цієї точки), і якщо похідна при переході аргументу зліва направо через критичну точку С змінює знак з плюсу на мінус, то функція в точці С має максимум, а за зміни знака з мінуса на плюс – мінімум.

Доказ. Нехай c – критична точка і нехай, наприклад, під час переходу аргументу через точку c змінює знак із плюса на мінус. Це означає, що на певному інтервалі (c-e; c)функція зростає, але в інтервалі (c; c+e)- Убуває (при e>0). Отже, у точці з функцією має максимум. Аналогічно доводиться випадок мінімуму.

Зауваження. Якщо похідна не змінює знака під час переходу аргументу через критичну точку, то функція у цій точці немає екстремуму.

Оскільки визначення межі та безперервності для функції кількох змінних практично збігається з відповідними визначеннями для функції однієї змінної, то для функцій кількох змінних зберігаються всі властивості меж та безперервних функцій

Числове безліч Xвважається симетричнимщодо нуля, якщо для будь-кого xЄ Xзначення - хтакож належить безлічі X.

Функція y = f(хX, вважається парний X xЄ X, f(х) = f(-х).

У парної функції графік симетричний щодо осі Оу.

Функція y = f(х), яка задана на безлічі X, вважається непарною, якщо виконуються такі умови: а) безліч Xсиметрично щодо нуля; б) для будь-кого xЄ X, f(х) = -f(-х).

У непарної функції графік симетричний щодо початку координат.

Функція у = f(x), xЄ X, називається періодичноїна Xякщо знайдеться число Т (Т ≠ 0) (періодфункції), що виконуються такі умови:

• х - Ті х + Тз множини Xдля будь-кого хЄ X;
• для будь-кого хЄ X, f(х + T) = f(х - T) = f(х).

У випадку, коли Т- це період функції, будь-яке число виду mТ, де mЄ Z, m≠ 0, це також період цієї функції. Найменший із позитивних періодів цієї функції (якщо він існує) називається її основним періодом.

У випадку, коли Т- основний період функції, то для побудови її графіка можна побудувати частину графіка на будь-якому проміжку області визначення довжини Т, а потім зробити паралельне перенесенняцієї ділянки графіка вздовж осі хна ± Т, ±2 T, ....

Функція y = f(х), обмежена знизуна безлічі Х А, що для будь-кого хЄ X, А ≤ f(х). Графік функції, який обмежений знизу на множині X, повністю розташовується вище за пряму у = А(Це горизонтальна пряма).

Функція у = f(x), обмежена зверхуна безлічі Х(вона при цьому має бути визначеною на цій множині), якщо є число В, що для будь-кого хЄ X, f(х) ≤ В. Графік функції, який обмежений зверху на множині X, повністю розташовується нижче за пряму у = В(Це горизонтальна лінія).

Функція, вважається обмеженоюна безлічі Х(вона при цьому повинна бути визначеною на цій множині), якщо вона обмежена на цій множині зверху та знизу, тобто існують такі числа Аі В, що для будь-кого хЄ Xвиконуються нерівності A ≤ f(x) ≤ B. Графік функції, яка обмежена на безлічі Xповністю розташовується в проміжку між прямими у = Аі у = В(Це горизонтальні прямі).

Функція у = f (х), вважається обмеженою на безлічі Х(вона при цьому має бути визначеною на цій множині), якщо знайдеться число З> 0, що для будь-якого xЄ X, │f(х)│≤ З.

Функція у = f(х), хЄ X, називається зростаючою (неубутньою)на підмножині МЗ X, коли для кожних х 1 та х 2 з Мтаких, що х 1 < х 2 , справедливо f(х 1) < f(х 2) (f(х 1) ≤ f(х 2)). Або функція у називається зростаючоюна безлічі Доякщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає більше значення функції.

Функція у = f(х), хЄX, називається спадаючою (незростаючою)на підмножині МЗ X, коли для кожних х 1 та х 2 з Мтаких, що х 1 < х 2 , справедливо f(х 1) > f(х 2) (f(х 1) ≥ f(х 2)). Або функція уназивається спадною на безлічі Доякщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає менше значення функції.

Функція у = f(x), хЄ X, називається монотонноїна підмножині МЗ X, якщо вона є спадною (незростаючою) або зростаючою (не спадаючою) на М.

Якщо функція у = f(х), хЄ X, є спадною або зростаючою на підмножині МЗ X, то така функція називається суворо монотонноїна безлічі М.

Число Мназивають найбільшим значенням функціїу на безлічі Доякщо це число є значенням функції при певному значенні х 0 аргументу з множиниДо, а при інших значеннях аргументу з множини До значення функції не більше числаМ.

Число mназивають найменшим значеннямфункції у на безлічі Доякщо це число є значенням функції при певному значенні х 0 аргументу з множини До, а при інших значеннях аргументу х із множини Дозначення функції не менше числа m.

Основні властивості функції , з яких краще починати її вивчення та дослідження це область її визначення та значення. Запам'ятайте, як зображаються графіки елементарних функцій. Тільки потім можна переходити до побудови складніших графіків. Тема "Функції" має широкі програми в економіці та інших галузях знання. Функції вивчають протягом усього курсу математики та продовжують вивчати ввищих навчальних закладах . Там функції досліджуються за допомогою першої та другої похідних.

зростаючоюна проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1

Функція називається невтратною

\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається спадаючоюна проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1 f(x_2)\).

Функція називається незростаючоюна проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1

\(\blacktriangleright\) Зростаючі та спадні функції називають суворо монотонними, А незростаючі та незменшені - просто монотонними.

\(\blacktriangleright\) Основні властивості:

I.Якщо функція \(f(x)\) - строго монотонна на \(X\) , то з рівності \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) слід \(f(x_1)= f(x_2)\), і навпаки.

Приклад: функція \(f(x)=\sqrt x\) є строго зростаючою при всіх \(x\in \), тому рівняння \(x^2=9\) має на цьому проміжку не більше одного рішення, а точніше одне: \ (x = -3 \).

функція \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) є строго зростаючою при всіх \(x\in (-1;+\infty)\) , тому рівняння \(-\dfrac 1(x +1)=0\) має у цьому проміжку трохи більше рішення, а точніше жодного, т.к. чисельник лівої частини ніколи не може дорівнювати нулю.

ІІІ.Якщо функція \(f(x)\) - не убуває (незростає) і безперервна на відрізку \(\) , причому на кінцях відрізка вона набуває значення \(f(a)=A, f(b)=B\) , то при \(C\in \) (\(C\in \) ) рівняння \(f(x)=C\) завжди має хоча б одне рішення.

Приклад: функція \(f(x)=x^3\) є строго зростаючою (тобто строго монотонною) і безперервною при всіх \(x\in\mathbb(R)\) , тому при будь-якому \(C\in ( -\infty;+\infty)\) рівняння \(x^3=C\) має одно рішення: \(x=\sqrt(C)\) .

Завдання 1 #3153

Рівень завдання: Легше ЄДІ

має рівно два корені.

Перепишемо рівняння у вигляді: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]Розглянемо функцію \(f(t)=t^3+t\). Тоді рівняння перепишеться як: \ Досліджуємо функцію \(f(t)\) . \ Отже, функція \(f(t)\) зростає за всіх \(t\) . Отже, кожному значенню функції \(f(t)\) відповідає одно значення аргументу \(t\) . Отже, для того, щоб рівняння мало коріння, потрібно: \ Щоб отримане рівняння мало два корені, потрібно, щоб його дискримінант був позитивним: \

Відповідь:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Завдання 2 #2653

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при яких рівняння \

має два корені.

(Завдання від передплатників.)

Зробимо заміну: \(ax^2-2x=t\), \(x^2-1=u\). Тоді рівняння набуде вигляду: \ Розглянемо функцію \(f(w)=7^w+\sqrtw\). Тоді наше рівняння набуде вигляду: \

Знайдемо похідну \ Зауважимо, що з усіх \(w\ne 0\) похідна \(f"(w)>0\) , тому що \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Зауважимо також, що сама функція \(f(w)\) визначена при всіх \(w\) . (w)\) зростає на всьому \(\mathbb(R)\).
Отже, рівність \(f(t)=f(u)\) можлива тоді і лише тоді, коли \(t=u\) . Повернемося до початкових змінних і розв'яжемо отримане рівняння:

\ Для того, щоб дане рівняння мало два корені, воно має бути квадратним і його дискримінант має бути позитивним:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Відповідь:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Завдання 3 #3921

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть усі позитивні значення параметра \(a\) , за яких рівняння

має як мінімум (2) рішення.

Перенесемо всі доданки, що містять \(ax\), вліво, а що містять \(x^2\) - вправо, і розглянемо функцію
\

Тоді вихідне рівняння набуде вигляду:
\

Знайдемо похідну:
\

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos(2t) \geqslant 0\), то \(f"(t)\geqslant 0\) за будь-яких \(t\in \mathbb(R)\) .

Причому \(f"(t)=0\) , якщо \((t-2)^2=0\) і \(1+\cos(2t)=0\) одночасно, що не виконується за жодних \ (t\) .Отже, \(f"(t)> 0\) при будь-яких \(t\in \mathbb(R)\) .

Таким чином, функція \(f(t)\) строго зростає при всіх \(t\in \mathbb(R)\).

Отже, рівняння \(f(ax)=f(x^2)\) рівносильне рівнянню \(ax=x^2\) .

Рівняння \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) має один корінь \(x=0\) , а при \(a\ne 0\) має два різні корені \(x_1=0 \) та \(x_2=a\) .
Нам потрібно знайти значення \(a\) , при яких рівняння матиме не менше двох коренів, враховуючи також те, що \(a>0\) .
Отже, відповідь: \(a\in(0;+\infty)\) .

Відповідь:

\((0;+\infty)\) .

Завдання 4 #1232

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \

має єдине рішення.

Домножимо праву та ліву частини рівняння на \(2^(\sqrt(x+1))\) (т.к. \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) і перепишемо рівняння у вигляді : \

Розглянемо функцію \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)при \(t\geqslant 0\) (бо \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Похідна \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\).

Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\)при всіх \(t\geqslant 0\), то \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Отже, при \(t\geqslant 0\) функція \(y\) монотонно зменшується.

Рівняння можна розглядати у вигляді \(y(t)=y(z)\) де \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . З монотонності функції випливає, що рівність можлива лише у разі, якщо \(t=z\) .

Отже, рівняння рівносильне рівнянню: \(ax=\sqrt(x+1)\) , яке у свою чергу рівносильне системі: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

При \(a=0\) система має одне рішення \(x=-1\), яке задовольняє умову \(ax\geqslant 0\).

Розглянемо випадок \(a\ne 0\). Дискримінант першого рівняння системи \(D=1+4a^2>0\) за всіх \(a\) . Отже, рівняння завжди має два корені \(x_1\) і \(x_2\), причому вони різних знаків (т.к. за теоремою Вієта \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Це означає, що за \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) умові підходить позитивний корінь. Отже система завжди має єдине рішення.

Отже, \(a\in \mathbb(R)\) .

Відповідь:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Завдання 5 #1234

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \

має хоча б один корінь із відрізка \([-1;0]\) .

Розглянемо функцію \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)при деякому фіксованому (a) . Знайдемо її похідну: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((xa)^2 +(x-1)^2)\).

Зауважимо, що \(f"(x)\geqslant 0\) при всіх значеннях \(x\) і \(a\) , причому дорівнює \(0\) тільки при \(x=a=1\) . при \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)рівняння \(2(x-1)^3=0\) має єдиний корінь \(x=1\), що не задовольняє умові. Отже, \(a\) не може бути дорівнює \(1\).

Значить, при всіх \(a\ne 1\) функція \(f(x)\) є строго зростаючою, отже рівняння \(f(x)=0\) може мати не більше одного кореня. Враховуючи властивості кубічної функції, графік \(f(x)\) при деякому фіксованому \(a\) виглядатиме таким чином:

Отже, щоб рівняння мало корінь з відрізка \([-1;0]\) , необхідно: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Отже, \(a\in [-2;0]\) .

Відповідь:

\(a\in [-2;0]\) .

Завдання 6 #2949

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

має коріння.

(Завдання від передплатників)

ОДЗ рівняння: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Отже, для того, щоб рівняння мало коріння, потрібно щоб хоча б одне з рівнянь \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(або)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2) = 0 \]мало рішення на ОДЗ.

1) Розглянемо перше рівняння \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2\\\\sin x=3\\end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]Дане рівняння повинно мати коріння на \(\). Розглянемо коло:

Таким чином, ми бачимо, що для будь-яких \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) рівняння матиме одне рішення, а для всіх інших - не матиме рішень. Отже, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)рівняння має розв'язки.

2) Розглянемо друге рівняння \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Розглянемо функцію \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\). Знайдемо її похідну: \ На ОДЗ похідна має один нуль: \(x=\frac34\) , який є точкою максимуму функції \(f(x)\) .
Зауважимо, що \(f(0)=f(1)=0\). Значить, схематично графік (f(x)) виглядає так:

Отже, для того, щоб рівняння мало рішення, потрібно, щоб графік \(f(x)\) перетинався з прямою \(y=-a\) (на малюнку зображено один із відповідних варіантів). Тобто потрібно, щоб \ . При цих (x) :

Функція \(y_1=\sqrt(x-1)\) є строго зростаючою. Графіком функції \(y_2=5x^2-9x\) є парабола, вершина якої знаходиться в точці \(x=\dfrac(9)(10)\). Отже, при всіх \(x\geqslant 1\) функція \(y_2\) також строго зростає (права гілка параболи). Т.к. сума строго зростаючих функцій є строго зростаюча, то (f_a(x)) - строго зростає (константа (3a + 8) не впливає на монотонність функції).

Функція \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) при всіх \(x\geqslant 1\) є частиною правої гілки гіперболи і є строго спадаючою.

Вирішити рівняння \(f_a(x)=g_a(x)\) - означає знайти точки перетину функцій \(f\) та \(g\) . З їхньої протилежної монотонності випливає, що рівняння може мати не більше одного кореня.

При \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Отже, рівняння матиме єдине рішення у тому випадку, якщо:

\\cup

Відповідь:

\(a\in (-\infty;-1]\cup Аналогічним чином визначається суворе спадання функції \(y = f\left(x \right)\) у точці \((x_0).\)

Критерій зростання та зменшення функції

Знову розглянемо функцію \(y = f\left(x \right),\) вважаючи її диференційованою на деякому інтервалі \(\left((a,b) \right).\) Зростання або спадання функції на інтервалі визначається за знаку першої похідної функції.

Теорема 1 .
Для того, щоб функція \(y = f\left(x \right)\) була зростаючою на інтервалі \(\left((a,b) \right),\) необхідно і достатньо, щоб перша похідна функції була невід'ємною всюди на даному інтервалі: \ Аналогічний критерій діє для випадку функції, спадаючоюна інтервалі \(\left((a,b) \right):\) \ Доведемо обидві частини теореми (необхідність та достатність) для випадку зростаючої функції.

Необхідна умова .
Розглянемо довільну точку \((x_0) \in \left((a,b) \right).\) Якщо функція \(y = f\left(x \right)\) зростає на \(\left((a, b) \right),\) то за визначенням можна записати, що \[\forall\;x \in \left((a,b) \right):x > (x_0) \Rightarrow f\left(x \right ) > f\left(((x_0)) \right);\] \[\forall\;x \in \left((a,b) \right):x
Розглянемо достатня умова , тобто. зворотне затвердження.
Нехай похідна \(f"\left(x \right)\) функції \(y = f\left(x \right)\) невід'ємна на інтервалі \(\left((a,b) \right):\) \ Якщо \((x_1)\) та \((x_2)\) − дві довільні точки даного інтервалу, такі, що \((x_1) теоремі Лагранжаможна записати: де \(c \in \left[ ((x_1),(x_2)) \right],\;\; \Rightarrow c \in \left((a,b) \right).\)

Оскільки \(f"\left(c \right) \ge 0,\) то права частина рівності невід'ємна. Отже, \ тобто функція \(y = f\left(x \right)\) є зростаючою на інтервалі \(\left((a,b) \right).\)

Розглянемо тепер випадки строгого зростання і строгого спадання функції. Тут існує схожа теорема, що описує необхідні та достатні умови. Опускаючи підтвердження, сформулюємо її для випадку строго зростаючої функції.

Теорема 2 .
Для того, щоб функція, що диференціюється на інтервалі \(\left((a,b) \right)\) строго зростаючою на цьому інтервалі необхідно і достатньо, щоб виконувались такі умови:

\(f"\left(x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left((a,b) \right);\)

Похідна \(f"\left(x \right)\) тотожно не дорівнює нулю в жодному проміжку \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right] \in \left((a,b) \ right).\)

Насправді (при знаходженні інтервалів монотонності) зазвичай використовується достатня умова суворого зростання або строгого спадання функції. З теореми \(2\) випливає таке формулювання достатньої ознаки:

Якщо для всіх \(x \in \left((a,b) \right)\) виконується умова \(f"\left(x \right) > 0\) всюди в інтервалі \(\left((a,b) ) \right),\) крім можливо лише деяких окремих точок, в яких \(f"\left(x \right) = 0,\) то функція \(f\left(x \right)\) є строго зростаючою .

Відповідно, умова \(f"\left(x \right) суворо спадаючуфункцію.

Число точок, в яких \(f"\left(x \right) = 0,\) є, як правило, кінцевим. Відповідно до теореми \(2\), вони не можуть щільно заповнювати будь-який проміжок в інтервалі \(\ left((a,b) \right).\)

Наведемо також ознаку суворого зростання (зменшення) функції в точці:

Теорема 3 .
Нехай \((x_0) \in \left((a,b) \right).\)

Якщо \(f"\left(((x_0)) \right) > 0\), то функція \(f\left(x \right)\) строго зростає в точці \((x_0)\);

Якщо \(f"\left(((x_0)) \right)

Властивості монотонних функцій

Зростаючі та спадні функції мають певні алгебраїчні властивості, які можуть виявитися корисними при дослідженні функцій. Перерахуємо деякі з них: