Цей розділ присвячений вивченню паралельних прямих. Так називаються дві прямі на площині, які не перетинаються. Відрізки паралельних прямих ми бачимо в навколишній обстановці - це два краї прямокутного столу, два краї обкладинки книги, дві штанги тролейбуса і т.д. Паралельні прямі грають у геометрії дуже важливу роль. У цьому розділі ви дізнаєтеся про те, що таке аксіоми геометрії і в чому полягає аксіома паралельних прямих - одна з найвідоміших аксіом геометрії.
У п. 1 ми зазначали, що дві прямі або мають одну загальну точку, тобто перетинаються, або не мають жодної спільної точки, тобто не перетинаються.
Визначення
Паралельність прямих і b позначають так: а || b.
На малюнку 98 зображені прямі а та b, перпендикулярні до прямої с. У п. 12 ми встановили, що такі прямі і b не перетинаються, тобто вони паралельні.
Рис. 98
Поряд із паралельними прямими часто розглядають паралельні відрізки. Два відрізки називаються паралельнимиякщо вони лежать на паралельних прямих. На рисунку 99 а відрізки АВ і CD паралельні (АВ || CD), а відрізки MN і CD не паралельні. Аналогічно визначається паралельність відрізка та прямої (рис. 99, б), променя та прямої, відрізка та променя, двох променів (рис. 99, в).
Рис. 99Ознаки паралельності двох прямих
Пряма з називається сікучоюпо відношенню до прямих а та b, якщо вона перетинає їх у двох точках (рис. 100). При перетині прямих а і b січної утворюється вісім кутів, які на рисунку 100 позначені цифрами. Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви:
навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;
односторонні кути: 4 та 5, 3 та 6;
відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7.
Рис. 100
Розглянемо три ознаки паралельності двох прямих, пов'язані з цими парами кутів.
Теорема
Доказ
Нехай при перетині прямих а і b секучої АВ нахрест лежачі кути рівні: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).
Доведемо, що || b. Якщо кути 1 і 2 прямі (рис. 101 б), то прямі а і b перпендикулярні до прямої АВ і, отже, паралельні.
Рис. 101
Розглянемо випадок, коли кути 1 та 2 не прямі.
Із середини О відрізка АВ проведемо перпендикуляр ВІН до прямої а (рис. 101, в). На прямій b від точки відкладемо відрізок ВН 1 , рівний відрізку АН, як показано на малюнку 101, в, і проведемо відрізок ВІН 1 . Трикутники ВОНА і ВІН 1 В рівні по дві сторони і кут між ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), тому ∠3 = ∠4 і ∠5 = ∠6. З рівності ∠3 = ∠4 випливає, що точка Н 1 лежить на продовженні променя ВІН, тобто точки Н, О і Н 1 лежать на одній прямій, а з рівності ∠5 = ∠6 випливає, що кут 6 – прямий (оскільки кут 5 - прямий). Отже, прямі а та b перпендикулярні до прямої HH 1 тому вони паралельні. Теорему доведено.
Теорема
Доказ
Нехай при перетині прямих а і b січе з відповідні кути рівні, наприклад ∠1 =∠2 (рис. 102).
Рис. 102
Оскільки кути 2 і 3 - вертикальні, то ∠2 = ∠3. З цих двох рівностей випливає, що ∠1 = ∠3. Але кути 1 і 3 - навхрест лежать, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.
Теорема
Доказ
Нехай при перетині прямих а і b сік із сумою односторонніх кутів дорівнює 180°, наприклад ∠1 + ∠4 = 180° (див. рис. 102).
Оскільки кути 3 та 4 - суміжні, то ∠3 + ∠4 = 180°. З цих двох рівностей випливає, що навхрест кути, що лежать, 1 і 3 рівні, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.
Практичні способи побудови паралельних прямих
Ознаки паралельності прямих є основою способів побудови паралельних прямих з допомогою різних інструментів, використовуваних практично. Розглянемо, наприклад, спосіб побудови паралельних прямих за допомогою креслярського косинця та лінійки. Щоб побудувати пряму, що проходить через точку М і паралельну даній прямій а, прикладемо креслярський косинець до прямої а, а до нього лінійку так, як показано на малюнку 103. Потім, пересуваючи косинець уздовж лінійки, досягнемо того, щоб точка М опинилася на стороні вугілля , та проведемо пряму b. Прямі а і b паралельні, оскільки відповідні кути, позначені малюнку 103 буквами α і β, рівні.
Рис. 103На малюнку 104 показаний спосіб побудови паралельних прямих за допомогою рейсшини. Цим способом користуються у креслярській практиці.
Рис. 104Аналогічний спосіб застосовується під час виконання столярних робіт, де для розмітки паралельних прямих використовується малка (дві дерев'яні планки, скріплені шарніром, рис. 105).
Рис. 105
Завдання
186. На малюнку 106 прямі а та b пересічені прямий с. Доведіть, що а || b, якщо:
а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а кут 7 утричі більший за кут 3.
Рис. 106
187. За даними малюнка 107, доведіть, що АВ || DE.
Рис. 107
188. Відрізки АВ та CD перетинаються у їхній спільній середині. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.
189. Використовуючи дані малюнка 108, доведіть, що ПС || AD.
Рис. 108
190. На рисунку 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Доведіть, що DE || АС.
Рис. 109
191. Відрізок ВК – бісектриса трикутника АВС. Через точку К проведено пряму, що перетинає сторону ВС у точці М так, що ВМ = МК. Доведіть, що прямі КМ та АВ паралельні.
192. У трикутнику АВС кут А дорівнює 40 °, а кут ВСЕ, суміжний з кутом АСВ, дорівнює 80 °. Доведіть, що бісектриса кута ВСІ паралельна прямій АВ.
193. У трикутнику ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину проведена пряма BD так, що промінь ВС - бісектриса кута ABD. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.
194. Накресліть трикутник. Через кожну вершину цього трикутника за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть пряму, паралельну протилежній стороні.
195. Накресліть трикутник АВСта позначте точку D на стороні АС. Через точку D за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть прямі, паралельні двом іншим сторонам трикутника.
РОЗДІЛ ІІІ.
ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ
§ 35. Ознаки Паралельності двох прямих.
Теорема про те, що два перпендикуляри до однієї прямої паралельні (§ 33), дає ознаку паралельності двох прямих. Можна вивести загальні ознаки паралельності двох прямих.
1. Перша ознака паралельності.
Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні хрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.
Нехай прямі АВ та СD пересічені прямий ЕF та / 1 = / 2. Візьмемо точку О – середину відрізка КL сікної ЕF (чорт. 189).
Опустимо з точки Про перпендикуляр ОМ на пряму АВ і продовжимо його до перетину з прямою SD, АВ_|_МN. Доведемо, як і СD_|_МN.
Для цього розглянемо два трикутники: МОЄ та NОК. Ці трикутники рівні між собою. Справді: /
1 = /
2 за умовою теореми; ОK = ОL - за побудовою;
/
МОL = /
NОК, як вертикальні кути. Таким чином, сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника; отже, /\
МОL = /\
NОК, а звідси і
/
LМО = /
КNО, але /
LМО прямий, отже, і /
КNО теж прямий. Таким чином, прямі АВ і СD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої МN, отже, вони паралельні (§ 33), що потрібно довести.
Примітка. Перетин прямих МО та СD може бути встановлений шляхом повороту трикутника МОL навколо точки на 180°.
2. Друга ознака паралельності.
Подивимося, чи паралельні прямі АВ і СD, якщо при перетині їх третьої прямої ЕF рівні відповідні кути.
Нехай якісь відповідні кути рівні, наприклад /
3 = /
2 (чорт. 190);
/
3 = /
1, як кути вертикальні; значить, /
2 буде дорівнює /
1. Але кути 2 і 1 - внутрішні навхрест лежать кути, а ми вже знаємо, що якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні хрест лежать кути рівні, то ці прямі паралельні. Отже, АВ | СD.
Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.
На цій властивості засновано побудову паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Виконується це в такий спосіб.
Прикладемо трикутник до лінійки так, як це показано на кресленні 191. Пересуватимемо трикутник так, щоб одна його сторона ковзала по лінійці, а по будь-якій іншій стороні трикутника проведемо кілька прямих. Ці прямі будуть паралельні.
3. Третя ознака паралельності.
Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ і СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(або 180 °). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (чорт. 192).
Нехай /
1 та /
2-внутрішні односторонні кути та в сумі складають 2 d.
Але /
3 + /
2 = 2dяк кути суміжні. Отже, /
1 + /
2 = /
3+ /
2.
Звідси / 1 = / 3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.
Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d, то ці дві прямі паралельні.
Вправа.
Довести, що прямі паралельні:
а) якщо зовнішні хрест лежачі кути рівні (чорт. 193);
б) якщо сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(чорт. 194).
1. Перша ознака паралельності.
Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні хрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.
Нехай прямі АВ і СD перетнуті прямий ЕF і ∠1 = ∠2. Візьмемо точку О - середину відрізка КL сік ЕF (рис.).
Опустимо з точки П перпендикуляр ОМ на пряму АВ і продовжимо його до перетину з прямою СD, АВ ⊥ МN. Доведемо, що і СD ⊥ МN.
Для цього розглянемо два трикутники: МОЄ та NОК. Ці трикутники рівні між собою. Справді: ∠1 = ∠2 за умовою теореми; ОK = ОL - за побудовою;
∠МОL = ∠NОК, як вертикальні кути. Таким чином, сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника; отже, ΔМОL = ΔNОК, а звідси і ∠LМО = ∠КNО,
але ∠LМО прямий, отже, і ∠КNО теж прямий. Таким чином, прямі АВ і СD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої МN, отже, вони паралельні, що потрібно довести.
Примітка. Перетин прямих МО та СD може бути встановлений шляхом повороту трикутника МОL навколо точки на 180°.
2. Друга ознака паралельності.
Подивимося, чи паралельні прямі АВ і СD, якщо при перетині їх третьої прямої ЕF рівні відповідні кути.
Нехай якісь відповідні кути рівні, наприклад ∠3 = ∠2 (рис.);
∠3 = ∠1, як кути вертикальні; отже, ∠2 дорівнюватиме ∠1. Але кути 2 і 1 - внутрішні навхрест лежать кути, а ми вже знаємо, що якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежать кути рівні, то ці прямі паралельні. Отже, АВ | СD.
Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.
На цій властивості засновано побудову паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Виконується це в такий спосіб.
Прикладемо трикутник до лінійки так, як показано на рис. Пересуватимемо трикутник так, щоб одна його сторона ковзала по лінійці, а по будь-якій іншій стороні трикутника проведемо кілька прямих. Ці прямі будуть паралельні.
3. Третя ознака паралельності.
Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ і СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(або 180 °). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (рис.).
Нехай ∠1 та ∠2-внутрішні односторонні кути та в сумі складають 2 d.
Але ∠3 + ∠2 = 2 dяк кути суміжні. Отже, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Звідси ∠1 = ∠3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.
Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d (або 180°), ці дві прямі паралельні.
Ознаки паралельних прямих:
1. Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.2.Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.
3. Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то ці дві прямі паралельні.
4. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою.
5. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою.
Аксіома паралельності Евкліда
Завдання. Через точку М, взяту поза прямою АВ, провести пряму, паралельну до прямої АВ.
Користуючись доведеними теоремами про ознаки паралельності прямих, можна це завдання вирішити різними способами,
Рішення. 1-й посіб (чорт. 199).
Проводимо МN⊥АВ і через точку М проводимо СD⊥МN;
отримуємо СD⊥МN та АВ⊥МN.
На підставі теореми ("Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні") укладаємо, що СD | АВ.
2-й посіб (чорт. 200).
Проводимо МК, що перетинає АВ під будь-яким кутом α, і через точку М проводимо пряму ЕF, що утворює з прямої МК кут ЕМК, що дорівнює куту α. З теореми () укладаємо, що ЕF || АВ.
Вирішивши дане завдання, можемо вважати доведеним, що з будь-яку точку М, взяту поза прямою АВ, можна провести пряму, їй паралельну. Виникає питання, скільки ж прямих, паралельних даній прямий і проходять через цю точку, може існувати?
Практика побудов дозволяє припускати, що існує тільки одна така пряма, тому що при ретельно виконаному кресленні прямі, проведені різними способами через ту саму точку паралельно одній і тій же прямій, зливаються.
Теоретично у відповідь поставлене питання дає так звана аксіома паралельності Евкліда; вона формулюється так:
Через точку, взяту поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну цій прямій.
На кресленні 201 через точку проведена пряма СК, паралельна прямий АВ.
Будь-яка інша пряма, що проходить через точку О, вже не буде паралельна прямий АВ, а її перетинатиме.
Прийнята Евклідом у його "Початках" аксіома, яка стверджує, що на площині через точку, взяту поза даною прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну до цієї прямої, називається аксіомою паралельності Евкліда.
Більше двох тисячоліть після Евкліда багато вчених-математиків намагалися довести цю математичну пропозицію, але завжди їхні спроби виявлялися безуспішними. Тільки в 1826 р. великий російський вчений, професор Казанського університету Микола Іванович Лобачевський довів, що, використовуючи всі інші аксіоми Евкліда, цю математичну пропозицію довести не можна, що вона дійсно має бути прийнята за аксіому. М. І. Лобачевський створив нову геометрію, яка на відміну геометрії Евкліда названа геометрією Лобачевського.
Геометрія. Назвіть 3 ознаки паралейності прямих і отримав найкращу відповідь
Відповідь від Hoster Garenov
Якщо при перетині 2 прямих третьої, сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусів, то такі прямі паралельні.
Якщо при перетині 2 прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то такі прямі паралельні.
Якщо 2 прямі перпендикулярні до третьої, то вони паралельні.
Відповідь від Pazitea[гуру]
1. Перша ознака паралельності.
Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні хрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.
2. Друга ознака паралельності.
Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.
3. Третя ознака паралельності.
Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ та СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d (або 180°). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (чорт. 192).
Нехай /1 та/2-внутрішні односторонні кути і в сумі складають 2d.
Але /3+/2=2d, як кути суміжні. Отже, /1+/2=/3+/2.
Звідси / 1 = / 3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.
Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d, то ці дві прямі паралельні.
Відповідь від 3 відповіді[гуру]
Вітання! Ось добірка тем із відповідями на Ваше запитання: Геометрія. Назвіть 3 ознаки паралейності прямих
Відповідь від 3 відповіді[гуру]
Цей розділ присвячений вивченню паралельних прямих. Так називаються дві прямі на площині, які не перетинаються. Відрізки паралельних прямих ми бачимо в навколишній обстановці - це два краї прямокутного столу, два краї обкладинки книги, дві штанги тролейбуса і т.д. Паралельні прямі грають у геометрії дуже важливу роль. У цьому розділі ви дізнаєтеся про те, що таке аксіоми геометрії і в чому полягає аксіома паралельних прямих - одна з найвідоміших аксіом геометрії.
У п. 1 ми зазначали, що дві прямі або мають одну загальну точку, тобто перетинаються, або не мають жодної спільної точки, тобто не перетинаються.
Визначення
Паралельність прямих і b позначають так: а || b.
На малюнку 98 зображені прямі а та b, перпендикулярні до прямої с. У п. 12 ми встановили, що такі прямі і b не перетинаються, тобто вони паралельні.
Рис. 98
Поряд із паралельними прямими часто розглядають паралельні відрізки. Два відрізки називаються паралельнимиякщо вони лежать на паралельних прямих. На рисунку 99 а відрізки АВ і CD паралельні (АВ || CD), а відрізки MN і CD не паралельні. Аналогічно визначається паралельність відрізка та прямої (рис. 99, б), променя та прямої, відрізка та променя, двох променів (рис. 99, в).
Рис. 99Ознаки паралельності двох прямих
Пряма з називається сікучоюпо відношенню до прямих а та b, якщо вона перетинає їх у двох точках (рис. 100). При перетині прямих а і b січної утворюється вісім кутів, які на рисунку 100 позначені цифрами. Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви:
навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;
односторонні кути: 4 та 5, 3 та 6;
відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7.
Рис. 100
Розглянемо три ознаки паралельності двох прямих, пов'язані з цими парами кутів.
Теорема
Доказ
Нехай при перетині прямих а і b секучої АВ нахрест лежачі кути рівні: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).
Доведемо, що || b. Якщо кути 1 і 2 прямі (рис. 101 б), то прямі а і b перпендикулярні до прямої АВ і, отже, паралельні.
Рис. 101
Розглянемо випадок, коли кути 1 та 2 не прямі.
Із середини О відрізка АВ проведемо перпендикуляр ВІН до прямої а (рис. 101, в). На прямій b від точки відкладемо відрізок ВН 1 , рівний відрізку АН, як показано на малюнку 101, в, і проведемо відрізок ВІН 1 . Трикутники ВОНА і ВІН 1 В рівні по дві сторони і кут між ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), тому ∠3 = ∠4 і ∠5 = ∠6. З рівності ∠3 = ∠4 випливає, що точка Н 1 лежить на продовженні променя ВІН, тобто точки Н, О і Н 1 лежать на одній прямій, а з рівності ∠5 = ∠6 випливає, що кут 6 – прямий (оскільки кут 5 - прямий). Отже, прямі а та b перпендикулярні до прямої HH 1 тому вони паралельні. Теорему доведено.
Теорема
Доказ
Нехай при перетині прямих а і b січе з відповідні кути рівні, наприклад ∠1 =∠2 (рис. 102).
Рис. 102
Оскільки кути 2 і 3 - вертикальні, то ∠2 = ∠3. З цих двох рівностей випливає, що ∠1 = ∠3. Але кути 1 і 3 - навхрест лежать, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.
Теорема
Доказ
Нехай при перетині прямих а і b сік із сумою односторонніх кутів дорівнює 180°, наприклад ∠1 + ∠4 = 180° (див. рис. 102).
Оскільки кути 3 та 4 - суміжні, то ∠3 + ∠4 = 180°. З цих двох рівностей випливає, що навхрест кути, що лежать, 1 і 3 рівні, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.
Практичні способи побудови паралельних прямих
Ознаки паралельності прямих є основою способів побудови паралельних прямих з допомогою різних інструментів, використовуваних практично. Розглянемо, наприклад, спосіб побудови паралельних прямих за допомогою креслярського косинця та лінійки. Щоб побудувати пряму, що проходить через точку М і паралельну даній прямій а, прикладемо креслярський косинець до прямої а, а до нього лінійку так, як показано на малюнку 103. Потім, пересуваючи косинець уздовж лінійки, досягнемо того, щоб точка М опинилася на стороні вугілля , та проведемо пряму b. Прямі а і b паралельні, оскільки відповідні кути, позначені малюнку 103 буквами α і β, рівні.
Рис. 103На малюнку 104 показаний спосіб побудови паралельних прямих за допомогою рейсшини. Цим способом користуються у креслярській практиці.
Рис. 104Аналогічний спосіб застосовується під час виконання столярних робіт, де для розмітки паралельних прямих використовується малка (дві дерев'яні планки, скріплені шарніром, рис. 105).
Рис. 105
Завдання
186. На малюнку 106 прямі а та b пересічені прямий с. Доведіть, що а || b, якщо:
а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а кут 7 утричі більший за кут 3.
Рис. 106
187. За даними малюнка 107, доведіть, що АВ || DE.
Рис. 107
188. Відрізки АВ та CD перетинаються у їхній спільній середині. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.
189. Використовуючи дані малюнка 108, доведіть, що ПС || AD.
Рис. 108
190. На рисунку 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Доведіть, що DE || АС.
Рис. 109
191. Відрізок ВК – бісектриса трикутника АВС. Через точку К проведено пряму, що перетинає сторону ВС у точці М так, що ВМ = МК. Доведіть, що прямі КМ та АВ паралельні.
192. У трикутнику АВС кут А дорівнює 40 °, а кут ВСЕ, суміжний з кутом АСВ, дорівнює 80 °. Доведіть, що бісектриса кута ВСІ паралельна прямій АВ.
193. У трикутнику ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину проведена пряма BD так, що промінь ВС - бісектриса кута ABD. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.
194. Накресліть трикутник. Через кожну вершину цього трикутника за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть пряму, паралельну протилежній стороні.
195. Накресліть трикутник АВС та позначте точку D на стороні АС. Через точку D за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть прямі, паралельні двом іншим сторонам трикутника.