Багаточлени, які складаються з одного доданку, називаються. Вчимося наводити багаточлени до стандартного вигляду. Багаточлени від однієї змінної

Відповідно до визначення, многочлен це алгебраїчне вираз являє собою суму одночленів.

Наприклад: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлени, а вираз z/(x - x*y^2 + 4) перестав бути многочленом оскільки вона є сумою одночленів. Багаточлен ще іноді називають поліномом, а одночлени, які входять до складу багаточлена членами багаточлена або мономами.

Комплексне поняття багаточлена

Якщо многочлен складається з двох доданків, його називають двочлен, якщо з трьох - трехчлен. Назви чотиричленів, п'ятичленів та інші не використовуються, а в таких випадках говорять просто, багаточлени. Такі назви, залежно від кількості доданків, ставлять на свої місця.

І термін одночлен стає інтуїтивно зрозумілим. З погляду математики, одночлен є окремим випадком многочлена. Одночлен це багаточлен, що складається з одного доданку.

Так само як і в одночлена, багаточлен має свій стандартний вигляд. Стандартним видом багаточлена називається такий запис багаточлена, при якій всі одночлени, що входять до нього як складові, записані в стандартному вигляді і наведені подібні члени.

Стандартний вид багаточлену

Процедура приведення багаточлена до стандартного виду полягає в тому, щоб привести кожен із одночленів до стандартного виду, а потім усі подібні одночлени між собою скласти. Додавання таких членів багаточлена називають приведенням таких.
Наприклад, наведемо подібні доданки в многочлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Подібними тут є доданки 4*a*b^2*c^3 та 6*a*b^2*c^3. Сумою цих доданків буде одночлен 10*a*b^2*c^3. Отже, вихідний багаточлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можна переписати у вигляді 10*a*b^2*c^3 - a*b . Цей запис і буде стандартним видом багаточлена.

З того, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду, слід також і той факт, що будь-який багаточлен можна привести до стандартного вигляду.

Коли багаточлен наведено до стандартного виду, можна говорити про таке поняття, як ступінь багаточлена. Ступенем багаточлена називається найбільший ступінь одночлена, що входить до цього багаточлена.
Так, наприклад, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - багаточлен п'ятого ступеня, тому що максимальний ступінь одночлена входить до багаточлена (5*x^3*y^2) п'ятий.

Зміст уроку

Визначення та приклади

Багаточлен – це сума одночленів.

Наприклад, вираз 2x+ 4xy 2 + x+ 2xy 2 є багаточленом. Простіше кажучи, багаточлен це кілька одночленів, сполучених знаком плюс.

У деяких багаточленах одночлени можуть поєднуватися знаком «мінус». Наприклад, 3x− 5y− 2x . Слід мати на увазі, що це, як і раніше сумаодночленів. Багаточлен 3x− 5y− 2x це сума одночленів 3 x , −5yта − 2 x, тобто 3x+ (−5y) + (−2x) . Після утворюється багаточлен 3x− 5y− 2x .

3x+ (−5y) + (−2x) = 3x− 5y− 2x

Відповідно, розглядаючи окремо кожен одночлен багаточлена, його слід розглядати разом із знаком, який перед ним розташовується. Так, у багаточлені 3x− 5y− 2x мінус перед одночленом 5 yвідноситься до коефіцієнта 5 а мінус перед одночленом 2 xвідноситься до коефіцієнта 2 . Щоб не суперечити визначенню багаточлена, віднімання можна замінювати додаванням:

3x− 5y− 2x = 3x+ (−5y) + (−2x)

Але ця дія нагромаджує багаточлен дужками, тому віднімання на додавання не замінюють, враховуючи в майбутньому, що кожен одночлен багаточлена розглядатиметься разом із знаком, який перед ним розташовується.

Одночлени, з яких складається багаточлен, називають членами багаточлена.

Якщо багаточлен складається з двох членів, то такий багаточлен називають двочленом. Наприклад, багаточлен x + yє двочленом.

Якщо багаточлен складається з трьох членів, то такий багаточлен називають тричленом. Наприклад, багаточлен x + y + zє тричленом.

Якщо якийсь багаточлен містить звичайне число, то це число називають вільним членом багаточлена. Наприклад, у багаточлені 3x+ 5y+ z+ 7 Член 7 є вільним членом. Вільний член багаточлена не містить літерної частини.

Багаточлен також є будь-яке числове вираз. Так, такі висловлювання є многочленами:

2 + 3

5 + 3 + 2

5 − 4 + 9

Складання багаточленів

До багаточлена можна додати інший багаточлен. Наприклад, додамо до багаточлена 2 x+ yбагаточлен 3 x+ y.

Заключимо в дужки кожен багаточлен і з'єднаємо їх знаком «плюс», вказуючи тим, що ми складаємо багаточлени:

(2x + y) + (3x + y)

Тепер розкриваємо дужки:

2x + y + 3x + y

2x + y + 3x + y = 5x + 2y

Таким чином, при складанні багаточленів 2 x+ yта 3 x+ yвиходить багаточлен 5 x + 2y.

Дозволяється також складання багаточленів у стовпчик. Для цього їх слід записати так, щоб подібні доданки розташовувалися один під одним, потім виконати саму додавання. Вирішимо попередній приклад у стовпчик:

Якщо в одному з багаточленів виявиться доданок, який не має подібного доданку в іншому багаточлені, воно переноситься до результату без змін. Як то кажуть при додаванні звичайних чисел — «зноситься».

Наприклад, складемо в стовпчик багаточлени 2x 2 + y 3 + z + 2 та 5 x 2 + 2y 3 . Для початку запишемо їх так, щоб подібні доданки розташовувалися один під одним, потім виконаємо їхнє складання. Виявляємо, що у другому багаточлені не містяться доданки, які можна було б скласти з доданками zта 2 з першого багаточлена. Тому доданки zі 2 переносяться до результату без змін (разом зі своїми знаками)

(2x 2 + y 3 + z + 2) + (5x 2 + 2y 3) = 2x 2 + y 3 + z + 2 + 5x 2 + 2y 3 = (2x 2 + 5x 2) + (y 3 + 2y 3) + z + 2 = 7x 2 + 3y 3 + z + 2

Приклад 3. Скласти багаточлени 7x 3 + y + z 2 і x 3 − z 2

Вирішимо цей приклад у стовпчик. Запишемо другий багаточлен під першим так, щоб подібні доданки розташовувалися один під одним:

У другому багаточлені не було доданку, якого можна було б скласти з доданком yз першого багаточлена, тому цей доданок був перенесений до результату без змін. А додавання подібних доданків z 2 та − z 2 дало в результаті 0 . Нуль за традицією не записуємо. Тому остаточна відповідь це 8 x 3 + y.

Вирішимо цей приклад за допомогою дужок:

(7x 3 + y + z 2) + (x 3 − z 2) = 7x 3 + y + z 2 + x 3 − z 2 = (7x 3 + x 3) + (z 2 − z 2) + y = 8x 3 + y

Віднімання багаточленів

З многочлена можна відняти інший многочлен. Наприклад, віднімемо з багаточлена 2 x+ yбагаточлен 3 x+ y .

Укладемо в дужки кожен многочлен і з'єднаємо їх знаком «мінус», вказуючи тим самим, що ми виконуємо віднімання:

(2x + y) − (3x + y)

Тепер розкриємо дужки:

2x + y − 3x − y

Наведемо подібні доданки. доданки yі −yє протилежними. Сума протилежних доданків дорівнює нулю

y + (−y) = 0

Наводячи подібні доданки, ми зазвичай складаємо їх. Але як знак операції можна використовувати знак одночлена. Так, наводячи подібні доданки yі −yми склали їх за правилом приведення подібних доданків. Але можна не складаючи, записати їх один за одним

y − y

Вийде той самий результат, оскільки висловлювання y+ (−y) та y − yоднаково рівні нулю:

y − y = 0

Повертаємось до нашого прикладу. Викреслимо члени yі −y :

А додавання подібних доданків 2 xта −3 x, дасть у результаті − x

2x + (−3x) = −x

Або без складання, записавши члени один за одним:

2x − 3x = −x

Значить, при відніманні з багаточлена (2 x+ y) багаточлена (3 x+ y) вийде одночлен − x .

Вирішимо цей приклад у стовпчик:

Приклад 2. Відняти від багаточлена 13x− 11y+ 10z багаточлен −15x+ 10y− 15z

Вирішимо цей приклад за допомогою дужок, а потім у стовпчик:

(13x− 11y+ 10z) − (−15x+ 10y− 15z) = 13x − 11y + 10z + 15x − 10y + 15z = (13x + 15x) + (−11y− 10y) + (10z + 15z) = 28x+ (−21y) + 25z = 28x − 21y + 25z

Слід бути уважним при відніманні в стовпчик. Якщо не стежити за знаками, ймовірність припуститися помилки дуже висока. Потрібно враховувати не тільки знак операції віднімання, але й знак, що розташовується перед доданком.

Так, у даному прикладіз доданку 10 zвіднімається доданок −15 z

10z − (−15z)

Результат обчислення цього виразу має бути позитивним, оскільки 10z − (−15z) = 10z + 15z .

Складаючи чи віднімаючи многочлени з допомогою дужок, перший многочлен в дужки можна укладати. Так, у цьому прикладі з багаточлена 13x− 11y+ 10z потрібно відняти багаточлен −15x+ 10y− 15z

Віднімання було записано так:

(13x− 11y+ 10z) − (−15x+ 10y− 15z)

Але перший багаточлен можна не укладати у дужки:

13x− 11y+ 10z − (−15x+ 10y− 15z)

Укладання першого многочлена в дужки спочатку дозволяє початківцям наочно побачити, що другий многочлен повністю віднімається з першого, а чи не з певної його частини.

Подання багаточлена у вигляді суми чи різниці

Багаточлен можна у вигляді суми чи різниці многочленів. По суті це зворотна дія розкриття дужок, оскільки ідея має на увазі, що є якийсь багаточлен, і з нього можна утворити суму або різницю багаточленів, уклавши в дужки деякі члени вихідного многочлена.

Нехай є багаточлен 3x + 5y + z + 7 . Подаємо його у вигляді суми двох багаточленів.

Отже, із членів вихідного багаточлена потрібно утворити два багаточлени, складені між собою. Давайте укласти в дужки члени 3 xта 5 x, а також члени zта 7 . Далі об'єднаємо їх за допомогою знака "плюс"

(3x + 5y) + (z+ 7)

Значення вихідного многочлена у своїй не змінюється. Якщо розкрити дужки в виразі (3x + 5y) + (z + 7) , то знову отримаємо багаточлен 3x + 5y + z + 7 .

(3x + 5y) + (z + 7) = 3x + 5y + z + 7

У дужки також можна було б укласти члени 3x, 5y,z і додати цей вираз у дужках до члена 7

(3x + 5y + z) + 7

Представляючи многочлен як різниці многочленів, потрібно дотримуватися наступного правила. Якщо члени полягають у дужки після знака мінуса, то цим членам усередині дужок необхідно поміняти знаки на протилежні.

Повернемося до багаточлена 3x + 5y + z + 7 . Представимо його у вигляді різниці двох багаточленів. Давайте заключимо в дужки багаточлен 3 xта 5 y, а також zі 7, потім об'єднаємо їх знаком "мінус"

(3x + 5y) − (z+ 7)

Але бачимо, що після знака мінуса слід укладання членів z і 7 у дужки. Тому цим членам слід поміняти знаки на протилежні. Робити це потрібно всередині дужок:

(3x + 5y) − (−z − 7)

Укладаючи члени в дужки, потрібно стежити за тим, щоб значення нового виразу тотожно дорівнювало попередньому виразу. Цим і пояснюється заміна знаків членів усередині дужок. Якщо у виразі (3x + 5y) − (−z − 7) розкрити дужки, то отримаємо початковий багаточлен 3x + 5y + z + 7 .

(3x + 5y) − (−z − 7) = 3x + 5y + z + 7

Взагалі, представляючи багаточлен у вигляді суми чи різниці, можна дотримуватися наступних правил:

Якщо перед дужками ставиться знак «плюс», всі члени всередині дужок записуються зі своїми ж знаками.

Якщо перед дужками ставиться знак «мінус», всі члени всередині дужок записуються з протилежними знаками.

Приклад 1. Уявити багаточлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 у вигляді суми якихось двочленів:

(3x 4 + 2x 3) + (5x 2 − 4)

Приклад 2. Уявити багаточлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 у вигляді різниці якихось двочленів:

(3x 4 + 2x 3) − (−5x 2 + 4)

Перед другим дужками розташовувався мінус, тому члени 5 x 2 та −4 були записані з протилежними знаками.

Багаточлен та його стандартний вигляд

Багаточлен, як і одночлен, може призвести до стандартному виду. В результаті виходить спрощений багаточлен, з яким зручно працювати.

Щоб привести багаточлен до стандартного вигляду, потрібно навести подібні доданки в цьому багаточлені. Подібні доданки в багаточлені називають подібними членами багаточлена, а приведення подібних доданків у багаточлені приведенням його подібних членів.

Подібні члени багаточлена це члени, що мають однакову літерну частину.

Наведемо багаточлен 2x+ 4xy 2 + x− xy 2 до стандартного вигляду. Для цього наведемо його члени. Подібними членами цього багаточлена є 2 xі x, а також 4 xy 2 та − xy 2 .

В результаті отримали багаточлен 3 x + 3xy 2 , який не має таких членів. Такий вид багаточлена називають багаточленом стандартного виду.

Як і в одночлена, багаточлен має ступінь. Щоб визначити ступінь багаточлена, спочатку його потрібно привести до стандартного виду, потім вибрати той одночлен, ступінь якого є найбільшим.

У попередньому прикладі ми навели багаточлен 2x+ 4xy 2 + x− xy 2 до стандартного вигляду. В результаті отримали багаточлен 3 x+ 3xy 2 . Він складається із двох одночленів. Ступенем першого одночлена є 1, а ступенем другого одночлена є 3. Найбільший із цих ступенів є 3. Значить, багаточлен 3 x+ 3xy 2 є багаточленом третього ступеня.

А оскільки багаточлен 3 x+ 3xy 2 тотожно дорівнює попередньому багаточлену 2x+ 4xy 2 + x− xy 2 , то цей попередній багаточлен є багаточленом третього ступеня.

Ступенем багаточлена стандартного виду називають найбільший зі степенів, що входять до нього одночленів.

У деяких багаточленах насамперед потрібно привести до стандартного вигляду одночлени, що входять до нього, і лише потім наводити сам багаточлен до стандартного вигляду.

Наприклад, наведемо багаточлен 3xx 4 + 3xx 3 − 5x 2 x 3 − 5x 2 x до стандартного вигляду. Цей багаточлен складається з одночленів, які не наведені до стандартного вигляду. Спочатку наведемо їх до стандартного вигляду:

3xx 4 + 3xx 3 − 5x 2 x 3 − 5x 2 x= 3x 5 + 3x 4 − 5x 5 − 5x 3

Тепер багаточлен, що вийшов 3x 5 + 3x 4 − 5x 5 − 5x 3 можна привести до стандартного вигляду. Для цього наведемо його члени. Подібними є члени 3 x 5 та −5 x 5 . Більше таких членів немає. Члени 3 x 4 та −5 x 3 будуть переписані без змін:

3xx 4 + 3xx 3 − 5x 2 x 3 − 5x 2 x= 3x 5 + 3x 4 − 5x 5 − 5x 3 = −2x 5 + 3x 4 − 5x 3

Приклад 2. Навести багаточлен 3ab+ 4cc+ ab+ 3c 2 до стандартного вигляду.

Спочатку наведемо одночлен 4 cc, що входить у вихідний багаточлен, до стандартного виду, отримаємо 4 з 2

3ab+ 4cc+ ab+ 3c 2 = 3ab+ 4з 2 + ab+ 3c 2

3ab+ 4cc+ ab+ 3c 2 = 3ab+ 4з 2 + ab+ 3c 2 = 4ab+ 7c 2

Приклад 3. Навести багаточлен 4x 2 − 4y− x 2 + 17y− y до стандартного вигляду.

Подібними членами цього багаточлена є 4 x 2 та − x 2 , а також −4 y , 17yі −y. Наведемо їх:

4x 2 − 4y− x 2 + 17y− y = 3x 2 + 12y

Наводячи подібні члени, можна використовувати дужки. Для цього подібні члени слід укласти в дужки, потім об'єднати вирази в дужках за допомогою знака плюс.

Вирішимо попередній приклад за допомогою дужок. Подібними членами були 4 x 2 та − x 2 , а також −4 y , 17yі −y. Укладемо їх у дужки та об'єднаємо за допомогою знака «плюс»

4x 2 − 4y− x 2 + 17y− y = (4x 2 − x 2) + (−4y+ 17y− y)

Тепер у дужках виконаємо приведення таких членів:

4x 2 − 4y− x 2 + 17y− y = (4x 2 − x 2) + (−4y+ 17y− y) = (3x 2) + (12y)

У виразі (3x 2) + (12y) розкриємо дужки:

4x 2 − 4y− x 2 + 17y− y = (4x 2 − x 2) + (−4y+ 17y− y) = (3x 2) + (12y) = 3x 2 + 12y

Звичайно, такий підхід нагромаджує вираз, зате дозволяє звести до мінімуму припущення помилок.

Приклад 4. Навести багаточлен 12x 2 − 9y− 9x 2 + 6y+ y до стандартного вигляду.

Укладемо в дужки подібні доданки та об'єднаємо їх за допомогою знака «плюс»

12x 2 − 9y− 9x 2 + 6y+ y = (12x 2 − 9x 2) + (−9y+ 6y+ y)

12x 2 − 9y− 9x 2 + 6y+ y = (12x 2 − 9x 2) + (−9y+ 6y+ y) = (3x 2) + (−2y)

Позбавляємося дужок за допомогою розкриття:

12x 2 − 9y− 9x 2 + 6y+ y = (12x 2 − 9x 2) + (−9y+ 6y+ y) = (3x 2) + (−2y) = 3x 2 − 2y

Зміна порядку слідування членів

Розглянемо двочлен x − y. Як зробити так, щоб член – yрозташовувався першим, а член xдругим?

Багаточлен це сума одночленів. Тобто вихідний двочлен x − yє сумою xі −y

x + (−y)

Від перестановки місць доданків сума не змінюється. Тоді xі −yможна поміняти місцями

−y + x

Приклад 2. У двочлені −y − xпоміняти місцями члени.

Двучлен −y − xце сума членів −yі −x

−y + (−x)

Тоді згідно з переміщувальним законом складання отримаємо (−x) + (−y) . Позбавимо вираз від дужок:

−x − y

Таким чином, рішення можна записати коротше:

−y − x= −x − y

Приклад 3. Упорядкувати члени багаточлена x + xy 3 − x 2 у порядку спаду ступенів.

Найбільший ступінь у даному багаточлені має член xy 3 , далі − x 2 , а потім x. Запишемо їх у цьому порядку:

x + xy 3 − x 2 = xy 3 − x 2 + x

Розмноження одночлена на багаточлен

Одночлен можна помножити на багаточлен. Щоб помножити одночлен на багаточлен, потрібно цей одночлен помножити на кожен член багаточлена та отримані твори скласти.

Наприклад, помножимо одночлен 3 x 2 на багаточлен 2 x+ y+5. При множенні одночлена на багаточлен, останній слід укладати у дужки:

3x 2 (2x+ y+ 5)

Тепер помножимо одночлен 3 x 2 на кожний член багаточлена 2 x+ y+5. Отримані твори складатимемо:

3x 2 (2x+ y+ 5) = 3x 2 × 2x+ 3x 2 × y+ 3x 2 × 5

Обчислимо твори, що вийшли:

3x 2 (2x+ y+ 5) = 3x 2 × 2x+ 3x 2 × y+ 3x 2 × 5 = 6 x 3 + 3x 2 y+ 15x 2

Таким чином, при множенні одночлена 3 x 2 на багаточлен 2 x+ y+ 5 виходить багаточлен 6x 3 + 3x 2 y+ 15x 2 .

Множення бажано виконувати в умі. Так рішення виходить коротшим:

3x 2 (2x+ y+ 5) = 6x 3 + 3x 2 y+ 15x 2

У деяких прикладах одночлен розташовується після багаточлена. І тут знову ж таки кожен член многочлена потрібно перемножити з одночленом і отримані твори скласти.

Наприклад, попередній приклад міг бути наведений у наступному вигляді:

(2x+ y+ 5) × 3 x 2

У цьому випадку ми помножили б кожен член багаточлену (2 x+ y+ 5) на одночлен 3 x 2 та склали б отримані результати:

(2x+ y+ 5) × 3 x 2 = 2x× 3 x 2 + y× 3 x 2+5×3 x 2 = 6x 3 + 3x 2 y+ 15x 2

Множення одночлена на багаточлен (або множення багаточлена на одночлен) засноване на розподільчому законі множення.

a(b + c) = ab + ac

Тобто, щоб помножити число aна суму b + c, потрібно число aпомножити на кожне доданок суми b + c, та отримані твори скласти.

Взагалі, множення одночлена на многочлен, та й розподільний закон множення мають геометричне значення.

Допустимо, є прямокутник зі сторонами aі b

Збільшимо бік bна c

Добудуємо відсутню сторону і зафарбуємо для наочності прямокутник, що вийшов:

Тепер обчислимо площу великого прямокутника, що вийшов. Він включає жовтий і сірий прямокутники.

Щоб обчислити площу великого прямокутника, що вийшов, можна окремо обчислити площі жовтого і сірого прямокутників і скласти отримані результати. Площа жовтого прямокутника дорівнюватиме ab, а площа сірого ac

ab + ac

А це все одно, що довжину великого прямокутника помножити на його ширину. Довжина у цьому випадку це b + c,а ширина це a

(b + c) × a

або ширину помножити на довжину, щоб розмістити літери a, bі cв алфавітному порядку:

a ×(b + c)

Таким чином, вирази a ×(b + c) та ab + acрівні тому самому значенню (однієї і тієї ж площі)

a ×(b + c) = ab + ac

Наприклад, нехай у нас є прямокутник завдовжки 4 см і шириною 2 см, і ми збільшили довжину на 2 см

Тоді площа даного прямокутника дорівнюватиме 2 × (4 + 2) або сумі площ жовтого та сірого прямокутників: 2 × 4 + 2 × 2 . Вирази 2 × (4 + 2) і 2 × 4 + 2 × 2 дорівнюють тому самому значенню 12

2 × (4 + 2) = 12

2×4 + 2×2 = 12

2×(4+2)=2×4+2×2=12.

Дійсно, у великому прямокутнику міститься дванадцять квадратних сантиметрів:

Приклад 2. Помножити одночлен 2 aна багаточлен a 2 − 7a− 3

Помножимо одночлен 2 aна кожен член багаточлена a 2 − 7a− 3

2a(a 2 − 7a− 3) = 2a × a 2 + 2a× (−7 a) + 2a× (−3) = 2 a 3 + (−14a 2) + (−6a) = 2a 3 − 14a 2 − 6a

Або коротше:

2a(a 2 − 7a− 3) = 2a 3 − 14a 2 − 6a

Приклад 3. Помножити одночлен −a 2 b 2 на багаточлен a 2 b 2 − a 2 − b 2

Помножимо одночлен −a 2 b 2 на кожен член багаточлена a 2 b 2 − a 2 − b 2 та складемо отримані твори:

Або коротше:

Приклад 4. Виконати множення −1,4x 2 y 6 (5x 3 y− 1,5xy 2 − 2y 3)

Помножимо одночлен -1,4 x 2 y 6 на кожний член багаточлена 5x 3 y− 1,5xy 2 − 2y 3 та складемо отримані твори:

Або коротше:

Приклад 5. Виконати множення

Помножимо одночлен на кожен член багаточлена та складемо отримані твори:

Або коротше:

Виконуючи короткі рішення, результати записують одразу один за одним разом зі знаком отриманого члена. Розглянемо поетапно, як було виконано коротке рішення цього прикладу.

Спочатку одночлен потрібно помножити на перший член багаточлена , тобто на . Множення виконується в умі. Виходить результат. У вихідному вираженні ставимо знак рівності та записуємо перший результат:

Наступним кроком буде множення одночлена на другий член багаточлена , тобто на . Виходить результат. Цей результат є позитивним, тобто зі знаком плюс. У вихідному вираженні цей результат записується разом із цим плюсом відразу після члена

Після цього у вихідному вираженні жодних знаків ставити не можна. Потрібно відразу приступати до наступного множення.

Наступним кроком буде множення одночлена на третій член , тобто на . Виходить результат. Цей результат негативний, тобто зі знаком мінус. У вихідному вираженні цей результат записується разом зі своїм мінусом одразу після члена

Іноді зустрічаються висловлювання, у яких спочатку потрібно виконати множення одночлена на багаточлен, потім знову одночлен. Наприклад:

2(a + b)c

У цьому прикладі спочатку член 2 множиться на многочлен ( a + b) , потім результат множиться на c. Для початку виконаємо множення 2 на ( a + b) і укладемо отриманий результат у дужки

2(a + b)c = (2a+ 2b)з

Дужки говорять про те, що результат множення 2 на ( a + b) повністю множиться на c. Якби ми не уклали дужки 2 a+ 2b, то вийшло б вираз 2a + 2b × з , в якому на змножиться лише 2 b. Це призвело до зміни значення початкового виразу, але це неприпустимо.

Отже, отримали (2a + 2b)з . Тепер множимо багаточлен (2 a + 2b) на одночлен cі отримуємо остаточний результат:

2(a + b)c = (2a+ 2b)з = 2ac + 2bc

Множення також можна було б виконати спочатку помноживши ( a + b) на зта отриманий результат перемножити з членом 2

2(a + b)c = 2(ac + bc) = 2ac + 2bc

У разі спрацьовує , який свідчить, що й вираз складається з кількох співмножників, то твір нічого очікувати залежати від порядку действий:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

Тобто множення можна виконувати у будь-якому порядку. Це не призведе до зміни значення початкового виразу.

Множення багаточлена на багаточлен

Щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член першого багаточлена помножити на кожен член другого багаточлена та отримані твори скласти.

Наприклад, помножимо багаточлен x+ 3 на y+ 4

Заключимо в дужки кожен багаточлен і об'єднаємо їх знаком множення

(x+ 3) × ( y + 4)

Або запишемо їх один за одним без знака ×. Це також означатиме множення:

(x + 3)(y + 4)

x+ 3) на кожен член другого багаточлена ( y+ 4). Тут знову ж таки застосовуватиметься розподільчий закон множення:

(a + b) c = ac + bc

Відмінність у тому, що у нас замість змінної cє багаточлен ( y+ 4) , що складається з членів yта 4 . Наше завдання помножити ( x+ 3) спочатку на y, потім на 4. Щоб не припуститися помилки, можна уявити, що члена 4 поки не існує зовсім. Для цього його можна закрити рукою:

Отримуємо звичне нам множення многочлена на одночлен. Зокрема, множення многочлена ( x+ 3) на одночлен y. Виконаємо це множення:

(x + 3)(y + 4) = xy + 3y

Ми помножили ( x+ 3) на y. Тепер залишилося помножити ( x+ 3) на 4. Для цього множимо кожен член багаточлена ( x+ 3) на одночлен 4. На цей раз у вихідному вираженні ( x+ 3)(y+ 4) рукою закриємо yоскільки на нього ми вже множили багаточлен ( x+ 3)

Отримуємо множення многочлена ( x+ 3) на одночлен 4. Виконаємо це множення. Множення необхідно продовжувати у вихідному прикладі (x+ 3)(y+ 4) = xy + 3y

(x+ 3)(y+ 4) = xy + 3y + 4x + 12

Таким чином, при множенні многочлена ( x+ 3) на багаточлен ( y+ 4) виходить багаточлен xy + 3y + 4x + 12.

Інакше множення многочлена на многочлен можна зробити так: кожен член першого многочлена помножити другий многочлен цілком і отримані твори скласти.

Вирішимо попередній приклад, скориставшись цим способом. Помножимо кожен член многочлена x+ 3 на весь багаточлен y+ 4 повністю та складемо отримані твори:

(x+ 3)(y+ 4) = x(y+ 4) + 3(y+ 4)

В результаті приходимо до множення одночлена на багаточлен, який ми вивчили раніше. Виконаємо це множення:

(x+ 3)(y+ 4) = x(y+ 4) + 3(y+ 4) = xy + 4x + 3y + 12

Вийде той же результат як і раніше, але члени отриманого багаточлена будуть розташовуватися трохи інакше.

Множення багаточлена на багаточлен має геометричний сенс. Допустимо, є прямокутник, довжина якого aта ширина b

Площа цього прямокутника дорівнюватиме a × b .

Збільшимо довжину даного прямокутника на x, а ширину на y

Тепер обчислимо площу великого прямокутника, що вийшов. Для цього обчислимо окремо площу кожного прямокутника, що входить у цей великий прямокутник і складемо отримані результати. Площа жовтого прямокутника дорівнюватиме ab, площа сірого xb, площа фіолетового ay, площа рожевого xy

ab+xb+ay+xy

А це все одно що помножити довжину великого прямокутника, що вийшов, на його ширину. Довжина у цьому випадку це a + x, а ширина b + y

(a + x)(b + y)

Тобто вирази (a + x)(b + y) і ab+xb+ay+xyтотожно рівні

(a + x)(b + y) = ab+xb+ay+xy

Уявімо, що у нас був прямокутник, довжиною 6 см і шириною 3 см, і ми збільшили його довжину на 2 см, а ширину на 1 см

Добудуємо відсутні сторони і зафарбуємо для наочності прямокутники, що вийшли:

Площа великого прямокутника, що вийшов, буде дорівнює (6 + 2) (3 + 1) або сумі площ прямокутників, що входять у великий прямокутник: 6×3+2×3+6×1+2×1. В обох випадках отримаємо один і той самий результат 32

(6 + 2)(3 + 1) = 32

6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 32

(6 + 2) (3 + 1) = 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32

Дійсно, у великому прямокутнику міститься тридцять два квадратних сантиметри:

Приклад 2. Помножити багаточлен a + bна c+d

Заключимо вихідні багаточлени в дужки і запишемо їх один за одним:

(a + b)(c+d)

Тепер помножимо кожен член першого багаточлена ( a + b) на кожен член другого багаточлена ( c+d)

(a + b)(c+d) = ac + bc + ad + bd

Приклад 4. Виконати множення (−x− 2y)(x+ 2y 2)

Помножимо кожен член многочлена (− x− 2y) на кожен член багаточлена ( x+ 2y 2)

(−x− 2y)(x+ 2y 2) = −x 2 − 2xy− 2xy 2 − 4y 3

Результат перемноження членів слід записувати разом із знаками цих членів. Розглянемо поетапно, як було вирішено цей приклад.

Отже, потрібно помножити багаточлен (− x− 2y) на багаточлен ( x+ 2y 2). Спочатку треба помножити багаточлен (− x− 2y) на перший член багаточлена ( x+ 2y 2) , тобто на x .

Примножуємо − xна x, отримуємо − x 2 . У вихідному вираженні (−x− 2y)(x+ 2y 2) ставимо знак рівності та записуємо − x 2

(−x− 2y)(x+ 2y 2) = −x 2

Після цього у вихідному вираженні жодних знаків ставити не можна. Потрібно відразу приступати до наступного множення. А саме множенню −2 yна x.Вийде −2 xy. Цей результат негативний, тобто зі знаком мінус. У вихідному вираженні записуємо результат −2 xyвідразу після члена - x 2

(−x− 2y)(x+ 2y 2) = −x 2 − 2xy

Тепер множимо багаточлен (− x− 2y) на другий член багаточлена ( x + 2y 2) , тобто на 2 y 2

Примножуємо − xна 2 y 2 , отримуємо −2 xy 2 . У вихідному вираженні записуємо цей результат одразу після члена −2 xy

(−x− 2y)(x+ 2y 2) = −x 2 − 2xy− 2xy 2

Приступаємо до наступного множення. А саме множенню −2 yна 2 y 2 . Отримуємо −4 y 3 . У вихідному вираженні цей результат записуємо разом зі своїм мінусом одразу після члена −2 xy 2

(−x− 2y)(x+ 2y 2) = −x 2 − 2xy− 2xy 2 − 4y 3

Приклад 5. Виконати множення (4a 2 + 2ab− b 2)(2a − b)

Помножимо кожен член многочлена (4a 2 + 2ab− b 2) на кожен член багаточлена (2 a − b)

У виразі можна навести подібні доданки:

Приклад 6. Виконати множення −(a + b)(з − d)

На цей раз перед дужками розташовується мінус. Цей мінус є коефіцієнтом -1. Тобто вихідний вираз є твором трьох співмножників: −1 , багаточлена ( a + b) та багаточлена ( с − d) .

−1(a + b)(з − d)

Відповідно до сполучного закону множення, якщо вираз складається з кількох співмножників, його можна обчислювати в будь-якому порядку.

Тому спочатку можна перемножити багаточлени ( a+ b) та ( з− d) і отриманий в результаті багаточлен помножити на -1. Перемноження багаточленів ( a + b) та ( с − d) потрібно виконувати у дужках

−1(a + b)(з − d) = −1(ac + bc − ad − bd)

Тепер перемножуємо −1 та багаточлен (ac + bc − ad − bd) . В результаті всі члени багаточлену ( ac + bc − ad − bd) поміняють свої знаки на протилежні:

−1(a + b)(з − d) = −1(ac + bc − ad − bd) = −ac − bc + ad + bd

Або можна було перемножити −1 з першим багаточленом ( a + b) і результат перемножити з багаточленом ( с − d)

−1(a + b)(з − d) = (−a − b)(с − d) = −ac − bc + ad + bd

Приклад 7. Виконати множення x 2 (x+ 5)(x− 3)

x+ 5) та ( x− 3) , потім отриманий в результаті багаточлен перемножимо з x 2

Приклад 8. Виконати множення (a+ 1)(a+ 2)(a+ 3)

Спочатку перемножимо багаточлени ( a+ 1) та ( a+ 2) , потім отриманий многочлен перемножимо з многочленом ( a+ 3)

Отже, перемножимо ( a+ 1) та ( a+ 2)

Отриманий багаточлен (a 2 + a+ 2a+ 2) перемножимо з ( a+ 3)

Якщо швидке перемноження многочленів спочатку дається важко, можна скористатися докладним рішенням, суть якого у тому, щоб записати, як кожен член першого многочлена множиться весь другий многочлен цілком. Такий запис хоч і займає місце, але дозволяє звести до мінімуму припущення помилок.

Наприклад, виконаємо множення (a + b)(c+d)

Запишемо як кожен член багаточлена a + bмножиться на весь багаточлен c+dцілком. В результаті прийдемо до множення одночлена на багаточлен, виконувати яке простіше:

(a + b)(c+d) = a(з + d) + b(з + d) = aс + ad + bс + bd

Такий запис зручний при множенні двочлена на якийсь багаточлен, у якому міститься більше двох членів. Наприклад:

(x + y)(x 2 + 2xy+ y 2) = x(x 2 + 2xy + y 2) + y(x 2 + 2xy + y 2) = x 3 + 2x 2 y + xy 2 + x 2 y + 2xy 2 + y 3 = x 3 + 3x 2 y+ 3xy 2 + y 3

Або при перемноженні багаточленів, що містять більше двох членів. Наприклад, помножимо багаточлен x 2 + 2x − 5 на багаточлен x 3 − x + 2

(x 2 + 2x − 5)(x 3 − x + 2)

Запишемо перемноження вихідних многочленів як множення кожного члена многочлена x 2 + 2x − 5 на багаточлен x 3 − x + 2 .

Здобули звичне для нас множення одночленів на багаточлени. Виконаємо ці множення:

У багаточлені, що вийшов, наведемо подібні члени:

Одночлени, що входять в багаточлен, розташуємо в порядку зменшення ступенів. Робити це необов'язково. Але такий запис буде красивішим:

Винесення загального множника за дужки

Ми вже вчилися виносити спільний множник за дужки у простих буквених виразах. Тепер ми трохи заглибимося в цю тему і навчимося виносити спільний множник за дужки в багаточлені. Принцип винесення буде таким самим, як і в простому буквеному вираженні. Невеликі труднощі можуть виникнути лише з багаточленами, що складаються з ступенів.

Розглянемо простий двочлен 6 xy+ 3xz. Винесемо у ньому загальний множник за дужки. В даному випадку за дужки можна винести загальний множник. x. Нагадаємо, що при винесенні загального множника за дужки, кожен доданок вихідного виразу треба розділити на цей загальний множник:

Або коротше:

В результаті отримали 3x(2y+ z) . При цьому в дужках утворився інший більш простий багаточлен. y+ z). Загальний множник, що виноситься за дужки, вибирають так, щоб у дужках залишилися члени, які не містять загального літерного множника, а модулі коефіцієнтів цих членів не мали спільного дільника, крім одиниці.

Тому в наведеному прикладі за дужки був винесений загальний множник. x. У дужках утворився багаточлен. y+ z, модулі коефіцієнтів якого немає спільного дільника крім одиниці. Цю вимогу можна виконати, якщо знайти (НОД) модулів коефіцієнтів вихідних членів. Цей НОД стає коефіцієнтом загального множника, що виноситься за дужки. У нашому випадку вихідний багаточлен був 6 xy+ 3xz. Коефіцієнти вихідних членів це числа 6 і 3, які НОД дорівнює 3.

А літерну частину загального множника вибирають так, щоб члени у дужках не мали спільних літерних множників. У цьому випадку ця вимога виконалася легко. Загальний літерний множник було видно неозброєним оком - це був множник x .

Приклад 2 x 2 + x + xy

Усі члени цього багаточлени мають коефіцієнт одиницю. Найбільший спільний дільник модулів із цих одиниць є одиниця. Тому числова частина множника, що виноситься за дужки, буде одиницею. Але одиницю як коефіцієнт не записують.

Далі вибираємо літерну частину загального множника. Насамперед треба розуміти, що будь-який член, що входить до багаточлена, є одночленом. А одночлен це твір чисел, змінних та ступенів. Навіть якщо членом многочлена є звичайне число, його завжди можна у вигляді твору одиниці і цього числа. Наприклад, якщо багаточлен містить число 5, його можна представити у вигляді 1 × 5 . Якщо багаточлен міститься число 8 , то його можна представити у вигляді добутку множників 2 × 2 × 2 (або як 2 × 4 )

Зі змінними така ж ситуація. Якщо багаточлен міститься член, що є змінною чи ступенем, їх можна у вигляді твори. Наприклад, якщо багаточлен містить одночлен x, його можна подати у вигляді твору 1 × x. Якщо ж багаточлен містить одночлен x 3 , його можна подати у вигляді твору xxx .

Одночлени, з яких складається багаточлен x 2 + x + xy можна розкласти на множники так, щоб ми змогли побачити буквений співмножник, який є спільним для всіх членів.

Отже, перший член багаточлена x 2 + x + xy , а саме x 2 можна подати у вигляді твору x × x. Другий член xможна уявити у вигляді 1 × x. А третій член xyзалишимо без зміни, або для наочності перепишемо його за допомогою знака множення x × y

Кожен член многочлена представлений як твори множників, у тому числі складаються ці члени. Легко помітити, що у всіх трьох творах спільним співмножником є x.Виділимо його:

Цей множник xі винесемо за дужки. Знову ж таки, при винесенні загального множника за дужки кожне доданок вихідного виразу ділимо на цей загальний множник. У нашому випадку кожен член багаточлену x × x + 1 × x + x × yпотрібно розділити на загальний множник x

Значить, при винесенні загального множника за дужки у багаточлені x 2 + x + xy , Виходить x(x + 1 + y)

Або коротше:

В результаті в дужках залишаються члени, які не мають спільних буквених помножувачів, а модулі коефіцієнтів цих членів не мають спільних дільників, крім 1.

Приклад 2. Винести спільний множник за дужки у багаточлені 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2

Визначимо коефіцієнт загального множника, що виноситься за дужки. Найбільший загальний дільник модулів коефіцієнтів 15, 12 і 3 - це число 3. Значить, число 3 буде коефіцієнтом загального множника, що виноситься за дужки.

Тепер визначимо літерну частину загального множника, що виноситься за дужки. Її потрібно вибирати так, щоб у дужках залишилися члени, які не містять загального літерного множника.

Перепишемо літерні частини вихідного багаточлена 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2 як розкладання на множники. Це дозволить добре побачити, що саме можна винести за дужки:

Бачимо, що серед літерних частин спільним множником є xyy, тобто xy 2 . Якщо винести цей множник за дужки, у дужках залишиться багаточлен, який не має спільного буквеного множника.

У результаті загальним множником, що виноситься за дужки, буде 3 xy 2

Або коротше:

Для перевірки можна виконати множення 3xy 2 (5xy + 4 + 1) . В результаті повинен вийти багаточлен 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2

3xy 2 (5xy + 4 + 1) = 3xy 2 × 5 xy + 3xy 2×4 + 3 xy 2 × 1 = 15 x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2

Приклад 3. Винести загальний множник за дужки у виразі x 2 + x

В даному випадку за дужки можна винести x

Це тому, що перший член x 2 можна уявити як xx. А другий член xпредставити як 1 × x

x 2 + x = xx+ 1 × x

Не слід на листі докладно розписувати вміст кожного члена, розкладаючи його на множники. Це легко робиться в умі.

Приклад 4. Винести загальний множник за дужки у багаточлені 5 y 2 − 15y

В даному випадку за дужки можна винести 5 y. Найбільший загальний дільник модулів коефіцієнтів 5 та 15 це число 5. Серед літерних множників загальним є y

Приклад 5. Винести спільний множник за дужки у багаточлені 5y 2 − 15y 3

y 2 . Найбільший загальний дільник модулів коефіцієнтів 5 та 15 це число 5 . Серед літерних множників загальним є y 2

Приклад 6. Винести спільний множник за дужки у багаточлені 20x 4 − 25x 2 y 2 − 10x 3

У цьому прикладі за дужки можна винести 5 x 2 . Найбільший загальний дільник модулів коефіцієнтів 20, −25 та −10 це число 5 . Серед літерних множників загальним є x 2

Приклад 7. Винести спільний множник за дужки у багаточлені a m + a m+ 1

Другий член a m+ 1 являє собою твір з a mі a, оскільки a m × a= a m+ 1

Замінимо у вихідному прикладі член a m+ 1 на тотожно рівний йому твір a m × a . Так простіше буде побачити спільний множник:

Тепер можна побачити, що спільним множником є a m. Його й винесемо за дужки:

Перевірка на тотожність

Розв'язання задачі з багаточленами часом розтягується на кілька рядків. Кожне наступне перетворення має бути тотожним і попереднім. Якщо виникають сумніви у правильності своїх дій, то можна підставити довільні значення змінних у вихідний та отриманий вираз. Якщо вихідний і отриманий вираз дорівнюють одному й тому самому значенню, то можна бути впевненим, що завдання було вирішено правильно.

Допустимо, нам потрібно винести спільний множник за дужки у наступному багаточлені:

2x + 4x 2

В даному випадку за дужки можна винести загальний множник. x

2x + 4x 2 = 2x(1 + 2x)

Уявімо, що ми не впевнені у такому рішенні. В цьому випадку потрібно взяти будь-яке значення змінної xі підставити його спочатку у вихідний вираз 2 x+ 4x 2 , потім отримане 2 x(1 + 2x). Якщо в обох випадках результат буде однаковим, це означатиме, що завдання вирішено правильно.

Візьмемо довільне значення xі підставимо його у вихідний вираз 2 x+ 4x 2 . Нехай x= 2 . Тоді отримаємо:

2x+ 4x 2 = 2 × 2 + 4 × 2 2 = 4 + 16 = 20

Тепер підставимо значення 2 у перетворений вираз 2 x(1 + 2x)

2x(1 + 2x) = 2 × 2 × (1 + 2 × 2) = 4 × 5 = 20

Тобто при x= 2 вирази 2 x+ 4x 2 та 2 x(1 + 2x) рівні тому самому значенню. Це означає, що завдання було вирішено правильно. Те саме відбуватиметься і за інших значень змінних x. Наприклад, перевіримо наше рішення при x= 1

2x+ 4x 2 = 2 × 1 + 4 × 1 2 = 2 + 4 = 6
2x(1 + 2x) = 2 × 1 × (1 + 2 × 1) = 2 × 3 = 6

Приклад 2. Відняти від багаточлена 5x 2 − 3x+ 4 багаточлен 4 x 2 − xта перевірити отриманий результат, підставивши замість змінної xдовільне значення.

Виконаємо віднімання:

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

На даному уроці ми згадаємо основні визначення даної теми та розглянемо деякі типові завдання, а саме приведення багаточлена до стандартного виду та обчислення чисельного значення при заданих змінних значеннях. Ми вирішимо кілька прикладів, у яких застосовуватиметься приведення до стандартного виду для вирішення різноманітних завдань.

Тема:Багаточлени. Арифметичні операції над одночленами

Урок:Приведення багаточлена до стандартного виду. Типові завдання

Нагадаємо основне визначення: багаточлен – це сума одночленів. Кожен одночлен, що входить до складу багаточлена як доданок називається його членом. Наприклад:

Двучлен;

Багаточлен;

Двучлен;

Оскільки багаточлен складається з одночленів, то перша дія з багаточленом слід звідси – треба привести усі одночлени до стандартного виду. Нагадаємо, що для цього потрібно перемножити всі чисельні множники – отримати чисельний коефіцієнт, та перемножити відповідні ступені – отримати літерну частину. Крім того, звернемо увагу на теорему про добуток ступенів: при множенні ступенів показники їх складаються.

Розглянемо важливу операцію- приведення багаточлена до стандартного виду. Приклад:

Коментар: щоб привести багаточлен до стандартного вигляду, потрібно привести до стандартного вигляду всі одночлени, що входять до його складу, після цього, якщо є подібні одночлени – а це одночлени з однаковою літерною частиною – виконати дії з ними.

Отже, ми розглянули перше типове завдання – приведення багаточлена до стандартного виду.

Наступна типова задача - обчислення конкретного значення многочлена при заданих чисельних значеннях змінних, що входять до нього. Продовжимо розглядати попередній приклад і поставимо значення змінних:

Коментар: нагадаємо, що одиниця у будь-якому натуральному ступені дорівнює одиниці, а нуль у будь-якому натуральному ступені дорівнює нулюКрім того, нагадаємо, що при множенні будь-якого числа на нуль отримуємо нуль.

Розглянемо ряд прикладів на типові операції приведення багаточлена до стандартного виду та обчислення його значення:

Приклад 1 – привести до стандартного вигляду:

Коментар: перша дія - наводимо одночлени до стандартного вигляду, потрібно навести перший, другий та шостий; друга дія - наводимо подібні члени, тобто виконуємо над ними задані арифметичні дії: перший складаємо з п'ятим, другий з третім, решту переписуємо без змін, тому що вони не мають подібних.

Приклад 2 - обчислити значення многочлена прикладу 1 при заданих значеннях змінних:

Коментар: при обчисленні слід згадати, що одиниця в будь-якій натуральній мірі це одиниця, при утрудненні обчислень ступенів двійки можна скористатися таблицею ступенів.

Приклад 3 - замість зірочки поставити такий одночлен, щоб результат не містив змінної:

Коментар: незалежно від поставленого завдання, перша дія завжди однакова – привести багаточлен до стандартного вигляду. У нашому прикладі ця дія зводиться до приведення таких членів. Після цього слід ще раз уважно прочитати умову і подумати, як ми можемо позбутися одночлена. Очевидно, що для цього потрібно до нього додати такий самий одночлен, але з протилежним знаком - . далі замінюємо зірочку цим одночленом і переконуємось у правильності нашого рішення.

Наприклад, вирази:

a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- багаточлени.

Одночлени, що входять до складу багаточлена, називаються членами багаточлена. Розглянемо багаточлен:

7a + 2b - 3c - 11

вирази: 7 a, 2b, -3cі -11 – це члени багаточлена. Зверніть увагу на член -11. Він не містить змінної. Такі члени, що складаються лише з числа, називаються вільними.

Вважають, що будь-який одночлен - це окремий випадокбагаточлена, що складається з одного члена. І тут одночлен є назвою для многочлена з одним членом. Для багаточленів, що складаються з двох і трьох членів, також є спеціальні назви - двочлен і тричлен відповідно:

7a- одночлен

7a + 2b- двочлен

7a + 2b - 3c- тричлен

Подібні члени

Подібні члени- одночлени, що входять до багаточленів, які відрізняються один від одного тільки коефіцієнтом, знаком або зовсім не відрізняються (протилежні одночлени теж можна назвати подібними). Наприклад, у багаточлені:

3a 2 b

5abc 2

2a 2 b

7abc 2

2a 2 b

члени 3 a 2 b, 2a 2 bі 2 a 2 b, так само як і члени 5 abc 2 та -7 abc 2 – це подібні члени.

Приведення таких членів

Якщо багаточлен містить подібні члени, його можна привести до більш простого виду шляхом з'єднання подібних членів в один. Така дія називається приведенням подібних членів. Насамперед укладемо в дужки окремо всі подібні члени:

(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)

Щоб поєднати кілька подібних одночленів в один, треба скласти їх коефіцієнти, а літерні множники залишити без змін:

((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2

Приведення таких членів - це операція заміни алгебраїчної суми кількох подібних одночленів одним одночленом.

Багаточлен стандартного вигляду

Багаточлен стандартного вигляду- це багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, серед яких немає таких членів.

Щоб привести багаточлен до стандартного вигляду, достатньо зробити приведення таких членів. Наприклад, уявіть як многочлена стандартного виду вираз:

3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3

Спочатку знайдемо такі члени:

Якщо всі члени многочлена стандартного виду містять одну й ту саму змінну, то його члени прийнято розташовувати від більшої міри до меншої. Вільний член багаточлена, якщо він є, ставиться на останнє місце – праворуч.

Наприклад, багаточлен

3x + x 3 - 2x 2 - 7

повинен бути записаний так:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

Визначення 3.3. Одночленом називають вираз, що є добутком чисел, змінних і ступенів з натуральним показником.

Наприклад, кожен із виразів ,
,
є одночленом.

Кажуть, що одночлен має стандартний вигляд , якщо він містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, а кожен твір однакових змінних у ньому представлений ступенем. Числовий множник одночлена, записного у стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена . Ступенем одночлена називають суму показників ступенів усіх його змінних.

Визначення 3.4. Багаточленом називають суму одночленів. Одночлени, з яких складено багаточлен, називаютьчленами багаточлена .

Подібні доданки – одночлени у багаточлені – називають подібними членами багаточлена .

Визначення 3.5. Багаточлен стандартного виду називають багаточлен, в якому всі доданки записані в стандартному вигляді та наведені подібні члени.Ступенем багаточлена стандартного вигляду називають найбільший зі ступенів одночленів, що входять до нього.

Наприклад, багаточлен стандартного виду четвертого ступеня.

Дії над одночленами та багаточленами

Суму і різницю багаточленів можна перетворити на багаточлен стандартного вигляду. При складанні двох многочленів записуються всі члени і наводяться подібні члени. При відніманні знаки всіх членів багаточлена, що віднімається, змінюються на протилежні.

Наприклад:

Члени багаточлена можна розбивати на групи та укладати у дужки. Оскільки це тотожне перетворення, зворотне розкриття дужок, то встановлюється таке правило укладання в дужки: якщо перед дужками ставиться знак «плюс», всі члени, укладені в дужки, записують зі своїми знаками; якщо перед дужками ставиться знак «мінус», всі члени, укладені в дужки, записують із протилежними знаками.

Наприклад,

Правило множення багаточлену на багаточлен: щоб помножити багаточлен на багаточлен, достатньо кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.

Наприклад,

Визначення 3.6. Багаточленом від однієї змінної ступеня називають вираз виду

де
– будь-які числа, які називають коефіцієнтами багаточлена , причому
,- ціле невід'ємне число.

Якщо
, то коефіцієнт називають старшим коефіцієнтом багаточлена
, одночлен
- Його старшим членом , коефіцієнт – вільним членом .

Якщо замість змінної в багаточлен
підставити дійсне число , то в результаті вийде дійсне число
, яке називають значенням багаточлена
при
.

Визначення 3.7. Число називаютькорінням багаточлена
, якщо
.

Розглянемо поділ багаточлена на багаточлен, де
і - натуральні числа. Поділ можливий, якщо ступінь багаточлена-ділимого
не менше ступеня багаточлена-ділителя
, тобто
.

Розділити багаточлен
на багаточлен
,
,- значить знайти два таких багаточлени
і
, щоб

При цьому багаточлен
ступеня
називають багаточленом-приватним ,
– залишком ,
.

Зауваження 3.2. Якщо дільник
–не нуль-багаточлен, то поділ
на
,
, завжди здійсненно, а приватне та залишок визначаються однозначно.

Зауваження 3.3. У випадку, коли
при всіх , тобто

кажуть, що багаточлен
націло ділиться(або ділиться)на багаточлен
.

Поділ багаточленів виконується аналогічно поділу багатозначних чисел: спочатку старший член багаточлена-ділимого ділять на старший член багаточлена-ділителя, потім приватне від поділу цих членів, яке буде старшим членом багаточлена-приватного, множать на багаточлен-ділитель і отриманий твір віднімають з багаточлена-ділимого . В результаті одержують багаточлен – перший залишок, який ділять на багаточлен-ділитель аналогічним чином та знаходять другий член багаточлена-приватного. Цей процес продовжують доти, поки вийде нульовий залишок або ступінь багаточлена залишку буде меншим від ступеня багаточлена-ділителя.

При поділі багаточлена на двочлен можна скористатися схемою Горнера.

Схема Горнера

Нехай потрібно розділити багаточлен

на двочлен
. Позначимо приватне від поділу як багаточлен

а залишок – . Значення , коефіцієнти багаточленів
,
та залишок запишемо в наступній формі:

У цій схемі кожен із коефіцієнтів
,
,
, …,виходить із попереднього числа нижнього рядка множенням на число та додаванням до отриманого результату відповідного числа верхнього рядка, що стоїть над шуканим коефіцієнтом. Якщо будь-який ступінь у многочлені відсутня, то відповідний коефіцієнт дорівнює нулю. Визначивши коефіцієнти за наведеною схемою, записуємо приватне

і результат поділу, якщо
,

або ,

якщо
,

Теорема 3.1. Для того щоб нескоротний дріб (

,

)була корінням багаточлена
з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб число було дільником вільного члена , а число - дільником старшого коефіцієнта .

Теорема 3.2. (Теорема Безу ) Залишок від розподілу багаточлена
на двочлен
дорівнює значенню многочлена
при
, тобто
.

При розподілі багаточлена
на двочлен
маємо рівність

Воно справедливе, зокрема, при
, тобто
.

Приклад 3.2.Розділити на
.

Рішення.Застосуємо схему Горнера:

Отже,

Приклад 3.3.Розділити на
.

Рішення.Застосуємо схему Горнера:

Отже,

Приклад 3.4.Розділити на
.

Рішення.

У результаті отримуємо

приклад 3.5.Розділити
на
.

Рішення.Проведемо розподіл багаточленів стовпчиком:

Тоді отримуємо

Іноді буває корисним уявлення многочлена як рівного йому твори двох чи кількох многочленов. Таке тотожне перетворення називають розкладанням багаточлена на множники . Розглянемо основні засоби такого розкладання.

Винесення загального множника за дужки. Для того, щоб розкласти багаточлен на множники способом винесення загального множника за дужки, необхідно:

1) знайти загальний множник. Для цього, якщо всі коефіцієнти багаточлена – цілі числа, як коефіцієнт загального множника розглядають найбільший за модулем загальний дільник усіх коефіцієнтів багаточлена, а кожну змінну, що входить у всі члени багаточлена, беруть з найбільшим показником, який вона має в даному багаточлені;

2) знайти приватне від розподілу даного многочлена на загальний множник;

3) записати твір загального множника та отриманого приватного.

Угруповання членів. При розкладанні багаточлена на множники способом угруповання його члени розбиваються на дві або більше груп з таким розрахунком, щоб кожну з них можна було перетворити на твір, і отримані твори мали б спільний множник. Після цього застосовується спосіб винесення за дужки загального множника новостворених членів.

Застосування формул скороченого множення. У тих випадках, коли багаточлен, що підлягає розкладанню на множники має вигляд правої частини будь-якої формули скороченого множення, його розкладання на множники досягається застосуванням відповідної формули, записаної в іншому порядку.

Нехай

тоді справедливі наступні формули скороченого множення:





Для :
Якщо непарне ( ):
Біном Ньютона: де - Число поєднань з по .

Запровадження нових допоміжних членів. Цей спосіб полягає в тому, що багаточлен замінюється іншим багаточленом, тотожно рівним йому, але містить інше число членів, шляхом введення двох протилежних членів або заміни якогось члена тотожно рівною йому сумою подібних одночленів. Заміна проводиться з таким розрахунком, щоб до отриманого багаточлен можна було застосувати спосіб угруповання членів.

Приклад 3.6..

Рішення.Усі члени багаточлена містять спільний множник
. Отже.