Способи розв'язання систем нерівностей із параметрами. Навчальний посібник "Рівняння і нерівності з параметрами". §4. Ірраціональні рівняння та нерівності

На цьому уроці ми вивчимо алгоритм розв'язання нерівностей із параметрами та навчимося застосовувати його при вирішенні такого типу завдань.

Визначення перше.

Вирішити нерівність з параметром — це означає для кожного значення параметра знайти безліч всіх рішень даної нерівності або довести, що рішень немає.

Розглянемо лінійні нерівності.

Визначення друге.

Нерівності виду а ікс плюс бе більше нуля, більше або дорівнює нулю, менше нуля, менше або дорівнює нулю, де aі бе - дійсні числа, ікс- Змінна, називаються нерівностями першого ступеня (лінійними нерівностями).

Алгоритм розв'язання лінійної нерівності з параметром, наприклад, нерівності а ікс плюс бе більше нуля, де aі бе - дійсні числа, ікс- Змінна. Розглянемо такі випадки:

Перший випадок:aбільше нуля, тоді ікс більше мінус бе ділене на а.

Отже, безліч розв'язків нерівності є відкритий числовий промінь від мінус бе ділене на а до плюс нескінченності.

Другий випадок:aменше нуля, тоді ікс менше мінус бе ділене на а

і, отже, безліч розв'язків нерівності є відкритий числовий промінь від мінус нескінченності до мінус бе ділене на а.

Третій випадок: aі нулю, тоді нерівність набуде вигляду: нуль помножене на ікс плюс б більше нуля і для бебольшенуля будь-яке дійсне число є розв'язання нерівності, а при беменшому або рівним нулюнерівність немає рішень.

Інші нерівності вирішуються аналогічно.

Розглянемо приклади.

Завдання 1

Вирішити нерівність а іксменше або дорівнює одиниці.

Рішення

Залежно від знаку aрозглянемо три випадки.

Перший випадок: якщо aбільше нуля, то ікс менше або одно ділене на а;

Другий випадок: якщо aменше нуля, то ікс більше або одно ділене на а;

Третій випадок: якщо aодно нулю, то нерівність набуде вигляду: нуль помножене на ікс менше, або одно одиниці і, отже, будь-яке дійсне число є рішенням вихідної нерівності.

Таким чином, якщо абільше нуля, то ікс належить променю від мінус нескінченності до одиниці, поділеної на а.

Якщо a aодно нулю,

то x

Відповідь: якщо абільше за нуль, то ікс належить променю від мінус нескінченності до одиниці, поділеної на а;

якщо aменше нуля, то ікс належить променю від одиниці, поділеної на а, до плюс нескінченності, і якщо aодно нулю,

то xікс належить безлічі дійсних чисел.

Завдання 2

Розв'язати нерівність модуль ікс мінус два більше мінус квадрата різниці а та одиниці.

Рішення

Зауважимо, що модуль ікс мінус два більше або дорівнює нулю для кожного дійсного іксі мінус квадрат різниці а і одиниці менше або дорівнює нулю для будь-якого значення параметра a. Отже, якщо aодно одиниці, то будь-яке ікс— дійсне число, відмінне від двох, є рішенням нерівності, і якщо aне одно одному, будь-яке дійсне число є рішенням нерівності.

Відповідь: якщо aодно одному, то ікс належить об'єднанню двох відкритих числових променів від мінус нескінченності до двох і від двох до плюс нескінченності,

а якщо aналежить об'єднанню двох відкритих числових променів від мінус нескінченності до одиниці та від одного до плюс нескінченності, то іксналежить безлічі дійсних чисел.

Завдання 3

Вирішити нерівність три помножене на різницю чотирьох а і ікс менше двох а ікс плюс три.

Рішення

Після елементарних перетворень даної нерівності, отримаємо нерівність: ікс помножене на суму двох а і трьох більше трьох помножене на різницю чотирьох а та одного.

Перший випадок: якщо два а плюс три більше за нуль, тобто aбільше мінус трьох других, то ікс більше дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох а та одиниці, а знаменник — два а плюс три.

Другий випадок: якщо два а плюс три менше за нуль, тобто aменше мінус трьох других, то ікс менше дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох і одного, а знаменник два а плюс три.

Третій випадок: якщо два а плюс три дорівнює нулю, тобто aодно мінус три других,

будь-яке дійсне число є рішенням вихідної нерівності.

Отже, якщо належить критому числовому променю від мінус трьох других до плюс нескінченності, то ікс

належить відкритого числового променя від дробу, чисельник якого - три помножене на різницю чотирьох а і одного, а знаменник - два а плюс три, до плюс нескінченності.

Якщо а належить відкритому числовому променю від мінус нескінченності до мінус трьох других, то ікс належить відкритому числовому променю від мінус нескінченності до дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох а та одиниці, а знаменник — два а плюс три;

якщо aі мінус трьом других, то іксналежить безлічі дійсних чисел.

Відповідь: якщо а належить відкритому числовому променю від мінус трьох других до плюс нескінченності, то ікс

належить відкритому числовому променю від дробу, чисельник якого - три помножене на різницю чотирьох а та одиниці, а знаменник - два а плюс три до плюс нескінченності;

якщо а належить відкритого числового променя від мінус нескінченності до мінус трьох других, то ікс належить відкритого числового променя від мінус нескінченності до дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох а та одиниці, а знаменник два а плюс три;

якщо aі мінус трьом других, то іксналежить безлічі дійсних чисел.

Завдання 4

Для всіх допустимих значень параметра авирішити нерівність квадратний коріньз ікс мінус а плюс квадратний корінь із двох а мінус ікс плюс квадратний корінь із а мінус один плюс квадратний корінь із трьох мінус а більше нуля.

Рішення

Знайдемо область визначення параметра а. Вона визначається системою нерівностей, вирішивши яку знаходимо, що належить відрізку від однієї до трьох.

Ця нерівність дорівнює системі нерівностей, вирішуючи яку знаходимо, що ікс належить відрізку від а до двох а.

Якщо належить відрізку від одиниці до трьох, то рішенням вихідної нерівності є відрізок від а до двох а.

Відповідь: якщо а належить відрізку від одного до трьох, тоікс належить відрізку від а до двох а.

Завдання 5

Знайти все а, за яких нерівність

квадратний корінь із ікс у квадраті мінус ікс мінус два плюс квадратний корінь із дробу, чисельник якого — два мінус ікс, а знаменник — ікс плюс чотири більше або одно а ікс плюс два мінус квадратний корінь із дробу, чисельник якого — ікс плюс один, а знаменник – п'ять мінус ікс не має рішення.

Рішення

Перше. Обчислимо область визначення даної нерівності. Вона визначається системою нерівностей, розв'язанням якої є два числа: ікс дорівнює мінус одиниці та ікс дорівнює двом.

Друге. Знайдемо всі значення а, у яких ця нерівність має розв'язання. Для цього знайдемо все а, При яких ікс дорівнює мінус одиниці та ікс дорівнює двом - це вирішення даної нерівності. Розглянемо та вирішимо сукупність двох систем. Рішенням є об'єднання двох числових променів від мінус нескінченності до мінус однієї другої, та від одиниці до плюс нескінченності.

Значить, ця нерівність має рішення, якщо належить об'єднанню двох числових променів від мінус

нескінченності до мінус однієї другої, і від одиниці до плюс нескінченності.

Третє. Отже, ця нерівність не має рішення, якщо належить інтервалу від мінус однієї другої до одиниці.

Відповідь: нерівність немає рішення, якщо належить інтервалу від мінус однієї другої до одиниці.

Вирішення нерівностей з параметром.

Нерівності, що мають вигляд ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются лінійними нерівностями.

Принципи розв'язання лінійних нерівностей з параметром дуже схожі з принципами розв'язання лінійних рівняньіз параметром.

приклад 1.

Розв'язати нерівність 5х - a> ax + 3.

Рішення.

Для початку перетворимо вихідну нерівність:

5х – ах > a + 3, винесемо за дужки х у лівій частині нерівності:

(5 – а)х > a + 3. Тепер розглянемо можливі випадки параметра а:

Якщо a> 5, то x< (а + 3) / (5 – а).

Якщо а = 5, то розв'язків немає.

Якщо а< 5, то x >(а + 3) / (5 – а).

Дане рішення і буде відповідати нерівності.

приклад 2.

Розв'язати нерівність х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а за а ≠ 1.

Рішення.

Перетворимо вихідну нерівність:

х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножимо на (-1) обидві частини нерівності, отримаємо:

ах/(а – 1) ≥ а/3. Досліджуємо можливі випадки для параметра:

1 випадок. Нехай a/(а – 1) > 0 або € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тоді x ≥ (а – 1)/3.

2 випадок. Нехай a/(а – 1) = 0, тобто. а = 0. Тоді x – будь-яке дійсне число.

3 випадок. Нехай a/(а – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Відповідь: х € [(а - 1) / 3; +∞) за а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а - 1) / 3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.

Приклад 3.

Розв'язати нерівність |1 + х| ≤ аx щодо х.

Рішення.

З умови випливає, що права частина нерівності ах має бути негативною, тобто. ах ≥ 0. За правилом розкриття модуля з нерівності |1 + x| ≤ аx маємо подвійну нерівність

Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишемо результат у вигляді системи:

(Аx ≥ 1 + x;
(-ах ≤ 1+x.

Перетворимо до виду:

((а – 1)x ≥ 1;
((а + 1) х -1.

Досліджуємо отриману систему на інтервалах та в точках (Рис. 1):

При а ≤ -1 x € (-∞; 1/(а – 1)].

При -1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

За а = 0 x = -1.

При 0< а ≤ 1 решений нет.

Графічний метод розв'язання нерівностей

Побудова графіків значно полегшує розв'язання рівнянь, що містять параметр. Використання графічного методу під час вирішення нерівностей з параметром ще наочніше і доцільніше.

Графічне вирішення нерівностей виду f(x) ≥ g(x) означає знаходження значень змінної х, у яких графік функції f(x) лежить вище за графік функції g(x). Для цього завжди необхідно знайти точки перетину графіків (якщо вони є).

приклад 1.

Вирішити нерівність | x + 5 |< bx.

Рішення.

Будуємо графіки функцій у = | x + 5 | і у = bx (Рис. 2). Рішенням нерівності будуть значення змінної х, у яких графік функції у = |x + 5| буде перебувати нижче графіка функції у = bx.

На малюнку видно:

1) За b > 1 прямі перетинаються. Абсцис точки перетину графіків цих функцій є рішення рівняння х + 5 = bx, звідки х = 5/(b – 1). Графік у = bx перебуває вище при х з інтервалу (5/(b – 1); +∞), отже це безліч і є розв'язання нерівності.

2) Аналогічно знаходимо, що за -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) При 0 ≤ b ≤ 1 графіки не перетинаються, а значить, і розв'язків у нерівності немає.

Відповідь: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1< b < 0;
рішень немає за 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) за b > 1.

приклад 2.

Розв'язати нерівність а(а+1)х > (a+1)(a+4).

Рішення.

1) Знайдемо «контрольні» значення параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.

2) Вирішимо цю нерівність на кожному підмножині дійсних чисел: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; + ∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, тоді ця нерівність набуде вигляду 0·х > 0 – рішень немає;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, тоді ця нерівність має вигляд 0 · х > 4 – рішень немає;

e) a > 0, з цієї нерівності випливає, що х > (a + 4)/a.

Приклад 3.

Вирішити нерівність | 2 - | x | |< a – x.

Рішення.

Будуємо графік функції у = | 2 - | x | | (Рис. 3)і розглядаємо всі можливі випадки розташування прямої у = -x + а.

Відповідь: розв'язків у нерівності немає при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) за a > 2.

При розв'язанні різних завдань, рівнянь і нерівностей з параметрами відкривається значне число евристичних прийомів, які потім успішно можуть бути застосовані у будь-яких інших розділах математики.

Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мисленнята математичної культури. Саме тому, опанувавши методи вирішення задач з параметрами, ви успішно впораєтеся і з іншими завданнями.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати нерівності?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Тип завдання: 18

Умова

При яких значеннях параметра a нерівність

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1виконується за всіх значень x ?

Показати рішення

Рішення

Ця нерівність рівносильна подвійній нерівності 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

Нехай \sin x=t тоді отримаємо нерівність:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , яке має виконуватися за всіх значень -1 \leq t \leq 1 . Якщо a = 0, то нерівність (*) виконується для будь-якого t\in [-1; 1].

Нехай a\neq 0 . Функція f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t зростає на проміжку [-1;1] , оскільки похідна f"(t)=3t^(2)+4at +5a^(2) > 0 при всіх значеннях t \in \mathbb(R) та a \neq 0 (дискримінант D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Нерівність (*) виконуватиметься для t \in [-1;1] за умов

\begin(cases) f(-1) > -4, \f(1) \leq 1, \a aneq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5) \leq a< 0 .

Отже, умова виконується за -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

Відповідь

\left [-\frac(2)(5); 0 \right ]

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2016. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 18
Тема: Нерівності з параметром

Умова

Знайдіть усі значення параметра a, при кожному з яких нерівність

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

має єдине рішення.

Показати рішення

Рішення

Нерівність рівносильна сукупності систем нерівностей

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(array)\right.

У системі координат Oxa побудуємо графіки функцій a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Отриманої сукупності задовольняють точки, укладені між графіками функцій a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2xна проміжку x\in (заштрихована область).

За графіком визначаємо: вихідна нерівність має єдине рішення при a = -4 і a = 5, так як у заштрихованій області буде єдина точка з ординатою a, що дорівнює -4 і дорівнює 5.

Курсова робота

Виконавець: Бугров З К.

Вивчення багатьох фізичних процесів та геометричних закономірностей часто призводить до вирішення задач з параметрами. Деякі ВНЗ також включають до екзаменаційних квитків рівняння, нерівності та їх системи, які часто бувають дуже складними і потребують нестандартного підходу до вирішення. У школі цей один із найважчих розділів шкільного курсу математики розглядається тільки на нечисленних факультативних заняттях.

Готуючи цю роботу, я ставив за мету глибшого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, що швидко приводить до відповіді. На мій погляд графічний метод є зручним та швидким способом розв'язання рівнянь та нерівностей із параметрами.

У моєму рефераті розглянуті типи рівнянь, нерівностей та їх систем, що часто зустрічаються, і, я сподіваюся, що знання, отримані мною в процесі роботи, допоможуть мені при здачі шкільних іспитів і при вступі а ВНЗ.

§ 1. Основні визначення

Розглянемо рівняння

(a, b, c, …, k, x) = j (a, b, c, …, k, x), (1)

де a, b, c, …, k, x-змінні величини.

Будь-яка система значень змінних

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при якій і ліва і права частини цього рівняння набувають дійсних значень, називається системою допустимих значень змінних a, b, c, …, k, x. Нехай А – множина всіх допустимих значень а, B – множина всіх допустимих значень b, тощо., Х – безліч всіх допустимих значень х, тобто. аÎА, bÎB, …, xÎX. Якщо кожного з множин A, B, C, …, K вибрати і зафіксувати відповідно за одним значенням a, b, c, …, k і підставити в рівняння (1), то отримаємо рівняння щодо x, тобто. рівняння з одним невідомим.

Змінні a, b, c, ..., k, які при вирішенні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а саме рівняння називається рівнянням, що містить параметри.

Параметри позначаються першими літерами латинського алфавіту: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а невідомі – літерами x, y,z.

Вирішити рівняння з параметрами означає вказати, при яких значеннях параметрів існують рішення і які вони.

Два рівняння, що містять одні й самі параметри, називаються рівносильними, якщо:

а) вони мають сенс при одних і тих же значення параметрів;

б) кожне рішення першого рівняння є рішенням другого та навпаки.

§ 2. Алгоритм рішення.

Знаходимо область визначення рівняння.

Висловлюємо як функцію від х.

У системі координат хОа будуємо графік функції а = | (х) для тих значень х, які входять в область визначення даного рівняння.

Знаходимо точки перетину прямої а=с, де сÎ(-¥;+¥) з графіком функції а=¦(х). Якщо пряма а=с перетинає графік а=¦(х), то визначаємо абсциси точок перетину. Для цього достатньо вирішити рівняння а = (х) щодо х.

Записуємо відповідь.

I. Вирішити рівняння

(1)

Оскільки х=0 не є коренем рівняння, можна дозволити рівняння щодо а:

або

Графік функції - дві "склеєних" гіперболи. Кількість рішень вихідного рівняння визначається кількістю точок перетину побудованої лінії та прямої у=а.

Якщо а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, То пряма у = а перетинає графік рівняння (1) в одній точці. Абсцис цієї точки знайдемо при вирішенні рівняння щодо х.

Таким чином, на цьому проміжку рівняння (1) має рішення

. , то пряма у = а перетинає графік рівняння (1) у двох точках. Абсцис цих точок можна знайти з рівнянь і , отримуємо і . , то пряма у=а не перетинає графік рівняння (1), отже, рішень немає.

Якщо а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, то; , то ; , То рішень немає.

ІІ. Знайти всі значення параметра а, за яких рівняння

має три різні корені.

Переписавши рівняння у вигляді

і розглянувши пару функцій , можна побачити, що шукані значення параметра і тільки вони відповідати тим положенням графіка функції , у яких він має точно три точки перетину з графіком функции .

У системі координат хОу побудуємо графік функції

). Для цього можна уявити її у вигляді і, розглянувши чотири виникаючі випадки, запишемо цю функцію у вигляді

Оскільки графік функції

– це пряма, що має кут нахилу до осі Ох, рівний і перетинає вісь Оу в точці з координатами (0 , а), укладаємо, що три зазначені точки перетину можна отримати лише у випадку, коли ця пряма стосується графіка функції . Тому знаходимо похідну.

ІІІ. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рішення.

З першого рівняння системи отримаємо

Отже, це рівняння задає сімейство "напівпарабол" - праві гілки параболи "ковзають" вершинами по осі абсцис.

Виділимо в лівій частині другого рівняння повні квадрати та розкладемо її на множники

Безліч точок площини

, що задовольняють друге рівняння, є дві прямі і

З'ясуємо, при яких значеннях параметра крива з сімейства “напівпарабол” має хоча б одну загальну точку з однією з отриманих прямих.

Нерівність

(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x), (1)

де a, b, c, …,- Параметри, а x - дійсна змінна величина, називається нерівністю з одним невідомим, що містить параметри.

Будь-яка система значень параметрів а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , при деякій функції

(a, b, c, …,, x) та

(a, b, c, …,, x

мають сенс у ділянці дійсних чисел, називається системою допустимих значень параметрів.

називається допустимим значенням х, якщо

(a, b, c, …,, x) та

(a, b, c, …,, x

приймають дійсні значення за будь-якої допустимої системи значень параметрів.

Багато всіх допустимих значень х називається областю визначення нерівності (1).

Число х 0 називається приватним розв'язком нерівності (1), якщо нерівність

(a, b, c, …,, x 0 )>(a, b, c, …, x 0 )

Правильно за будь-якої системі допустимих значень параметрів.

Сукупність всіх приватних розв'язків нерівності (1) називається загальним рішенням цієї нерівності.

Вирішити нерівність (1) - означає вказати, за яких значеннях параметрів існує загальне рішення і яке воно.

Дві нерівності

(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x) та (1)

(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x) (2)

називаються рівносильними, якщо вони мають однакові загальні рішенняпри тому самому безлічі систем допустимих значень параметрів.

Алгоритм рішення.

Знаходимо область визначення даної нерівності.

Зводимо нерівність до рівняння.

Висловлюємо як функцію від х.

У системі координат хОа будуємо графіки функцій а = (х) тих значень х, які входять у область визначення даного нерівності.

Знаходимо безліч точок, що задовольняють цій нерівності.

Досліджуємо вплив параметра на результат.

знайдемо абсциси точок перетину графіків.

задаємо пряму а = соnst і зрушуватимемо її від - до +

Записуємо відповідь.

Це лише один з алгоритмів розв'язання нерівностей із параметрами, з використанням системи координат хОа. Можливі й інші методи вирішення з використанням стандартної системи координат хОy.

3. Приклади

I. Для всіх допустимих значень параметра вирішити нерівність

В області визначення параметра а, визначеного системою нерівностей