Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.
Число cє n-ний ступенем числа aколи:
Операції зі ступенями.
1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:
a m· a n = a m + n.
2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:
3. Ступінь праці 2-х або більшого числамножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:
(a/b) n = n/b n .
5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:
(a m) n = a m n .
Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.
Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.
Операції з корінням.
1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коріння з цих співмножників:
2. Корінь із відношення дорівнює відношенню діленого та дільника коренів:
3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:
4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-ую ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:
5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:
Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:
Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки за m> n, але і при m< n.
Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою при m=n, потрібна присутність нульового ступеня.
Ступінь із нульовим показником.Ступінь усякого числа, не рівного нулю, З нульовим показником дорівнює одиниці.
Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ой міри з m-ой ступеня цього числа а.
Введіть число та ступінь, а потім натисніть =.
^Таблиця ступенів
Приклад: 2 3 = 8
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Властивості ступеня – 2 частини
Таблиця основних ступенів по алгебрі в компактному вигляді (картинка, зручно, щоб роздрукувати), зверху числа, збоку ступеня.
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ ПО АЛГЕБРІ ДЛЯ 7-11 КЛАСІВ.
Шановні батьки!Якщо Ви шукайте репетитора з математики для Вашої дитини, то це оголошення для Вас. Пропоную скайп-репетиторство: підготовка до ОДЕ, ЄДІ, ліквідація прогалин у знаннях. Ваші вигоди є очевидними:
1) Ваша дитина знаходиться вдома, і Ви можете бути за неї спокійною;
2) Заняття проходять у зручний для дитини час, і Ви навіть можете бути присутніми на цих заняттях. Поясню я просто та доступно на всій звичній шкільній дошці.
3) Інші важливі переваги скайп-занять додумаєте самі!
- твір, добуток nзмножувачів, кожен з яких дорівнює аназивається n-й ступенем числа аі позначається аn.
- Дія, з якого перебуває твір кількох рівних співмножників, називається зведенням у ступінь. Число, яке зводиться у ступінь, називається основою ступеня. Число, яке показує, на яку міру зводиться основа, називається показником ступеня. Так, аn- Ступінь, а- Основа ступеня, n- показник ступеня.
- а 0 = 1
- а 1 = а
- a m∙ a n= a m + n
- a m: a n= a m — n
- (a m) n= a mn
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (a/ b) n= a n/ b nПри зведенні у ступінь дробу зводять у цей ступінь і чисельник та знаменник дробу.
- (- n) -й ступенем (n – натуральне) числа а, не рівного нулю, вважається число, зворотне n-й ступеня числа а, тобто . a — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (a/ b) — n=(b/ a) n
- Властивості ступеня з натуральним показником справедливі і для степенів із будь-яким показником.
Дуже великі і дуже малі числа прийнято записувати в стандартному вигляді: a∙10 n, де 1≤а<10 і n(Натуральне або ціле) – є порядок числа, записаного в стандартному вигляді.
- Вирази, складені з чисел, змінних та його ступенів, з допомогою дії множення називаються одночленами.
- Такий вид одночлена, коли на першому місці стоїть числовий множник (коефіцієнт), а за ним змінні зі своїми ступенями, називають стандартним видом одночлена. Суму показників ступенів всіх змінних, що входять до складу одночлена, називають ступенем одночлена.
- Одночлени, що мають однакову літерну частину, називаються подібними до одночленів.
- Сума одночленів називається багаточленом. Одночлени, у тому числі складений многочлен, називаються членами многочлена.
- Двучлен - це багаточлен, що складається з двох членів (одночленів).
- Тричлен - це багаточлен, що складається з трьох членів (одночленів).
- Ступенем багаточлена називають найбільший зі ступенів одночленів, що входять до нього.
- Багаточлен стандартного виду не містить подібних членів та записаний у порядку спаду ступенів його членів.
- Щоб помножити одночлен на многочлен, треба помножити цей одночлен кожен член багаточлена і отримані твори скласти.
- Уявлення многочлена як твори двох чи кількох многочленів називається розкладанням многочлена на множники.
- Винесення загального множника за дужки - найпростіший спосіб розкладання багаточлену на множники.
- Щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та записати отримані твори у вигляді суми одночленів. При необхідності навести подібні доданки.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Квадрат суми двох виразівдорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Квадрат різниці двох виразівдорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
- a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Різниця квадратів двох виразівдорівнює добутку різниці самих виразів з їхньої суму.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Куб суми двох виразівдорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Куб різниці двох виразівдорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Сума кубів двох виразівдорівнює добутку суми самих виразів на неповний квадрат їхньої різниці.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Різниця кубів двох виразівдорівнює добутку різниці самих виразів на неповний квадрат їхньої суми.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Квадрат суми трьох виразівдорівнює сумі квадратів цих виразів плюс усілякі подвоєні попарні твори самих виразів.
- Довідка. Повний квадрат суми двох виразів: a 2 + 2ab + b 2
Неповний квадрат суми двох виразів: a 2 + ab + b 2
Функцію виду y=x 2називають квадратною функцією. Графіком квадратної функції є парабола з вершиною на початку координат. Гілки параболи y=x²спрямовані нагору.
Функцію виду y=x 3називають кубічною функцією. Графіком кубічної функції є кубічна парабола, яка проходить через початок координат. Гілки кубічної параболи y=x³знаходяться у I та III чвертях.
Чітна функція.
Функція fназивається парною, якщо разом з кожним значенням змінної х -х f(- x)= f(x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат (Оy). Функція y=x2 – парна.
Непарна функція.
Функція fназивається непарною, якщо разом з кожним значенням змінної хз області визначення функції значення ( -х) також входить у область визначення цієї функції і при цьому виконується рівність: f(- x)=- f(x) . Графік непарної функції симетричний щодо початку координат. Функція y=x3 – непарна.
Квадратне рівняння.
Визначення. Рівняння виду ax 2 +bx+c=0, де a, bі c- будь-які дійсні числа, причому а≠0, х- Змінна, називається квадратним рівнянням.
a- Перший коефіцієнт, b- Другий коефіцієнт, c- Вільний член.
Розв'язання неповних квадратних рівнянь.
- ax 2 =0 – неповне квадратне рівняння (b=0, c=0 ). Рішення: х = 0. Відповідь: 0.
- ax 2 +bx=0 –неповне квадратне рівняння (З = 0 ). Рішення: x (ax + b) = 0 → x 1 = 0 або ax + b = 0 → x 2 = -b/a. Відповідь: 0; -b/a.
- ax 2 +c=0 –неповне квадратне рівняння (b=0 ); Рішення: ax 2 = c → x 2 = c/a.
Якщо (-c/a)<0 , то дійсних коренів немає. Якщо (-з/а)>0
- ax 2 +bx+c=0- квадратне рівняннязагального вигляду
Дискримінант D = b 2 - 4ac.
Якщо D>0, то маємо два дійсні корені:
Якщо D=0, то маємо єдиний корінь (або два рівні корені) х=-b/(2a).
Якщо D<0, то действительных корней нет.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного вигляду при парному другому
Коефіцієнт b
- ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови : a-b+c=0
Перший корінь завжди дорівнює мінус одиниці, а другий корінь дорівнює мінус з, поділеному на а:
x 1 =-1, x 2 = c/a.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови: a+b+c=0.
Перший корінь завжди дорівнює одиниці, а другий корінь дорівнює з, поділеному на а:
x 1 =1, x 2 =c/a.
Розв'язання наведених квадратних рівнянь.
- x 2 +px+q=0 – наведене квадратне рівняння (Перший коефіцієнт дорівнює одиниці).
Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коріння дорівнює вільному члену:
ax 2 +bx+c=a·(x-x 1)(x-x 2), де x 1, x 2- коріння квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.
Функція натурального аргументу називається числовою послідовністю, а числа, що утворюють послідовність членами послідовності.
Числову послідовність можна задати такими способами: словесним, аналітичним, рекурентним, графічним.
Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з тим самим для даної послідовності числом dназивають арифметичною прогресією. Число dназивають різницею арифметичної прогресії. В арифметичній прогресії (a n), тобто в арифметичній прогресії з членами: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n-1 , a n , … за визначенням: a 2 =a 1 + d; a 3 =a 2 + d; a 4 =a 3 + d; a 5 = a 4 + d; …; a n =a n-1 + d; …
Формула n-го члена арифметичної прогресії.
a n = 1 + (n-1) d.
Властивості арифметичної прогресії.
- Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусідньому члену:
an=(an-1+an+1):2;
- Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному рівновіддалених від нього членів:
an=(an-k+an+k):2.
Формули суми перших n членів арифметичної прогресії.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
Геометрична прогресія.
Визначення геометричної прогресії.
Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме для даної послідовності число q, називають геометричною прогресією. Число qназивають знаменником геометричної прогресії. У геометричній прогресії (b n ), тобто в геометричній прогресії b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, …, b n, … за визначенням: b 2 = b 1 ∙q; b 3 =b 2 ∙q; b 4 =b 3 ∙q; …; b n = b n -1 ∙q.
Формула n-го члена геометричної прогресії.
b n = b 1 q n -1 .
Властивості геометричної прогресії.
Формула суми першихn членів геометричної прогресії.
Сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
Нескінченний періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробу, в чисельнику якої різниця між усім числом після коми та числом після коми до періоду дробу, а знаменник складається з «дев'яток» і «нулів», причому, «дев'яток» стільки, скільки цифр у періоді, а «нулів» стільки, скільки цифр після коми до періоду дробу. Приклад:
Синус, косинус, тангенс та котангенс гострого кута прямокутного трикутника.
(α+β=90°)
Маємо: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Оскільки β=90°-α, то
sin (90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;
tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.
Кофункції кутів, що доповнюють одна одну до 90°, рівні між собою.
Формули додавання.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin(α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Формули подвійного та потрійного аргументів.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;
Формули перетворення суми (різниці) на твір.
Формули перетворення твору на суму (різницю).
Формули половинного аргументу.
Синус та косинус будь-якого кута.
парність (непарність) тригонометричних функцій.
З тригонометричних функцій парна лише одна: y=cosx, решта трьох – непарні, тобто cos (-α)=cosα;
sin(-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg(-α)=-ctgα.
Знаки тригонометричних функцій за координатними чвертями.
Значення тригонометричних функцій деяких кутів.
Радіани.
1) 1 радіан - величина центрального кута, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу даного кола. 1 рад.≈57°.
2) Переведення градусного заходу кута в радіану.
3) Переведення радіанної міри кута в градусну.
Формули наведення.
Мнемонічне правило:
1. Перед наведеною функцією ставлять знак, що наводиться.
2. Якщо запису аргументу π/2 (90°) взято непарне число разів, то функцію змінюють на кофункцию.
Зворотні тригонометричні функції.
Арксинусом числа а (arcsin a) називається кут із проміжку [-π/2; π/2 ], синус якого дорівнює а.
arcsin(- a)=- arcsina.
Арккосинусом числа а (arccos a) називається кут із проміжку, косинус якого дорівнює а.
arccos (-a)=π - arccosa.
Арктангенсом числа а (arctg a) називається кут із проміжку (-π/2; π/2), тангенс якого дорівнює а.
arctg(- a)=- arctga.
Арккотангенсом числа а (arcctg a) називається кут із проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює а.
arcctg (-a)=π - arcctg a.
Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.
Загальні формули.
1)
sin t=a, 0 2)
sin t = - a, 0 3)
cos t = a, 0 4)
cos t =-a, 0 5)
tg t =a, a>0, тоді t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t = -a, a> 0, тоді t = - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, тоді t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t = -a, a> 0, тоді t = π - arcctg a + πn, nϵZ. Приватні формули. 1)
sin t =0, тоді t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1, тоді t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t=-1, тоді t= - π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0 тоді t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1 тоді t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1 тоді t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, тоді t = πn, nϵZ; 8)
ctg t=0 тоді t = π/2+πn, nϵZ. Вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей.
Дорогі гості мого сайту, всі основні формули математики 7-11ви можете отримати (абсолютно безкоштовно), натиснувши на посилання.