Сергій Никифоров
Якщо похідна функції знакопостійна на інтервалі, а сама функція безперервна на його межах, то граничні точки приєднуються як до проміжків зростання, так і до проміжків спадання, що повністю відповідає визначенню зростаючих та спадних функцій.
Фаріт Ямаєв 26.10.2016 18:50
Добрий день. Як (на якій підставі) можна стверджувати, що в точці, де похідна дорівнює нулю, функція зростає. Наведіть аргументи. Інакше, це просто чийсь каприз. По якій теоремі? А також доказ. Спасибі.
Служба підтримки
Значення похідної у точці немає прямого відношення до зростання функції на проміжку. Розгляньте, наприклад, функції – всі вони зростають на відрізку
Владлен Писарєв 02.11.2016 22:21
Якщо функція зростає на інтервалі (а; b) і визначена і безперервна в точках а та b, вона зростає на відрізку . Тобто. точка x=2 входить у цей проміжок.
Хоча, зазвичай зростання і спадання розглядається не так на відрізку, але в інтервалі.
Але в точці x=2, функція має локальний мінімум. І як пояснювати дітям, що коли вони шукають точки зростання (зменшення), то точки локального екстремуму не вважаємо, а в проміжки зростання (зменшення) – входять.
Враховуючи, що перша частина ЄДІ для " середньої групи дитячого садка", то напевно такі нюанси-перебір.
Окремо, дякую за "Вирішу ЄДІ" всім співробітникам-відмінний посібник.
Сергій Никифоров
Просте пояснення можна отримати, якщо відштовхуватися від визначення зростаючої/зменшувальної функції. Нагадаю, що звучить воно так: функція називається зростаючою/зменшуваною на проміжку, якщо більшому аргументу функції відповідає більше/менше значення функції. Таке визначення ніяк не використовує поняття похідної, тому питань про точки, де похідна звертається до нуля виникнути не може.
Ірина Ішмакова 20.11.2017 11:46
Доброго дня. Тут у коментарях я бачу переконання, що кордони треба включати. Допустимо, я з цим погоджуся. Але подивіться, будь ласка, ваше рішення до задачі 7089. Там за вказівкою проміжків зростання кордону не включаються. І це впливає на відповідь. Тобто. вирішення завдань 6429 та 7089 суперечать один одному. Проясніть, будь ласка, цю ситуацію.
Олександр Іванов
У завданнях 6429 та 7089 абсолютно різні питання.
В одному проміжку зростання, а в іншому проміжку з позитивною похідною.
Суперечності немає.
Екстремуми входять у проміжки зростання та зменшення, але точки, у яких похідна дорівнює нулю, не входять у проміжки, у яких похідна позитивна.
A Z 28.01.2019 19:09
Колеги є поняття зростання в точці
(див. Фіхтенгольц наприклад)
і ваше розуміння зростання в точці x = 2 суперечить класичному визначенню.
Зростання і спад це процес і хотілося б дотримуватися цього принципу.
У будь-якому інтервалі, який містить точку x=2, функція не є зростаючою. Тому включення даної точки x = 2 процес особливий.
Зазвичай, щоб уникнути плутанини про включення кінців інтервалів, говорять окремо.
Олександр Іванов
Функція y=f(x) називається зростаючою на певному проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.
У точці х=2 функція диференційована, але в інтервалі (2; 6) похідна позитивна, отже, на проміжку .
x 0 x
Наведемо без висновку кілька еквівалентних нескінченно малих, використання яких сильно спрощує обчислення меж:
x sin x, x tg x, x arcsin x , x arctg x , x e x 1 .
3. ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНОЇ ЗМІННОЇ
3.1. Визначення похідної та її геометричний сенс
Межа відносини збільшення функції y до, що викликав це збільшення, збільшення аргументу x , при x 0 , тобто.
f (x0 |
x) f (x0) |
||||
називається похідної функції f (x) по незалежній змінній x.
позначається |
Операцію знаходження похідної нази- |
|||||
dx. |
||||||
f(x), |
||||||
ють диференціюванням.
Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до кривої у = f (x) в деякій точці, дорівнює значенню похідної функції у цій точці. У цьому полягає геометричний сенс похідної.
Теорема 2. Постійний множник можна виносити за знак виробництва.
ної, тобто. якщо y cf (x), де с = const, то |
||||||
cf(x) . |
||||||
Теорема 3. Похідна суми кінцевого числа диференційованих |
||||||
функцій дорівнює сумі похідних цих функцій, |
тобто. якщо y u (x) v (x), |
|||||
u(x) v(x) . |
||||||
Теорема 4. Похідна |
твори |
двох диференційованих |
||||
функцій дорівнює добутку похідної першої функції другу плюс добуток похідної другої функції першу, тобто. якщо y u v , то
y u v v u . |
Теорема 5 . Похідна приватного двох функцій, що диференціюються, дорівнює дробу, у якої знаменник дорівнює квадрату знаменника, а чисельник є різниця творів похідної числителя на знаменник і вироб-
водяної знаменника на чисельник, тобто. якщо |
||||||
3.3. Похідна складної функції
Нехай дана складна функція у = f (x), тобто. така, що її можна представити у такому вигляді: y=F(u), u=φ(x) або y=F(φ(x)). У вираженні y=F(u) змінну u називають проміжним аргументом.
Теорема. Якщо u = φ (x) має в деякій точці x похідну u x (x), |
|||||||
функція F (u ) має при |
відповідному |
значенні u |
похідну |
||||
y u F (u ) , то складна функція y=F (φ (x )) у зазначеній точці x також має |
|||||||
похідну, яка дорівнює |
де замість u |
повинно бути |
|||||
y x Fu |
(u) x (x), |
||||||
підставлено вираз u=φ(x).
3.4. Таблиця основних формул диференціювання
Об'єднаємо в одну таблицю всі основні формули та правила диференціювання.
y const , |
y "0. |
|||||||||
y xn , |
y" nxn 1 . |
|||||||||
y x , |
y " 1 . |
|||||||||
y sin x , |
y "cos x. |
|||||||||
Показує зв'язок знака похідної з характером монотонності функції.
Будь ласка, будьте дуже уважні в наступному. Дивіться, графік ЧОГО вам дано! Функції чи її похідної
Якщо дано графік похідної, то цікавитимуть нас лише знаки функції та нулі. Ніякі «пагорби» та «впадини» не цікавлять нас у принципі!
Завдання 1.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Визначте кількість цілих точок, де похідна функції негативна.
Рішення:
На малюнку виділені кольором області зменшення функції :
У ці області зменшення функції потрапляє 4 цілі значення.
Завдання 2.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна пряма або збігається з нею.
Рішення:
Раз дотична до графіку функції паралельна (або збігається) пряма (або, що теж саме, ), що має кутовий коефіцієнт, Що дорівнює нулю, то і дотична має кутовий коефіцієнт .
Це своє чергу означає, що дотична паралельна осі , оскільки кутовий коефіцієнт є тангенс кута нахилу дотичної до осі .
Тому ми знаходимо на графіку точки екстремуму (точки максимуму і мінімуму), – саме в них дотичні до графіку функції будуть паралельні осі.
Таких точок – 4.
Завдання 3.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна пряма або збігається з нею.
Рішення:
Якщо дотична до графіку функції паралельна (або збігається) пряма , що має кутовий коефіцієнт , то і дотична має кутовий коефіцієнт .
Це в свою чергу означає, що у точках торкання.
Тому, скільки точок на графіці мають ординату , рівну .
Як бачимо, таких точок – чотири.
Завдання 4.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких похідна функції дорівнює 0.
Рішення:
Похідна дорівнює нулю у точках екстремуму. У нас їх 4:
Завдання 5.
На малюнку зображено графік функції та одинадцять точок на осі абсцис:. У скільки з цих точок похідна функції негативна?
Рішення:
На проміжках зменшення функції її похідна набуває негативних значень. А зменшується функція в точках. Таких точок 4.
Завдання 6.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть суму точок екстремуму функції.
Рішення:
Крапки екстремуму– це точки максимуму (-3, -1, 1) та точки мінімуму (-2, 0, 3).
Сума точок екстремуму: -3-1+1-2+0+3=-2.
Завдання 7.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.
Рішення:
На малюнку виділено проміжки, у яких похідна функції неотрицательна.
На малому проміжку зростання цілих точок немає, на проміжку зростання чотири цілі значення: , , і .
Їхня сума:
Завдання 8.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.
Рішення:
На малюнку виділені кольором всі проміжки, у яких похідна позитивна, отже сама функція зростає цих проміжках.
Довжина найбільшого їх – 6.
Завдання 9.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. У якій точці відрізка набуває найбільшого значення.
Рішення:
Дивимося як поводиться графік на відрізку, а саме нас цікавить тільки знак похідної .
Знак похідної на - мінус, так як графік на цьому відрізку нижче осі.
Дослідження функції з допомогою похідної. У цій статті ми з вами розберемо деякі завдання, пов'язані з дослідженням графіка функції. У таких завданнях дається графік функції y = f (x) і ставляться питання, пов'язані з визначенням кількості точок, у яких похідна функції позитивна (або негативна), а також інші. Їх відносять до завдань застосування похідної для дослідження функцій.
Вирішення таких завдань, і взагалі завдань пов'язаних з дослідженням, можливе лише при повному розумінні властивостей похідної для дослідження графіків функцій та похідної. Тому рекомендую вам вивчити відповідну теорію. Можете вивчити, а також подивитися (але в ньому короткий виклад).
Завдання, де дано графік похідної ми також розглядатимемо в майбутніх статтях, не пропустіть! Отже, завдання:
На малюнку зображено графік функції у = f(х), визначеної на інтервалі (−6; 8). Визначте:
1. Кількість цілих точок, у яких похідна функції негативна;
2. Кількість точок, у яких дотична графіка функції паралельна прямий у = 2;
1. Похідна функції негативна на інтервалах, на яких функція зменшується, тобто на інтервалах (-6; -3), (0; 4,2), (6,9; 8). Вони містяться цілі точки −5, −4, 1, 2, 3, 4, і 7. Отримали 7 точок.
2. Пряма y= 2 паралельна осіохy= 2 тільки в точках екстремуму (у точках, де графік змінює свою поведінку із зростання на спадання або навпаки). Таких точок чотири: -3; 0; 4,2; 6,9
Вирішіть самостійно:
Визначте кількість цілих точок, де похідна функції позитивна.
На малюнку зображено графік функції у = f(х), визначеної на інтервалі (−5; 5). Визначте:
2. Кількість цілих точок, у яких дотична графіка функції паралельна прямий у = 3;
3. Кількість точок, у яких похідна дорівнює нулю;
1. З властивостей похідної функції відомо, що вона позитивна на інтервалах, у яких функція зростає, т. е. на інтервалах (1,4; 2,5) і (4,4;5). Вони міститься лише одне ціла точка х = 2.
2. Пряма y= 3 паралельна осіох. Стосовна буде паралельна до прямоїy= 3 тільки в точках екстремуму (у точках, де графік змінює свою поведінку із зростання на спадання або навпаки).
Таких точок чотири: -4,3; 1,4; 2,5; 4,4
3. Похідна дорівнює нулю у чотирьох точках (у точках екстремуму), їх ми вже вказали.
Вирішіть самостійно:
Визначте кількість цілих точок, у яких похідна функції f(x) є негативною.
На малюнку зображено графік функції у = f(х), визначеної на інтервалі (−2; 12). Знайдіть:
1. Кількість цілих точок, у яких похідна функції позитивна;
2. Кількість цілих точок, у яких похідна функції негативна;
3. Кількість цілих точок, у яких дотична графіка функції паралельна прямий у = 2;
4. Кількість точок, у яких похідна дорівнює нулю.
1. З властивостей похідної функції відомо, що вона позитивна на інтервалах, на яких функція зростає, тобто на інтервалах (-2; 1), (2; 4), (7; 9) і (10; 11). Вони містяться цілі точки: –1, 0, 3, 8. Усього їх чотири.
2. Похідна функції негативна на інтервалах, на яких функція зменшується, тобто на інтервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Вони містяться цілі точки 5 і 6. Отримали 2 точки.
3. Пряма y= 2 паралельна осіох. Стосовна буде паралельна до прямоїy= 2 тільки в точках екстремуму (у точках, де графік змінює свою поведінку із зростання на спадання або навпаки). Таких точок сім: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.
4. Похідна дорівнює нулю у семи точках (у точках екстремуму), їх ми вже вказали.
На заданому інтервалі функція має 2 максимуми та 2 мінімуми, разом 4 екстремуми. На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Рішення На заданому відрізку похідна функції позитивна, тому функція у цьому відрізку зростає. Рішення Якщо похідна у певній точці дорівнює нулю, а її околиці змінює знак, це точка екстремуму.
Обчислення значення похідної. Метод двох точок
1. За графіком похідної вивчити функцію. Функція y=f(x) зменшується на проміжках (x1;x2) і (x3;x4). За допомогою графіка похідної y=f(x) також можна порівнювати значення функції y=f(x).
Позначимо ці точки A(x1; y1) та B (x2; y2). Правильно виписуйте координати – це ключовий момент вирішення, і будь-яка помилка тут призводить до неправильної відповіді.
У фізичному сенсі похідна – це швидкість зміни будь-якого процесу. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t) = t²-13t+23, де x – відстань від точки відліку в метрах, t – час у секундах, виміряний з початку руху.
Дотична до кола, еліпс, гіпербола, парабола.
Нагадаю, що звучить воно так: функція називається зростаючою/зменшуваною на проміжку, якщо більшому аргументу функції відповідає більше/менше значення функції. Але подивіться, будь ласка, ваше рішення до задачі 7089. Там за вказівкою проміжків зростання кордону не включаються. Врахуйте, що заданий графік похідної. Як завжди: виколота точка не лежить на графіку, значення в ній не існують і не розглядаються. Добре підготовлені діти розрізняють поняття «похідна» та «друга похідна». Ви плутаєте: якби похідна зверталася до 0, то у точці функція могла б мати мінімум або максимум. Негативним значенням похідної відповідають інтервали, у яких функція f(x) зменшується.
До цього ми займалися перебуванням рівнянь дотичних до графіків однозначних функцій виду y = f(x) у різних точках.
На малюнку нижче наведено три фактично різних сікних (точки А і різні), але вони збігаються і задаються одним рівнянням. Але все ж таки, якщо відштовхуватися від визначення, то пряма та її січна пряма збігаються. Приступимо до знаходження координат точок торкання. Просимо звернути на нього увагу, тому що пізніше ми його використовуємо при обчисленні ординатів точок торкання. Гіпербола з центром у точці та вершинами і задається рівністю (малюнок нижче зліва), а з вершинами і – рівністю (малюнок нижче праворуч). Виникає логічне питання, як визначити який із функцій належить точка. Для відповіді на нього підставляємо координати на кожне рівняння і дивимося, яка з рівностей звертається до тотожності.
Іноді учні запитують, що таке, що стосується графіку функції. Це пряма, що має на даній ділянці єдину загальну точку з графіком, причому так, як показано на малюнку. Схоже на дотичну до кола. Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. На графіці це відповідає різкому зламу, коли дотичну у цій точці провести неможливо. Як знайти похідну, якщо функція задана не графіком, а формулою?