Hay tres lecciones sobre este tema, cada lección es diferente.
Objetivos de la lección:
Consolidación y destrucción de conocimientos sobre el canto integral y complemento yogo a los conocimientos del área de figuras;
Moldear el conocimiento de Schodo zastosuvannya y las formas de cambiar esas nuevas situaciones iniciales; - desarrollo de la cultura informativa y comunicativa de los estudiantes;
Vihovannya pіznaval′noї actividad, vminnya pratsyuvati en kolektivі, zazyattya que llegan a meti.
Tarea de la lección:
Repita la tabla y las reglas para determinar el primario, comprendiendo el trapecio curvilíneo, el algoritmo para determinar el área del trapecio curvilíneo; - zastosuvat nayavnі znannya que vmіnnya para znakhodzhennya ploshch figura plana.
Formas de organización de robots y alumnos: trabajo en grupo.
Propiedad de los programas que se están reproduciendo: tablero interactivo Smart Board, “Mathematics is Alive”.
Funciones ganadoras software tableros interactivos:
Función - cortina:
Función - clonación de objetos:
Función - reapriete del objeto;
Función - bolígrafo inteligente.
Zavantage:
Vista frontal:
Lección sobre el tema: "Cálculo del área de figuras para integración adicional"
En 11º grado.
Esconder la lección:
- Momento organizativo ((la preparación se verifica antes de la lección, se expresan el tema y el objetivo de la lección, se registra el número).
Lección para pasar en voz baja: Dime, y lo olvidaré, Muéstrame, y lo recordaré, Déjame respirar por mi cuenta, lo aprenderé.
Confucio.
- Etapa de actualización a partir de conocimientos previos(Meta de esta etapa: repetir la tabla y las reglas para el reconocimiento de primitivas, la comprensión del trapecio curvilíneo, el algoritmo para el reconocimiento del área del trapecio curvilíneo).
Maestro: En las lecciones anteriores, aprendimos sobre los conceptos del primero, de la tabla y las reglas de su significado.
restauración 1 : ¿Qué se llama primario para la función y \u003d f (x) en un cierto intervalo? Comida 2 : ¿Cómo configurar todas las funciones primarias y = f(x), para que F(x) sea una de ellas? Nutrición 3: Anular las reglas de saber el primero. Tan pronto como se abre la segunda diapositiva, se abre la cortina, después de lo cual se adjunta la comida para los estudiantes. cabeza 1 : Conoce una de las primeras funciones a asignar. (aprendiendo la función - arrastrando para establecer la primera función en la primera). Gerente 2 : Para la función asignada, conozca una de las primeras filas, la gráfica para pasar por este punto. (Estudiantes en las misiones independientemente virishue, uno de los uchnivirya vydpovіd, vіdsuvayuchi screen).
A) Funciones: 2x5 - 3x2; 3 cos x - 4 sen x; 3e x + 5 x - 2; e 2x - cos3x; 1/x + 1/sen 2 x - x.
Primaria: en | x | -ctgx-x 2/2; 1/2e 2x - 1/3 sin 3x; x 6/3 - x 3; 3 sen x + 4 cos x; 3x + 5x/ln5.
B) Para la función f(x) = 2x + 3, para saber lo primero, la gráfica para pasar por el punto M(1; 2).
Nutrición 4: ¿A qué figura se le llama trapezoide curvilíneo? Tarea 3: Escriba la mente de la mujer designada, registrada en la diapositiva. Tarea 4: Escribe la fórmula de Newton Leibnitz.
Tarea 5: Calcula la integral. (Los alumnos calculan de forma independiente, con una nueva verificación ofensiva). PERO) x 2 - 2x) dx; b)
Tarea 6: Calcule el área de la figura, rodeada por líneas y \u003d 0, x \u003d e, y \u003d 1 / x. (Aprenda a contar la tarea de forma independiente con una nueva verificación, abriendo las pantallas en el doshtsi).
- La etapa de moldeado y re-práctica, decrece y comienza con la realización de diferentes tareas sobre el tema”Cálculo del área de figuras para integración adicional»
1. Aprender a determinar el poder del área
y apunte el extremo de una figura, cuyo área se puede calcular usando la fórmula S \u003dCalcule el área de la figura, rodeada por líneas y \u003d 0, y \u003d x 2 - 4. (Una lección para funciones adicionales: un bolígrafo inteligente escribe soluciones en una tableta interactiva).
2. Los estudiantes discutenplan para calcular el área de la figura, rodeada de líneas y \u003d x 2 - 6x +11 yo y \u003d x +1. El escenario de cuero va acompañado de un telón.
- Trabajo en equipo. Clasifique las divisiones zazdalegіd en grupos. Tres estudiantes practican pizarras y deciden estudiantes para tres opciones (grupos de divisiones para opciones) en las misiones:Calcula el área de la figura, rodeada de líneas:Opción 1 - y \u003d (x - 3) 2 , y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 4. Opción 2 - y \u003d x - 2, y \u003d x 2 - 4x+2. Opción 3 - y \u003d x, y \u003d 5 - x, x \u003d 1, x \u003d 2.
- Trabajo en equipo. Para lesiones dérmicas de las 8 diapositivas, es necesario calcular el área de la figura. Los alumnos de los grupos tienen un juego de estos pequeños. Aprende a elegir una fórmula por la cual puedas conocer el área. Se muestra una diapositiva, un sillón diestro muestra fórmulas, se le superpone la función de clonación. Después de la discusión en grupos, uno por uno, aprenda el tipo de grupo y transfiera la fórmula elegida o escriba la suya propia, ya que no existe tal cosa en el doshtsi. Dalí la siguiente discusión: - ¿Por qué se eligió esta fórmula? - Chi є scheways znahodzhennya ploschі tsієї figuri? - Yaka z fórmulas nayzruchnіsha zastosuvanni
Tarea.
Lección de Podsumok. Uchnі vіdpovіdat pitanya: - ¿Cuál fue la lección de una hora de zrobleno? - ¿Qué nuevo hedor se descubrió en la lección? - ¿Cómo trabajó con este grupo?
Trabajo práctico sobre el tema: "Cálculo del área de elementos planos con la ayuda de la integral de canto"
Metarobots: dominar la tarea de calcular el área de una figura plana curvilínea con la ayuda de la integral de canto.
Propiedad: mapa instructivo, tabla de integrales, material de lectura sobre el tema: “Integral simple. Sentido Geométrico de la Integral.
Declaraciones metódicas:
1) Leer los materiales de la conferencia: “El canto integral. Sentido Geométrico de la Integral.
Enunciados teóricos breves
La integral de la función en el límite vіdrіzku - tse, hasta
a la que pragne la suma integral en el pragnnn_ cero es la suma de la mayor parte de la cuenta.
El límite inferior de integración es el límite superior de integración.
Para calcular la integral de Sing, sirva fórmula de newton-
Leibniz:
Sentido geométrico de una integral lineal. ¿Cómo se integra en
Dado que la función no es negativa, entonces el área numéricamente más valiosa del trapezoide curvilíneo es:
trapecio curvilíneo - una figura rodeada por un gráfico de una función
Eje de abscisas y rectas, .
Posibilidad de dar forma a diferentes tipos de formas planas Plano coordinado:
Como un trapecio curvilíneo con una base rodeada por una curva en la parte inferior , luego, del reflejo de la simetría, está claro que el área de la figura es más o menos.
Como si la figura estuviera rodeada por una curva, como si estuviera llena de valores positivos y negativos. . De esta manera, para virahuvat el cuadrado de la figura shukano, es necesario romperlo en pedazos, luego
Como una figura plana rodeada por dos torcidas , entonces її el área se puede conocer por el área adicional de dos trapecios curvilíneos:
extremo. Calcula el área de la figura, rodeada de líneas:
Solución. 1) Hagamos la parábola recta en el plano de coordenadas (Malyunok antes de la cita).
2) Vemos (sombreada) la figura, rodeada por estas líneas.
Bebé a la zavdannya
3) Conocemos el punto de abscisa del travesaño de la parabolita y la recta. para quien vemos
sistema en la forma de poring:
El área de la figura se conoce como la diferencia en el área de los trapecios curvilíneos,
rodeado por una parábola y una línea recta.
5) Vidpovid.
Algoritmo para resolver problemas sobre el cálculo del área de la figura, rodeada por líneas dadas:
Permanecer en un plano de coordenadas de la línea dada.
Sombrea la figura, rodeada por estas líneas.
Determinar la interintegración (conocer el punto de abscisa de la recta de las curvas).
Calcula el área de la figura haciendo la fórmula necesaria.
Escribe una nota
2) toma vikonaita tarea para una de las opciones:
Gerente. Calcule las áreas de las figuras rodeadas de líneas (corrija el algoritmo para resolver problemas sobre el cálculo del área de las figuras):
robot usna 1. Verifique con la ayuda de la integral del área de las figuras representadas en las figuras:
2. Calcula las integrales:
Encuentra el área de la figura:
5) 1/3; log2 ;√2
trocas de la historia
"Integral" habiendo inventado Jacob Bernoulli(1690r.)
"innovar" del latín integro
"tsiliy" como un entero latino
"Función primitiva",
latín
primitivo- mazorca,
José Luis Lagrange
Integral durante mucho tiempo
El primer método conocido para rozrahunku іtegraіv є Método vicerpanny de Eudoxo (aproximadamente 370 a sv. e.), quien trató de conocer el área de ese obsyagi, rozryvayuchi їx en impersonal sin piel partes, cubrimos el área chi obsjag vzhe vіdomy.
Método Tsey de buv pіdhopleniya ta rozvineny Arquímedes , y vykoristovuvavsya para el área parabólica de la rozrahunka y el área de estacas adyacente a la rozrahunka.
Evdoks Knidsky
isaac newton (1643-1727)
La derivación más reciente del cálculo diferencial e integral está en
Cantidades variables - fluido
Cambio de velocidad fluido – flux (extra)
Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716)
- primer vikoristy Leibnitz por ejemplo
El símbolo de esconderse de las letras.
S - palabra corta
suma(Suma)
Fórmulas para calcular el área de figuras sombreadas en pequeños
Algoritmo para calcular el área de una figura plana :
- Detrás de la cabeza de la mente, agregue un sillón esquemático.
- Muestra la función que necesitas, como la suma o la diferencia del área curvilínea trapecio, elige la fórmula correcta.
- Saber entre integración (y que b) lave el zavdannya o la silla, porque no se da el hedor.
- Calcula el área del trapecio curvilíneo de la piel y el área de la figura shukano.
TAREA
En frente de la cabina de la escuela, se construyó una cama de flores. Ale, la forma de un macizo de flores puede ser redonda, cuadrada o rectangular. Ella es culpable de vengarse de sus propias líneas rectas y torcidas. Déjala ser una figura plana, rodeada de líneas.
Y = 4/X + 2; X=4; Y = 6.
Calculemos el área de la figura despegada por la fórmula:
Delaware f(x)=6 , un g(x)=4/x +2
Entonces, como se pagan 50 rublos por un metro cuadrado de cuero, los ingresos se convierten en:
6.4 * 50 \u003d 320 (rublos).
Tareas caseras:
1125 Cálculo del área de figuras planas para la ayuda de la integral. Ribina, N.V. Fedotova 0 Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación Rusa SPO Ukladachi S.L. Ribina, N.V. Fedotova Voronezh 2015 1 Cálculo del área de figuras planas para una integral adicional: introducciones metódicas al trabajo independiente en matemáticas para estudiantes de primer año de SPO/Voronezka DASU; comp.: S.L. Ribina, Nevada Fedotov. - Vorónezh, 2015. - pág. Se brinda información teórica sobre cómo calcular el área de figuras planas para una integral adicional, se brinda la aplicación de tareas y se brindan tareas para trabajo independiente. Puede ganar para la preparación de proyectos individuales. Designado para estudiantes de 1er año de la facultad de educación vocacional secundaria. Illinois. 18. Bibliografía: 5 títulos. UDC 51:373(07) BBK 22.1y721 Esforzarse por tomar decisiones iniciales y metodológicas por el bien de Voronezsky DASU Revisor – Glazkova Maria Yuriivna, Ph.D. fiz.-mat. Sci., Profesor Asociado, Vikladach del Departamento de Matemáticas Superiores de Voronezsky DASU En el punto 1 se realizan cálculos teóricos para calcular el área de figuras planas para una integral adicional, en el punto 2 se da una aplicación de tareas y en el punto 3 se proponen tareas para trabajo independiente. La posición principal del trabajo autosuficiente de los estudiantes es el mismo robot, ya que son victoriosos sobre la cabeza del vikladach, sin ninguna participación indirecta (ale pіd kerіvnitstvom) en actuaciones especiales para esta hora. Los objetivos de la tarea de trabajo independiente: la sistematización y consolidación de conocimientos y conocimientos prácticos y habilidades de los estudiantes; destrucción de esa expansión del conocimiento teórico y práctico; dar forma a la mente a vikoristaty especial, literatura dovіdkovu, Internet; desarrollo de logros educativos y actividad de los estudiantes, iniciativas creativas, autosuficiencia, viabilidad y organización; dar forma a la autosuficiencia del pensamiento, zdіbnost para el autodesarrollo, el autodesarrollo y la autorrealización; desarrollo de los últimos conocimientos. conocimientos básicos para Entrenamiento vocacional el estudiante graduado está calificado para el Estándar Educativo del Estado Federal; formación y desarrollo de competencias globales, atribuidas a la Norma Educativa del Estado Federal de la formación profesional secundaria; preparación antes del moldeado y revelado competencias profesionales, que contribuye a los principales tipos de actividad profesional sistematización, consolidación, destrucción y ampliación de los conocimientos teóricos y prácticos de los estudiantes; desarrollo de los logros educativos y la actividad de los estudiantes: iniciativas creativas, autosuficiencia, viabilidad y organización; dar forma a la autosuficiencia del pensamiento: construir para el autodesarrollo, el autodesarrollo y la autorrealización; volodinnya novato práctico zastosuvannya informatsiyno-komunіkatsiynyh tekhnologii v professsіynіy dіyalnostі; Desarrollo de las últimas muertes. El criterio para evaluar los resultados del trabajo independiente del estudiante es el dominio del estudiante del material inicial; 3 estudiantes inteligentes para ganar conocimientos teóricos al final del día; obґruntovanist y chіtkіst vіdpovіdі vіdpovіdі; el diseño del material es claro a los requisitos del Estándar Educativo del Estado Federal. 4 1. Cálculo del área de elementos planos con la ayuda de la integral 1. Material Dovіdkovy. 1.1. Un trapezoide curvo se llama figura, rodeado por una gráfica de una función ininterrumpida y no negativa y=f(x), en la parte inferior del eje Ox, y en los lados con líneas rectas x=a, x=b ( Figura 1) 1 El área de un trapecio curvilíneo se puede calcular usando la integral adicional: b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1.2. Sea la función y=f(x) ininterrumpida en el otro lado y tome valores positivos en el otro lado (Fig. 2). Luego es necesario dividir las hileras en partes, luego calcular de acuerdo con la fórmula (1) el área total de estas partes, doblar el área. S = S1 + S2 c S segundo F X re X F X re X un (2) C 2 1.3. Por eso, si la función f(x) es ininterrumpida< 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)> g(x) en todo el intervalo (a; b). Para qué dirección del área, las cifras se calculan según la fórmula y b S = (f (x) g (x)) dx y = f (x) (4) a 1 -1 O -1 b 1 y = g (x) x Fig. 4 1.5. La tarea para el cálculo del área de artículos planos puede seguir un plan de este tipo: 1) para la tarea mental, un sillón incompleto; 2) representar la figura shukana como suma o diferencia en el área de trapecios curvilíneos. Zavdannya que el sillón designe la interintegración para el trapecio curvilíneo del almacén de la piel; 3) registrar la función de la piel como f x ; 4) calcular el área de la piel trapecio curvilíneo y figura shukano. 6 2. Aplique el desglose de tareas 1. Calcule el área del trapecio curvilíneo, rodeado por líneas y \u003d x + 3, y \u003d 0, x \u003d 1 y x \u003d 3. . SABSD \u003d V_dpov_d: 10. 2. La figura, rodeada por líneas y \u003d -2x + 8, x \u003d -1, y \u003d 0, dividida por la línea y \u003d x2 - 4x + 5 en dos partes. Conozca el área de la parte de la piel. Solución: Veamos la función y = x2 - 4x +5. y \u003d x2 - 4x + 5 \u003d (x2 - 4x + 4) - 4 + 5 \u003d (x - 2) 2 + 1, entonces. la gráfica de la función es una parábola con un vértice K(2; 1). SAB = . 7 SABKME = S1 = SABKME + SEMC, S1 = S2 = SABC - S1, S2 = Vidpovid: i = . . 3. Tareas para trabajo independiente Prueba habitual 1. ¿Qué tipo de figura se llama trapezoide curvilíneo? 2. ¿Cómo saber el área del trapecio curvo? 4. Encuentra el área de la figura sombreada: 8 5. Nombra la fórmula para calcular el área de las imágenes de las figuras: prueba de escritura 1. ¿En qué figura pequeña se representa la figura, si no es un trapecio curvilíneo? 2. Para fórmulas adicionales de Newton-Leibniz, calcule: A. Función primaria; B. El área del trapecio curvilíneo; B.Integrales; G. Deja ir. 3. Conoce el área de la figura sombreada: 9 A. 0; B.-2; EN 1; D. 2. 4. Averigüe el área de la figura con un cielo con flecos Oh y una parábola y \u003d 9 - x2 A. 18; B 36; artículo 72; D. No se puede contar. 5. Encuentre el área de la figura, rodeada por el gráfico de la función y \u003d sen x, líneas rectas x \u003d 0, x \u003d 2 y todas las abscisas. R. 0; Abeja. 2; A LAS 4; D. No se puede contar. Opción 1 Calcular el área de la figura rodeada de rectas: a) y x2, b) y x2 c) y cos x, d) y 1, x3 y 0, x y 0; x, y 0, 0, 4; x x 1, x 0, x 6; 2. 10 Opción 2 Calcula el área de la figura, rodeada de líneas: b) y 1 2 x, y 2 x2 2 x, c) y sen x, d) y 1, x2 a) y 0, x y 0 ; 0, x 0, x 3; 3 2; x 1. Opción 3 Calcule el área de la figura, rodeada de líneas: a) y \u003d 2 - x3, y \u003d 1, x \u003d -1, x \u003d 1; b) y \u003d 5 - x2, y \u003d 2x2 + 1, x \u003d 0, x \u003d 1; c) y = 2sen x, x = 0, x = p, y = 0; d) y \u003d 2x - 2, y \u003d 0, x \u003d 3, x \u003d 4. Opción 4 Calcula el área de la figura, rodeada de líneas: a) y = x2 + 1, y = 0, x = - 1, x = 2; b) y \u003d 4 - x2 i y \u003d x + 2; c) y \u003d x2 + 2, y \u003d 0, x \u003d - 1, x \u003d 2; d) y \u003d 4 - x2 i y \u003d 2 - x. Opción 5 Calcula el área de la figura, rodeada de líneas: a) 7 x, x=3, x=5, y=0; b) y c) y d) y 8, x = - 8, x = - 4, y = 0; x 0,5 x 2 4 x 10, y x 2; x 2, y x 6, x \u003d -6 y ejes de coordenadas. 11 Opción 6 Calcula el área de la figura, rodeada por las líneas a) y 4 x 2, y=0; b) y cos x, x, x c) y x 2 8 x 18, y d) y x, y 2, y = 0; 2x18; 1 x \u003d 4. x Opción 7 Calcule el área de la figura, rodeada por líneas a) y x 2 6 x, x \u003d -1, x \u003d 3, y \u003d 0; b) y=-3x, x=1, x=2, y=0; c) y x 2 10 x 16, y = x +2; d) y 3 x, y \u003d -x + 4 y ejes de coordenadas. Opción 8 Calcule el área de la figura, rodeada por líneas a) y sin x, x 3, x, y \u003d 0; b) y x 2 4 , x=-1, x=2, y=0; c) y x 2 2 x 3, y 3 x 1; d) y x 2, y x 4 2, y = 0, Opción 1 1. Calcula el área de la figura, rodeada de líneas: a) y = x2, x = 1, x = 3, y = 0; b) y \u003d 2cos x, y \u003d 0, x \u003d - W W, x \u003d; 2 2 c) y = 2x2, y = 2x. 2. (adicionalmente) Encuentre el área de la figura, rodeada por el gráfico de la función y \u003d x2 - 2x + 3, de modo que el gráfico se dibuje en el punto yogo con la abscisa 2 y la línea recta x \u003d -1. 12 Opción 2 1. Calcula el área de la figura, rodeada de líneas: a) y = x3, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2 cos x, y = 0, x = 0, x = W; 2 c) y = 0,5 x2, y = x. 2. (adicionalmente) Encuentre el área de la figura, rodeada por el gráfico de la función y \u003d 3 + 2x - x2, de modo que el gráfico se coloque en el punto y-o con la abscisa 3 y la línea recta x \u003d 0. Opción 3 1. Calcule el área de la figura, rodeada de líneas: a) y \u003d x, x=1, x=2, y=0; b) y = 2cos x, y = 0, x = W 3W , x = ; 2 2 c) y \u003d x2, y \u003d -x2 + 2. 2. (adicionalmente) Encuentre el área de la figura, rodeada por el gráfico de la función y \u003d 2x - x2, de modo que el gráfico se dibuja en el punto y-o-t desde la abscisa 2 y el eje y. Opción 4 1. Calcula el área de la figura, rodeada de líneas: a) y = 0.5 x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = W W , x = ; 4 2 c) y \u003d 9 - x2, y \u003d 2x + 6. 2. (adicionalmente) Encuentre el área de la figura, rodeada por el gráfico de la función y \u003d x2 + 2x, entonces que el gráfico se dibuja en el punto y-o desde la abscisa -2 y el eje y. Tareas para trabajar en parejas: 1. Calcular el área de la figura sombreada 2. Calcular el área de la figura sombreada 13 3. Calcular el área de la figura sombreada 14 5. Calcular el área de la figura sombreada 6. Imagina el área en los círculos del trapecio. 7. Muestra el área de la figura sombreada como la suma de la diferencia de chi del área de los trapecios curvilíneos, rodeado de gráficos que te muestran líneas. 15 Lista bibliográfica 1. Sharigin, I. F. Matemáticas: álgebra y la mazorca de análisis matemático, geometría. Geometría. Roto básico. 10 - 11 clase: tutor / I.F Sharigin. - 2ª vista., borrado. - Moscú: Drofa, 2015. - 238 p. 2. Muravin G.K. Matemáticas: álgebra y la mazorca de análisis matemático, geometría. Roto básico. Grado 11: asistente / G. K. Muravin, O. V. Muravina - 2da especie, ster. - Moscú: Drofa, 2015. - 189 p. 3. Muravin G.K. Matemáticas: álgebra y la mazorca de análisis matemático, geometría. Roto básico. Grado 10: asistente / G. K. Muravin, Muravina V.O. - 2ª vista., borrado. - Moscú: Avutarda, 2013 - 285 p. 4. Enseñanza de la geometría en los grados 10-11: Método. recomendaciones a navch.: Libro. para el profesor / S. M. Sahakyan, V. F. Butuzov. - Vista 2. - M.: Prosvitnitstvo, 2014. - 222 p.: il. 5. Aprendiendo álgebra y comenzando el análisis en los grados 10-11: Libro. para el maestro / n. Є. Fedorova, M. V. Tkachova. - 2da vista. - M.: Prosvitnitstvo, 2014. - 205 p.: il. 6. Álgebra y análisis en la mazorca. 10-11 celdas: En dos partes. Parte 1: Libro de texto para la educación global. instalación / Mordkovich A.G. - 5º tipo. - M.: Mnemozina, 2014. - 375 p.: il. Recursos de Internet: 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Mensaje de Korisn_ en el sitio de la directividad matemática e iluminadora: Materiales para empezar, pruebas 2. http://www.fxyz.ru/ - Guía interactiva de fórmulas y conocimientos de álgebra, trigonometría, geometría, física. 3. http://maths.yfa1.ru - Una guía para recuperar material de matemáticas (aritmética, álgebra, geometría, trigonometría). 4. allmatematika.ru - Fórmulas básicas de álgebra y geometría: la misma transformación, progresión, cambio, estereometría y otros. 5. http://mathsun.ru/ - Historia de las matemáticas. Biografías de grandes matemáticos. 16 Introducción gratuita. .................................................. . .................................................. .. ................................ 3 Cálculo de las áreas de figuras planas para la ayuda de la integral .... ..... ............................................. .. 5 1. Material de conclusión ........................................ ............................................................... ............. 5 2. Aplicar el desacoplamiento de tareas ............................... ............... .. ............................................. .......... .. ......... 7 3. Tareas para el trabajo por cuenta propia .............. ............... .. .................................. ............ 8 Lista bibliográfica. .................................................. . ............................................. dieciséis Cálculo del área de figuras planas para una integral adicional 2015. Formato 60x84 1/16. Uch.-vista. yo 1.1.Impresión de menta yo 1.2. 394006, Voronezh, c/. 20-Richcha Zhovtnya, 84 17