Багатогранні кути. Презентація на тему "багатогранні кути" Стереометрія двогранні та багатогранні кути презентація

Тригранні та багатогранні кути: Тригранним кутом називається фігура утворена трьома площинами, обмеженими трьома променями, що виходять з однієї точки і не лежать в одній площині. Розглянемо якийсь плоский багатокутник і точку, що лежить поза площиною цього багатокутника. Проведемо з цієї точки промені, що проходять через вершини багатокутника. Ми отримаємо фігуру, яка називається багатогранним кутом.

Тригранний кут це частина простору, обмежена трьома плоскими кутами із загальною вершиною та попарно загальними сторонами, що не лежать в одній площині. Загальна вершина цих кутів називається вершиною тригранного кута. Сторони кутів називаються ребрами, плоскі кути на вершині тригранного кута називаються його гранями. Кожна з трьох пар граней тригранного кута утворює двогранний кут плоскими кутами.

; +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад" двох інших його плоских кутів: 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад" class="link_thumb"> 4 !}Основні властивості тригранного кута 1. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. +>; +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, складені площинами кутів β та γ, α та γ, α та β. 3. Перша теорема косінусів для тригранного кута 4. Друга теорема косінусів для тригранного кута ; +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад"> ; + > ; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β , γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, складені площинами кутів β і γ, α і γ, α і β. +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад" двох інших його плоских кутів: 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад"> title="Основні властивості тригранного кута 1. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. +>; +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад"> !}

Грані багатогранника – це багатокутники, які його утворюють. Ребра багатогранника – це сторони багатокутників. Вершини багатогранника – це вершини багатокутника. Діагональ багатогранника - це відрізок, що з'єднує 2 вершини, що не належать до однієї грані.

Багатогранні кути. Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 із загальною вершиною S, в яких сусідні кути не мають спільних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, називатимемо багатогранною поверхнею. Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається буквами SA1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах.

Слайд 1 із презентації «Багатогранний кут»до уроків геометрії на тему «Кути у просторі»

Розміри: 960 х 720 пікселів, формат: jpg. Щоб безкоштовно скачати слайд для використання на уроці геометрії, клацніть правою кнопкою мишки на зображенні та натисніть «Зберегти зображення як...». Завантажити всю презентацію «Багатогранний кут. ppt» можна у zip-архіві розміром 329 КБ.

Завантажити презентацію

Кути у просторі

«Кут між прямими у просторі» - У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AB1 та BC1. Кут між прямими у просторі. Відповідь: 90o. Відповідь: 45o. У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: A1C1 та B1D1. У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AA1 та BC. Відповідь: У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AA1 та BD1. У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AA1 та BC1.

"Вписаний кут" - Побудувати прямий кут? Рівних цьому? Теорема: Визначення: Спирається. Практична робота. Хасанова Є.І., учитель математики, План уроку: Вписані кути. Доказ: Дано: Підсумок уроку. 8 клас. б). Чим схожі і чим різняться кути АОВ та АСВ? МОУ "МЗОШ №16", м. Міасса, Челябінської області.

«Багатогранний кут» – Вимірювання багатогранних кутів. Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. Отже, ? ASB +? BSC +? ASC< 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

«Суміжні кути» - Дано: AOC і BOC - суміжні. Довести: AOC + BOC = 180. Сумежні та вертикальні кути. d. с. Теорема. Наслідки з теореми. b. А суміжний розгорнутому? Даний довільний? (аb), відмінний від розгорнутого. Визначення. a. Урок 11. Сума суміжних кутів дорівнює 180? Доказ.

Двогранним кутом називається фігура, утворена прямою a і двома півплощинами із спільним кордоном a , що не належать до однієї площини.

Пряма a – ребро двогранного кута

У повсякденному житті часто зустрічаємося з предметами, мають форму двогранного кута. Такими предметами є двосхилі дахи будівель, напіврозкрита книга, стіна кімнати разом із підлогою тощо.

Дві півплощини – грані двогранного кута.

Алгоритм побудови лінійного кута.

Кут РОК - лінійний кут двогранного кута Р DE К.

Градусною мірою двогранного кута називається градусна міра його лінійного кута.

Тригранні та багатогранні кути

Ввести визначення тригранного та багатогранного кутів;

Познайомитись з різними видамибагатогранних кутів;

Вивчити властивості багатогранних кутів та навчитися їх застосовувати під час вирішення завдань.

Багатогранні кути

Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 із загальною вершиною S, В яких сусідні кути не мають спільних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, будемо називати багатогранною поверхнею.

Багатогранні кути

Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.

ТРЕХГРАНІ КУТИ

Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

ТРЕХГРАНІ КУТИ

Властивість. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360  .

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

ВИПУКЛІ МНОГОГРАНІ КУТИ

Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведено приклади опуклого та неопуклого багатогранних кутів.

Властивість. Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.

Вертикальні багатогранні кути

На рисунках наведено приклади тригранних, чотиригранних та п'ятигранних вертикальних кутів.

Теорема. Вертикальні кути рівні.

Вимірювання багатогранних кутів

Оскільки градусна величина розгорнутого двогранного кута вимірюється градусною величиною відповідного лінійного кута і дорівнює 180 про, будемо вважати, що градусна величина всього простору, яке складається з двох розгорнутих двогранних кутів, дорівнює 360 про. Величина багатогранного кута, виражена в градусах, показує, яку частину простору займає даний багатокутний кут. Наприклад, тригранний кут куба займає одну восьму частину простору і, отже, його градусна величина дорівнює 360:8 = 45 о. Тригранний кут у правильній n-вугільної призми дорівнює половині двогранного кута при бічному ребрі. Враховуючи, що цей двогранний кут дорівнює, отримуємо, що тригранний кут призми дорівнює.

Вправа 1

Чи може бути тригранний кут із плоскими кутами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45 °, 45 °, 90 °; в) 30 °, 45 °, 60 °?

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповіді немає;

Вправа 2

Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючи у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр;

б) октаедр;

в) ікосаедр.

Вправа 3

Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. В яких межах знаходиться третій плоский кут?

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: 10 про

1. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть відстань між вершинами А та С2

Розглянемо прямокутний трикутник, за теоремою Піфагора

3. Знайдіть кут CAD2 багатогранника, зображеного на малюнку. Усі двогранні кути багатогранника прямі. Відповідь дайте у градусах.

Розглянемо трикутник CAD2 де AC = CD2 = AD2, тому що є діагоналями рівних квадратів. Отже, трикутник CAD2 - рівносторонній, тому всі його кути дорівнюють 60°.

4. Знайдіть кут багатогранника ABD, зображеного на малюнку. Усі двогранні кути багатогранника прямі. Відповідь дайте у градусах.

Зауважимо, що ABCD - квадрат зі стороною 2, а BD - його діагональ. Отже, трикутник ABD - прямокутний і рівнобедрений, AB=AD. Кут ABD дорівнює 45 °.

5. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть квадрат відстані між вершинами В2 та Д3.

6. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть квадрат відстані між вершинами А та С3.

7. Знайдіть кут EAD2 багатогранника, зображеного на малюнку. Усі двогранні кути багатогранника прямі. Відповідь дайте у градусах.

Вправа 5

У тригранному куті два плоскі кути дорівнюють по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: 6 0 про.

Вправа 6

Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA , OB , OC . Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC .

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: 9 0 про.

Вправа 7

Кожен плоский кут тригранного кута дорівнює 60 °. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: див.

Вправа 8

Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його граней.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що ділять двогранні кути навпіл.

Вправа 9

Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його ребер.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що проходять через бісектриси плоских кутів і перпендикулярних площин цих кутів.

Вправа 10

Знайдіть наближені значення тригранних кутів тетраедра.

Для двогранних кутів тетраедра маємо:

Звідки 70 про 30”.

Для тригранних кутів тетраедра маємо:

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: 15 про 45".

Вправа 11

Знайдіть наближені значення чотиригранних кутів октаедра.

Для двогранних кутів октаедра маємо:

Звідки 109 про 30”.

Для чотиригранних кутів октаедра маємо:

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: 38 про 56".

Вправа 12

Знайдіть наближені значення п'ятигранних кутів косоедра.

Для двогранних кутів ікосаедра маємо:

Звідки 138 про 11”.

Для п'ятигранних кутів ікосаедра маємо:

Відповідь: 75 про 28".

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Вправа 13

Знайдіть наближені значення тригранних кутів додекаедра.

Для двогранних кутів додекаедра маємо:

Звідки 116 про 3 4”.

Для тригранних кутів додекаедру маємо:

Відповідь: 84 про 51”.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Вправа 14

У правильній чотирикутній піраміді SABCDсторона основи дорівнює 2 см, висота 1 см. Знайдіть чотиригранний кут при вершині цієї піраміди.

Рішення: Вказані піраміди розбивають куб на шість рівних пірамід із вершинами у центрі куба. Отже, 4-х гранний кут при вершині піраміди становить одну шосту частину кута 360 про, тобто. дорівнює 60 о.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: 60 о.

Вправа 15

У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, кути при вершині 90 о. Знайдіть три гранний кут при вершині цієї піраміди.

Рішення: Вказані піраміди розбивають октаедр на вісім рівних пірамід з вершинами в центрі Oоктаедра. Отже, 3-х гранний кут при вершині піраміди становить одну восьму частину кута 360 про, тобто. дорівнює 45 о.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Відповідь: 45 о.

Вправа 16

У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, а висота Знайдіть трьох гранний кут при вершині цієї піраміди.

Рішення: Вказані піраміди розбивають правильний тетраедр на чотири рівні піраміди з вершинами в центрі Oтетраедра. Отже, 3-гранний кут при вершині піраміди становить одну четверту частину кута 360 про, тобто. дорівнює 90 о.

У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.

Слайд 1

Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається буквами SA1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах. Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 із загальною вершиною S, у яких сусідні кути не мають спільних точок, крім точок загального променя, а несусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, будемо називати багатогранною поверхнею.

Слайд 2

Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.

Слайд 3

ТРЕХГРАНІ КУТИ

Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. Розглянемо тригранний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності ASB ASC

Слайд 4

Властивість. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360°. Аналогічно для тригранних кутів з вершинами B і С мають місце нерівності: ABС

Слайд 5

ВИПУКЛІ МНОГОГРАНІ КУТИ

Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На рисунку наведені приклади опуклого і непуклого багатогранних кутів. Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менше 360°. Доказ аналогічний доведенню відповідної властивості для тригранного кута.

Слайд 6

Вертикальні багатогранні кути

На рисунках наведено приклади тригранних, чотиригранних та п'ятигранних вертикальних кутів Теорема. Вертикальні кути рівні.

Слайд 7

Вимірювання багатогранних кутів

Оскільки градусна величина розгорнутого двогранного кута вимірюється градусною величиною відповідного лінійного кута і дорівнює 180о, то вважатимемо, що градусна величина всього простору, що складається з двох розгорнутих двогранних кутів, дорівнює 360о. Величина багатогранного кута, виражена в градусах, показує, яку частину простору займає даний багатокутний кут. Наприклад, тригранний кут куба займає одну восьму частину простору і, отже, його градусна величина дорівнює 360о: 8 = 45о. Тригранний кут у правильній n-вугільній призмі дорівнює половині двогранного кута при бічному ребрі. Враховуючи, що цей двогранний кут дорівнює, отримуємо, що тригранний кут призми дорівнює.

Слайд 8

Вимірювання тригранних кутів*

Виведемо формулу, що виражає величину тригранного кута через його двогранні кути. Опишемо біля вершини Sтрехгранного кута одиничну сферу і позначимо точки перетину ребер тригранного кута з цією сферою A, B, C. Площини граней тригранного кута розбивають цю сферу на шість попарно рівних сферичних двокутників, що відповідають двогранним кутам даного тригранного. Сферичний трикутник ABC і симетричний йому сферичний трикутник A"B"C" є перетином трьох двокутників.

Слайд 9

Вимірювання багатогранних кутів*

Нехай SA1 ... An - опуклий n-гранний кут. Розбиваючи його на тригранні кути, проведенням діагоналей A1A3, …, A1An-1 та застосовуючи до них отриману формулу, матимемо:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Багатогранні кути можна вимірювати і числами. Дійсно, трьомстам шістдесяти градусів всього простору відповідає число 2? Переходячи від градусів до числа в отриманій формулі, матимемо: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Слайд 10

Вправа 1

Чи може бути тригранний кут із плоскими кутами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45 °, 45 °, 90 °; в) 30 °, 45 °, 60 °? Відповіді немає; б) ні; в) так.

Слайд 11

Вправа 2

Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючи у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути. Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр; б) октаедр; в) ікосаедр.

Слайд 12

Вправа 3

Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. В яких межах знаходиться третій плоский кут? Відповідь: 10о

Слайд 13

Вправа 4

Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45°, 45° та 60°. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів 45°. Відповідь: 90о.

Слайд 14

Вправа 5

У тригранному куті два плоскі кути дорівнюють по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут. Відповідь: 60о.

Слайд 15

Вправа 6

Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA, OB, OC. Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC. Відповідь: 90о.

Слайд 16

Вправа 7

Слайд 17

Вправа 8

Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його граней. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що ділять двогранні кути навпіл.

Слайд 18

Вправа 9

Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його ребер. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що проходять через бісектриси плоских кутів і перпендикулярних площин цих кутів.

Слайд 19

Вправа 10

Для двогранних кутів тетраедра маємо: , звідки 70о30". Для тригранних кутів тетраедра маємо: 15о45". Відповідь: 15о45". Знайдіть наближені значення тригранних кутів тетраедра.

Слайд 20

Вправа 11

Знайдіть наближені значення чотиригранних кутів октаедра. Для двогранних кутів октаедра маємо: , звідки 109о30". Для чотиригранних кутів октаедра маємо: 38о56". Відповідь: 38о56".

Слайд 21

Вправа 12

Знайдіть наближені значення п'ятигранних кутів косоедра. Для двогранних кутів ікосаедра маємо: , звідки 138о11". Для п'ятигранних кутів ікосаедра маємо: 75о28". Відповідь: 75о28".

Слайд 22

Вправа 13

Для двогранних кутів додекаедра маємо: , звідки 116о34". Для тригранних кутів додекаедра маємо: 84о51". Відповідь: 84о51". Знайдіть наближені значення тригранних кутів додекаедра.

Слайд 23

Вправа 14

У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи дорівнює 2 см, висота 1 см. Знайдіть чотиригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Зазначені піраміди розбивають куб на шість рівних пірамід з вершинами у центрі куба. Отже, 4-х гранний кут при вершині піраміди становить шосту частину кута в 360о, тобто. дорівнює 60о. Відповідь: 60о.

Слайд 24

Вправа 15

У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, кути при вершині 90о. Знайдіть тригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Зазначені піраміди розбивають октаедр на вісім рівних пірамід з вершинами в центрі O октаедра. Отже, 3-х гранний кут при вершині піраміди становить одну восьму частину кута 360о, тобто. дорівнює 45о. Відповідь: 45о.

Слайд 25

Вправа 16

У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, а висота Знайдіть тригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Зазначені піраміди розбивають правильний тетраедр на чотири рівні піраміди з вершинами в центрі Oтетраедра. Отже, 3-гранний кут при вершині піраміди становить одну четверту частину кута 360о, тобто. дорівнює 90о. Відповідь: 90о.

Переглянути всі слайди