Як збудувати графік f x l. Урок 1. Як побудувати графік функції y = f(x-l), якщо відомий графік функції y = f(x) Паралельне перенесення графіків функцій. «Творче застосування знань»

У цьому відеоуроці буде розглянуто питання графічного представлення функції y = f(x + l) за умови, що графік функції y = f(x) відомий заздалегідь.

Для повноти розуміння, пояснення супроводжуватимуться візуальним доповненням. Для цього побудуємо графіки функцій у = х 2 та у = (х + 3) 2 в одній системі координат. Перша з функцій вже була розглянута у наших відеоуроках раніше, і ми знаємо, що її графік – це парабола. Для функції у = (х + 3) 2, підставляючи значення аргументу х, розраховуємо координати точок, якими і будуємо графік. З'єднавши точки плавної кривої, бачимо, що графік є параболу. Можна помітити, що цей графік має такий же вигляд, що і у у = х 2 , проте в цьому випадку він переміщений вліво на три одиниці по осі абсцис. Відповідно, спостерігається і зміщення вершини параболи в положення (-3; 0), а не на початку координат, як це спостерігаємо у параболи рівності у = х2. Вісь симетрії також зміщена, і відповідає лінії в положенні х = -3, а не х = 0, як це ми можемо спостерігати у разі графіка рівняння у = х2.

Коли ми зображаємо, як демонструє відео, графіки функцій у = x 2 і у = (х - 2) 2 в одній координатній сітці, можна помітити, що другий графік схожий на перший з тією лише особливістю, що спостерігається зміщення по осі абсцис вправо 2 позиції. Як це виглядає на власні очі, ви можете побачити у запропонованому відеоматеріалі.

Після перегляду цього прикладу стає зрозуміло, що графічно рішення функцій цього типу відбуваються за тим самим алгоритмом.

Ще один приклад, який пропонує наше відео - це рівність у = -2 (х - 4) 2 . Її графіком також є парабола виду y = - 2x 2, що зазнала зсуву, тобто паралельне перенесення вздовж осі абсцис вправо на чотири одиниці. Із самим графіком вас познайомить це відео.

Виходячи з викладеного вище, можна зробити такі висновки:

1) Щоб накреслити графік функції типу у = f(x + l), якщо l - це позитивне число, задане умовою, необхідно перемістити графік рівності по осі х ліворуч на l одиниць масштабу;

2) Для того, щоб побудувати графік функції у = f(x - l), де число l - це задане позитивне число, потрібно графік функції у = f(x) просто зрушити вздовж осі х на l одиниць масштабу вправо.

Тобто, якщо знак числа l позитивний, то зміщуємо в напрямку зменшення значень по осі абсцис, а якщо негативний, то в бік збільшення.

Приклад 1. Використовуючи знання, отримані у відеоматеріалі, необхідно побудувати графік функції y = - 3 / (x+5)

Для вирішення цього завдання спочатку будуємо гіперболу для рівності y = -3/x, після цього зрушуємо отриманий графік вздовж осі абсцис вліво на 5 одиниць масштабу. В результаті чого у нас вийшов необхідний графік – це гіпербола з асимптотами х=-5 та у = 0. Сам графік ви бачили під час перегляду запропонованого відео.

Наступний приклад ось у чому: необхідно побудувати графік функції у = |х+2|. Суть вирішення цього завдання має такий самий алгоритм, що й у попередньому випадку. Спочатку будуємо графік функції у = |х|, та був зрушуємо їх у дві одиниці масштабу вліво.

На додачу слід сказати, що з побудові графіка функції виду у = f(x + l), якщо l - це будь-яке число, відмінне від нуля, тобто як позитивне, і негативне. При розв'язанні задач функцій ми розраховували координати точок, якими і будували графіки, не звертаючи уваги на знак біля якогось числа l, яке було у наших функціях, а просто відзначали зсув графіка тією чи іншою мірою. Проте слід зазначити, що напрямок зсуву все ж таки визначався саме знаком числа l: у разі, коли значення числа l було позитивним, графік зрушувався вліво, а у випадку, коли число l було менше нуля, графік зрушувався вправо.

Урок «Як побудувати графік функції у =f(x+ l)+ mякщо відомий графік функції у =f(x).

8А клас. Вчитель Бобунова В.В. МОУ ЗОШ №1 м.Пугачів Саратівська область

Базовий підручник

Ціль уроку : повторити правила побудови графіків функцій у = (х + l)і у = f (x) + m, якщо відомий графік функції у =f(x); розглянути правило побудови графіка функціїу = f (х + l)+ m, якщо відомий графік функції у =f(x); розвивати вміння будувати графіки різнихфункцій.

Завдання:

освітні:

навчити учнів будувати графік функції у = f (x + l) + m, якщо відомий графік функції у = f (x); навчити застосовувати ці методи під час виконання вправ; удосконалювати вміння будувати графіки функцій у = f (x) + m і у = (х + l), якщо відомий графік функції у = f (x);

р азвиваючі:

розвивати ІКТ-компетентність учнів під час виконання самостійних завданьза допомогою ЕОР; розвивати вміння доводити своє рішення; розвивати вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати та систематизувати;

в виховні:

розвивати вміння вести індивідуальну групову дискусію;

формування відповідальності кожного за кінцеві результати роботи у парі, етичної поведінки.

Тип уроку -викладення нового матеріалу.

Методи навчання:ілюстративно-словесний (ілюстративно-словесний та частково-пошуковий).

Форми роботи – індивідуальна(фронтальна, робота у парах)

Обладнання : Комп'ютер, мультимедійний проектор, екран, презентація до уроку, роздатковий матеріал.

Хід уроку.

1. Організаційний момент , перевірка домашнього завдання. Вчитель сканує домашнє завдання однієї з учнів, показує його класу, учні перевіряють свої роботи.
2. Індивідуальна робота .
Чотирьом учням лунають картки для індивідуальної роботи біля дошки.

Картка 1
Побудувати графіки даних функцій:
, , .

3. Актуалізація знань. Робота із графіками функцій. Напишіть рівняння графіка функції, зображеного на малюнку (слайди1-5).При перевірці завдання згадати вже вивчені правила побудови графіків функційу= f(x+ l) і = f (x) + m f (x) .

4. Пояснення нового матеріалу.

Завдання класу: на одній координатній площині побудувати штриховою лінією графіки наступних функцій:у=х 2 , у = (х-2) 2 , у = х 2 -3.
Потім пропонується учням самостійно побудувати суцільною лінією графік функції у = (х-2) 2 -3. Відбувається обговорення побудови даного графіката учням пропонується сформулювати правило побудови графіка функціїу = f (x + l) + m якщо відомий графік функціїf(x) .
Щоб побудувати графік функціїу= f(x+ l)+ mякщо відомий графік функціїу=f(х) , Треба графік функціїу= f(x) зрушити по осі xна / l/ одиниць праворуч, якщоlабо вліво, якщо l>0 , а потім зрушити графік по осі, що отримаву на /m/ одиниць нагору, якщо m>0 , вниз, якщо m.

Завдання класу. В яку точку переміститься вершина параболи, заданої рівнянням:

1.у=(х+1)²-2

2. у = (х-7) ²-4

3.у=4(х-2)²+8

4. у=0,5(х-3,5)²+6

Питання класу: «Чи обов'язково будувати три графіки дляпобудови графіка функції у =f(x+ l)+ m? »
Після обговорення робиться висновок: «Фактично графік функції у =(х - 2) 2 - 3 є та ж парабола, що служила графіком функції у = х 2 ,
тільки вершина параболи перемістилася з початку координат у точку (2; -3). Отже для її побудови потрібно перенести систему координат у точку (2; -3), в новій системікоординат побудувати графік функції у = х 2 .

5. Закріплення нового матеріалу.

Фронтальна робота з повним промовленням правила побудови. Побудувати графік функції у = 0,5 (х-5) 2 -7

Самостійна робота (у парах).

1.Побудувати графік функції у = 2 (х + 3) 2 +1.

2. Побудувати графік функції у = х + 6 +4.

3. № 21.16(в)

Додаткове завдання.

4.Рішіть графічно рівняння -3=х, використовуючи графік у вправі №21.16(в).

5. Розв'яжіть графічно систему рівнянь

VI . Підсумок уроку

Хлопці давайте підіб'ємо підсумок уроку. Що ми сьогодні повторили, закріпили, дізналися нового на уроці.(Учні розповідають основні моменти уроку) А що вам здалося найскладнішим при побудові графіків?

Ви показали добрі знання. Молодці! Оцінки …

VII .Домашнє завдання. п.12, №21.7; 21.16 (а); 21.20 (б). Додаткове завдання: побудувати графік функції у = х 2 -4х +6. Це творче завдання, побудувати графік квадратичної функціївиходячи з наявних знань щодо перетворення графіків функцій.

Література.

Мордкович А. Р. Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів/А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-те вид., стер. - М: Менімозіна, 2010. Задачник для учнів загальноосвітніх закладів/[А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін | За ред. А. Г. Мордковича. - 12-те вид., Випр. - М.: Менімозіна, 2010.

Досить часто під час вирішення тих чи інших завдань виникає необхідність побудови графіків залежностей одних змінних від значень інших, тобто графіків функцій. Чи досить просто виконувати побудови складних графіків? володіючи навичками побудови найпростіших. Одним із таких випадків є побудова графіка функції y=f(x+l)+m за наявності графіка функції y=f(x).

Розглянемо приклади побудови графіків функций.

Побудуємо графік функції у = (х-2) 2-3. Для зручності побудови графіка розіб'ємо весь процес на етапи.

Спочатку побудуємо графік функції у = х 2 . На запропонованому відео цей графік зображений суцільною червоною лінією.

Після цього перенесемо наш графік паралельно осі ох на 2 одиниці вправо. Отриманий графік відповідає функції у = (х-2) 2 . На відео він зображений зеленим кольором.

Залишилося перенести проміжний графік паралельно осі оу на 3 одиниці вниз і ми отримуємо графік нашої функції, тобто у = (х-2) 2 -3. Остаточний графік на відео представлений жовтою параболою.

Але водночас виникає питання доцільності побудови трьох графіків за необхідності побудови лише одного. Адже власне графіком функції у=(х-2) 2 -3 є парабола у=х 2 , вершина якої легко перемістилася на точку (2;-3). Тому розглянемо раціональніший, з погляду математиків, спосіб побудови графіків складніших функцій з допомогою графіків простих.

Для побудови графіка функції у = (х-2) 2 -3 достатньо побудувати пунктиром допоміжну прямокутну систему координат з початком у точці (2; -3). Проведемо прямі х=2 та у=-3. А вже в цій допоміжній прямокутній системі координат, користуючись шаблоном функції у = х 2 залишається побудувати потрібний графік.

Іншими словами, прив'яжемо функцію у = х 2 до нової системи координат для отримання потрібного графіка.

У наступному прикладі скористаємося запропонованим способом побудови графіка. І тому побудуємо графік функції у=-2(х+3) 2 +1. Спочатку створимо допоміжну прямокутну систему координат, побудувавши прямі х=-3 та у=1 пунктиром. Початок відліку у новій системі переміститься до точки (-3;1). Залишається прив'язати функцію у=-2х2 до отриманої системи. Підставимо рівняння функції, наприклад, значення х=0, х=-1, х=1, х=-2 і х=2. Використовуємо контрольні точки (0; 0), (-1; -2), (1; -2), (-2; -8), (2; -8) і будуємо їх у новій системі. Достатньо провести через отримані точки параболу, і наш графік функції у=-2(х+3) 2+1 побудований.

Ми можемо сказати, що, пройшовши цей шлях, вироблений певний алгоритм побудови графіка функції y=f(x+l)+m за наявності графіка функції y=f(x). Він полягає в наступному:

Спочатку необхідно просто побудувати графік функції y = f (x). Потім паралельним перенесенням перемістити вздовж осі ох на модуль l одиниць вліво, якщо l позитивно або праворуч, якщо l негативно.

Після цього залишається паралельно перенести вздовж осі оу отриманий раніше графік модуль m одиниць вгору, при позитивному значенні m або вниз, при його негативному значенні.

Суть другого алгоритму:

Пунктирними лініями будуємо прямі х=-l і у=m, отримуючи допоміжну систему координат із початком у точці (-l; m). Прив'язуємо графік функції y = f (x) до нової системи координат. Він і буде необхідним.

Муніципальний загальноосвітній заклад

«Гагаринська основна загальноосвітня школа»

Учитель математики

Хамбалова Масхуда Загфарівна

Конспект уроку алгебри. 8 клас

УМК "Алгебра 8" А.Г. Мордковича,

Тема: Як побудувати графік функції y = f ( x + l )+ m якщо відомий графік

функції y = f ( x )

Попередня підготовка до уроку: учні повинні

1) знати такі теми: «Функція, її властивості та графік», «Функція, її властивості та графік», «Функція, її властивості та графік», «Функція», «Лінійна функція», «Як побудувати графік функціїy = f ( x + l ) y= f( x)», «Як побудувати графік функціїy = f ( x )+ m якщо відомий графік функціїy= f( x)».

2) вміти працювати з графіками таких функцій.

Ціль: y = f ( x + l )+ m якщо відомийграфік функціїy= f( x) та формування умінь застосовувати його при вирішенні завдань.

Завдання:

освітні:

Повторити алгоритми побудова графіків функційy = f ( x + l ) , y = f ( x )+ m ;

Повторити графіки функцій, y = kx , .

Формувати вміння будувати графіки функцій з допомогою паралельного перенесення вздовж осей координат графіків елементарних функцій;

Застосовувати знання властивості функцій;

Готувати до здачі ГІА.

розвиваючі: розвивати пізнавальні здібності учнів, увага, пам'ять, логічне мислення, кмітливість, грамотну математичну мову, навички самостійної роботи;

виховні: виховання інтересу до пізнавального процесу, культури побудови графіків функцій та оформлення завдань, завзяття у досягненні мети, акуратності при виконанні завдань.

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу

Технології: інформаційно-комунікаційні,проблемного навчання; розвиваючого навчання, здоров'язберігаючі.

Форми роботи: фронтальна, індивідуальна, робота на інтерактивній дошці, робота з підручником, самостійна робота.

Обладнання: навчальний комплект "Алгебра 8" А.Г. Мордковича, зошит, олівець, авторучка, лінійка, інтерактивна дошка, презентація на тему уроку, диск «за ред. А.Г. Мордковича»

План уроку

п/п

Етап уроку

Час (мін.)

Завдання етапу

Організаційний момент

Перевірити готовність учнів до уроку, повідомити тему, цілі, етапи уроку, створити емоційний настрій працювати.

Актуалізація опорних знань

Повторити алгоритми побудови графіків функційy = f ( x + l ) , y = f ( x )+ m ;

Повторити графіки функцій, y = kx , .

Створення проблемної ситуації

Пошук шляхів вирішення проблеми

Вивчення нового матеріалу

Створення алгоритму побудови графіка функціїy = f ( x + l )+ m якщо відомийграфік функціїy= f( x)

Фізкультхвилинка

Зняти емоційну та м'язову напругу, збільшити рухову активність, підтримати високий рівеньпрацездатності

Закріплення

Побудова графіків функцій за алгоритмом

Підсумок уроку

Узагальнення знань, здобутих на уроці

Домашнє завдання

Інструктаж з домашнього завдання

Рефлексія

Інструктаж з рефлексії

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент (Формування мотивації роботи учнів).

Вчитель:

Вітає учнів,

Перевіряє готовність до уроку,

Оголошує тему «Як побудувати графік функціїy= f( x+ l)+ mякщо відомий графікфункціїy= f( x)»

Оголошує цілі уроку,

Озвучує план роботи (слайди 1,2):

Учні визначають готовність до виконання роботи (слайд 3)

ІІ. Актуалізація опорних знань

Завдання виносяться на інтерактивну дошку.Учні відповідають питання, пояснюють вибір відповіді. (слайди

ІІІ. Створення проблемної ситуації

Учень записує на дошці рівняння функцій, зображених на рисунках 1), 2), 4). Стикається з проблемою: на малюнку 3) зображено графік параболи, для якого виконано зсув уздовж осей координат вправо та вниз. Із такими графіками ще не працювали. Висувається припущення, які кроки слід зробити, щоб побудувати графік.

IV . Вивчення нового матеріалу

Завдання. Побудуйтеграфік функціїy = ( x -2) 2 – 3.

Учні пропонують варіанти побудови графіка.

А) 1)y = x 2 , 2) зсув праворуч на 2 од., 3) зсув вниз на 3 од.

Б) 1)y = x 2 , 2) зрушення вниз на 3 од., 3) зсув праворуч на 2 од.

В 1)y = x 2 , 2) зсув праворуч на 2 од. та вниз на 3 од.

Один учень виконує побудови на дошці за планом А.

Інші учні діляться на дві групи, одна з яких виконує побудову за планом Б, друга – за планом У.

Результати побудов порівнюються, робиться висновок та вибір найбільш раціонального способу.

Читають у підручнику на стор. 117-118 (§ 21) алгоритми побудови графіка функціїy= f( x+ l)+ mякщо відомий графікфункціїy= f( x) .

V . Фізкультхвилинка

VI . Закріплення

Учні виконують № 21.2(а), 21.4(а, б)самостійно , спираючись на таблицю, з подальшою перевіркою за допомогою диска« Електронне супроводження курсу «Алгебра. 8 клас"за ред. А.Г. Мордковича»(§ 21) .

VII . Підсумок уроку

Що нового ви дізналися сьогодні?

Чому навчилися?

Чи можете ви самі без сторонньої допомоги виконати домашню роботу?

VIII . Домашнє завдання

IX . Рефлексія Учні оцінюють свою діяльність на уроці та порівнюють результати з тими, що були на початку уроку.

Розділи: Математика

Клас: 8

Цілі:

Обладнання:інтерактивні ради, проектор, презентація до уроку.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

у = x 2 та у = x 2+1. Учні самостійно приходять до висновку про зсув параболи (паралельному перенесенні) на 1 одиницю вгору. (Слайд 10)

На координатній площині у зошитах учні по точках будують графіки функцій у = x 2 та у = x 2 – 1. Учні самостійно приходять до висновку про зсув параболи (паралельному перенесенні) на 1 одиницю вниз. (Слайд 11)

На координатній площині у зошитах учні по точках будують графіки функцій у = x 2 та у =(x – 1) 2. Учні самостійно приходять до висновку про зсув параболи (паралельному перенесенні) на 1 одиницю вправо. (Слайд 12)

На координатній площині у зошитах учні по точках будують графіки функцій у = x 2 та у =(x + 1) 2. Учні самостійно приходять до висновку про зсув параболи (паралельному перенесенні) на 1 одиницю вліво. (Слайд 13)

За допомогою вчителя учні формулюють правило побудови графіка функції у = f(x + l)та графіка функції у = f(x) + mза допомогою зсуву графіка функції у = f(x). (Слайди 14-18. Анімація зсувів графіків на слайдах допомагає кращому сприйняттю правила.)

Потім розглядається варіант побудови графіка функції у = f(x + l)та графіка функції у = f(x) + mза допомогою зсуву графіка функції у = f(x)якщо відомий графік функції у = f(x)за допомогою зсуву осей координат. (Слайди 19-23. Анімація зсувів осей координат на слайдах допомагає кращому сприйняттю правила побудови графіків.)

Правила побудови графіків функцій у = f(x + l)і у = f(x) + mзаписуються у зошит.

4. Закріплення матеріалу

№ 19.6, № 20.6, № 19.11(в), № 19.12(в), № 19.13(в), № 19.14(в), № 20.11(в), № 20.12(в), № 20.13(в), № 20.1 (В).

5. Домашнє завдання

Параграф 19, 20 підручника, № 19.5, № 20.5, № 19.11–19.14(а), № 20.11–20.14(а).

6. Підбиття підсумків уроку