☰

Зовнішній кут довільного трикутника більший за кожен внутрішній, не суміжний з ним. Доказ. Нехай АВС – довільний трикутник. Розглянемо, - презентація

Рівнобедрений трикутник та його властивості. Середня лінія трикутника.

ТРИКУТНИК – геометрична фігура, Що складається з трьох точок (вершин) і трьох попарно з'єднують їх відрізків (сторони). Сторони трикутника позначаються часто малими літерами, які відповідають великим літерам, що позначають протилежні вершини.

Сума довжин усіх сторін трикутника називається периметром.

Трикутники розрізняються за величиною кутів: гострокутні, прямокутні, тупокутні. Якщо всі три кути гострі, це гострокутний трикутник. Якщо один із кутів прямий, то це прямокутний трикутник; один з кутів тупий це тупокутний трикутник.

По трьох сторонах трикутника можна визначити його вигляд.

ТЕОРЕМА. У трикутнику квадрат більшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін і тоді, коли трикутник прямокутний.

ТЕОРЕМА. У трикутнику квадрат більшої сторони менший за суму квадратів двох інших сторін тоді і тільки тоді, коли трикутник гострокутний.

ТЕОРЕМА. У трикутнику квадрат більшої сторони більший за суму квадратів двох інших сторін тоді і тільки тоді, коли трикутник тупокутний.

Трикутники розрізняються по довжині сторін: різнобічні, рівнобедрені, рівносторонні.

Трикутник рівнобедрений, якщо дві його сторони рівні, ці рівні сторони називаються бічними, третя сторона називається основою трикутника. Трикутник рівносторонній, якщо його сторони рівні.

Основні властивості трикутників.

ТЕОРЕМА. У будь-якому трикутнику: проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки.

Проти рівних сторін лежать рівні кути, і навпаки.

Наслідок. Усі кути у рівносторонньому трикутнику рівні.

ТЕОРЕМА. Якщо дві сторони одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам іншого трикутника, то проти більшого з кутів, укладених між ними лежить і велика сторона, і проти більшої з інших сторін лежить більший кут.

ТЕОРЕМА. Сума кутів трикутника дорівнює 180 º.

Наслідок. Кожен кут у рівносторонньому трикутнику дорівнює 60 º.

Продовжуючи одну із сторін трикутника, отримуємо зовнішній кут

ТЕОРЕМА. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних із ним:

ТЕОРЕМА. Зовнішній кут трикутника більший за кожен внутрішній, не суміжний з ним.

ТЕОРЕМА. У трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін, але більша за їх різницю.

Медіаною трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину із серединою протилежної сторони (підставою медіани).

ТЕОРЕМА. Всі три медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться цією точкою щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка перетину називається центроїдом або центром тяжкості трикутника.

Висотою трикутника, проведеної з цієї вершини, називається перпендикуляр, опущений із цієї вершини на протилежний бік або його продовження.

ТЕОРЕМА. Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.

Бісектрисою трикутника, проведеної з даної вершини, називають відрізок, що з'єднує цю вершину з точкою на протилежному боці і кут, що ділить при даній вершині навпіл.

ТЕОРЕМА. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, і ця точка збігається з центром вписаного кола

Середньою лінією трикутниканазивають відрізок, що з'єднує середини двох сторін цього трикутника.

ТЕОРЕМА. Середня лінія трикутника паралельна до основи і дорівнює його половині.


Подібна інформація:

  1. I. Організаційний момент. 1. Суми трьох чисел, написаних вздовж сторін трикутника, мають однакові значення

    Слайд 1

    Зовнішній кут довільного трикутника більше кожного внутрішнього, не суміжного з ним. Доказ. Нехай АВС – довільний трикутник. Розглянемо, наприклад, зовнішній кут ВСD і доведемо, що він більший за внутрішній кут АВС. Для цього через вершину А і середину Е сторони ПС проведемо пряму і відкладемо на ній відрізок EF, рівний АЕ. Трикутники АВЕ та FCЕ рівні за першою ознакою рівності трикутників (ВЕ = СЕ, AE = FE, AEB = FEC). Отже, ABC = BCF. Але вершина F лежить усередині кута BCD. Тому кут BCF становить лише частину кута BCD. Значить, BCD > ABC.

    Слайд 2

    Теорема 2

    У довільному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут. Доказ. Нехай у трикутнику АВС сторона АВ більша за сторону АС. Доведемо, що кут С більший за кут В. Для цього відкладемо на промені АВ відрізок AD, рівний стороні АС. Трикутник АСD – рівнобедрений. Отже, 1 = 2. Кут 1 становить частину кута З. Тому 1 B. Отже, маємо C > 1 = 2 > B.

    Слайд 3

    Вправа 1

    Чи може зовнішній кут трикутника дорівнювати його внутрішньому куту? Відповідь: Так, у прямокутному трикутнику.

    Слайд 4

    Вправа 2

    Чи може зовнішній кут трикутника бути меншим за його внутрішній кут? Відповідь: Так, у тупокутному трикутнику.

    Слайд 5

    Вправа 3

    Скільки у трикутнику може бути: а) прямих кутів; б) тупих кутів? Відповідь: а), б) Один.

    Слайд 6

    Вправа 4

    Відомо, що у трикутнику ABCBC > AC >AB. Який із кутів більший: а) B або A; б) C чи A; в) B чи З? Відповідь: а); б) A; в) В.

    Слайд 7

    Вправа 5

    У трикутнику ABC сторона AB найбільша. Які кути цього трикутника є гострими? Яким може бути кут C? Відповідь: Кути A та B гострі. Кут C може бути гострим, прямим або тупим.

    Слайд 8

    Вправа 6

    На малюнку 1 BC.

    Слайд 9

    Вправа 7

    Чи правда, що у довільному трикутнику проти більшого кута лежить велика сторона? Відповідь: Так.

    Слайд 10

    Вправа 8

    Відповідь: а) BC > AC > AB; Порівняйте сторони трикутника ABC, якщо: а) A>B>C; б) A> B, B =C. б) BC> AB, AC = AB.

Бувають внутрішні та зовнішні. Що таке зовнішній кут трикутника? Як його знайти?

Визначення.

Зовнішній кут трикутникапри даній вершині - це кут, із внутрішнім кутом трикутника при цій вершині.

Як збудувати зовнішній кут трикутника? Потрібно продовжити бік трикутника.

На малюнку:

∠3 - зовнішній кут при вершині А,

∠2 - зовнішній кут при вершині С,

∠1 - зовнішній кут при вершині Ст.

Скільки зовнішніх кутів у трикутника?

При кожній вершині трикутника є два зовнішні кути. Щоб побудувати зовнішній кут на вершині трикутника, можна продовжити будь-яку з двох сторін, на яких лежить дана вершина. Таким чином, отримуємо 6 зовнішніх кутів.

Зовнішні кути кожної пари за даної вершини рівні між собою (як ):

∠1=∠4, ∠2=∠5, ∠3=∠6.

Тому, коли говорять про зовнішнє вугілля трикутника, не важливо, яку зі сторін трикутника продовжили.

Чому дорівнює зовнішній кут?

Теорема ( про зовнішній кут трикутника)

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

Дано : ∆АВС, ∠1 - зовнішній кут при вершині С.

Довести: ∠1=∠А+∠В.

Доказ :

Оскільки дорівнює 180º, ∠А+∠В+∠С=180º.

Отже, ∠С=180º-(∠А+∠В).

∠1 і ∠С (∠АСВ) — суміжні, тому їх сума дорівнює 180º, отже, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+ ∠В)=∠А+∠В.

Що і потрібно було довести.

Зовнішній кут довільного трикутника більший за кожен внутрішній, не суміжний з ним. Доказ. Нехай АВС – довільний трикутник. Розглянемо, наприклад, зовнішній кут ВСD і доведемо, що він більший за внутрішній кут АВС. Для цього через вершину А і середину Е сторони ПС проведемо пряму і відкладемо на ній відрізок EF, рівний АЕ. Трикутники АВЕ та FCЕ рівні за першою ознакою рівності трикутників (ВЕ = СЕ, AE = FE, AEB = FEC). Отже, ABC = BCF. Але вершина F лежить усередині кута BCD. Тому кут BCF становить лише частину кута BCD. Значить, BCD > ABC. ABC.">


У довільному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут. Доказ. Нехай у трикутнику АВС сторона АВ більша за сторону АС. Доведемо, що кут С більший за кут В. Для цього відкладемо на промені АВ відрізок AD, рівний стороні АС. Трикутник АСD – рівнобедрений. Отже, 1 = 2. Кут 1 становить частину кута З. Тому 1 B. Отже, маємо C > 1 = 2 > B. 1 = 2 > B.">








Відомо, що у трикутнику ABC BC > AC >AB. Який із кутів більший: а) B або A; б) C чи A; в) B чи З? Відповідь: а); б) A; в) B. А С В AC >AB. Який із кутів більший: а) B або A; б) C чи A; в) B чи З? Відповідь: а); б) A; в) B. А С В> AC >AB. Який з кутів більший: а) B або A; б) C або A; в) B або С? Відповідь: а), б) A; в) B. А З> AC >AB. Який із кутів більший: а) B або A; б) C чи A; в) B чи З? Відповідь: а); б) A; в) B. АС В title="(!LANG: Відомо, що в трикутнику ABC BC > AC >AB. Який з кутів більше: а) B або A; б) C чи A; в) B чи З? Відповідь: а); б) A; в) B. А С В"> title="Відомо, що у трикутнику ABC BC > AC >AB. Який із кутів більший: а) B або A; б) C чи A; в) B чи З? Відповідь: а); б) A; в) B. А С В"> !}




На малюнку 1 BC. BC."> BC."> BC." title="(!LANG:На малюнку 1 BC."> title="На малюнку 1 BC."> !}




Відповідь: а) BC > AC > AB; Порівняйте сторони трикутника ABC, якщо: а) A > B > C; б) A> B, B = C. б) BC> AB, AC = AB. AC > AB; Порівняйте сторони трикутника ABC, якщо: а) A > B > C; б) A > B, B = C. б) BC > AB, AC = AB.» > AC > AB; Порівняйте сторони трикутника ABC, якщо: а) A > B > C; б) BC > AB, AC = AB."> AC > AB; Порівняйте сторони трикутника ABC, якщо: а) A > B > C; б) A > B, B = C. б) BC > AB, AC = AB. Порівняйте сторони трикутника ABC, якщо: а) A > B > C; б) A> B, B = C. б) BC> AB, AC = AB."> title="Відповідь: а) BC > AC > AB; Порівняйте сторони трикутника ABC, якщо: а) A > B > C; б) A> B, B = C. б) BC> AB, AC = AB."> !}



14


У трикутнику ABC виконується нерівність AC > BC, CD – медіана. Який із кутів більший за ACD або BCD? Відповідь: BCD. А В З D BC, CD – медіана. Який із кутів більший за ACD або BCD? Відповідь: BCD. А В С D>> BC, CD - медіана. Який з кутів більше ACD або BCD? Відповідь: BCD. А В С D"> BC, CD - медіана. Який із кутів більший за ACD або BCD? Відповідь: BCD. А В С D" title="(!LANG:У трикутнику ABC виконується нерівність AC > BC, CD – медіана. Який з кутів більше за ACD або BCD? Відповідь: BCD. А В С D"> title="У трикутнику ABC виконується нерівність AC > BC, CD – медіана. Який із кутів більший за ACD або BCD? Відповідь: BCD. А В З D"> !}