☰

Усі правила розв'язання рівнянь. Вирішення простих лінійних рівнянь. Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь


Розберемо два види розв'язання систем рівняння:

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

Вирішення системи рівнянь методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми висловлювали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

Розв'язання системи рівнянь методом додавання

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння домножуємо на 2, а друге на 3 та отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y=2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у першому рівнянні.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x=1+12,8
3x = 13,8 |: 3
x=4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому вони й називаються найпростішими.

Для початку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке їх називати найпростішим?

Лінійне рівняння — таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

  1. Розкрити дужки, якщо вони є;
  2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в інший;
  3. Привести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
  4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється дорівнює нулю. В цьому випадку можливі два варіанти:

  1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
  2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер давайте подивимося, як це все працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише першою мірою.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

  1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
  2. Потім звести такі
  3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте практично навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливі помилки в досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або підрахунку «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі немає рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із самих простих завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

  1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
  2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить "ікси" переносимо в один бік, а без "іксів" - в інший.
  3. Наводимо подібні доданки.
  4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому етапі нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, але вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий вже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від дуже простих завдань, то я хотів би сказати таке:

  • Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
  • Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль — таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана із розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть "мінус", то ми його прибираємо, проте у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого факту дозволить вам не припускатися дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до складніших рівнянь. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то у процесі перетворення всі одночлени, що містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже акуратно:

Тепер займемося усамітненням:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси вирішення

Обидва рівняння повністю вирішені. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак «мінус». Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно все перемножити на «ікс». Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І лише після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що в низ, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, прийде день і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще складніших лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «ікс» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси вирішення

Найважливіше зауваження щодо цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. У алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, жодних проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

  1. Розкрити дужки.
  2. Усамітнити змінні.
  3. Навести такі.
  4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього до алгоритму потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

  1. Позбутися дробів.
  2. Розкрити дужки.
  3. Усамітнити змінні.
  4. Навести такі.
  5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

  • Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
  • Вміння розкривати дужки.
  • Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функціїшвидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
  • Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, бувають трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам опанувати нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння всієї математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

Цим відео я починаю цикл уроків, присвячених системам рівнянь. Сьогодні ми поговоримо про розв'язання систем лінійних рівнянь методом складання— це один із самих простих способів, але водночас і один із найефективніших.

Спосіб додавання складається з трьох простих кроків:

  1. Подивитися на систему та вибрати змінну, у якої в кожному рівнянні стоять однакові (або протилежні) коефіцієнти;
  2. Виконати алгебраїчне віднімання (для протилежних чисел - додавання) рівнянь один з одного, після чого навести подібні доданки;
  3. Вирішити нове рівняння, що вийшло після другого кроку.

Якщо все зробити правильно, то на виході ми отримаємо одне-єдине рівняння з однією змінною— вирішити його не важко. Потім залишиться лише підставити знайдений корінь у вихідну систему та отримати остаточну відповідь.

Однак на практиці все не так просто. Причин тому кілька:

  • Рішення рівнянь способом додавання передбачає, що у всіх рядках повинні бути присутні змінні з однаковими/протилежними коефіцієнтами. А що робити, якщо ця вимога не виконується?
  • Далеко не завжди після складання/віднімання рівнянь вказаним способом ми отримаємо гарну конструкцію, яка легко вирішується. Чи можливо якось спростити викладки та прискорити обчислення?

Щоб отримати відповідь на ці питання, а заразом розібратися з декількома додатковими тонкощами, на яких «завалюються» багато учнів, дивіться мій відеоурок:

Цим уроком ми розпочинаємо цикл лекцій, присвячений системам рівнянь. А почнемо ми з найпростіших із них, а саме з тих, що містять два рівняння та дві змінні. Кожна з них буде лінійною.

Системи – це матеріал 7-го класу, але цей урок також буде корисним для старшокласників, які хочуть освіжити свої знання в цій темі.

Взагалі, існує два методи вирішення подібних систем:

  1. Метод складання;
  2. Метод вираження однієї змінної через іншу.

Сьогодні ми займемося першим методом — застосовуватимемо спосіб віднімання і складання. Але для цього потрібно розуміти наступний факт: як тільки у вас є два або більше рівнянь, ви маєте право взяти будь-які два з них і скласти один з одним. Складаються вони почленно, тобто. "ікси" складаються з "іксами" і наводяться подібні, "ігреки" з "ігреками" - знову наводяться подібні, а те, що стоїть праворуч від знака рівності, також складається один з одним, і там теж наводяться подібні.

Результатами подібних махінацій буде нове рівняння, яке якщо і має коріння, то вони обов'язково будуть знаходитися серед коренів вихідного рівняння. Тому наше завдання — зробити віднімання або складання таким чином, щоб $x$ або $y$ зник.

Як цього добитися і яким інструментом для цього користуватися – про це ми зараз поговоримо.

Вирішення легких завдань із застосуванням способу складання

Отже, вчимося застосовувати метод додавання на прикладі двох найпростіших виразів.

Завдання №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Зауважимо, що $y$ коефіцієнт у першому рівнянні $-4$, тоді як у другому — $+4$. Вони взаємно протилежні, тому логічно припустити, що й ми їх складемо, то отриманої сумі «ігреки» взаємно знищаться. Складаємо та отримуємо:

Вирішуємо найпростішу конструкцію:

Чудово ми знайшли «ікс». Що тепер із ним робити? Ми маємо право підставити його на будь-яке з рівнянь. Підставимо у перше:

\ [-4y = 12 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

Відповідь: $ \ left (2; -3 \ right) $.

Завдання №2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Тут цілком аналогічна ситуація, лише з «іксами». Складемо їх:

Ми отримали найпростіше лінійне рівняння, давайте вирішимо його:

Тепер давайте знайдемо $x$:

Відповідь: $ \ left (-3; 3 \ right) $.

Важливі моменти

Отже, щойно вирішили дві найпростіших системи лінійних рівнянь шляхом складання. Ще раз ключові моменти:

  1. Якщо є протилежні коефіцієнти при одній зі змінних, необхідно скласти всі змінні в рівнянні. І тут одна з них знищиться.
  2. Знайдену змінну підставляємо в будь-яке рівняння системи, щоб знайти другу.
  3. Остаточний запис відповіді можна по-різному. Наприклад, так $x=...,y=...$, або у вигляді координати точок - $\left(...;... \right)$. Другий варіант кращий. Головне пам'ятати, що першою координатою йде $x$, а другою - $y$.
  4. Правило записувати відповідь як координат точки застосовно який завжди. Наприклад, його не можна використовувати, коли в ролі змінних виступають не $x$ та $y$, а, наприклад, $a$ та $b$.

У наступних завданнях ми розглянемо прийом віднімання, коли коефіцієнти не протилежні.

Вирішення легких завдань із застосуванням методу віднімання

Завдання №1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Зауважимо, що протилежних коефіцієнтів тут немає, однак є однакові. Тому віднімаємо з першого рівняння друге:

Тепер підставляємо значення $x$ у будь-яке рівняння системи. Давайте в перше:

Відповідь: $ \ left (2; 5 \ right) $.

Завдання №2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Ми знову бачимо однаковий коефіцієнт $5$ при $x$ у першому та у другому рівнянні. Тому логічно припустити, що потрібно від першого рівняння відняти друге:

Одну змінну ми вирахували. Тепер давайте знайдемо другу, наприклад, підставивши значення $y$ у другу конструкцію:

Відповідь: $ \ left (-3; -2 \ right) $.

Нюанси вирішення

Отже, що бачимо? Фактично, схема нічим не відрізняється від вирішення попередніх систем. Відмінність лише у тому, що ми рівняння не складаємо, а віднімаємо. Ми проводимо алгебраїчне віднімання.

Іншими словами, як тільки ви бачите систему, що складається з двох рівнянь із двома невідомими, перше, на що вам необхідно подивитися – це коефіцієнти. Якщо де-небудь однакові, рівняння віднімаються, і якщо вони протилежні — застосовується метод складання. Завжди це робиться для того, щоб одна з них зникла, і в результаті рівняння, що залишилася після віднімання, залишилася б тільки одна змінна.

Зрозуміло, це ще все. Зараз ми розглянемо системи, у яких рівняння взагалі не узгоджені. Тобто. немає в них таких змінних, які були або однакові, або протилежні. І тут для вирішення таких систем застосовується додатковий прийом, саме домноження кожного з рівнянь на спеціальний коефіцієнт. Як знайти його та як вирішувати взагалі такі системи, зараз ми про це й поговоримо.

Розв'язання задач методом домноження на коефіцієнт

Приклад №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Ми бачимо, що ні за $x$, ні за $y$ коефіцієнти не тільки не взаємно протилежні, а й взагалі ніяк не співвідносяться з іншим рівнянням. Ці коефіцієнти ніяк не зникнуть, навіть якщо ми складемо або віднімемо рівняння один з одного. Тому необхідно застосувати домноження. Давайте спробуємо позбутися від змінної $y$. Для цього ми примножимо перше рівняння на коефіцієнт при $ y $ з другого рівняння, а друге рівняння - при $ y $ з першого рівняння, при цьому не чіпаючи знак. Примножуємо та отримуємо нову систему:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Дивимося на неї: за $y$ протилежні коефіцієнти. У такій ситуації необхідно застосовувати метод складання. Складемо:

Тепер потрібно знайти $y$. Для цього підставимо $x$ у перший вираз:

\ [-9y = 18 \ left | :\left(-9 \right) \right.\]

Відповідь: $ \ left (4; -2 \ right) $.

Приклад №2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Знову коефіцієнти за жодної зі змінних не узгоджені. Домножимо на коефіцієнти при $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Наша нова системарівносильна попередньої, проте коефіцієнти при $y$ є взаємно протилежними, і тому легко застосувати метод складання:

Тепер знайдемо $y$, підставивши $x$ на перше рівняння:

Відповідь: $ \ left (-2; 1 \ right) $.

Нюанси вирішення

Ключове правило тут таке: завжди множимо лише на позитивні числа - це позбавить вас дурних і образливих помилок, пов'язаних зі зміною знаків. А взагалі схема вирішення досить проста:

  1. Дивимося на систему та аналізуємо кожне рівняння.
  2. Якщо бачимо, що ні $y$, ні при $x$ коефіцієнти не узгоджені, тобто. вони не є ні рівними, ні протилежними, то робимо таке: вибираємо змінну, якої потрібно позбутися, а потім дивимося на коефіцієнти при цих рівняннях. Якщо перше рівняння домножимо на коефіцієнт з другого, а друге, відповідне, домножимо на коефіцієнт з першого, то в результаті ми отримаємо систему, яка повністю рівносильна попередній, і коефіцієнти $y$ будуть узгоджені. Всі наші дії або перетворення спрямовані лише на те, щоб отримати одну змінну в одному рівнянні.
  3. Знаходимо одну змінну.
  4. Підставляємо знайдену змінну в одне із двох рівнянь системи та знаходимо другу.
  5. Записуємо відповідь у вигляді координати точок, якщо у нас змінні $x$ та $y$.

Але навіть у такому нехитрому алгоритмі є свої тонкощі, наприклад, коефіцієнти при $x$ або $y$ можуть бути дробами та іншими «некрасивими» числами. Ці випадки ми зараз розглянемо окремо, тому що в них можна діяти інакше, ніж за стандартним алгоритмом.

Розв'язання задач з дробовими числами

Приклад №1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Спочатку зауважимо, що у другому рівнянні присутні дроби. Але зауважимо, що можна поділити $4$ на $0,8$. Отримаємо $5$. Давайте друге рівняння домножимо на $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Віднімаємо рівняння один з одного:

$n$ ми знайшли, тепер порахуємо $m$:

Відповідь: $ n = -4; m = 5 $

Приклад №2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align ) \right.\]

Тут, як і в попередній системі, присутні дробові коефіцієнти, проте за жодної зі змінних коефіцієнти в ціле число разів один в одного не вкладаються. Тому використовуємо стандартний алгоритм. Позбудеться $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Застосовуємо метод віднімання:

Давайте знайдемо $p$, підставивши $k$ у другу конструкцію:

Відповідь: $ p = -4; k = - 2 $.

Нюанси вирішення

Ось і вся оптимізація. У першому рівнянні ми не стали множити взагалі ні на що, а друге рівняння примножили на $ 5 $. У результаті ми отримали узгоджене і навіть однакове рівняння за першої змінної. У другій системі ми діяли за стандартним алгоритмом.

Але як знайти числа, на які необхідно множити рівняння? Адже якщо множити на дробові числа, ми отримаємо нові дроби. Тому дроби необхідно примножити на число, яке дало б нове ціле число, а вже після цього домножувати змінні на коефіцієнти, дотримуючись стандартного алгоритму.

Насамкінець хотів би звернути вашу увагу на формат запису відповіді. Як я вже й казав, оскільки тут у нас тут не $x$ і $y$, а інші значення ми користуємося нестандартним записом виду:

Вирішення складних систем рівнянь

Як заключний акорд до сьогоднішнього відеоуроку давайте розглянемо пару справді складних систем. Їхня складність полягатиме в тому, що в них і ліворуч, і праворуч стоятимуть змінні. Тому для їх вирішення нам доведеться застосовувати попередню обробку.

Система №1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right) )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Кожне рівняння несе у собі певну складність. Тому з кожним виразом давайте вчинимо як зі звичайною лінійною конструкцією.

Разом ми отримаємо остаточну систему, яка дорівнює вихідній:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Подивимося на коефіцієнти при $y$: $3$ вкладається в $6$ два рази, тому домножимо перше рівняння на $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Коефіцієнти при $y$ тепер рівні, тому віднімаємо з першого рівняння друге: $$

Тепер знайдемо $y$:

Відповідь: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Система №2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\end(align) \right.\]

Перетворимо перший вираз:

Розбираємось з другим:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Отже, наша первісна система набуде такого вигляду:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Подивившись на коефіцієнти при $a$, бачимо, що перше рівняння потрібно примножити на $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Віднімаємо з першої конструкції другу:

Тепер знайдемо $a$:

Відповідь: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

От і все. Сподіваюся, цей відеоурок допоможе вам розібратися у цій нелегкій темі, а саме у вирішенні систем простих лінійних рівнянь. Далі буде багато уроків, присвячених цій темі: ми розберемо складніші приклади, де змінних буде більше, а самі рівняння вже будуть нелінійними. До нових зустрічей!

Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок та приведення подібних членів набуває вигляду

aх + b = 0, де a та b довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Сьогодні розберемося, як ці лінійні рівняння розв'язувати.

Наприклад, усі рівняння:

2х + 3 = 7 - 0,5 х; 0,3 х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – лінійні.

Значення невідомого, що звертає рівняння у правильну рівність, називається рішенням або коренем рівняння .

Наприклад, якщо в рівнянні 3х + 7 = 13 замість невідомого х підставити число 2 то отримаємо правильну рівність 3 · 2 +7 = 13. Значить, значення х = 2 є рішення або корінь рівняння.

А значення х = 3 не звертає рівняння 3х + 7 = 13 у правильну рівність, тому що 3 · 2 +7 ≠ 13. Отже, значення х = 3 не є розв'язком або коренем рівняння.

Вирішення будь-яких лінійних рівнянь зводиться до вирішення рівнянь виду

aх + b = 0.

Перенесемо вільний член із лівої частини рівняння у праву, змінивши при цьому знак перед b на протилежний, отримаємо

Якщо a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3х + 2 =11.

Перенесемо 2 з лівої частини рівняння у праву, змінивши при цьому знак перед 2 на протилежний, отримаємо
3х = 11 - 2.

Виконаємо віднімання, тоді
3х = 9.

Щоб знайти їх треба розділити твір на відомий множник, тобто
х = 9:3.

Значить, значення х = 3 є розв'язком чи коренем рівняння.

Відповідь: х = 3.

Якщо а = 0 та b = 0, Отримаємо рівняння 0х = 0. Це рівняння має нескінченно багато рішень, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b теж дорівнює 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке число.

приклад 2.Розв'яжіть рівняння 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Розкриємо дужки:
5х - 15 + 2 = 3х - 12 + 2х - 1.


5х - 3х - 2х = - 12 - 1 + 15 - 2.

Наведемо такі члени:
0х = 0.

Відповідь: х - будь-яке число.

Якщо а = 0 та b ≠ 0, Отримаємо рівняння 0х = - b. Це рівняння рішень немає, оскільки за множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b ≠ 0 .

Приклад 3.Розв'яжіть рівняння х + 8 = х + 5.

Згрупуємо в лівій частині члени, які містять невідомі, а у правій – вільні члени:
х - х = 5 - 8.

Наведемо такі члени:
0х = ‒ 3.

Відповідь: немає рішень.

На малюнку 1 зображено схему вирішення лінійного рівняння

Складемо загальну схему розв'язання рівнянь з однією змінною. Розглянемо рішення прикладу 4.

Приклад 4. Нехай треба вирішити рівняння

1) Помножимо всі члени рівняння на найменше загальне кратне знаменників, що дорівнює 12.

2) Після скорочення отримаємо
4 (х - 4) + 3 · 2 (х + 1) - 12 = 6 · 5 (х - 3) + 24х - 2 (11х + 43)

3) Щоб відокремити члени, які містять невідомі та вільні члени, розкриємо дужки:
4х - 16 + 6х + 6 - 12 = 30х - 90 + 24х - 22х - 86.

4) Згрупуємо в одній частині члени, які містять невідомі, а в іншій – вільні члени:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х = - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Наведемо такі члени:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Розділимо на – 22 , Отримаємо
х = 7.

Як бачимо, корінь рівняння дорівнює семи.

Взагалі такі рівняння можна вирішувати за наступною схемою:

а) привести рівняння до цілого виду;

б) розкрити дужки;

в) згрупувати члени, які містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени – в іншій;

г) навести таких членів;

д) вирішити рівняння виду aх = b, яке отримали після наведення подібних членів.

Однак ця схема не є обов'язковою для будь-якого рівняння. При розв'язанні багатьох простіших рівнянь доводиться починати не з першого, а з другого ( приклад. 2), третього ( приклад. 1, 3) і навіть із п'ятого етапу, як у прикладі 5.

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2х = 1/4.

Знаходимо невідоме х = 1/4: 2,
х = 1/8 .

Розглянемо розв'язання деяких лінійних рівнянь, що зустрічаються на основному державному іспиті.

Приклад 6.Розв'яжіть рівняння 2 (х + 3) = 5 - 6х.

2х + 6 = 5 - 6х

2х + 6х = 5 - 6

Відповідь: ‒ 0, 125

Приклад 7.Розв'яжіть рівняння – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

- 30 + 18х = 8х - 7

18х - 8х = - 7 +30

Відповідь: 2,3

Приклад 8. Розв'яжіть рівняння

3 (3х - 4) = 4 · 7х + 24

9х - 12 = 28х + 24

9х - 28х = 24 + 12

Приклад 9.Знайдіть f(6), якщо f(x + 2) = 3 7-х

Рішення

Тому що треба знайти f(6), а нам відомо f(x + 2),
то х + 2 = 6.

Вирішуємо лінійне рівняння х + 2 = 6,
отримуємо х = 6 - 2, х = 4.

Якщо х = 4, тоді
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Відповідь: 27.

Якщо у Вас залишилися питання, є бажання розібратися з вирішенням рівнянь більш ґрунтовно, записуйтесь на мої уроки в РОЗКЛАДІ . Буду рада Вам допомогти!

Також TutorOnline радить подивитися новий відеоурок від нашого репетитора Ольги Олександрівни, який допоможе розібратися як з лінійними рівняннями, так і з іншими.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Вирішення показових рівнянь. приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке показове рівняння? Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними перебувають у показникахякихось ступенів. І лише там! Це важливо.

Ось вам приклади показових рівнянь:

3 х · 2 х = 8 х +3

Зверніть увагу! В підставах ступенів (внизу) - тільки числа. В показникахступенів (вгорі) - найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс десь, крім показника, наприклад:

це вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. Тут ми будемо розбиратися з вирішенням показових рівняньВ чистому вигляді.

Загалом, навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які можна вирішувати і потрібно. Ось ці типи ми розглянемо.

Вирішення найпростіших показових рівнянь.

Для початку вирішимо щось дуже елементарне. Наприклад:

Навіть без будь-яких теорій, по простому підбору ясно, що х=2. Більше ніяк, вірно!? Ніяке інше значення ікса не котить. А тепер глянемо на запис розв'язання цього хитрого показового рівняння:

Що ми зробили? Ми фактично викинули однакові підстави (трійки). Зовсім викинули. І що радує, потрапили в крапку!

Справді, якщо у показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в будь-яких ступенях, ці числа можна прибрати і прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє. Залишається дорішати більш просте рівняння. Здорово, правда?)

Проте запам'ятаємо залізно: прибирати підстави можна тільки тоді, коли ліворуч і праворуч числа-основи перебувають у гордій самоті!Без будь-яких сусідів та коефіцієнтів. Скажімо, в рівняннях:

2 х +2 х+1 = 2 3 або

двійки прибирати не можна!

Ну ось, найголовніше ми й засвоїли. Як переходити від злих показових виразів до простіших рівнянь.

"Ось ті рази!" – скажете ви. "Хто ж дасть такий примітив на контрольних та іспитах!?"

Вимушений погодитись. Ніхто не дасть. Але тепер ви знаєте, куди треба прагнути при вирішенні заморочених прикладів. Треба приводити його до вигляду, коли ліворуч - праворуч стоїть те саме число-основа. Далі все буде легшим. Власне, це є класика математики. Беремо вихідний приклад та перетворюємо його до потрібного намвиду. За правилами математики, зрозуміло.

Розглянемо приклади, які потребують додаткових зусиль для приведення їх до найпростіших. Назвемо їх простими показовими рівняннями.

Вирішення простих показових рівнянь. приклади.

При вирішенні показових рівнянь головні правила - дії зі ступенями.Без знань цих дій нічого не вийде.

До дій зі ступенями треба додати особисту спостережливість та кмітливість. Нам потрібні однакові числа-підстави? Ось і шукаємо їх у прикладі у явному чи зашифрованому вигляді.

Подивимося, як це робиться на практиці?

Нехай нам дано приклад:

2 2х – 8 х+1 = 0

Перший пильний погляд - на основи.Вони... Вони різні! Два та вісім. Але впадати у відчай - рано. Саме час згадати, що

Двійка та вісімка - родички за рівнем.) Цілком можна записати:

8 х+1 = (2 3) х+1

Якщо згадати формулку з дій зі ступенями:

(а n) m = a nm ,

то взагалі чудово виходить:

8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)

Вихідний приклад став виглядати так:

2 2х - 2 3(х +1) = 0

Переносимо 2 3 (х+1)вправо (елементарних дій математики ніхто не скасовував!), отримуємо:

2 2х = 2 3(х+1)

Ось практично і все. Прибираємо підстави:

Вирішуємо цього монстра та отримуємо

Це правильна відповідь.

У цьому прикладі нас врятувало знання ступенів двійки. Ми упізналиу вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підстав під різними числами) – дуже популярний прийом у показових рівняннях! Та й у логарифмах теж. Треба вміти пізнавати серед інших чисел. Це дуже важливо для вирішення показових рівнянь.

Справа в тому, що звести будь-яке число в будь-який ступінь – не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та й усе. Наприклад, звести 3 у п'яту ступінь зможе кожен. 243 вийде, якщо таблицю множення знаєте.) Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки... скільки в якій міріховається за числом 243, чи, скажімо, 343... Тут вам ніякий калькулятор не допоможе.

Ступені деяких чисел треба знати в обличчя, так... Потренуємось?

Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Відповіді (безладно, природно!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Якщо придивитися, можна побачити дивний факт. Відповідей значно більше, ніж завдань! Що ж, так буває... Наприклад, 2 6 , 4 3 , 8 2 це все 64.

Припустимо, що ви взяли до відома інформацію про знайомство з числами.) Нагадаю ще, що для вирішення показових рівнянь застосуємо весьзапас математичних знань. У тому числі з молодших-середніх класів. Ви ж не відразу до старших класів пішли, вірно?)

Наприклад, під час вирішення показових рівнянь дуже часто допомагає винесення загального множника за дужки (привіт 7 класу!). Дивимося приклад:

3 2х +4 -11 · 9 х = 210

І знову, перший погляд – на підстави! Підстави у ступенів різні... Трійка та дев'ятка. А нам хочеться, щоб були однакові. Що ж, у разі бажання цілком здійсненне!) Тому, що:

9 х = (3 2) х = 3 2х

За тими ж правилами дій зі ступенями:

3 2х +4 = 3 2х · 3 4

Ось і чудово, можна записати:

3 2х · 3 4 - 11 · 3 2х = 210

Ми навели приклад до однакових підстав. І що далі!? Трійки не можна викидати... Тупик?

Зовсім ні. Запам'ятовуємо найуніверсальніше і найпотужніше правило рішення всіхматематичних завдань:

Не знаєш, що треба – роби, що можна!

Дивишся, все й утворюється.

Що в цьому показовому рівнянні можна, можливозробити? Та в лівій частині прямо проситься винесення за дужки! Загальний множник 3-2х явно натякає на це. Спробуємо, а далі буде видно:

3 2х (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Приклад стає все краще та краще!

Згадуємо, що для ліквідації підстав нам необхідний чистий ступінь, без жодних коефіцієнтів. Нам число 70 заважає. Ось і ділимо обидві частини рівняння на 70, отримуємо:

Оп-па! Все й налагодилося!

Це остаточна відповідь.

Трапляється, проте, що вирулювання на однакові підстави виходить, тоді як їх ліквідація - ніяк. Таке буває у показових рівняннях іншого типу. Освоїмо цей тип.

Заміна змінної у вирішенні показових рівнянь. приклади.

Розв'яжемо рівняння:

4 х - 3 · 2 х +2 = 0

Спочатку – як завжди. Переходимо до однієї основи. До двійки.

4 х = (2 2) х = 2 2х

Отримуємо рівняння:

2 2х - 3 · 2 х +2 = 0

А ось тут і зависнемо. Попередні прийоми не спрацюють, як не крутись. Прийде діставати з арсеналу ще один могутній і універсальний спосіб. Називається він заміна змінної.

Суть способу проста напрочуд. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2 х) пишемо інший, простіше (наприклад – t). Така, здавалося б, безглузда заміна призводить до потрясних результатів!) Просто все стає ясним і зрозумілим!

Отже, нехай

Тоді 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2

Замінюємо в нашому рівнянні всі ступені з іксами на t:

Ну що, осяює?) Квадратні рівнянняне забули ще? Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:

Тут, головне, не зупинятися, як буває... Це ще не відповідь, нам потрібний ікс, а не t. Повертаємось до іксів, тобто. робимо зворотну заміну. Спочатку для t 1:

Стало бути,

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:

Гм... Зліва 2 х, справа 1... Неув'язочка? Та ні! Досить (з дій зі ступенями, так ...), що одиниця - це будь-якечисло в нульовому ступені. Будь-яке. Яке треба, таке й поставимо. Нам потрібна двійка. Значить:

Ось тепер усе. Отримали 2 корені:

Це відповідь.

При розв'язанні показових рівняньнаприкінці іноді виходить якийсь незручний вираз. Типу:

З сімки двійка через простий ступінь не виходить. Чи не родичі вони... Як тут бути? Хтось, може й розгубиться... А ось людина, яка прочитала на цьому сайті тему "Що таке логарифм?" , Тільки скупо усміхнеться і запише твердою рукою абсолютно вірна відповідь:

Такої відповіді у завданнях "В" на ЄДІ бути не може. Там конкретне число потрібне. А ось у завданнях "С" – запросто.

У цьому уроці наведено приклади розв'язання найпоширеніших показових рівнянь. Виділимо головне.

Практичні поради:

1. Насамперед дивимося на основистепенів. Міркуємо, чи не можна їх зробити однаковими.Пробуємо це зробити, активно використовуючи дії зі ступенями.Не забуваймо, що числа без іксів теж можна перетворювати на міру!

2. Пробуємо привести показове рівняння до виду, коли ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в будь-яких ступенях. Використовуємо дії зі ступенямиі розкладання на множники.Те, що можна порахувати в числах - вважаємо.

3. Якщо друга порада не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінної. У результаті може бути рівняння, яке легко вирішується. Найчастіше – квадратне. Або дрібне, яке теж зводиться до квадратного.

4. Для успішного розв'язання показових рівнянь треба ступеня деяких чисел знати "на обличчя".

Як завжди, наприкінці уроку вам пропонується трохи вирішувати.) Самостійно. Від простого – до складного.

Розв'язати показові рівняння:

Складніше:

2 х +3 - 2 х +2 - 2 х = 48

9 х - 8 · 3 х = 9

2 х - 2 0,5 х +1 - 8 = 0

Знайти твір коріння:

2 3-х + 2 х = 9

Вийшло?

Ну тоді найскладніший приклад(вирішується, правда, в умі...):

7 0.13 х + 13 0,7 х +1 + 2 0,5 х +1 = -3

Що вже цікавіше? Тоді ось вам злий приклад. Цілком тягне на підвищену трудність. Нам'якну, що в цьому прикладі рятує кмітливість і найуніверсальніше правило вирішення всіх математичних завдань.)

2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х

Приклад простіше, для відпочинку):

9 · 2 х - 4 · 3 х = 0

І на десерт. Знайти суму коренів рівняння:

х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0

Так Так! Це рівняння змішаного типу! Які ми у цьому уроці не розглядали. А що їх розглядати, їх вирішувати треба!) Цього уроку цілком достатньо для вирішення рівняння. Ну і, кмітливість потрібна... І нехай допоможе вам сьомий клас (це підказка!).

Відповіді (безладно, через точку з комою):

1; 2; 3; 4; рішень немає; 2; -2; -5; 4; 0.

Все успішно? Чудово.

Є проблеми? Не питання! У Особливому розділі 555 усі ці показові рівняння вирішуються із докладними поясненнями. Що навіщо і чому. Ну і, звичайно, там є додаткова цінна інформація щодо роботи з будь-якими показовими рівняннями. Не лише з цими.)

Останнє цікаве питання на міркування. На цьому уроці ми працювали з показовими рівняннями. Чому я тут жодного слова не сказав про ОДЗ?В рівняннях - це дуже важлива штука, між іншим.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.