Нині кожен вчитель математики ставить собі завдання як повідомити школярам певну суму знань, наповнити їх пам'ять деяким набором фактів і теорем, а й навчити учнів думати, розвинути їхню думку, творчу ініціативу, самостійність.
Вивченню функцій та його властивостей присвячена значна частина курсу алгебри. І це невипадково. Уміння, які купують школярі при вивченні функцій, мають прикладний і практичний характер. Вони широко використовуються щодо, як курсу математики, і інших шкільних предметів - фізики, хімії, географії, біології, знаходять широке застосування у практичної діяльності. Від того, як засвоєно учнями відповідні вміння, залежить успішність засвоєння багатьох розділів шкільного курсу математики. Аналіз теоретичного та задачного матеріалу дозволяє виділити дві групи умінь, за формуванням яких слід старанно стежити щодо всіх видів конкретних функцій,- вміння працювати з формулою, що задає функцію, і вміння працювати з графіком цієї функції. Найважливіше значенняу функціональній підготовці учнів – має формування графічних умінь.
Графік - це засіб наочності, що широко використовується при вивченні багатьох питань у школі. Графік функції виступає основним опорним чином для формування цілого ряду понять - зростання і зменшення функції, парності і непарності, оборотності функції, поняття екстремуму. Без чітких і свідомих уявлень учнів про графіку неможливе залучення геометричної наочності для формування таких центральних понять курсу алгебри і почав аналізу, як безперервність, похідна, інтеграл. У учнів мають бути вироблені міцні вміння як і побудові, і у читанні графіків функций.
Необхідною базою для подальшого застосування функціонального матеріалу є міцні самостійні вміння учнів у читанні графіків функцій. Вони повинні вміти впевнено та вільно відповідати за допомогою графіка на цілу низку питань:
- за заданим значенням однієї зі змінних х або у визначити значення іншої;
- визначати проміжки зростання та зменшення функції;
- визначати проміжки знаковості;
- вказувати значення аргументу, у якому функція приймає найбільше (найменше) значення, і навіть визначати це значення.
Учні повинні застосовувати графіки вивчених вище перерахованих функцій для графічного розв'язання рівнянь, систем рівнянь, нерівностей.
Сформувати міцні вміння у побудові та читанні графіків функцій, домогтися, щоб кожен учень міг виконувати основні види завдань самостійно, можна лише за умови виконання учнями достатньої кількості тренувальних вправ.
Даний матеріал дозволяє згадати графіки елементарних функцій шкільного курсу випускникам під час підготовки до іспитів або використовуватись при поясненні цієї теми. Наочно показано прийоми перетворення графіків.
Реалізація наступності у навчанні полягає у встановленні необхідних зв'язків та правильних співвідношень між частинами навчального предмета на різних щаблях його вивчення. Міцний фундамент для вивчення математики закладається в курсі алгебри та геометрії основної школи. Від того, які знання отримають учні в основній школі, які вміння та навички у них будуть вироблятися, залежить успіх вивчення курсу математики у старших класах, а отже, і свідоме застосування отриманих знань у вирішенні конкретних завдань. Це питання є складним педагогічним завданням, його вирішення, як показує досвід, необхідно розглядати і через вдосконалення всього процесу навчання, і через стабілізацію змісту курсу математики, і через орієнтацію викладання лінією прикладної спрямованості курсу математики, і, зокрема, через вдосконалення наступних зв'язків поетапного вивчення математики
Вивченню функцій та його властивостей присвячена значна частина курсу алгебри основний школи. І це невипадково. Поняття функції має велике прикладне значення. Багато фізичних, хімічних, біологічних процесів, без яких немислиме життя, є функціями часу. Економічні процеси також є функціональними залежностями. Функції відіграють важливу роль у програмуванні та криптографії, у проектуванні різних механізмів, у страхуванні, у розрахунках на міцність тощо.
У курсі алгебри та початку математичного аналізу у 10-11 класах передбачається подальше вивчення елементарних функцій та їх властивостей. Формування функціональних уявлень є основним стрижнем програми та навчальних посібників для цих класів.
Практичні роботи учнів з алгебри – різновид їхньої творчої діяльності. Вони дозволяють усвідомлено вивчити поняття і твердження, що вводяться, краще їх запам'ятати, включають у процес всі види пам'яті і сприяють підвищенню інтересу до предмета. на тему: "Перетворення графіків логарифмічної (зростаючої) функції".
Практична робота №1
Тема: Радіанний захід кута.
Цілі:
Ознайомитись з основними вимірами кута, поняттям радіана, основними формулами вираження кутів у градусах та радіанах;
Навчитися використовувати формули перетворення кутів у градусах і
радіанах.
Норма часу: 2 години
Обладнання:інструкційна карта
Хід роботи:
Як відомо, кути вимірюються у градусах, хвилинах, секундах. Ці виміри пов'язані між собою співвідношеннями
Крім зазначених, використовується також одиниця виміру кутів, звана радіаном.
Кутом в один радіан називають центральний кут, якому відповідає довжина дуги, що дорівнює довжині радіуса кола. Кут, що дорівнює 1 рад зображений на малюнку.
Радіанний захід кута, тобто. величина кута, виражена в радіанах, залежить від довжини радіуса. Це випливає з того, що фігури, обмежені кутом та дугою кола з центром у вершині цього кута, подібні між собою.
Встановимо зв'язок між радіанними та градусними вимірами кутів.
Куту, що дорівнює 180 0 відповідає півколо, тобто. дуга, довжина lякою дорівнює R: l=R.
Щоб знайти радіальний захід цього кута, треба довжину дуги l розділити на довжину радіуса R. Отримаємо:
Отже, радіальний захід кута 180 0 = радий.
Звідси отримуємо, що радіанна міра кута в 10 дорівнює:
Приблизно 1 0 дорівнює 0,017 рад.
З рівності 180 0 = радийтакож слід, що градусна міра кута в 1 рад дорівнює
1 радий=
Приблизно 1 рад дорівнює 57 0 .
2. Розгляньте приклади переходу від радіанної міри до градусної та від градусної міри до радіанної.
приклад 1.Виразіть у градусах 4,5 рад.
Рішення
Оскільки 1 радий=, то 4,5 радий= 4,5=258 0 .
приклад 2.Знайдіть радіанну міру кута 72 0 .
Рішення
Оскільки , то 72 0 =72 радий=радий 1,3 радий.
Зауваження. При записі радіанної міри кута позначення радийчасто опускають.
3. Виконайте завдання.
1) Виразіть у радіанній мірі кути 30 0 , 45 0 , 60 0 , 90 0 , 270 0 , 360 0 .
2) Заповніть таблицю:
3) Знайдіть градусний захід кута, радіальний захід якого дорівнює 0,5; 10; ;
; ; ; ; 12 .
4) Знайдіть радіальну міру кута, що дорівнює 135 0 , 210 0 , 36 0 , 150 0 , 240 0 , 300 0 ,
-120 0 , -225 0 .
5) Обчисліть:
Практична робота №2
Тема: Основні тригонометричні формули.
Цілі:
Ознайомитись з основними тригонометричними формулами;
Навчитися використовувати тригонометричні формули при спрощенні та перетворенні тригонометричних виразів, знаходженні значень тригонометричних функцій за однією з відомих.
Норма часу: 2 години
Обладнання:інструкційна карта, основні формули тригонометрії, довідковий матеріалпо тригонометрії.
Хід роботи:
1. Познайомтеся з основними формулами тригонометрії, згадайте знаки тригонометричних функцій за координатними чвертями
2. Використовуючи основні формули тригонометрії, спростіть такі вирази:
3. Використовуючи довідковий матеріал за тригонометрією та зразками рішення, знайдіть значення тригонометричних функцій за однією з відомих. Виконайте завдання за варіантами.
Варіант 1
Знайти: .
Знайти: .
Варіант 2
Знайти: .
Знайти: .
Практична робота №3
Тема: Застосування тригонометричних формул для перетворення виразів.
Цілі:
Виробляти навички використання тригонометричних формул при спрощенні та перетворенні тригонометричних виразів.
Норма часу: 2 години
Обладнання:інструкційна карта, довідковий матеріал із тригонометрії.
Хід роботи:
Використовуючи довідковий матеріал, виконайте завдання
1. Доведіть тотожність:
а);б)
2. Спростіть тригонометричні вирази:
3. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях значення виразу
не залежить від : а); б)
4. Перетворіть тригонометричні вирази:
б) в)
г) д) е)
5. Спростіть вирази:
г) д) е)
Довідковий матеріал
Основні формули
Додаткові формули
Практична робота №4
Тема: Формули приведення
Цілі:
Познайомитися з поняттям формул приведення, як правило,
за допомогою якого можна записати будь-яку формулу приведення
не вдаючись до таблиці;
Навчитися використовувати правило застосування формул приведення, наводячи вирази до тригонометричної функції кута.
Норма часу: 2 години
Обладнання:інструкційна карта, формули приведення, довідковий матеріал із тригонометрії.
Хід роботи:
1. Ознайомтеся з основними питаннями теми.
Тригонометричні функції кутів виду можуть бути виражені через функції кута за допомогою формул, які називають формулами наведення.
2. У таблиці наведено формули приведення для тригонометричних функцій.
| Функція (кут у º) | 90º - α | 90º + α | 180º - α | 180º + α | 270º - α | 270º + α | 360º - α | 360º + α |
| Функція (кут у рад.) | π/2 – α | π/2 + α | π – α | 3π/2 – α | 3π/2 + α | 2π - α | 2π + α |
Прослідкуйте за таблицею закономірності, що мають місце для формул приведення, запишіть їх у зошит:
Функція у правій частині рівності береться з тим самим знаком, який має вихідна функція, якщо вважати, що кут є кутом першої чверті;
Для кутів назва вихідної функції зберігається;
Для кутів назва вихідної функції замінюється (синус на косінус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
3. Розгляньте приклад щодо використання закономірностей для формул приведення:
Завдання:Виразити tg(-) через тригонометричну функцію кута.
Рішення:
Якщо вважати, що є кутом І чверті, то - буде кутом ІІ чверті, у другій чверті тангенс негативний, отже, у правій частині рівності слід поставити знак «мінус». Для кута назва вихідної функції «тангенс» зберігається. Тому tg(-)=-tg
3. Виконайте такі завдання:
1) Приведіть до тригонометричної функції кута від 0˚до 90˚:tg137˚,sin(-178˚),sin680˚,cos(-1000˚)
2) Знайдіть значення виразу: sin240˚,cos(-210˚),tg300˚,sin330˚,ctg225˚,sin315˚
Спростіть вираз:
4) Перетворіть вираз:
а)sin(90˚-α )+ cos(180˚+α )+ tg(270˚+α )+ ctg(360˚+α )
Вміння:
4. користуватися оцінкою та прикидкою при практичних розрахунках.
Норма часу: 6
Хід роботи.
1.1 Цілі та раціональні числа
1. 4064,5: 5,5 – 7,6 89,6
3. 82,8 0,54 – 7,54: 6,5
4. 25,3 5,3 – 556,272: 4,8
5. 32,6 15,6 – 7230,912: 5,2
6. 4976,748: 8,7 – 5,8 97,3
7. ,75
9. 
1.2 Справжні числа
Знайдіть значення виразу
1. a 3 - ba 2 при а = 6, b = 0,4
2. 3a 3 – 6ba 2 за а = -1, b = 0,8
3. x 2 + bx за х = -6, b = 0,4
4. ba 3 - b 2 a при а = 6, b = -4
5. при х = -5; у = 3
6. а 2 - ba 3 при а = 4, b = 0,4
7. при х = 4; у = 8
8. при х = 8; у = -3
1.3 Наближені обчислення
Округліть числа до сотень, одиниць, десятих, сотих, тисячних часток: 3620,80745; 208,4724; 82,30065; 0,03472
Форма звітності.Письмова робота.
Контрольні питання.
- Які числа називаються цілими?
- Які числа називаються натуральними?
- Які числа називаються раціональними?
- Які числа називаються ірраціональними?
- Які числа називаються дійсними?
- Які числа називають комплексними?
Література.
Оцінка результатів роботи.Вхідна контрольна робота
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 2
Тема:Тригонометричні вирази
Ціль:Навчиться виконувати перетворення тригонометричних виразів за допомогою основних формул.
Норма часу: 10
Навчально-методичне оснащення робочого місця:таблиці, роздатковий матеріал.
Хід роботи.
2. 1. Основні тригонометричні функції. Радіанний захід кута.
1. Обчисліть, використовуючи таблицю:
2. Визначте знак виразу:
- Виразіть у градусах:
2. Виразіть у радіанах;
135 0 ; 210 0 ; 36 0 ; 150 0 ; 240 0 ; 300 0 ; -120 0 ;
225 0 ;10 0 ;18 0 ; 54 0 ;200 0 ; 390 0 ;-45 0 ; -60 0
3. Обчисліть:
| а) 2 sin + tg; б) cos - sin ; в) cos π - 2 sin; г) 2 cos + tg π ; | д) sin 2 + sin 2; е) cos 2 - cos 2; ж) tg 2 sin tg 2; з) tg cos 2 sin; і) cos + sin 2. |
4. Знайдіть значення виразу:
| а) 2 sin π -2 cos + 3 tg-ctg; б) sin(-) + 3 cos - tg + ctg; в) 2 sin - 3 tg + ctg(- ) - tg π ; г) 2 tg(-) + 2 sin - 3 tg 0 - 2 ctg; д) 5 sin + 4 cos 0 – 3 sin + cos π ; е) sin(- π) -2 cos(- ) + 2 sin 2 π- tg π ; ж) 3 - sin 2 + 2 cos 2 - 5 tg 2; з) 3 sin 2 - 4tg 2 - 3 cos 2 + 3 ctg 2 |
Формули приведення
Замініть тригонометричною функцією кута
2.Знайде значення виразу
| а) sin 240 0 б) cos (-210 0) | в) tg 300 0 г) sin 330 0 | д) стg (-225 0) е) sin 315 0 |
3. Спростіть вираз
| а) sin(α - ) б) cos( α – π ) | в) ctg(α - 360 0) г) tg(-α + 270 0) |
4. Перетворіть вираз
а) sin 2 ( π +α); б) tg 2 (+?); в) cos 2 ( - α)
5. Спростіть вираз
а) sin(90 0 – α) + cos(180 0 + α) + tg(270 0 +α) + ctg(360 0 +α)
б) sin(+α) - cos( α – π ) + tg ( π - α) + ctg(-α)
в) sin 2 (180 0 - a) + sin 2 (270 0 - a)
г) sin( π - α) cos( α – ) - sin(α + ) cos( π –α)
д) 
е) 
ж) 
з) 
Формули додавання
1. За допомогою формул додавання перетворіть вирази
а) cos(; б) sin(; в) cos(; г) sin(;
д) cos(60 0 + α) е) sin(60 0 + α) ж) cos((30 0 - α) з) sin(30 0 - α)
2. Подайте 105 0 як суму 60 0 + 45 0 і знайдіть сos 105 0 , sin105 0
3. Уявіть 75 0 як суму 30 0 + 45 0 і знайдіть сos 75 0 , sin75 0
4. Знайдіть значення виразу
| а) cos107 0 cos17 0 + sin107 0 sin17 0 б) cos24 0 cos36 0 – sin24 0 sin36 0 в) cos18 0 cos63 0 + sin18 0 sin63 0 | г) sin63 0 cos27 0 + cos63 0 sin27 0 д) sin51 0 cos21 0 – cos51 0 sin21 0 е) sin32 0 cos58 0 + cos32 0 sin58 0 |
5. Спростіть вираз
| а) sin( - α) – cos α б) sinβ + cos(α - ) | в) cosα – 2cos(α - ) г) sin( + α) – cos α |
6. Доведіть, що
а) sin(α + β) + sin(α – β) = 2 sin α cos β
б) cos(α – β) + cos(α + β) = 2 sin α sin β
в) sin(α + β) · sin(α – β) = sin 2 α – sin 2 β
г) cos(α – β) · cos(α + β) = cos 2 α – cos 2 β
Формули подвійного кута.
Спростіть вираз
| а) б) | в) г) cos2α + sin 2 α | д) cos 2 α - cos2α е)  |
2. Скоротіть дріб
а Б В) 
г) 
3. Спростіть
а) б) 
в) 
г) sin 2 α + cos2α
4. Спростіть вираз
5. Обчисліть
| а) 2 sin15 0 cos15 0 б) 4 sin105 0 cos105 0 в) 2 sin cos | г) cos 2 15 0 – sin 2 15 0 д) 4cos 2 – 4sin 2 | е) cos 2 – sin 2 ж) 2 sin165 0 cos165 0 з) cos 2 75 0 – sin 2 75 0 |
6. Нехай sinα = та α кут другої чверті. Знайдіть cos2α; sin2α; tg2α
7. Нехай sinα = -0,6 та α кут третьої чверті. Знайдіть cos2α; sin2α; tg2α
8. Нехай cosα =-0,8 та α кут другої чверті. Знайдіть cos2α; sin2α; tg2α
9. Доведіть тотожність
2. 7. Перетворення тригонометричних виразів.
1. -tg 2 α - sin 2 α +
3. -ctg 2 α - cos 2 α +
5. tg 2 α + sin 2 α -
6. ctg 2 α + cos 2 α -
7. (sinα + cosα) 2 - sin2α
8. 
9. 
10. sin 4 α – cos 4 α + cos 2 α
11. (3 + sinα) (3 - sinα) + (3 + cos α) (3 - cos α)
13. 
14. (ctgα + tgα)(1 + cosα)(1 – cosα)
Форма звітності.Письмова робота. Самостійна роботау кожному розділі.
Контрольні питання.
1. Дайте визначення основних тригонометричних функцій
2. Запишіть формули, що пов'язують значення тригонометричних функцій одного аргументу
3. Як залежать знаки тригонометричних функцій, залежно від координатної чверті.
4. Значення тригонометричних функцій основних кутів.
5. Основне тригонометричне тотожність, зв'язок тангенсу та косинуса, зв'язок котангенсу та синусу, добуток тангенсу та котангенсу.
6. Формули приведення
7. Формули подвійного кута.
8. Формули суми та різниці тригонометричних виразів
9. Формули додавання.
Література.лекції,
https://www.akademia-moskow.ru/ підручник М.І.Башмаков «Математика» підручник, задачник.
Оцінка результатів роботи.
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 3
Тема:Тригонометричні функції та рівняння
Ціль:розгляд всіх різноманітних способів перетворення графіків функцій, навчитися вирішувати тригонометричні рівняння, використовуючи властивості зворотних тригонометричних функцій та формул розв'язання тригонометричних рівнянь.
Вміння:
|
7. розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння, їх системи, а також деякі види тригонометричних рівнянь (квадратні щодо однієї з тригонометричних функцій, однорідні рівняння першого та другого ступеня щодо соs х та sin х);
Норма часу: 9
Навчально-методичне оснащення робочого місця:таблиці, роздатковий матеріал, робочі папки.
Хід роботи.
1. Перетворення графіків тригонометричних функцій.
Побудуйте графік функції
a) y = -2sin (x + ) -1
b) y = 2sin (x + ) +1
c) y = 2cos (x + ) -1
d) y = -2cos (x + ) – 1
e) y = -2cos (x + ) -1
f) y = -2sin (x + ) -1
g) y = 2cos (x +) + 1
h) y = -2sin (x + ) +1
i) y = 2sin (x + ) -1
2. 
Парні та непарні функції. Періодичність.
Визначте парність функції
а) f(x) = x 2 + 3x + 1
в) f(x) = sin x
г) f(x) = 2x2 - 3x4
д) f(x) = 4x2 + x - 9
е) f(x) = x + 3x3
і) f(x) = sin x +3
3. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа
Обчисліть:
Знайдіть значення виразу:
1. аrcsin 0 + arccos 0
2. arcsin + arccos
3. arcsin(- ) +arccos
4. arcsin(-1) + arccos
5. arccos 0,5 + arcsin 0,5
6. arccos(-) – arcsin(-1)
7. arccos(-) + arcsin(-)
8. arccos - arcsin
9. 4 arccos(-) - arctg + arcsin
10. 2arccos - arcsin(- ) + 3arctg 1
11. 3arcsin + arccos - 2arcсtg 1
12. arcsin + 6 arccos(-) + 9arctg
13. -2 arccos(- ) - arcсtg + arcsin
14. arccos +arcsin + arctg
15. 
16. 
Порівняйте вирази
а) arcsin або arcsin 0,82
б) arccos(-) або arccos
4. Розв'язання тригонометричних рівнянь
Розв'яжіть рівняння:
1. sin x - 2 cos x = 0.
2. sin 2 x - 6 sin x cos x + 5 cos 2 x = 0.
3. cos 2 x + sin x · cos x = 1
4. sin 3x + sin x = sin 2x
5. cos2x + sinx cosx=1
6. 4 xin 2 x-cosx-1=0
7. 2 xin 2 x+3 cosx=0
8. 2cos2x − 3sinx=0
9. 2 sin 2 x + sinx – 1 = 0
10. 6sin 2 x + 5cosx - 2 = 0
Форма звітності.Письмова робота.
Контрольні питання.
1. Графіки яких тригонометричних функцій відбуваються через початок координат?
2. Які з тригонометричних функцій парні?
3. Як здійснити перенесення вздовж осі ОХ?
4. Як здійснити перенесення вздовж осі ОУ?
5. Що називається арксинусом числа а?
6. Які тригонометричні рівняння не мають розв'язків?
7. Перерахуйте окремі випадки рівняння .
8. Запишіть загальну формулу коренів рівняння.
Література.лекції,
інформаційно-пошукова система Інтернет
https://www.akademia-moskow.ru/ підручник М.І.Башмаков «Математика» підручник
Оцінка результатів роботи:Вибіркова оцінка. Контрольна роботапо темі
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 4
Хід роботи.
Паралельність у просторі
Розв'язання задач на взаємне розташуванняпрямих та площин.
Відповісти на запитання та виконати малюнок.
1. Прямі m і n лежать у одній площині. Чи можуть ці прямі перетинатися, бути паралельними, чи вони можуть схрещуватися?
2. Прямі b та c перетинаються. Як розташована пряма b щодо прямої d, якщо c||d?
3. Дані схрещуються прямі c та d. Як може бути розташована пряма відносно m, якщо m d?
4. Прямі b та d перетинаються. Як розташована пряма b щодо с, якщо c та d перетинаються?
5. Дані прямі m і n, що схрещуються. Як може бути розташована пряма m щодо прямої c, якщо c та n перетинаються?
ІІ. Виконати малюнок та заповнити таблицю.
АВСДА 1 В 1 З 1 Д 1 – куб. точки L,N,T – середини ребер В 1 З 1 З 1 Д 1 і ДД 1. К - точка перетину діагоналей грані АА 1 ВВ 1 . Заповніть таблицю розташування прямих:
Перетинаються;
II - паралельні;
Схрещуються
У тетраедрі АВСД побудуйте перетин, що проходить через точку М, що лежить на ребері АВ і паралельно прямим АС та ВД
Перпендикулярність у просторі
Розв'язання задач на перпендикулярність прямої та площини
1. Відповісти на контрольні питання:
1). Записати визначення перпендикулярності прямої та площини (з малюнком).
2). Записати ознаку перпендикулярності прямої та площини (з малюнком).
3). Записати теорему про 3 перпендикуляри (з малюнком).
4). Записати визначення перпендикулярності площин.
Завдання №2.
1 варіант
1. Крапки К,Е, і лежать на прямій, перпендикулярній до площини α, а точки О, В, А і М лежать у площині α. Які з наступних кутів є прямими: ∠ВОЕ, ∠ЕКА та ∠КВЕ.
3. У тетраедрі DАВС ребро AD⊥ΔABC. ΔABC - прямокутний, ∠С=90°. Побудувати (знайти) лінійний кут двогранного кута∠DВСА.
4. Відрізок ВМ⊥ до площини прямокутника АВСD. Визначити вид ΔDMC.
5. Пряма BD перпендикулярна до площини ΔАВС. Відомо, що BD=9 см, АС=10 см, ВС=ВА=13 см. Знайдіть відстань від точки D до прямої АС.
2 варіант
1. Точки К,Е, та О лежать на прямій, перпендикулярній до площини α, а точки О, В, А та М лежать у площині α. Які з наступних кутів є прямими: ∠МОК, ∠ОКВ та ∠АОЕ.
2. Знайдіть діагональ прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють .
3. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено діагоналі В 1 D та В 1 С. Побудувати (знайти) лінійний кут двогранного кута∠В 1 DCB.
4. Відрізок CD⊥ до площини прямокутного ΔАВС, де ∠В=90°. Визначити вид ΔАВD.
5. Пряма SA перпендикулярна площині прямокутника АВСD. Відомо, що SC=5 см, AD=2 см, а сторона АВ у 2 рази більша за AD. Знайдіть відстань від точки S до прямої DC.
Форма звітності.Письмова робота
Контрольні питання.
1. Які прямі у просторі називаються паралельними?
2. Сформулюйте ознаку паралельності прямих.
3. Що означає: пряма та площина паралельні?
4. Сформулюйте ознаку паралельності прямої та площини.
5. Які площини називаються паралельними?
6. Сформулюйте ознаку паралельності площин.
7. Перерахуйте властивості паралельного проектування.
8. Властивості паралельних площин.
9. Які прямі у просторі називаються перпендикулярними?
10. Що таке перпендикуляр, опущений із цієї точки на площину?
11. Що називають відстанню від точки до площини?
12. Що таке похила, проведена з цієї точки до площини? Що таке проекція похилої?
13. Сформулювати теорему про три перпендикуляри.
Література.лекції,
інформаційно-пошукова система Інтернет
https://www.akademia-moskow.ru/ підручник М.І.Башмаков «Математика» підручник
Оцінка результатів роботи:Вибіркова оцінка. Контрольна робота на тему
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 5
Тема:Корінь. Ступінь. Логарифм.
Ціль:навчитися виконувати перетворення ірраціональних, статечних, логарифмічних виразів; вирішувати найпростіші ірраціональні, показові та логарифмічні рівняння, системи рівнянь, нерівності.
Знання:
- нові терміни математичної мови: ступінь з раціональним показником, статечна функція, ірраціональний вираз;
- властивості статечної функції, її графік.
- нові терміни математичної мови: показова функція;
- основні властивості та графіки логарифмічної та показової функцій;
- формули, пов'язані з поняттям логарифму, показовою та логарифмічною функцій.
Вміння
5. будувати графіки показової та логарифмічної функцій з даною підставою; 6. описувати за графіком та у найпростіших випадках за формулою поведінку та властивості показової та логарифмічної функцій; ; ;2. ; ; ; ; ; ; ; ; ; Розв'яжіть рівняння |
Покропаєва О.Б.
учитель математики
ДБОУ ЗОШ №47 м. Санкт-Петербург
Завдання для усної роботи на тему
«Тригонометричні функції»
Однією з основних особливостей здійснюваного нині перетворення шкільної системи освіти є його націленість на всебічний розвитокособи кожного учня. А це вимагає докорінного оновлення колишніх форм, методів, засобів навчання, характерних для уроків, головною метою яких є навчити школярів ще одному способу вирішення якогось типу завдань або ознайомити їх із ще одним, ніяк "не пов'язаним" з усіма попередніми, новим поняттям .
Головною метою шкільної математичної освіти має бути розвиток не шаблонної, а логічної, творчого мисленняучнів. А основним засобом досягнення цієї мети є завдання. Власне, одне з основних призначень завдань та вправ і полягає у тому, щоб активізувати розумову діяльність учнів на уроці. Математичні задачіповинні перш за все будити думку учнів, змушувати її працювати, розвиватися, вдосконалюватись.
Саме тому метою справжньої роботи було створення системи усних завдань вивчення теми " Тригонометричні функції " , які б задовольняли всім вищевказаним вимогам.
У підручнику "Алгебра-10 (Алімова Ш.А.) більша кількістьзадач орієнтовано на обчислювальну діяльність для відповіді, тоді як задачі з елементами дослідження та завдання на засвоєння математичних понятьпредставлені у недостатній кількості. У зв'язку з цим мноюбула розроблена система усних завдань, що доповнюють завдання підручника, за найбільш змістовно багатими розділами теми "Тригонометричні функції", яка представлена в роботі. До кожного завдання системи наводяться методичні коментарі (у яких навчальних ситуаціях його доцільно використовувати, зокрема, враховуючи профільну диференціацію).
Завдання для усної роботи та методичні коментарі до них
Одним із засобів, що сприяють кращому засвоєнню математики, є усні завдання (не плутати з усним рахунком). З їхньою допомогою учні чіткіше розуміють сутність математичних понять, теорем, математичних перетворень.
Усні завдання активізують розумову діяльність учнів, розвивають увагу, спостережливість, пам'ять, мова, швидкість реакції, підвищують інтерес до матеріалу, що вивчається. Вони дають можливість вивчити великий за обсягом матеріал за короткий проміжок часу, дозволяють вчителю судити про готовність класу до вивчення нового матеріалу, про його засвоєння, допомагають виявляти помилки учнів.
Усні вправи, що проводяться на початку уроку, допомагають учням швидко включатися в роботу, в середині або кінці уроку служать своєрідною розрядкою після напруги і втоми, викликаної письмовою або практичною роботою. У ході виконання цих завдань учні частіше, ніж інших етапах уроку отримують можливість усно відповідати, що, своєю чергою, сприяє формуванню їх грамотної математичної промови. При цьому вони одразу перевіряють правильність своєї відповіді. На відміну від письмових завдань зміст усних такий, що вирішення їх вимагає великої кількості міркувань, перетворень, громіздких обчислень. Але тим часом вони відображають важливі елементикурсу.
При організації усних фронтальних вправ з метою економії часу на уроці доцільно використовувати проектор або іншу мультимедійну техніку.
Тут буде представлена система усних завдань, що доповнюють завдання підручника, з найбільш змістовно багатих розділів теми "Тригонометричні функції". До них можна віднести:
1. Поворот точки навколо початку координат.
2. Визначення синуса, косинуса та тангенсу.
3. Формули наведення.
4. Найпростіші тригонометричні рівняннята нерівності.
6. Перетворення графіків тригонометричних функцій.
7. Зворотні тригонометричні функції.
8. Похідні тригонометричних функцій
Ця система включає:
Якісні питання;
Завдання.
Перші можуть бути використані не тільки для передньої усної роботи, але і для самостійної індивідуальної та групової роботи.
Завдання, що пропонуються, можуть бути використані вчителем і при підготовці до вивчення нового матеріалу, і при первинному ознайомленні, закріпленні, і при ліквідації прогалин у знаннях учнів.
При побудові завдань системи часто використовувалися обернені задачі, коли за рішенням необхідно уявити об'єкт. Наприклад, за рішенням рівняння сформулювати саме рівняння. Такі завдання сприятимуть кращому усвідомленню учнями понять, що розглядаються.
Крім того, у багатьох завданнях використовуються наочні образи, що також дає можливість сприймати об'єкт, що вивчається, як цілісне явище і як сукупність його властивостей. Це теж має сприяти кращому усвідомленню понять, властивостей, явищ, що вивчаються.
Завдання, що становлять систему, відповідають різному рівню складності. Складність завдання вказується великими латинськими літерами А, В або С. Відповідно завдання з індексом має високий рівеньскладності.
Завдання у системі представлені відповідно до виділених раніше розділів. І завдання кожного розділу наводяться методичні коментарі (у яких навчальних ситуаціях їх доцільно використовувати, зокрема, враховуючи профільну диференціацію).
1. Поворот точки навколо початку координат
Якісні питання:
1. На яке питання слід дати ствердну відповідь:
А) Чи може величина АОВ дорівнювати 2 радіан?
Б) Чи може величина дуги АВ дорівнювати 0 радіан?
В) Чи вірно, що R 11 π = R -10 π?
Г) Чи вірно, що R 9 π = R -7 π?
2. Яке з висловлювань хибне:
А) Якщо t 2 = t 1 + π , то ординати точок P t2 та P t1 - Протилежні числа.
Б) Якщо t 2 = t 1 + π , то абсциси точок P t2 та P t1 - Протилежні числа.
В) Якщо t 1 = π-α, t 2 = π+α де α , то ординати точок P t1 та P t2 - Протилежні числа.
Г) Якщо точки P t1 та P t2 збігаються, то числа t 1 та t 2 рівні.
Усні завдання:
3. Визначте координати точок одиничного кола:
А) Р 90; б) Р 180; в) Р 270; г) Р -90; д) Р -180; е) Р-270.
4. Нехай А(1;0), В(0;1), С(-1;0), Д(0;-1). Яка з даних точок отримана поворотом точки (1; 0) на кут:
А) 450 o; б) 540 o; в) -720 o?
Коментарі:
Завдання 3 та 4 (складності А)носять тренувальний характері і можуть бути запропоновані учням відразу після вивчення цієї теми. Крім того, завдання 3 може бути використане при підготовці до вивчення теми "Визначення синуса, косинуса та тангенсу" на початку уроку (якщо визначення вводяться за допомогою одиничного кола).
Питання 1 і 2 - складності З - тому їх недоцільно виносити на усну фронтальну роботу у загальноосвітньому класі. Але їх можна використовувати як додаткових питаньна узагальнюючому уроці теми "Елементи тригонометрії". Однак у математичному класі такі питання можна використовувати під час фронтальної роботи з учнями відразу після вивчення теми.
2. Визначення синуса, косинуса та тангенсу
Якісні питання:
1. Чи може синус кута дорівнювати:
А) -3,7; б) 3,7; в) ; г)
?
2. Чи може косинус кута дорівнювати:
А) 0,75; б) ; в) -0,35; г)
?
3. При яких значенняха і b справедливі такі рівності:
Cos sin
tg
Sin ctg
cos
?
4. Чи можливі рівність:
2 - sin =1,7 tg
?
Усні завдання:
5. Дивлячись на малюнок, визначте літеру, якій відповідає:
А) sin 220 o
Cos
б) cos 80 o sin80 o
Cos (-280 o ) sin800 o
Cos 380 o sin (-340 o )
Коментарі:
Завдання 1-5 (складностівідповідно А, А, С, В, В) доцільно пропонувати учням відразу після запровадження визначень основних тригонометричних функцій на одиничному колі. Завдання 3 може викликати труднощі у учнів загальноосвітнього класу у зв'язку з тим, що треба оперувати параметрамиа і b, тому його не варто виносити на усну фронтальну роботу, але можна, розібравши один приклад на дошці, включити вказане завдання письмову роботуна уроці.
Методична цінність завдання 5 ,а полягає у множинному виборі правильної відповіді. Завдання 5 ,б, крім зазначеної теми, може бути використане для підготовки до вивчення теми "Формули приведення":
cos 80 o = cos(80 o -2 π ) = cos(-280 o )
sin 80 o = sin(80 o +4 π ) = sin 800 o
У зв'язку з наочністю та доступністю завдання 5 його можна використовувати під час роботи з гуманітарним класом.
3. Формули приведення
Усні завдання:
1. Знайдіть α якщо 0 o α o та
А) sin 182 o = - sin α; б) cos 295 o = cos α.
2. Знайдіть кілька значеньα якщо:
а) sin = sin 20 o ; б) cos α = - cos 50 o; в) tg = tg 70 o .
Коментарі:
Завдання, що пропонуються (складності В) передбачають використання формул приведення у нестандартній ситуації. У зв'язку з цим зазначені завдання можуть бути запропоновані учням на етапі закріплення даної теми. Крім того,їх можна використовувати щодо теми«Періодичність». Для гуманітарного класу завдання 1,2 можна спростити, використовуючи одиничне коло:
Аналогічно 1 а). Аналогічно 2, б), в).
4. Найпростіші тригонометричні рівняння та нерівності
Усні завдання:
1.1. Назвіть хоча б одне рівняння, розв'язком якого є:
А) π n, n ; в)
; д) π +2 π n, n
Б) 2 π n, n ; г)
;
1.2. Розв'язання яких тригонометричних рівнянь зображено на таких схемах:
2. Чи є числоπ коренем рівняння:
А) ; б)
?
3. Запишіть за допомогою нерівностей безліч усіх точок x , що лежать на дузі:
А) BmC; в) BCD;
Б) CnD; г) CDA.
4. Вирішення яких тригонометричних нерівностей зображені на наступних схемах:
Коментарі:
Завдання 1.1, 1.2 ( складності А) носять репродуктивний характері і можуть бути використані для контролю знань учнів після вивчення теми "Найпростіші тригонометричні рівняння". Для гуманітарного класу доцільніше використовувати завдання 1.2 через його наочність. Завдання 1.2 є оберненим до завдань типу: "Розв'язати рівняння: sin x = -1 , що є у підручниках. Воно формує в учнів вміння читати подібні схеми та розкриває сенс тригонометричних рівнянь на одиничному колі.
Завдання 2 (складності В) можна використовувати при первинному закріпленні зазначеної теми в математичному класі або на узагальнюючому уроці у загальноосвітньому (чи гуманітарному) класі.
Завдання 3 (складності А) можна запропонувати учням на початку уроку, безпосередньо перед вивченням теми «Найпростіші тригонометричні нерівності».
Завдання 4 (складності) є зворотним до завдань типу: «Вирішити нерівність: sinx ≤ 0,5», що є в підручниках, воно формує у учнів вміння читати подібні схеми і розкриває сенс тригонометричних нерівностей на одиничному колі. З таких завдань можна розпочинати вивчення теми «Тригонометричні нерівності» як у гуманітарному, так і в математичному класах.
5. Дослідження трігонометричних функцій.
5.1. Періодичність.
Якісні питання:
- Чи може цей проміжок (або об'єднання проміжків) бути областю визначення періодичної функції:
а) (- ; в)
; д)
?
б) ; г)
;
2. Чи правильне твердження:
а) періодична функція може мати кінцеве число періодів;
б) якщо число Т – період функції f(x), то число 2Т також період цієї функції;
в) якщо Т1 і Т2 – періоди функції f(x), то число Т1 + Т2 також період цієї функції?
Вкажіть хибне висловлювання:
а) зростаюча функція може бути періодичною;
б) спадна функція не може бути періодичною;
в) періодична функція має безліч коренів;
г) у періодичної функції може бути кінцевого безлічі коренів.
Усні завдання:
4. Яка з функцій не є періодичною:
а) в)
д)
;
б) ; г)
; е)
?
5. Яка функція має найменший позитивний період більше 2π :
а)
б)
в)
г) ?
6. Визначте період функції, графік якої зображений на малюнку:
Коментарі:
Питання 1-3 (складності З) може бути запропоновані учням математичного класу відразу після запровадження поняття періодичної функції. Вчитель з допомогою може з'ясувати ступінь усвідомлення учнями даного поняття.
Завдання 4 (складності В) має узагальнюючий характер і тому може бути запропоновано учням звичайного класу на узагальнюючому уроці теми «Періодичність тригонометричних функцій».
Завдання 5 (складності З) може бути використане для усної передньої роботи тільки в математичному класі. У загальноосвітньому класі це завдання слід винести на письмову роботу.
Завдання 6 (складності А) призначене учнів гуманітарного класу. Воно носить тренувальний характер і може бути запропоновано учням відразу після вивчення цієї теми.
5.2. парність
Якісні питання:
- Яке висловлювання хибне:
а) сума двох парних на R функцій є функція парна;
б) різницю двох парних на R функцій є функція парна;
в) добуток двох парних на R функцій є функція парна;
г) будь-яка функція або парна, або непарна.
Усні завдання:
- Вкажіть графік непарної функції:
- Яка із зазначених функцій є непарною:
;
;
;
?