Для початку сформулюємо саму теорему: Нехай ми маємо наведене квадратне рівняння виду x^2+b*x + c = 0. Припустимо, це рівняння містить коріння x1 і x2. Тоді за теоремою такі твердження допустимі:
1) Сума коренів x1 і x2 дорівнюватиме негативному значенню коефіцієнта b.
2) Твір цього самого коріння даватиме нам коефіцієнт c .
Але що таке наведене рівняння
Наведеним квадратним рівнянням називається квадратне рівняння, коефіцієнт старшого ступеня, якого дорівнює одиниці, тобто. це рівняння виду x^2 + b * x + c = 0. (А рівняння a * x ^ 2 + b * x + c = 0 ненаведене). Іншими словами, щоб привести рівняння до наведеного виду, ми повинні розділити це рівняння на коефіцієнт за старшого ступеня (a). Завдання привести це рівняння до наведеного вигляду:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5 * x ^ 2 + 7,5 * x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Поділимо кожне рівняння на коефіцієнт старшого ступеня, отримаємо:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5 * x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.
Як можна побачити з прикладів, навіть рівняння, що містять дроби, можна привести до наведеного вигляду.
Використання теореми Вієта
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1 * x2 = 6;
одержуємо коріння: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1 * x2 = 8;
в результаті одержуємо коріння: x1 = -2; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 * x2 = 4;
одержуємо коріння: x1 = −1; x2 = −4.
Значення теореми Вієта
Теорема Вієта дозволяє вирішити будь-яке квадратне наведене рівняння практично за секунди. На перший погляд це здається досить складним завданням, але після 5 10 рівнянь можна навчитися бачити коріння відразу.
З наведених прикладів, і користуючись теоремою, видно як можна значно спростити розв'язання квадратних рівнянь, адже використовуючи цю теорему, можна вирішити квадратне рівняння практично без складних розрахунків та обчислення дискримінанта, а як відомо чим менше розрахунків, тим складніше припуститися помилки, що важливо.
У всіх прикладах ми використовували це правило, спираючись на два важливі припущення:
Наведене рівняння, тобто. коефіцієнт при старшому ступені дорівнює одиниці (ця умова легко уникнути. Можна використовувати ненаведений вид рівняння, тоді будуть допустимі наступні твердження x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, але зазвичай складніше вирішувати:))
Коли рівняння матиме два різні корені. Ми припускаємо, що нерівність вірна і дискримінант строго більше за нуль.
Тому ми можемо скласти загальний алгоритм розв'язання з теореми Вієта.
Загальний алгоритм вирішення теореми Вієта
Наводимо квадратне рівняння до наведеного виду, якщо рівняння дано нам у ненаведеному вигляді. Коли коефіцієнти у квадратному рівнянні, яке раніше ми представили як наведене, вийшли дробовими (не десятковими), то тут слід вирішувати наше рівняння через дискримінант.
Також трапляються випадки коли повернення до початкового рівняння дозволяє нам працювати з “зручними” числами.
Перед тим як перейти до теореми Вієта, введемо визначення. Квадратне рівняння виду x² + px + q= 0 називається наведеним. У цьому рівнянні старший коефіцієнт дорівнює одиниці. Наприклад, рівняння x² - 3 x- 4 = 0 є наведеним. Будь-яке квадратне рівняння виду ax² + b x + c= 0 можна зробити наведеним, для цього ділимо обидві частини рівняння на а≠ 0. Наприклад, рівняння 4 x² + 4 x- 3 = 0 розподілом на 4 наводиться до вигляду: x² + x- 3/4 = 0. Виведемо формулу коренів наведеного квадратного рівняння, для цього скористаємося формулою коренів квадратного рівняння загального вигляду: ax² + bx + c = 0
Наведене рівняння x² + px + q= 0 збігається з рівнянням загального виду, у якому а = 1, b = p, c = q.Тому для наведеного квадратного рівняння формула набуває вигляду: 
останній вираз називають формулою коренів наведеного квадратного рівняння, особливо зручно користуватися цією формулою коли р- парне число. Для прикладу вирішимо рівняння x² - 14 x — 15 = 0
У відповідь запишемо рівняння має два корені.
Для наведеного квадратного рівняння з позитивним справедлива така теорема.
Теорема Вієта
Якщо x 1 та x 2 - коріння рівняння x² + px + q= 0, то справедливі формули:
x 1 + x 2 = — р
x 1 * x 2 = q,тобто сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.
Виходячи з формули коріння наведеного квадратного рівняння маємо:
Складаючи ці рівності, отримуємо: x 1 + x 2 = —нар.
Перемножуючи ці рівності, за формулою різниці квадратів отримуємо:
Зазначимо, що теорема Вієта справедлива і тоді, коли дискримінант дорівнює нулю, якщо вважати, що в цьому випадку квадратне рівняння має два однакові корені: x 1 = x 2 = — р/2.
Не вирішуючи рівняння x² - 13 x+ 30 = 0 знайдемо суму та добуток його коріння x 1 та x 2 . цього рівняння D= 169 - 120 = 49 > 0, тому можна застосувати теорему Вієта: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Розглянемо ще кілька прикладів. Один із коренів рівняння x² — рx- 12 = 0 дорівнює x 1 = 4. Знайти коефіцієнт рі другий корінь x 2 цього рівняння. За теоремою Вієта x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — нар.Так як x 1 = 4, то 4 x 2 = - 12, звідки x 2 = — 3, р = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. У відповідь запишемо, другий корінь x 2 = - 3, коефіцієнт р = - 1.
Не вирішуючи рівняння x² + 2 x- 4 = 0 знайдемо суму квадратів його коріння. Нехай x 1 та x 2 - коріння рівняння. За теоремою Вієта x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Так як x 1 ²+ x 2 ² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 , тоді x 1 ²+ x 2 ² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Знайдемо суму та добуток коренів рівняння 3 x² + 4 x- 5 = 0. Дане рівняння має два різні корені, так як дискримінант D= 16 + 4*3*5 > 0. Для вирішення рівняння скористаємося теоремою Вієта. Ця теорема доведена для квадратного рівняння. Тому розділимо це рівняння на 3.
Отже, сума коренів дорівнює -4/3, які твір дорівнює -5/3.
У випадку коріння рівняння ax² + b x + c= 0 пов'язані наступними рівностями: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,Для отримання цих формул достатньо розділити обидві частини даного квадратного рівняння а ≠ 0 і застосувати до отриманого квадратного рівняння теорему Вієта. Розглянемо приклад, потрібно скласти наведене квадратне рівняння, коріння якого x 1 = 3, x 2 = 4. Так як x 1 = 3, x 2 = 4 - Коріння квадратного рівняння x² + px + q= 0, то за теоремою Вієта р = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. У відповідь запишемо x² - 7 x+ 12 = 0. Під час вирішення деяких задач застосовується наступна теорема.
Теорема, зворотна теоремі Вієта
Якщо числа р, q, x 1 , x 2 такі, що x 1 + x 2 = — р, x 1 * x 2 = q, то x 1і x 2- коріння рівняння x² + px + q= 0. Підставимо у ліву частину x² + px + qзамість рвираз - ( x 1 + x 2), а замість q- твір, добуток x1*x2.Отримаємо: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2).Таким чином, якщо числа р, q, x 1 та x 2 пов'язані цими співвідношеннями, то за всіх хвиконується рівність x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2),з якого випливає, що x 1 та x 2 - коріння рівняння x² + px + q= 0. Використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, іноді можна підбором знайти коріння квадратного рівняння. Розглянемо приклад, x² - 5 x+ 6 = 0. Тут р = — 5, q= 6. Підберемо два числа x 1 та x 2 так, щоб x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Помітивши, що 6 = 2 * 3 , а 2 + 3 = 5, по теоремі, зворотній теоремі Вієта, отримуємо, що x 1 = 2, x 2 = 3 - коріння рівняння x² - 5 x + 6 = 0.
У математиці існують спеціальні прийоми, з якими багато квадратних рівнянь вирішуються дуже швидко і без будь-яких дискримінантів. Більше того, при належному тренуванні багато хто починає вирішувати квадратні рівняння усно, буквально «з першого погляду».
На жаль, у сучасному курсі шкільної математики подібні технології майже не вивчаються. А знати треба! І сьогодні ми розглянемо один із таких прийомів — теорему Вієта. Спочатку введемо нове визначення.
Квадратне рівняння виду x 2 + bx + c = 0 називається наведеним. Зверніть увагу: коефіцієнт при x 2 дорівнює 1. Жодних інших обмежень на коефіцієнти не накладається.
- x 2 + 7x + 12 = 0 – це наведене квадратне рівняння;
- x 2 − 5x + 6 = 0 — також наведене;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 — а ось це ніфіга не наведена, оскільки коефіцієнт при x 2 дорівнює 2.
Зрозуміло, будь-яке квадратне рівняння виду ax 2 + bx + c = 0 можна зробити наведеним - достатньо розділити всі коефіцієнти на число a . Ми завжди можемо зробити так, оскільки з визначення квадратного рівняння випливає, що a ≠ 0.
Правда, далеко не завжди ці перетворення будуть корисними для відшукання коренів. Трохи нижче ми переконаємося, що це треба лише тоді, як у підсумковому наведеному квадратом рівнянні всі коефіцієнти будуть цілими. А поки що розглянемо найпростіші приклади:
Завдання. Перетворити квадратне рівняння на наведене:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x2+7,5x+3=0;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0.
Розділимо кожне рівняння на коефіцієнт при змінній х 2 . Отримаємо:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 – розділили всі на 3;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 — поділили на −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - розділили на 1,5, всі коефіцієнти стали цілими;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 — поділили на 2. При цьому виникли дробові коефіцієнти.
Як бачите, наведені квадратні рівняння можуть мати цілі коефіцієнти навіть у тому випадку, коли вихідне рівняння містило дроби.
Тепер сформулюємо основну теорему, для якої власне і вводилося поняття наведеного квадратного рівняння:
Теорема Вієта. Розглянемо наведене квадратне рівняння виду x 2 + bx + c = 0. Припустимо, що це рівняння має дійсне коріння x 1 та x 2 . І тут вірні такі твердження:
- x 1 + x 2 = −b. Іншими словами, сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює коефіцієнту при змінній x взятому з протилежним знаком;
- x 1 · x 2 = c. Добуток коренів квадратного рівняння дорівнює вільному коефіцієнту.
приклади. Для простоти розглядатимемо лише наведені квадратні рівняння, що не потребують додаткових перетворень:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 · x 2 = 20; коріння: х 1 = 4; x 2 = 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 · x 2 = -15; коріння: х 1 = 3; x 2 = -5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = 4; коріння: x1 = −1; x 2 = -4.
Теорема Вієта дає нам додаткову інформацію про коріння квадратного рівняння. На перший погляд, це може здатися складним, але навіть при мінімальному тренуванні ви навчитеся «бачити» коріння і буквально вгадувати їх за лічені секунди.
Завдання. Розв'яжіть квадратне рівняння:
- x 2 − 9x + 14 = 0;
- x 2 − 12x + 27 = 0;
- 3x2+33x+30=0;
- −7x 2 + 77x − 210 = 0.
Спробуємо виписати коефіцієнти за теоремою Вієта і «вгадати» коріння:
- x 2 − 9x + 14 = 0 – це наведене квадратне рівняння.
За теоремою Вієта маємо: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Неважко помітити, що коріння - числа 2 та 7; - x 2 − 12x + 27 = 0 – теж наведене.
За теоремою Вієта: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 · x 2 = 27. Звідси коріння: 3 та 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 – це рівняння не є наведеним. Але ми зараз виправимо, розділивши обидві сторони рівняння на коефіцієнт a = 3. Отримаємо: x 2 + 11x + 10 = 0.
Вирішуємо за теоремою Вієта: x 1 + x 2 = −11; x 1 · x 2 = 10 ⇒ коріння: −10 та −1; - −7x 2 + 77x − 210 = 0 — знову коефіцієнт при x 2 не дорівнює 1, тобто. рівняння не наведене. Ділимо все на число a = −7. Отримаємо: x 2 - 11x + 30 = 0.
За теоремою Вієта: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 · x 2 = 30; з цих рівнянь легко вгадати коріння: 5 та 6.
З наведених міркувань видно, як теорема Вієта спрощує розв'язання квадратних рівнянь. Жодних складних обчислень, жодних арифметичних коренів та дробів. І навіть дискримінант (див. урок «Рішення квадратних рівнянь») нам не знадобився.
Зрозуміло, у всіх міркуваннях ми виходили з двох важливих припущень, які, взагалі кажучи, не завжди виконуються у реальних завданнях:
- Квадратне рівняння є наведеним, тобто. коефіцієнт при х 2 дорівнює 1;
- Рівняння має два різні корені. З погляду алгебри, у разі дискримінант D > 0 — власне, ми спочатку припускаємо, що це нерівність правильно.
Однак у типових математичних завданняхці умови виконуються. Якщо ж у результаті обчислень вийшло «погане» квадратне рівняння (коефіцієнт при х 2 відмінний від 1), це легко виправити — погляньте на приклади на початку уроку. Про коріння взагалі мовчу: що це за завдання, у якому немає відповіді? Звичайно, коріння буде.
Таким чином, загальна схема розв'язання квадратних рівнянь по теоремі Вієта виглядає так:
- Звести квадратне рівняння до наведеного, якщо це ще не зроблено за умови завдання;
- Якщо коефіцієнти у наведеному квадратному рівнянні вийшли дробовими, вирішуємо через дискримінант. Можна навіть повернутися до вихідного рівняння, щоб працювати з більш зручними числами;
- У випадку з цілими коефіцієнтами вирішуємо рівняння по теоремі Вієта;
- Якщо протягом кількох секунд не вдалося вгадати коріння, забиваємо на теорему Вієта і вирішуємо через дискримінант.
Завдання. Розв'яжіть рівняння: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Отже, маємо рівняння, яке є наведеним, т.к. коефіцієнт a = 5. Розділимо все на 5, отримаємо: x 2 − 7x + 10 = 0.
Всі коефіцієнти квадратного рівняння є цілими — спробуємо вирішити за теоремою Вієта. Маємо: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. У разі коріння вгадуються легко — це 2 і п'ять. Вважати через дискримінант зайве.
Завдання. Розв'яжіть рівняння: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.
Дивимося: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 — це рівняння не наведене, розділимо обидві сторони на коефіцієнт a = −5. Отримаємо: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 – рівняння із дробовими коефіцієнтами.
Краще повернутися до вихідного рівняння та рахувати через дискримінант: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; х 2 = 0,4.
Завдання. Розв'яжіть рівняння: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Для початку розділимо все на коефіцієнт a = 2. Вийде рівняння x 2 + 5x − 300 = 0.
Це наведене рівняння, за теоремою Вієта маємо: x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = -300. Вгадати коріння квадратного рівняння в даному випадку важко — особисто я серйозно завис, коли вирішував це завдання.
Доведеться шукати коріння через дискримінант: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Якщо ви не пам'ятаєте корінь із дискримінанта, просто зазначу, що 1225: 25 = 49. Отже, 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2 .
Тепер, коли корінь з дискримінанта відомий, вирішити рівняння не важко. Отримаємо: х 1 = 15; x2 = −20.
Між корінням і коефіцієнтами квадратного рівняння, крім формул коріння, існують інші корисні співвідношення, які задаються теорема Вієта. У цій статті ми дамо формулювання та доказ теореми Вієта для квадратного рівняння. Далі розглянемо теорему, обернену до теореми Вієта. Після цього розберемо рішення найхарактерніших прикладів. Нарешті, запишемо формули Вієта, що задають зв'язок між дійсним корінням алгебраїчного рівнянняступеня n та його коефіцієнтами.
Навігація на сторінці.
Теорема Вієта, формулювання, доказ
З формул коренів квадратного рівняння a x 2 +b x + c = 0 виду , де D = b 2 −4 a c , витікають співвідношення x 1 +x 2 = b/a , x 1 x 2 = c/a. Ці результати затверджуються теорема Вієта:
Теорема.
Якщо x 1 і x 2 – коріння квадратного рівняння a·x 2 +b·x+c=0 , то сума коренів дорівнює відношенню коефіцієнтів b і a взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює відношенню коефіцієнтів c і a , тобто, .
Доказ.
Доказ теореми Вієта проведемо за наступною схемою: складемо суму і добуток коренів квадратного рівняння, використовуючи відомі формули коренів, після цього перетворимо отримані вирази, і переконаємось, що вони рівні −b/a та c/a відповідно.
Почнемо із суми коріння, складаємо її . Тепер наводимо дроби до спільного знаменника, маємо . У чисельнику отриманого дробу, після чого: . Нарешті, після 2 , отримуємо . Цим доведено перше співвідношення теореми Вієта для суми коренів квадратного рівняння. Переходимо до другого.
Складаємо добуток коренів квадратного рівняння: . Згідно з правилом множення дробів, останній твір можна записати як . Тепер виконуємо множення дужки на дужку в чисельнику, але швидше згорнути цей твір за формулі різниці квадратів, так. Далі, згадавши, виконуємо наступний перехід. Оскільки дискримінанту квадратного рівняння відповідає формула D=b 2 −4·a·c , то останній дріб замість D можна підставити b 2 −4·a·c , отримуємо . Після розкриття дужок та приведення подібних доданків приходимо до дробу, а його скорочення на 4·a дає . Цим доведено друге співвідношення теореми Вієта для коріння.
Якщо опустити пояснення, то доказ теореми Вієта набуде лаконічного вигляду:
,
.
Залишається лише помітити, що за рівному нулюДискримінант квадратне рівняння має один корінь. Однак, якщо вважати, що рівняння в цьому випадку має два однакові корені, то рівності з теореми Вієта також мають місце. Дійсно, при D=0 корінь квадратного рівняння дорівнює , тоді і , а так як D=0 , тобто b 2 −4·a·c=0 , звідки b 2 =4·a·c , то .
На практиці найчастіше теорема Вієта використовується стосовно наведеного квадратного рівняння (зі старшим коефіцієнтом a, рівним 1) виду x 2 +p · x + q = 0. Іноді її і формулюють для квадратних рівнянь саме такого виду, що не обмежує спільності, тому що будь-яке квадратне рівняння можна замінити рівносильним рівнянням, виконавши розподіл його обох частин на відмінне від нуля число a. Наведемо відповідне формулювання теореми Вієта:
Теорема.
Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 дорівнює коефіцієнту при x , взятому з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену, тобто x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 = q.
Теорема, зворотна теоремі Вієта
Друге формулювання теореми Вієта, наведене у попередньому пункті, вказує, що якщо x 1 і x 2 коріння наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 , то справедливі співвідношення x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 = q. З іншого боку, із записаних співвідношень x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q слід, що x 1 і x 2 є корінням квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 . Інакше кажучи, справедливе твердження, зворотне теоремі Вієта. Сформулюємо його як теореми, і доведемо її.
Теорема.
Якщо числа x 1 і x 2 такі, що x 1 + x 2 = -p і x 1 · x 2 = q, то x 1 і x 2 є корінням наведеного квадратного рівняння x 2 + p · x + q = 0 .
Доказ.
Після заміни в рівнянні x 2 + p · x + q = 0 коефіцієнтів p і q їх вираження через x 1 і x 2 воно перетворюється на рівносильне рівняння .
Підставимо в отримане рівняння замість x число x 1 маємо рівність x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 =0, яке за будь-яких x 1 і x 2 являє собою вірну числову рівність 0=0 , так як x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Отже, x 1 – корінь рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0, Отже, x 1 – корінь і рівносильного йому рівняння x 2 +p·x+q=0 .
Якщо ж до рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0підставити замість x число x 2 то отримаємо рівність x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 =0. Це вірна рівність, оскільки x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Отже, x 2 теж є коренем рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0, Отже, і рівняння x 2 +p·x+q=0 .
У цьому завершено доказ теореми, зворотної теореме Вієта.
Приклади використання теореми Вієта
Настав час поговорити про практичне застосування теореми Вієта та оберненої їй теореми. У цьому вся пункті ми розберемо рішення кількох найбільш характерних прикладів.
Почнемо із застосування теореми, зворотної теореми Вієта. Її зручно застосовувати для перевірки, чи є дані два числа корінням заданого квадратного рівняння. При цьому обчислюється їх сума та різницю, після чого перевіряється справедливість співвідношень . Якщо виконуються обидва ці співвідношення, то з теореми, зворотної теореме Виета, робиться висновок, що ці числа є корінням рівняння. Якщо ж хоча б одне із співвідношень не виконується, то дані числа не є корінням квадратного рівняння. Такий підхід можна використовувати при вирішенні квадратних рівнянь для перевірки знайденого коріння.
приклад.
Яка з пар чисел 1) x 1 =−5 , x 2 =3 , або 2) , або 3) є парою коренів квадратного рівняння 4·x 2 −16·x+9=0 ?
Рішення.
Коефіцієнтами заданого квадратного рівняння 4·x 2 −16·x+9=0 є a=4 , b=−16 , c=9 . Відповідно до теореми Вієта сума коренів квадратного рівняння повинна дорівнювати −b/a , тобто, 16/4=4 , а добуток коріння має дорівнювати c/a , тобто, 9/4 .
Тепер обчислимо суму і добуток чисел у кожній із трьох заданих пар, і порівняємо їх із щойно отриманими значеннями.
У першому випадку маємо x1+x2=−5+3=−2. Отримане значення відмінно від 4 тому подальшу перевірку можна не здійснювати, а по теоремі, зворотній теоремі Вієта, відразу зробити висновок, що перша пара чисел не є парою коренів заданого квадратного рівняння.
Переходимо до другого випадку. Тут, тобто, перша умова виконана. Перевіряємо друге умова: , отримане значення від 9/4 . Отже, і друга пара чисел не є парою коренів квадратного рівняння.
Залишився останній випадок. Тут і . Обидві умови виконані, тому ці числа х 1 і х 2 є корінням заданого квадратного рівняння.
Відповідь:
Теорему, зворотну теоремі Вієта, практично можна використовуватиме підбору коренів квадратного рівняння. Зазвичай підбирають цілі корені наведених квадратних рівнянь із цілими коефіцієнтами, тому що в інших випадках це зробити досить складно. У цьому користуються тим фактом, що й сума двох чисел дорівнює другому коефіцієнту квадратного рівняння, взятому зі знаком мінус, а добуток цих чисел дорівнює вільному члену, ці цифри є корінням даного квадратного рівняння. Розберемося з цим на прикладі.
Візьмемо квадратне рівняння x 2 −5·x+6=0. Щоб числа x 1 і x 2 були корінням цього рівняння, повинні виконуватись дві рівності x 1 +x 2 =5 та x 1 · x 2 =6 . Залишається підібрати такі цифри. У цьому випадку це досить просто: такими числами є 2 і 3 , оскільки 2+3=5 і 2·3=6 . Таким чином, 2 та 3 – корені даного квадратного рівняння.
Теорему, обернену до теореми Вієта, особливо зручно застосовувати для знаходження другого кореня наведеного квадратного рівняння, коли вже відомий або очевидний один з коренів. В цьому випадку другий корінь знаходиться з будь-якого із співвідношень.
Наприклад візьмемо квадратне рівняння 512 х 2 −509 х 3=0 . Тут легко помітити, що одиниця є коренем рівняння, оскільки сума коефіцієнтів цього квадратного рівняння дорівнює нулю. Отже, х 1 =1. Другий корінь x 2 можна знайти, наприклад, співвідношення x 1 ·x 2 =c/a . Маємо 1 · x 2 = -3/512, звідки x 2 = -3/512. Так ми визначили обидва корені квадратного рівняння: 1 та −3/512 .
Зрозуміло, що підбір коренів доцільний лише найпростіших випадках. В інших випадках для пошуку коренів можна застосувати формули коренів квадратного рівняння через дискримінант.
Ще одне практичне застосування теореми, зворотній теоремі Вієта, полягає у складанні квадратних рівнянь за заданим корінням x 1 і x 2 . Для цього достатньо обчислити суму коренів, яка дає коефіцієнт при x з протилежним знаком наведеного квадратного рівняння, та добуток коріння, яке дає вільний член.
приклад.
Напишіть квадратне рівняння, корінням якого є числа −11 та 23 .
Рішення.
Позначимо x 1 = -11 і x 2 = 23. Обчислюємо суму і добуток даних чисел: x 1 + x 2 = 12 і x 1 · x 2 = -253. Отже, зазначені числа є корінням наведеного квадратного рівняння з другим коефіцієнтом -12 та вільним членом -253. Тобто, x 2 -12 · x-253 = 0 - шукане рівняння.
Відповідь:
x 2 −12·x−253=0 .
Теорема Вієта дуже часто використовується при вирішенні завдань, пов'язаних зі знаками коренів квадратних рівнянь. Як пов'язана теорема Вієта зі знаками коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 ? Наведемо два відповідні твердження:
- Якщо вільний член q – позитивне число і якщо квадратне рівняння має дійсне коріння, або вони обидва позитивні, або обидва негативні.
- Якщо ж вільний член q – негативне число і якщо квадратне рівняння має дійсне коріння, їх знаки різні, інакше кажучи, один корінь позитивний, а інший - негативний.
Ці твердження випливають із формули x 1 x 2 =q, а також правил множення позитивних, негативних чисел і чисел з різними знаками. Розглянемо приклади їхнього застосування.
приклад.
R він позитивний. За формулою дискримінанта знаходимо D=(r+2) 2 −4·1·(r−1)= r 2 +4·r+4−4·r+4=r 2 +8 значення виразу r 2 +8 позитивно при будь-яких дійсних r , таким чином, D>0 при будь-яких дійсних r . Отже, вихідне квадратне рівняння має два корені за будь-яких дійсних значень параметра r .
Тепер з'ясуємо, коли коріння має різні знаки. Якщо знаки коренів різні, їх добуток негативно, а, по теореме Виета добуток коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює вільному члену. Отже, нас цікавлять ті значення r , у яких вільний член r−1 негативний. Таким чином, щоб знайти значення r , що цікавлять нас, треба вирішити лінійну нерівність r−1<0 , откуда находим r<1 .
Відповідь:
при r<1 .
Формули Вієта
Вище ми говорили про теорему Вієта для квадратного рівняння і розбирали затверджувані їй співвідношення. Але існують формули, що пов'язують дійсне коріння та коефіцієнти не тільки квадратних рівнянь, а й кубічних рівнянь, рівнянь четверного ступеня, і взагалі, алгебраїчних рівняньступеня n. Їх називають формулами Вієта.
Запишемо формули Виета для рівняння алгебри ступеня n виду , при цьому вважатимемо, що воно має n дійсних коренів x 1 , x 2 , ..., x n (серед них можуть бути збігаються): 
Отримати формули Вієта дозволяє теорема про розкладання багаточлена на лінійні множники, і навіть визначення рівних многочленів через рівність їх відповідних коефіцієнтів. Так многочлен та її розкладання на лінійні множники виду рівні. Розкривши дужки в останньому творі та прирівнявши відповідні коефіцієнти, отримаємо формули Вієта.
Зокрема, при n=2 маємо вже знайомі нам формули Вієта для квадратного рівняння .
Для кубічного рівняння формули Вієта мають вигляд 
Залишається лише помітити, що у лівій частині формул Вієта знаходяться так звані елементарні симетричні багаточлени.
Список літератури.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів/А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 2010. - 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.
I. Теорема Вієтадля наведеного квадратного рівняння.
Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коріння дорівнює вільному члену:
x1+x2=-p; x 1 ∙ x 2 =q.
Знайти коріння наведеного квадратного рівняння, використовуючи теорему Вієта.
Приклад 1) х 2 -x-30 = 0.Це наведене квадратне рівняння ( x 2 +px+q=0), другий коефіцієнт p=-1, а вільний член q=-30.Спочатку переконаємося, що це рівняння має коріння, і що коріння (якщо вони є) будуть виражатися цілими числами. Для цього достатньо, щоб дискримінант був повним квадратом цілого числа.
Знаходимо дискримінант D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Тепер по теоремі Вієта сума коренів має дорівнювати другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто. ( -p), а твір одно вільному члену, тобто. ( q). Тоді:
x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 =-30.Нам треба підібрати такі два числа, щоб їхній твір був рівний -30 , а сума – одиниці. Це числа -5 і 6 . Відповідь: -5; 6.
Приклад 2) x2+6x+8=0.Маємо наведене квадратне рівняння з другим коефіцієнтом р=6та вільним членом q=8. Переконаємося, що є цілісне коріння. Знайдемо дискримінант D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискримінант D1 є повним квадратом числа 1 Отже, коріння даного рівняння є цілими числами. Підберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює -р=-6, а добуток коріння дорівнює q=8. Це числа -4 і -2 .
Насправді: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Відповідь: -4; -2.
Приклад 3) x 2 +2x-4 = 0. У цьому наведеному квадратному рівнянні другий коефіцієнт р=2, а вільний член q=-4. Знайдемо дискримінант D 1, Оскільки другий коефіцієнт – парне число. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискримінант не є повним квадратом числа, тому, робимо висновок: коріння даного рівняння не є цілими числами і знайти їх за теоремою Вієта не можна.Отже, розв'яжемо дане рівняння, як завжди, за формулами (в даному випадку за формулами). Отримуємо:
приклад 4).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо x1=-7, x2=4.
Рішення.Шукане рівняння запишеться у вигляді: x 2 +px+q=0, причому, на підставі теореми Вієта -p = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Тоді рівняння набуде вигляду: x 2+3x-28=0.
приклад 5).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо:
ІІ. Теорема Вієтадля повного квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.
Сума коренів дорівнює мінус b, поділеному на а, добуток коріння одно з, поділеному на