Завдання, пов'язані зі зворотними тригонометричними функціями, часто пропонуються на шкільних випускних іспитах та на вступних іспитах у деяких ВНЗ. Докладне вивчення цієї теми може бути досягнуто лише на факультативних заняттях або елективних курсах. Пропонований курс покликаний якнайповніше розвинути здібності кожного учня, підвищити його математичну підготовку.
Курс розрахований на 10 годин:
1.Функції arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 год.).
2. Операції над зворотними тригонометричними функціями (4 год.).
3.Зворотні тригонометричні операції над тригонометричними функціями (2 год.).
Урок 1 (2 год.) Тема: Функції y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Мета: повне висвітлення цього питання.
1. Функція y = arcsin х.
а) Для функції y = sin x на відрізку існує обернена (однозначна) функція, яку умовилися називати арксинусом і позначати так: y = arcsin x. Графік зворотної функції симетричний з графіком основної функції щодо бісектриси I – III координатних кутів.
Властивості функції y = arc sin x.
1) Область визначення: відрізок [-1; 1];
2) Область зміни: відрізок;
3) Функція y = arcsin x непарна: arcsin (-x) = - arcsin x;
4) Функція y = arcsin x монотонно зростаюча;
5) Графік перетинає осі Ох, Оу на початку координат.
Приклад 1. Знайти a = arcsin. Цей прикладДокладно можна сформулювати так: знайти такий аргумент a, що лежить в межах від до, синус якого дорівнює.
Рішення. Існує безліч аргументів, синус яких дорівнює , наприклад: 
і т.д. Але нас цікавить лише той аргумент, що знаходиться на відрізку. Таким аргументом буде. Отже, .
Приклад 2. Знайти 
.Рішення.Розмірковуючи так само, як і в прикладі 1, отримаємо 
.
б) усні вправи. Знайти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0. Зразок відповіді: 
, т.к. 
. Чи мають сенс висловлювання: ; arcsin 1,5; 
?
в) Розташуйте у порядку зростання: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.
ІІ. Функції y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (аналогічно).
Урок 2 (2 години) Тема: Зворотні тригонометричні функції, їх графіки.
Ціль: на даному уроці необхідно відпрацювати навички у визначенні значень тригонометричних функцій, у побудові графіків зворотних тригонометричних функцій з використанням Д (у), Е (у) та необхідних перетворень.
На даному уроці виконати вправи, що включають знаходження області визначення області значення функцій типу: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .
Слід побудувати графіки функцій: а) y = arc sin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin;
г) y = arcsin; д) y = arcsin; е) y = arcsin; ж) y = | arcsin | .
приклад.Побудуємо графік y = arccos
До домашнього завдання можна включити такі вправи: побудувати графіки функцій: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Графіки зворотних функцій
Урок №3 (2 год.) Тема:
Операції над зворотними тригонометричними функціями.Мета: розширити математичні знання (це важливо для тих, хто вступає на спеціальності з підвищеними вимогами до математичної підготовки) шляхом введення основних співвідношень для зворотних тригонометричних функцій.
Матеріал для уроку
Деякі найпростіші тригонометричні операції над зворотними тригонометричними функціями: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x) = x, x I R; ctg (arcctg x) = x, x I R.
Вправи.
а) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = 
.
ctg (arctg x) =; tg (arcctg x) = .
б) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Нехай arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;
cos (arcsin x) =; sin (arccos x) = .
Примітка: беремо перед коренем знак "+", тому що a = arcsin x задовольняє .
в) sin (1,5 + arcsin). Відповідь: ;
г) ctg (+ arctg 3). Відповідь: ;
д) tg (- arcctg 4). Відповідь: .
е) cos (0,5 + arccos). Відповідь: .
Обчислити:
a) sin (2 arctg 5).
Нехай arctg 5 = a тоді sin 2 a = 
або sin (2 arctg 5) = 
;
б) cos (+ 2 arcsin 0,8). Відповідь: 0,28.
в) arctg + arctg.
Нехай a = arctg, b = arctg,
тоді tg(a+b) = 
.
г) sin (arcsin + arcsin).
д) Довести, що всім x I [-1; 1] вірно arcsin x + arccos x = .
Доказ:
arcsin x = - arccos x
sin (arcsin x) = sin (- arccos x)
x = cos (arccos x)
Для самостійного вирішення: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (-3)), tg (arccos), ctg (arccos).
Для домашнього рішення: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.
Урок № 4 (2ч.) Тема: Операції над зворотними тригонометричними функціями.
Мета: на даному уроці показати використання співвідношень у перетворенні складніших виразів.
Матеріал для уроку
Усно:
а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);
б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);
в) sin (arctg -3), cos (arcсtg());
г) tg (arccos), ctg (arccos()).
ПИСЬМОВО:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =
3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) = 
4) 
Самостійна робота допоможе виявити рівень засвоєння матеріалу
| 1) tg (arctg 2 - arctg) 2) cos(- arctg2) 3) arcsin + arccos |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2 |
Для домашнього завдання можна запропонувати:
1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg (arcsin)); 4) sin (2 arctg); 5) tg ((arcsin))
Урок №5 (2год) Тема: Зворотні тригонометричні операції над тригонометричними функціями.
Мета: сформувати уявлення учнів про зворотні тригонометричні операції над тригонометричними функціями, основну увагу приділити підвищенню свідомості досліджуваної теорії.
Під час вивчення цієї теми передбачається обмеження обсягу теоретичного матеріалу, що підлягає запам'ятовування.
Матеріал для уроку:
Вивчення нового матеріалу можна розпочати з дослідження функції y = arcsin (sin x) та побудови її графіка.
3. Кожному x I R ставиться у відповідність y I, тобто.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Функція непарна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. Графік y = arcsin (sin x) на:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y = sin ( - x) = sinx , 0<= - x <= .
Отже, 
Побудувавши y = arcsin (sin x) на , продовжимо симетрично щодо початку координат на [-; 0], враховуючи непарність цієї функції. Використовуючи періодичність, продовжимо на всю числову вісь.
Потім записати деякі співвідношення: arcsin (sin a) = a якщо<= a <= ; arccos (cos a ) = a якщо 0<= a <= ; arctg (tg a) = a якщо< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
І виконати наступні вправи: a) arccos (sin 2). Відповідь: 2 -; б) arcsin (cos 0,6). Відповідь: - 0,1; в) arctg (tg 2). Відповідь: 2 -;
г) arcctg (tg 0,6). Відповідь: 0,9; д) arccos (cos (-2)). Відповідь: 2 -; е) аrcsin (sin (-0,6)). Відповідь: – 0,6; ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 -)). Відповідь: 2 -; з) аrcctg (tg 0,6). Відповідь: – 0,6; - arctg x; д) arccos + arccos
Функції sin, cos, tg і ctg завжди супроводжуються арксинусом, арккосинусом, арктангенсом та арккотангенсом. Одне є наслідком іншого, а пари функцій однаково важливі до роботи з тригонометричними висловлюваннями.
Розглянемо малюнок одиничного кола, у якому графічно відображено значень тригонометричних функцій.
Якщо обчислити arcs OA, arcos OC, arctg DE і arcctg MK, всі вони дорівнюють значенню кута α. Формули, наведені нижче, відображають взаємозв'язок основних тригонометричних функцій та відповідних їм арків.
Щоб більше зрозуміти властивості арксинусу, необхідно розглянути його функцію. Графік має вигляд асиметричної кривої, що проходить через центр координат.
Властивості арксинусу:
Якщо порівняти графіки sinі arcsinУ двох тригонометричних функцій можна знайти загальні закономірності.
Арккосінус
Arccos числа а - це значення кута α, косинус якого дорівнює а.
Крива y = arcos xдзеркально відображає графік arcsin x, з тією різницею, що проходить через точку π/2 на осі OY.
Розглянемо функцію арккосинусу докладніше:
- Функція визначена на відрізку [-1; 1].
- ОДЗ для arccos -.
- Графік цілком розташований у I та II чвертях, а сама функція не є ні парною, ні непарною.
- Y = 0 за x = 1.
- Крива зменшується на всій своїй протяжності. Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.
Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.
Можливо, школярам видасться зайвим таке «детальне» вивчення «арків». Проте, інакше, деякі елементарні типові завдання ЄДІ можуть ввести учнів у безвихідь.
Завдання 1.Вкажіть функції, зображені на малюнку.
Відповідь:Рис. 1 - 4, рис.2 - 1.
У цьому прикладі акцент робиться на дрібницях. Зазвичай учні дуже неуважно ставляться до побудови графіків та зовнішнього вигляду функцій. Справді, навіщо запам'ятовувати вигляд кривої, якщо її можна побудувати за розрахунковими точками. Не слід забувати, що в умовах тесту час, витрачений на малюнок для простого завдання, потрібен для вирішення складніших завдань.
Арктангенс
Arctgчисла a – це значення кута α, що його тангенс дорівнює а.
Якщо розглянути графік арктангенсу, можна виділити такі характеристики:
- Графік нескінченний та визначений на проміжку (- ∞; + ∞).
- Арктангенс непарна функція, отже, arctg (-x) = - arctg x.
- Y = 0 за x = 0.
- Крива зростає по всій області визначення.
Наведемо короткий порівняльний аналіз tg x та arctg x у вигляді таблиці.
Арккотангенс
Arcctg числа a — приймає таке значення з інтервалу (0; π), що його котангенс дорівнює а.
Властивості функції арккотангенсу:
- Інтервал визначення функції – нескінченність.
- Область допустимих значень – проміжок (0; π).
- F(x) не є ні парною, ні непарною.
- На всьому своєму протязі графік функції зменшується.
Зіставити ctg x і arctg x дуже просто, потрібно лише зробити два малюнки та описати поведінку кривих.
Завдання 2.Співвіднести графік та форму запису функції.
Якщо міркувати логічно, з графіків видно, що обидві функції зростають. Отже, обидва малюнки відображають певну функцію arctg. З властивостей арктангенса відомо, що y = 0 при x = 0,
Відповідь:Рис. 1 - 1, рис. 2 – 4.
Тригонометричні тотожності arcsin, arcos, arctg та arcctg
Раніше нами вже було виявлено взаємозв'язок між арками та основними функціями тригонометрії. Ця залежність може бути виражена рядом формул, що дозволяють виразити, наприклад, синус аргументу, через його арксинус, арккосинус або навпаки. Знання подібних тотожностей буває корисним під час вирішення конкретних прикладів.
Також існують співвідношення для arctg та arcctg:
Ще одна корисна пара формул, що встановлює значення для суми значень arcsin і arcos, а також arcctg і arcctg одного і того ж кута.
Приклади розв'язання задач
Завдання з тригонометрії можна умовно поділити на чотири групи: обчислити числове значення конкретного виразу, побудувати графік цієї функції, знайти її область визначення або ОДЗ та виконати аналітичні перетворення на вирішення прикладу.
При вирішенні першого типу завдань необхідно дотримуватись наступного плану дій:
Працюючи з графіками функцій головне – це знання їхніх властивостей та зовнішнього вигляду кривої. Для розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей необхідні таблиці тотожностей. Що більше формул пам'ятає школяр, то простіше знайти відповідь завдання.
Допустимо в ЄДІ необхідно знайти відповідь для рівняння типу:
Якщо правильно перетворити вираз і привести до потрібного вигляду, вирішити його дуже просто і швидко. Для початку перенесемо arcsin x у праву частину рівності.
Якщо згадати формулу arcsin (sin α) = α, то можна звести пошук відповідей до вирішення системи із двох рівнянь:
Обмеження на модель x виникло, знов-таки з властивостей arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0 частина системи являє собою квадратне рівняння з корінням x1 = 1 і x2 = - 1/a. При a = 0, x дорівнюватиме 1.
Зворотні тригонометричні функції(кругові функції, аркфункції) — математичні функції, які є зворотними до тригонометричним функціям.
Арксинус(позначається як arcsin x; arcsin x- це кут, sinйого дорівнює x).
Арксинус (y = arcsin x) - зворотна тригонометрична функціядо sin (x = sin y), яка має область визначення та безліч значень 
. Тобто повертає кут за значенням його sin.
Функція y=sin xбезперервна і обмежена на всій своїй числовій прямій. Функція y=arcsin x- Суворо зростає.
Властивості функції arcsin.
Графік арксинусу.
Отримання функції arcsin.
Є функція y = sin x. На всій своїй області визначення вона шматково-монотонна, таким чином, зворотна відповідність y = arcsin xне є функцією. Тому розглядаємо відрізок, на якому вона тільки зростає та набуває кожного значення області значень — . Т.к. для функції y = sin xна інтервалі всі значення функції виходить при одному значенні аргументу, значить, на цьому відрізку є зворотна функція y = arcsin x, у якої графік є симетричним графіком функції y = sin xна відрізку щодо прямої y = x.