Функції sin, cos, tg і ctg завжди супроводжуються арксинусом, арккосинусом, арктангенсом та арккотангенсом. Одне є наслідком іншого, а пари функцій однаково важливі до роботи з тригонометричними висловлюваннями.
Розглянемо малюнок одиничного кола, у якому графічно відображено значень тригонометричних функцій.
Якщо обчислити arcs OA, arcos OC, arctg DE і arcctg MK, всі вони дорівнюють значенню кута α. Формули, наведені нижче, відображають взаємозв'язок основних тригонометричних функцій та відповідних їм арків.
Щоб більше зрозуміти властивості арксинусу, необхідно розглянути його функцію. Графік має вигляд асиметричної кривої, що проходить через центр координат.
Властивості арксинусу:
Якщо порівняти графіки sinі arcsinУ двох тригонометричних функцій можна знайти загальні закономірності.
Арккосінус
Arccos числа а - це значення кута α, косинус якого дорівнює а.
Крива y = arcos xдзеркально відображає графік arcsin x, з тією різницею, що проходить через точку π/2 на осі OY.
Розглянемо функцію арккосинусу докладніше:
- Функція визначена на відрізку [-1; 1].
- ОДЗ для arccos -.
- Графік цілком розташований у I та II чвертях, а сама функція не є ні парною, ні непарною.
- Y = 0 за x = 1.
- Крива зменшується на всій своїй протяжності. Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.
Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.
Можливо, школярам видасться зайвим таке «детальне» вивчення «арків». Однак, інакше, деякі елементарні типові завдання ЄДІможуть ввести учнів у безвихідь.
Завдання 1.Вкажіть функції, зображені на малюнку.
Відповідь:Рис. 1 - 4, рис.2 - 1.
В даному прикладіупор зроблений на дрібницях. Зазвичай учні дуже неуважно ставляться до побудови графіків та зовнішнього вигляду функцій. Справді, навіщо запам'ятовувати вигляд кривої, якщо її можна побудувати за розрахунковими точками. Не слід забувати, що в умовах тесту час, витрачений на малюнок для простого завдання, потрібен для вирішення складніших завдань.
Арктангенс
Arctgчисла a – це значення кута α, що його тангенс дорівнює а.
Якщо розглянути графік арктангенсу, можна виділити такі характеристики:
- Графік нескінченний та визначений на проміжку (- ∞; + ∞).
- Арктангенс непарна функція, отже, arctg (-x) = - arctg x.
- Y = 0 за x = 0.
- Крива зростає по всій області визначення.
Наведемо короткий порівняльний аналіз tg x та arctg x у вигляді таблиці.
Арккотангенс
Arcctg числа a — приймає таке значення з інтервалу (0; π), що його котангенс дорівнює а.
Властивості функції арккотангенсу:
- Інтервал визначення функції – нескінченність.
- Область допустимих значень – проміжок (0; π).
- F(x) не є ні парною, ні непарною.
- На всьому своєму протязі графік функції зменшується.
Зіставити ctg x і arctg x дуже просто, потрібно лише зробити два малюнки та описати поведінку кривих.
Завдання 2.Співвіднести графік та форму запису функції.
Якщо міркувати логічно, з графіків видно, що обидві функції зростають. Отже, обидва малюнки відображають певну функцію arctg. З властивостей арктангенса відомо, що y = 0 при x = 0,
Відповідь:Рис. 1 - 1, рис. 2 – 4.
Тригонометричні тотожності arcsin, arcos, arctg та arcctg
Раніше нами вже було виявлено взаємозв'язок між арками та основними функціями тригонометрії. Ця залежність може бути виражена рядом формул, що дозволяють виразити, наприклад, синус аргументу, через його арксинус, арккосинус або навпаки. Знання подібних тотожностей буває корисним під час вирішення конкретних прикладів.
Також існують співвідношення для arctg та arcctg:
Ще одна корисна пара формул, що встановлює значення для суми значень arcsin і arcos, а також arcctg і arcctg одного і того ж кута.
Приклади розв'язання задач
Завдання з тригонометрії можна умовно поділити на чотири групи: обчислити числове значення конкретного виразу, побудувати графік цієї функції, знайти її область визначення або ОДЗ та виконати аналітичні перетворення на вирішення прикладу.
При вирішенні першого типу завдань необхідно дотримуватись наступного плану дій:
При роботі з графіками функцій головне – це знання їх властивостей та зовнішнього виглядукривою. Для розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей необхідні таблиці тотожностей. Що більше формул пам'ятає школяр, то простіше знайти відповідь завдання.
Допустимо в ЄДІ необхідно знайти відповідь для рівняння типу:
Якщо правильно перетворити вираз і привести до потрібного вигляду, вирішити його дуже просто і швидко. Для початку перенесемо arcsin x у праву частину рівності.
Якщо згадати формулу arcsin (sin α) = α, то можна звести пошук відповідей до вирішення системи із двох рівнянь:
Обмеження на модель x виникло, знов-таки з властивостей arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, частина системи є квадратне рівнянняз корінням x1 = 1 та x2 = - 1/a. При a = 0, x дорівнюватиме 1.
Зворотні тригонометричні функції (Кругові функції, аркфункції) - математичні функції, які є зворотними до тригонометричних функцій.
Арксинус(позначається як arcsin x; arcsin x- це кут, sinйого дорівнює x).
Арксинус (y = arcsin x) - зворотна тригонометрична функція до sin (x = sin y), яка має область визначення та безліч значень 
. Тобто повертає кут за значенням його sin.
Функція y=sin xбезперервна і обмежена на всій своїй числовій прямій. Функція y=arcsin x- Суворо зростає.
Властивості функції arcsin.
Графік арксинусу.
Отримання функції arcsin.
Є функція y = sin x. На всій своїй області визначення вона шматково-монотонна, таким чином, зворотна відповідність y = arcsin xне є функцією. Тому розглядаємо відрізок, на якому вона тільки зростає та набуває кожного значення області значень — . Т.к. для функції y = sin xна інтервалі всі значення функції виходить при одному значенні аргументу, значить, на цьому відрізку є зворотна функція y = arcsin x, у якої графік є симетричним графіком функції y = sin xна відрізку щодо прямої y = x.
Визначення та позначення
Арксинус (y = arcsin x) – це функція, зворотна до синуса (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1і безліч значень - /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Арксинус іноді позначають так:
.
Графік функції арксинус
Графік функції y = arcsin x
Графік арксинусу виходить із графіка синуса, якщо поміняти місцями осі абсцис та ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому монотонна функція. Таке визначення називають основним значенням арксинусу.
Арккосинус, arccos
Визначення та позначення
Арккосинус (y = arccos x) - це функція, зворотна до косінус (x = cos y). Він має область визначення -1 ≤ x ≤ 1і безліч значень 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Арккосинус іноді позначають так:
.
Графік функції арккосинус
Графік функції y = arccos x
Графік арккосинусу виходить із графіка косинуса, якщо поміняти місцями осі абсцис та ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому монотонна функція. Таке визначення називають головним значенням арккосинусу.
Парність
Функція арксинус є непарною:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Функція арккосинус не є парною або непарною:
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Властивості - екстремуми, зростання, спадання
Функції арксинус і арккосинус безперервні у своїй області визначення (див. доказ безперервності). Основні властивості арксинусу та арккосинусу представлені у таблиці.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Область визначення та безперервність | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Область значень | ||
| Зростання, спадання | монотонно зростає | монотонно зменшується |
| Максимуми | ||
| Мінімуми | ||
| Нулі, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Крапки перетину з віссю ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Таблиця арксинусів та арккосинусів
У цій таблиці представлені значення арксинусов і арккосинусов, у градусах і радіанах, при деяких значеннях аргументу.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| град. | радий. | град. | радий. | |
| - 1 | - 90 ° | - | 180 ° | π |
| - | - 60 ° | - | 150 ° | |
| - | - 45 ° | - | 135° | |
| - | - 30 ° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Формули
Див. також: Виведення формул зворотних тригонометричних функційФормули суми та різниці
при або
при і
при і
при або
при і
при і
при
при
при
при
Вирази через логарифм, комплексні числа
Див. також: Виведення формулВирази через гіперболічні функції
Похідні
;
.
Див. Виведення похідних арксинусу та арккосинусу.
Похідні вищих порядків:
,
де - багаточлен ступеня. Він визначається за формулами:
;
;
.
Див. Виведення похідних вищих порядків арксинусу та арккосинусу.
Інтеграли
Робимо підстановку x = sin t. Інтегруємо частинами, враховуючи що -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Виразимо арккосинус через арксинус:
.
Розкладання в ряд
За |x|< 1
має місце наступне розкладання:
;
.
Зворотні функції
Зворотними до арксинусу та арккосинусу є синус та косинус відповідно.
Наступні формули справедливі на всій області визначення:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Наступні формули справедливі лише на безлічі значень арксинусу та арккосинусу:
arcsin(sin x) = xпри
arccos(cos x) = xпри .
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
Оскільки тригонометричні функції періодичні, зворотні до них функції не однозначні. Так, рівняння y = sin xПри заданому , має нескінченно багато коренів. Справді, через періодичність синуса, якщо x такий корінь, то й x + 2πn(де n ціле) теж буде коренем рівняння. Таким чином, зворотні тригонометричні функції багатозначні. Щоб із нею було простіше працювати, вводять поняття їхніх основних значень. Розглянемо, наприклад, синус: y = sin x. Якщо обмежити аргумент x інтервалом, то на ньому функція y = sin xмонотонно зростає. Тому вона має однозначну зворотну функцію, яку називають арксинусом: x = arcsin y.
Якщо не обумовлено, то під зворотними тригонометричними функціями мають на увазі їх основні значення, які визначаються такими визначеннями.
Арксинус ( y = arcsin x) - це функція, зворотна до синусу ( x = sin y
Арккосинус ( y = arccos x) - це функція, зворотна до косинусу ( x = cos y), що має область визначення та безліч значень .
Арктангенс ( y = arctg x) - це функція, зворотна до тангенсу ( x = tg y), що має область визначення та безліч значень .
Арккотангенс ( y = arcctg x) - це функція, зворотна до котангенсу ( x = ctg y), що має область визначення та безліч значень .
Графіки зворотних тригонометричних функцій
Графіки зворотних тригонометричних функцій виходять із графіків тригонометричних функцій дзеркальним відображенням щодо прямої y = x. Див. розділи Синус, косінус , Тангенс, котангенс.
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctg x
y = arcctg x
Основні формули
Тут слід особливо звернути увагу до інтервали, котрим справедливі формули.
arcsin(sin x) = xпри
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xпри
cos(arccos x) = x
arctg(tg x) = xпри
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xпри
ctg(arcctg x) = x
Формули, що пов'язують зворотні тригонометричні функції
Див. також: Виведення формул зворотних тригонометричних функційФормули суми та різниці
при або
при і
при і
при або
при і
при і
при
при
при
при
при
при
при
при
при
при
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.