Піфагорові трійкичисел
учня 8 ”A”класу
МАОУ "Гімназія №1"
Жовтневого району м. Саратова
Панфілова Володимира
Керівник – учитель математики вищої категорії
Гришина Ірина Володимирівна
Зміст
Вступ……………………………………………………………………………………3
Теоретична частина роботи
Знаходження основного Піфагорового трикутника
(Формули древніх індусів)………………………………………………………………4
Практична частина роботи
Складання піфагорових трійок різними способами……………………........6
Важлива властивість піфагорових трикутників……………………………………...8
Заключение………………………………………………………………………………....9
Література….……………………………………………………………………………...10
Вступ
В цьому навчальному роціпід час уроків математики ми вивчили одну з найпопулярніших теорем геометрії – теорему Піфагора. Теорема Піфагора застосовується в геометрії на кожному кроці, вона знайшла широке застосування у практиці та повсякденному житті. Але, крім самої теореми, ми вивчили також теорему, зворотну до теореми Піфагора. У зв'язку з вивченням цієї теореми, ми відбулося знайомство з піфагоровими трійками чисел, тобто. з наборами із 3-х натуральних чиселa , b іc , Для яких справедливе співвідношення: = + . До таких наборів відносять, наприклад, такі трійки:
3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37
У мене одразу виникли питання: а скільки піфагорових трійок можна вигадати? А як їх складати?
У нашому підручнику геометрії після викладу теореми, зворотної теоремиПіфагора, було зроблено важливе зауваження: можна довести, що катетиа іb та гіпотенузаз прямокутних трикутників, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, можна знаходити за формулами:
а = 2kmn b = k ( - ) c = k ( + , (1)
деk , m , n - будь-які натуральні числа, причомуm > n .
Звичайно, виникає питання – як довести дані формули? І чи за цими формулами можна складати піфагорові трійки?
У своїй роботі я здійснив спробу відповісти на питання, що виникли в мене.
Теоретична частина роботи
Знаходження основного Піфагорова трикутника (формули стародавніх індусів)
Спочатку доведемо формули (1):
Позначимо довжини катетів черезх іу , а довжину гіпотенузи черезz . По теоремі Піфагора маємо рівність:+ = .(2)
Це рівняння називають рівнянням Піфагора. Дослідження піфагорових трикутників зводиться до розв'язання у натуральних числах рівняння (2).
Якщо кожну сторону деякого піфагорового трикутника збільшити в те саме число разів, то отримаємо новий прямокутний трикутник, подібний до цього зі сторонами, вираженими натуральними числами, тобто. знову піфагорів трикутник.
Серед усіх подібних трикутників є найменший, легко здогадатися, що це буде трикутник, сторони якогох іу виражаються взаємно простими числами
(НОД (х,у )=1).
Такий піфагорів трикутник назвемоосновним .
Знаходження основних піфагорових трикутників.
Нехай трикутник (x , y , z ) – основний піфагорів трикутник. Числах іу - Взаємно прості, і тому не можуть бути обидва парними. Доведемо, що вони не можуть бути обидва та непарні. Для цього зауважимо, щоквадрат непарного числа при розподілі на 8 дає у залишку 1. Насправді, будь-яке непарне натуральне число можна у вигляді2 k -1 , деk належитьN .
Звідси: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.
Числа( k -1) іk - Послідовні, одне з них обов'язково парне. Тоді виразk ( k -1) ділиться на2 , 4 k ( k -1) ділиться на 8, отже, число при розподілі на 8 дає у залишку 1.
Сума квадратів двох непарних чисел дає при розподілі на 8 у залишку 2, отже, сума квадратів двох непарних чисел є числом парним, але не кратним 4, а тому це числоможе бути квадратом натурального числа.
Отже, рівність (2) не може мати місця, якщоx іу обидва непарні.
Таким чином, якщо піфагорів трикутник (х, у, z ) - основний, то серед чиселх іу одне має бути парним, а інше – непарним. Нехай число у є парним. Числах іz непарні (непарністьz випливає з рівності (2)).
З рівняння+ = отримуємо, що= ( z + x )( z - x ) (3).
Числаz + x іz - x як сума та різницю двох непарних чисел – числа парні, а тому (4):
z + x = 2 a , z - x = 2 b , деа іb належатьN .
z + x =2 a , z - x = 2 b ,
z = a+b , x = a - b. (5)
З цих рівностей випливає, щоa іb - Взаємно прості числа.
Доведемо це, розмірковуючи від неприємного.
Нехай НОД (a , b )= d , деd >1 .
Тодіd z іx , а отже, і чиселz + x іz - x . Тоді на підставі рівності (3) було б дільником числа . В такому випадкуd був би спільним дільником чиселу іх , але числау іх мають бути взаємно простими.
Числоу , як відомо, парне, томуу = 2с , дез - натуральне число. Рівність (3) на підставі рівності (4) набуває такого вигляду: =2а*2 b , або = ab.
З арифметики відомо, щоякщо добуток двох взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, то кожне із цих чисел також є квадратом натурального числа.
Значить,а = іb = , деm іn - Взаємно прості числа, т.к. вони є дільниками взаємно простих чисела іb .
На підставі рівності (5) маємо:
z = + , x = - , = ab = * = ; с = mn
Тодіу = 2 mn .
Числаm іn , т.к. є взаємно простими, неможливо знайти одночасно парними. Але й непарними одночасно не можуть, т.к. в цьому випадкух = - було б парним, що неможливо. Отже, одне з чисел,m абоn парне, а інше непарне. Очевидно,у = 2 mn ділиться на 4. Отже, у кожному основному трикутнику піфагорів хоча б один з катетів ділиться на 4. Звідси випливає, що немає піфагорових трикутників, всі сторони якого були б простими числами.
Отримані результати можна виразити у вигляді наступної теореми:
Усі основні трикутники, в якиху є парним числом, що виходять з формули
х = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), деm іn – всі пари взаємно простих чисел, у тому числі одне є парним, інше непарним (байдуже, яке). Кожна основна піфагорова трійка (х, у, z ), деу - парне, - визначається цим способом однозначно.
Числаm іn не можуть бути обидва парні або обидва непарні, т.к. у цих випадках
х = були б парними, що неможливо. Отже, одне із чиселm абоn парно, а інше непарно (y = 2 mn ділиться на 4).
Практична частина роботи
Складання піфагорових трійок різними способами
У формулах індусівm іn - Взаємно прості, але можуть бути числами довільної парності і складати піфагорові трійки за ними досить важко. Тому спробуємо знайти інший підхід до складання піфагорових трійок.
= - = ( z - y )( z + y ), дех - непарне,y - парне,z - непарне
v = z - y , u = z + y
= uv , деu - непарне,v - непарне (взаємно прості)
Т.к. добуток двох непарних взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, тоu = , v = , деk іl - Взаємно прості, непарні числа.
z - y = z + y = k 2 , звідки, складаючи рівності та віднімаючи з одного інше, отримуємо:
2 z = + 2 y = - тобто
z = y = x = kl
k
l
x
y
z
37
9
1
9
40
41 (sнулів)*(100…0 (sнулів) +1)+1 =200…0 (S-1нулів) 200…0 (S-1нулів) 1
Важлива властивість піфагорових трикутників
Теорема
В основному пифагоровому трикутнику один з катетів обов'язково ділиться на 4, один з катетів обов'язково ділиться на 3 і площа пифагорового трикутника обов'язково кратна 6.
Доказ
Як нам відомо, у кожному піфагоровому трикутнику хоча б один із катетів ділиться на 4.
Доведемо, що один із катетів ділиться і на 3.
Для підтвердження припустимо, що в піфагоровому трикутнику (x , y , z x абоy кратно 3.
Тепер доведемо, що площа піфагорового трикутника поділяється на 6.
Кожен піфагорів трикутник має площу, що виражається натуральним числом, кратним 6. Це випливає з того, що хоча б один з катетів ділиться на 3 і хоча б один з катетів ділиться на 4. Площа трикутника, що визначається напівтвором катетів, повинна виражатися числом, кратним 6 .
Висновок
В роботі
- доведено формули стародавніх індусів
-проведено дослідження на кількість піфагорових трійок (їх нескінченно багато)
-зазначені способи знаходження піфагорових трійок
-Вивчені деякі властивості піфагорових трикутників
Для мене це була дуже цікава темаі знаходити відповіді на мої запитання стало дуже цікавим заняттям. Надалі я планую розглянути зв'язок піфагорових трійок із послідовністю Фібоначчі та теоремою Ферма та дізнатися ще багато властивостей піфагорових трикутників.
Література
Л.С. Атанасян "Геометрія. 7-9 класи" М: Просвітництво, 2012.
В. Серпінський "Піфагорові трикутники" М.: Учпедгіз, 1959.
Саратов
2014
Важливий приклад діофантового рівняння дає теорема Піфагора, що зв'язує довжини x та y катетів. прямокутного трикутникаіз довжиною z його гіпотенузи:
Ви, звичайно, зустрічали одне із чудових рішень цього рівняння в натуральних числах, а саме піфагорову трійку чисел x = 3, y = 4, z = 5.Чи є такі трійки?
Виявляється піфагорових трійок дуже багато і всі вони давно знайдені. Вони можуть бути отримані за відомими формулами, про які ви дізнаєтесь із цього параграфу.
Якщо діофантові рівняння першого та другого ступеня вже вирішені, то питання про вирішення рівнянь вищих ступенів досі залишається відкритим, незважаючи на зусилля найбільших математиків. В даний час, наприклад, ще остаточно не доведено і не спростовано знамениту гіпотезу Ферма про те, що при будь-якому цілому значенні n2рівняння
у цілих числах немає рішень.
Для вирішення деяких типів діофантових рівнянь корисну роль можуть відіграти так звані комплексні числа.Що це таке? Нехай буквою i позначений об'єкт, який задовольняє умові i 2 = -1(зрозуміло, що жодна дійсна кількість цієї умови не задовольняє). Розглянемо вирази виду α + iβ,де α та β - дійсні числа. Такі вирази будемо називати комплексними числами, визначивши над ними операції додавання та множення, як і над двочленами, але з тією лише різницею, що вираз i 2всюди замінюватимемо числом -1:
7.1. З однієї трійки багато
Доведіть, що якщо x 0 , y 0 , z 0- піфагорова трійка, то трійки y 0 , x 0 , z 0і x 0 k, y 0 k, z 0 kпри будь-якому значенні натурального параметра також є піфагоровими.
7.2. Приватні формули
Перевірте, що за будь-яких натуральних значень m>nтрійка виду
є піфагорової. Чи всяку піфагорову трійку x, y, zможна уявити у такому вигляді, якщо дозволити переставляти місцями числа x та y у трійці?
7.3. Нескоротні трійки
Піфагорову трійку чисел, які мають загального дільника, більшого 1, називатимемо нескоротною. Доведіть, що піфагорова трійка є нескоротною лише у випадку, якщо будь-які два з чисел трійки є взаємно простими.
7.4. Властивість нескоротних трійок
Доведіть, що в будь-якій нескоротній піфагоровій трійці x, y, z число z і одне з чисел x або y є непарними.
7.5. Усі нескоротні трійки
Доведіть, що трійка чисел x, y, z є нескоротною піфагоровою трійкою тоді і тільки тоді, коли вона з точністю до порядку перших двох чисел збігається з трійкою 2mn, m2 - n2, m2 + n2,де m>n- Взаємно прості натуральні числа різної парності.
7.6. Загальні формули
Доведіть, що всі рішення рівняння
у натуральних числах задаються з точністю до порядку невідомих x та y формулами
де m>n і k - натуральні параметри (щоб виключити дублювання будь-яких трійок, досить вибирати числа тип взаємно простими і ще різної парності).
7.7. Перші 10 трійок
Знайдіть усі піфагорові трійки x, y, z,що задовольняють умові x
7.8. Властивості піфагорових трійок
Доведіть, що для будь-якої піфагорової трійки x, y, zсправедливі твердження:
а) хоча б одне із чисел x або y кратно 3;
б) хоча б одне із чисел x або y кратно 4;
в) хоча б одне із чисел x, y або z кратно 5.
7.9. Застосування комплексних чисел
Модулем комплексного числа α + iβназивається невід'ємне число
Перевірте, що для будь-яких комплексних чисел α + iβі γ + iδвиконується властивість
Користуючись властивостями комплексних чисел та їх модулів, доведіть, що будь-які два цілих числа m і n задовольняють рівності
тобто задають рішення рівняння
цілих числах (порівняйте із завданням 7.5).
7.10. Непіфагорові трійки
Користуючись властивостями комплексних чисел та їх модулів (див. задачу 7.9), знайдіть формули для будь-яких цілісних розв'язків рівняння:
а) x 2 + y 2 = z 3; б) x 2 + y 2 = z4.
Рішення
7.1. Якщо x 0 2 + y 0 2 = z 0 2то y 0 2 + x 0 2 = z 0 2і за будь-якого натурального значення k маємо
що і потрібно було довести.
7.2. З рівностей
укладаємо, що вказана в задачі трійка задовольняє рівняння x 2 + y 2 = z 2у натуральних числах. Проте не будь-яку піфагорову трійку x, y, zможна уявити у такому вигляді; наприклад, трійка 9, 12, 15 є піфагорової, але число 15 не є у вигляді суми квадратів будь-яких двох натуральних чисел m і n.
7.3. Якщо якісь два числа з піфагорової трійки x, y, zмають спільний дільник d, то він буде дільником і третього числа (так, у разі x = x 1 d, y = y 1 dмаємо z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2) d 2звідки z 2 поділяється на d 2 і z поділяється на d). Тому для нескоротності піфагорової трійки необхідно, щоб будь-які два з чисел трійки були взаємно простими,
7.4. Зауважимо, що одне з чисел x або y, скажімо x, нескоротної піфагорової трійки x, y, zє непарним, оскільки інакше числа x і y були б взаємно простими (див. завдання 7.3). Якщо при цьому інше число y також непарне, то обидва числа
дають залишок 1 при розподілі на 4 а число z 2 = x 2 + y 2дає при розподілі на 4 залишок 2, тобто. воно ділиться на 2, але не ділиться на 4, чого не може бути. Таким чином, число y має бути парним, а число z, отже, непарним.
7.5. Нехай піфагорова трійка x, y, zнескоротна і для визначеності число x парне, а числа y, z непарні (див. задачу 7.4). Тоді
де числа 
є цілими. Доведемо, що числа а та b взаємно прості. Справді, якби вони мали спільний дільник, більший за 1, то такий самий дільник мали б і числа z = a + b, y = a - b,т. е. трійка була б нескоротною (див. задачу 7.3). Тепер, розкладаючи числа а і b у твори простих множників, зауважуємо, що будь-який простий множник повинен входити до твору 4ab = x 2тільки парною мірою, причому якщо він входить у розкладання числа а, то не входить у розкладання числа b і навпаки. Тому будь-який простий множник входить у розкладання числа а чи b окремо лише парною мірою, отже, самі ці числа є квадратами цілих чисел. Покладемо 
тоді отримаємо рівності
причому натуральні параметри m>n взаємно прості (внаслідок взаємної простоти чисел а і b) і мають різну парність (через непарність числа z = m 2 + n 2).
Нехай тепер натуральні числа m>n різної парності є простими. Тоді трійка х = 2mn, y = m2 - n2, z = m2 + n2, згідно з затвердженням задачі 7.2, є піфагоровою. Доведемо, що вона є нескоротною. Для цього достатньо перевірити, що числа y та z не мають спільних дільників (див. задачу 7.3). Справді, обидва ці числа непарні, оскільки числа мають різну парність. Якщо ж числа y і z мають якийсь простий спільний дільник (тоді вже обов'язково непарний), то такий же дільник має і кожне з чисел і з ними і кожне з чисел m і n, що суперечить їх взаємній простоті.
7.6. В силу тверджень, сформульованих у задачах 7.1, 7.2, зазначені формули задають лише піфагорові трійки. З іншого боку, будь-яка піфагорова трійка x, y, zпісля її скорочення на найбільший загальний дільник k пари чисел x та y стає нескоротним (див. задачу 7.3) і, отже, може бути представлена з точністю до порядку чисел x та y у вигляді, описаному в задачі 7.5. Тому будь-яка піфагорова трійка визначається зазначеними формулами при деяких значеннях параметрів.
7.7. З нерівності z та формул задачі 7.6 отримуємо оцінку m 2 тобто. m≤5. Вважаючи m = 2, n = 1і k = 1, 2, 3, 4, 5,отримуємо трійки 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Вважаючи m = 3, n = 2і k = 1, 2,отримуємо трійки 5, 12, 13; 10, 24, 26. Вважаючи m = 4, n = 1, 3і k = 1,отримуємо трійки 8, 15, 17; 7, 24, 25. Нарешті, вважаючи m = 5, n = 2і k = 1,отримуємо трійку 20, 21, 29.
Навчальна: вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування у різних ситуаціях, скласти пам'ятку щодо їх використання.Хід уроку
I. Організаційний момент
ІІ. Пояснення нового матеріалу
Вчитель: Загадка привабливої сили піфагорових трійок давно хвилює людство. Унікальні властивості піфагорових трійок пояснюють їхню особливу роль у природі, музиці, математиці. Піфагорове заклинання, теорема Піфагора, залишається у мозку мільйонів, а то й мільярдів, людей. Це – фундаментальна теорема, заучувати яку змушують кожного школяра. Незважаючи на те, що теорема Піфагора доступна розумінню десятирічних, вона є надихаючим початком проблеми, при вирішенні якої зазнали фіаско найбільших уми в історії математики, теорема Ферма. Піфагор із острова Самос (див. Додаток 1 , слайд 4) був однією з найвпливовіших і тим не менш загадкових фігур у математиці. Оскільки достовірних повідомлень про його життя та роботу не збереглося, його життя виявилося оповитим міфами та легендами, і історикам буває важко відокремити факти від вигадки. Не підлягає сумніву, однак, що Піфагор розвинув ідею про логіку чисел і що йому ми зобов'язані першим золотим століттям математики. Завдяки його генію, числа перестали використовуватися тільки для рахунку та обчислень та були вперше гідно оцінені. Піфагор вивчав властивості певних класів чисел, співвідношення між ними та фігури, що утворюють числа. Піфагор зрозумів, що числа є незалежно від матеріального світу, і тому на вивченні чисел не позначається неточність наших органів чуття. Це означало, що Піфагор знайшов можливість відкривати істини, незалежні від будь-чиєї думки або забобону. Істини більш абсолютні, ніж будь-яке попереднє знання. На основі вивченої літератури, що стосується піфагорових трійок, нас буде цікавити можливість застосування піфагорових трійок при вирішенні задач тригонометрії. Тому ми поставимо собі за мету: вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування, скласти пам'ятку щодо їх використання, провести дослідження щодо їх застосування в різних ситуаціях.
Трикутник ( слайд 14), сторони якого дорівнюють піфагоровим числам, є прямокутним. З іншого боку, будь-який такий трикутник є героновим, тобто. таким, у якого всі сторони та площа є цілими. Найпростіший із них – єгипетський трикутник зі сторонами (3, 4, 5).
Складемо ряд піфагорових трійок шляхом примноження чисел (3, 4, 5) на 2, на 3, на 4. Отримаємо ряд піфагорових трійок, відсортуємо їх за зростанням максимальної кількості, виділимо примітивні.
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).
ІІІ. Хід уроку
1. Покрутимося навколо завдань:
1) Використовуючи співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу знайдіть, якщо
відомо що .
2) Знайдіть значення тригонометричних функцій кута?, якщо відомо, що:
3) Система тренувальних завдань на тему “Формули складання”
знаючи, що sin = 8/17, cos = 4/5, і – кути першої чверті, знайдіть значення виразу:
знаючи, що і – кути другої чверті, sin = 4/5, cos = – 15/17, знайдіть: .
4) Система тренувальних завдань на тему “Формули подвійного кута”
a) Нехай sin = 5/13 – кут другої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.
b) Відомо що tg? = 3/4 – кут третьої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.
c) Відомо, що 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.
d) Відомо, що 
, < < 2.
Найдите sin, cos, tg.
e) Знайдіть tg( + ), якщо відомо, що cos = 3/5, cos = 7/25, де і – кути першої чверті.
f) Знайдіть 
, - Кут третьої чверті.
Розв'язуємо задачу традиційним способом з використанням основних тригонометричних тотожностей, а потім вирішуємо ці завдання більш раціональним способом. Для цього використовуємо алгоритм розв'язання задач з використанням піфагорових трійок. Складаємо пам'ятку розв'язання задач з використанням піфагорових трійок. Для цього згадуємо визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, гострого кута прямокутного трикутника, зображуємо його, залежно від умов задачі на сторонах прямокутного трикутника правильно розставляємо піфагорові трійки ( Рис. 1). Записуємо співвідношення та розставляємо знаки. Алгоритм вироблено.
|
Малюнок 1
Алгоритм розв'язання задач
Повторити (вивчити) теоретичний матеріал.
Знати напам'ять примітивні піфагорові трійки і за необхідності вміти конструювати нові.
Застосовувати теорему Піфагора для точок із раціональними координатами.
Знати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута прямокутного трикутника, вміти зобразити прямокутний трикутник і залежно від умови завдання правильно розставити піфагорові трійки на сторонах трикутника.
Знати знаки синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежно від їх розташування в координатній площині.
Необхідні вимоги:
- знати, які знаки синус, косинус, тангенс, котангенс мають у кожній із чвертей координатної площини;
- знати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута прямокутного трикутника;
- знати та вміти застосовувати теорему Піфагора;
- знати основні тригонометричні тотожності, формули додавання, формули подвійного кута, формули половинного аргументу;
- знати формули наведення.
З урахуванням вищевикладеного заповнимо таблицю ( Таблиця 1). Її потрібно заповнювати, слідуючи визначенню синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу або з використанням теореми Піфагора для точок з раціональними координатами. При цьому необхідно пам'ятати знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенса в залежності від їх розташування в координатній площині.
Таблиця 1
 |
Трійки чисел | sin | cos | tg | ctg | ||
| (3, 4, 5) | I год. | ||||||
| (6, 8, 10) | ІІ год. | - | - | ||||
| (5, 12, 13) | ІІІ год. | - | - | ||||
| (8, 15, 17) | IV год. | - | - | - | |||
| (9, 40, 41) | I год. | ||||||
Для успішної роботи можна скористатися пам'яткою застосування піфагорових трійок.
Таблиця 2
 |
 |
 |
|
|
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), … |
|||
2. Вирішуємо разом.
1) Завдання: знайдіть cos, tg і ctg, якщо sin = 5/13, якщо кут другої чверті.
Безкровний І.М. 1
1 OAO «Ангстрем-М»
Метою роботи є розробка методів та алгоритмів обчислення піфагорових трійок виду a2+b2=c2. Процес аналізу здійснювався відповідно до принципів системного підходу. Поряд із математичними моделями, використані графічні моделі, що відображають кожен член піфагорової трійки у вигляді складових квадратів, кожен з яких складається із сукупності одиничних квадратів. Встановлено, що нескінченна безлічпіфагорові трійки містять нескінченну кількість підмножин, що розрізняють за ознакою різниці величин b-c. Запропоновано алгоритм формування піфагорових трійок із будь-яким наперед заданим значенням цієї різниці. Показано, що піфагорові трійки існують для будь-якого значення 3≤a
Піфагорові трійки
системний аналіз
математична модель
графічна модель
1. Аносов Д.М. Погляд на математику і щось із неї. - М.: МЦНМО, 2003. - 24 с.: іл.
2. Айєрланд К., Роузен М. Класичне введення у сучасну теорію чисел. - М.: Світ, 1987.
3. Безкровний І.М. Системний аналіз та інформаційні технологіїв організаціях: Навчальний посібник. - М.: РУДН, 2012. - 392 с.
4. Саймон Сінгх. Велика теорема Ферма.
5. Ферма П. Дослідження з теорії чисел та діофантового аналізу. - М.: Наука, 1992.
6. Yaptro. Ucoz, Available at: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.
Піфагорові трійки є когорти з трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора x2 + y2 = z2. Взагалі кажучи, це окремий випадокДіофантових рівнянь, а саме системи рівнянь, у яких число невідомих більше, ніж число рівнянь . Відомі вони давно, ще з часів Вавилону, тобто задовго до Піфагора. А назви вони набули після того, як Піфагор на їх основі довів свою знамениту теорему. Однак, як випливає з аналізу численних джерел, в яких питання про піфагорових трійках тією чи іншою мірою торкається досі не розкрите повною мірою питання про існуючі класи цих трійок та про можливих способахїх формування.
Так у книзі Саймона Сінгха говориться: - «Учні та послідовники Піфагора … розповіли світові секрет знаходження так званих піфагорових троє к.». Однак, слідом за цим читаємо: - «Піфагорійці мріяли знайти й інші піфагорійські трійки, інші квадрати, з яких можна було б скласти третій квадрат великих розмірів. ...У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються дедалі рідше, і знаходити їх стає все важче і важче. Піфагорійці винайшли метод відшукання таких трійок і, користуючись ним, довели, що піфагорових трійок існує безліч».
У наведеній цитаті виділені слова, що викликають подив. Чому «Піфагорійці мріяли знайти…», якщо вони «винайшли метод відшукання таких трійок…», і чому для великих чисел"Знаходити їх стає все важче і важче ...".
Діяльність відомого математика Д.В. Аносова шукана відповідь, начебто, наведено. - «Є такі трійки натуральних (тобто цілих позитивних) чисел x, y, z, що
x2 + y2 = z2. (1)
…Чи можна знайти всі рішення рівняння x2+y2=z2 у натуральних числах? …Так. Відповідь така: кожне таке рішення можна подати у вигляді
x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),
де l, m, n - натуральні числа, причому m>n, або в аналогічному вигляді, в якому x та y змінюються місцями. Можна трохи коротше сказати, що x, y, z (2) з всілякими натуральними l і m > n суть всі можливі рішення (1) з точністю до перестановки x і y. Наприклад, трійка (3, 4, 5) виходить за l=1, m=2, n=1. ... Мабуть, вавилоняни знали цю відповідь, але як вони до неї прийшли – невідомо».
Зазвичай математики відомі своєю вимогливістю до суворості своїх формулювань. Проте, у цій цитаті такої суворості немає. То що саме: знайти чи уявити? Очевидно, що це зовсім різні речі. Ось нижче наводиться рядок «свіжоспечених» трійок (отримані способом, що описується нижче):
12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.
Не викликає сумнівів, що кожну з цих трійок можна подати у вигляді співвідношення (2) і після цього обчислити значення l, m, n. Але це вже після того, як всі значення трійок були знайдені. А як бути до того?
Не можна виключити те, що відповіді на ці питання давно відомі. Але їх чомусь знайти, доки не вдалося. Таким чином, метою цієї роботи є системний аналіз сукупності відомих прикладів піфагорових трійок, пошук системоутворюючих відносин у різних групах трійок та виявлення системних ознак характерних для цих груп і, потім - розробка простих ефективних алгоритмів розрахунку трійок із попередньо заданою конфігурацією. Під конфігурацією розумітимемо відносини між величинами, що входять до складу трійки.
Як інструментарій буде використаний математичний апарат на рівні, що не виходить за рамки математики, що викладається в середній школі, і системний аналіз з урахуванням методів, викладених у .
Побудова моделі
З позицій системного аналізу будь-яка піфагорова трійка є системою, утвореною об'єктами, якими є три числа та їх властивості. Їхня сукупність, в якій об'єкти поставлені в певні відносини і утворюють систему, що володіє новими властивостями, що не притаманні ні окремим об'єктам, ні будь-якій їхній сукупності, де об'єкти поставлені в інші відносини.
У рівнянні (1), об'єктами системи є натуральні числа, пов'язані простими алгебраїчними співвідношеннями: ліворуч від знака рівність коштує сума двох чисел, зведених до ступеня 2, праворуч - третє число, також зведене до ступеня 2. Окремо взяті числа, ліворуч від рівності, будучи зведені в ступінь 2, не накладають жодних обмежень на операцію їх підсумовування - результуюча сума може бути будь-якої. Але, знак рівності, поставлений після операції підсумовування, накладає значення цієї суми системне обмеження: сума має бути таким числом, щоб результатом операції вилучення кореня квадратного стало натуральне число. І це умова виконується задля будь-яких чисел, підставлюваних у ліву частину рівності. Таким чином, знак рівності, поставлений між двома членами рівняння та третім, перетворює трійку членів на систему. Новою властивістю цієї системи є запровадження обмежень на значення вихідних чисел.
Виходячи з форми запису, піфагорова трійка може розглядатися як математична модель геометричної системи, що складається з трьох квадратів, пов'язаних між собою відносинами підсумовування та рівності, як це показано на рис. 1. Мал. 1 є графічною моделлю аналізованої системи, а вербальною її моделлю є твердження:
Площа квадрата з довжиною сторони c може бути розділена без залишку на два квадрати з довжинами сторін a і b, таких, що сума їх площ дорівнює площі вихідного квадрата, тобто всі три величини a, b, і c, пов'язані співвідношенням
Графічна модель розкладання квадрата
У межах канонів системного аналізу відомо, що й математична модель адекватно відображає властивості якоїсь геометричної системи, то аналіз властивостей самої цієї системи дозволяє уточнити властивості її математичної моделі, глибше їх пізнати, уточнити, і, за необхідності, удосконалити. Цього шляху ми й дотримуватимемося.
Уточнимо, що згідно з принципами системного аналізу операції складання та віднімання можуть проводитися лише над складовими об'єктами, тобто об'єктами, складеними із сукупності елементарних об'єктів. Тому сприйматимемо будь-який квадрат, як фігуру, складену із сукупності елементарних, або одиничних квадратів. Тоді умова отримання рішення у натуральних числах еквівалентно прийняти умови, що одиничний квадрат неподільний.
Одиничним квадратом називатимемо квадрат, у якого довжина кожної зі сторін дорівнює одиниці. Тобто при площі одиничного квадрата визначає наступне вираз.
Кількісним параметром квадрата є його площа, яка визначається кількістю одиничних квадратів, які можна розмістити на цій площі. Для квадрата з довільним значенням x, вираз x2 визначає величину площі квадрата, утвореного відрізками довжиною x одиничних відрізків. На площі цього квадрата можна розміщувати x2 одиничних квадратів.
Наведені визначення можуть бути сприйняті як очевидні та очевидні, але це не так. Д.М. Аносов визначає поняття площа по-іншому: - «…площа фігури дорівнює сумі площ її частин. Чому ми впевнені, що це так? …Ми уявляємо собі фігуру зробленого з якогось однорідного матеріалу, тоді її площа пропорційна кількості речовини, що міститься в ній, - її масі. Далі мається на увазі, що коли ми поділяємо тіло на кілька частин, сума їх мас дорівнює масі вихідного тіла. Це зрозуміло, тому що все складається з атомів і молекул, і якщо їх число не змінилося, то не змінилася і їхня сумарна маса… Адже, власне, маса шматка однорідного матеріалу пропорційна його обсягу; отже, треба зазначити, що обсяг «аркуша», має форму цієї постаті, пропорційний її площі. Словом, що площа фігури дорівнює сумі площ її частин, в геометрії треба це доводити. … У підручнику Кисельова існування площі, що має ту саму властивість, яку ми зараз обговорюємо, чесно постулювалося як таке собі припущення, причому говорилося, що це насправді вірно, але ми цього доводити не будемо. Тож і теорема Піфагора, якщо її доводити з площами, у суто логічному відношенні залишиться не зовсім доведеною».
Нам видається, що введені вище визначення одиничного квадрата знімають зазначену Д.М. Аносова невизначеність. Адже якщо величина площі квадрата і прямокутника визначається сумою одиничних квадратів, що їх заповнюють, то при розбитті прямокутника на довільні, прилеглі один до одного частини площа прямокутника природно дорівнює сумі всіх його частин.
Понад те, введені визначення знімають невизначеність використання понять «розділити» і «скласти» стосовно абстрактним геометричним постатям. Справді, що означає розділити прямокутник чи будь-яку іншу плоску фігуруна шматки? Якщо це аркуш паперу, його можна розрізати ножицями. Якщо земельну ділянку – поставити паркан. Кімнату – поставити перегородку. А якщо це намальований квадрат? Провести розділову лінію та заявити, що квадрат розділено? Але ж говорив Д.І. Менделєєв: «…Заявити можна все, а ти - мабуть, демонструй!»
А при використанні запропонованих визначень «Розділити фігуру» означає розділити кількість одиничних квадратів, що заповнюють цю фігуру, на дві (або більше) частин. Кількість одиничних квадратів у кожній з таких частин визначає її площу. Конфігурацію цим частинам можна надавати довільну, але при цьому сума їх площ завжди дорівнюватиме площі вихідної фігури. Можливо, фахівці-математики визнають ці міркування некоректними, тоді приймемо їх за припущення. Якщо в підручнику Кисельова прийнятні такі припущення, то й нам подібним прийомом гріх не скористатися.
Першим етапом системного аналізу є виявлення проблемної ситуації. На початку цього етапу було переглянуто кілька сотень піфагорових трійок, знайдених у різних джерелах. При цьому увагу привернула та обставина, що всю сукупність піфагорових трійок, що згадуються в публікаціях, можна поділити на кілька груп, що відрізняються за конфігурацією. Ознакою специфічної конфігурації вважатимемо різницю довжин сторін вихідного і віднімається квадратів, тобто, величину c-b. Наприклад, у публікаціях досить часто як приклад демонструються трійки, що задовольняють умові c-b = 1 . Приймемо, що вся сукупність таких піфагорових трійок утворює безліч, яку називатимемо «Клас c-1», і проведемо аналіз властивостей цього класу.
Розглянемо три квадрати, представлені малюнку, де c - довжина боку зменшуваного квадрата, b - довжина боку віднімається квадрата і a - довжина боку квадрата, утвореного з їхньої різниці. На рис. 1 видно, що при відніманні площі зменшуваного квадрата площі віднімається квадрата в залишку залишаються дві смуги одиничних квадратів:
Для того, щоб з цього залишку можна було утворити квадрат, необхідно виконання умови
Ці співвідношення дозволяють визначити значення всіх членів трійки по заданому заданому числу c. Найменшим числом c, що задовольняє співвідношення (6), є число c = 5. Отже, були визначені довжини всіх трьох сторін квадратів, які відповідають співвідношенню (1). Нагадаємо, що значення сторони середнього квадрата
було обрано, коли вирішили утворити середній квадрат шляхом зменшення боку вихідного квадрата на одиницю. Тоді із співвідношень (5), (6). (7) отримуємо наступне співвідношення:
з якого випливає, що обране значення c = 5 однозначно визначає значення b = 4, a = 3.
У результаті, отримані співвідношення, що дозволяють уявити будь-яку піфагорову трійку класу «c - 1» у такому вигляді, де значення всіх трьох членів визначаються за одним параметром, що задається - значенням c:
Додамо, що число 5 у наведеному вище прикладі з'явилося як мінімальне з усіх можливих значень c, за яких рівняння (6) має рішення в натуральних числах. Наступне число, що має таку ж властивість, це 13, потім 25, далі 41, 61, 85 і т. д. Як видно, в цьому ряду чисел інтервали між сусідніми числами інтенсивно зростають. Так, наприклад, після допустимого значення , наступне допустиме значення , а після , наступне допустиме значення , тобто допустиме значення віддалено від попереднього більш ніж на п'ятдесят мільйонів!
Тепер зрозуміло, звідки з'явилася ця фраза в книзі: - «У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються дедалі рідше, і знаходити їх стає все важче і важче…». Однак це твердження не є вірним. Варто лише поглянути на піфагорові трійки, що відповідають наведеним вище парам сусідніх значень c, як одразу впадає в око одна особливість - в обох парах, у яких значення c рознесені на такі великі інтервали, значення a виявляються сусідніми непарними числами. Дійсно, для першої пари маємо
і для другої пари
Так що "все рідше зустрічаються" не самі трійки, а інтервали між сусідніми значеннями збільшуються. Самі ж піфагорові трійки, як це буде показано нижче, є для будь-якого натурального числа.
Тепер розглянемо, трійки наступного класу – «Клас c-2». Як видно із рис. 1, при відніманні із квадрата зі стороною c квадрата зі стороною (c - 2), утворюється залишок у вигляді суми двох одиничних смуг. Розмір цієї суми визначається рівнянням:
З рівняння (10) отримуємо співвідношення, що визначає будь-яку з нескінченної множини трійок клас «c-2»:
Умовою існування рішення рівняння (11) у натуральних числах є будь-яке значення c , при якому a є натуральним числом. Мінімальне значення c, за якого рішення існує, становить c = 5. Тоді «стартова» трійка для цього класу трійок визначається набором a = 4, b = 3, c = 5. Тобто, знову, утворюється класична трійка 3, 4, 5 , тільки тепер площа віднімається квадрата менше площі залишку.
І, нарешті, проведемо аналіз трійок класу «с-8». Для цього класу трійок при відніманні площі квадрата з площі с2 вихідного квадрата отримуємо:
Тоді, з рівняння (12) випливає:
Мінімальне значення c, при якому рішення існує: це c = 13. Піфагорова трійка при цьому значенні набуде вигляду 12, 5, 13. У цьому випадку знову площа квадрата, що віднімається, менше площі залишку. А переставивши позначення місцями, отримаємо трійку 5, 12, 13, яка за конфігурацією належить до класу «c - 1». Схоже, що подальший аналіз інших можливих змін нічого нового не відкриє.
Висновок розрахункових співвідношень
У попередньому розділі логіка аналізу розвивалася відповідно до вимог системного аналізу за чотирма з п'яти основних його етапів: аналіз проблемної ситуації, формування цілей, формування функцій та формування структури. Тепер настав час переходити до заключного, п'ятого етапу - перевірка реалізованості, тобто, перевірка того, якою мірою поставлені цілі досягнуті. .
Нижче показано табл. 1, в якій наведено значення піфагорових трійок, що відносяться до класу "c - 1". Більшість трійок зустрічаються у різних публікаціях, але трійки для значень a, рівних 999, 1001 у відомих публікаціях не зустрічалися.
Таблиця 1
Піфагорові трійки класу «С-1»
Можна перевірити, що всі трійки відповідають співвідношенню (3). Таким чином, одну з поставлених цілей досягнуто. Отримані в попередньому розділі співвідношення (9), (11), (13) дозволяють формувати безліч трійок, задаючи єдиний параметр c - сторону зменшуваного квадрата. Це, звичайно, більш конструктивний варіант, ніж співвідношення (2), для використання якого слід задати довільно три числа l, m, n, що мають будь-яке значення, потім шукати рішення, знаючи тільки, що в результаті неодмінно буде отримана піфагорова трійка, а яка - наперед невідомо. У нашому випадку заздалегідь відома конфігурація трійки, що формується, і потрібно задавати тільки один параметр. Зате, на жаль, для кожного значення цього параметра рішення існує. І треба наперед знати його допустимі значення. Так що отриманий результат хороший, проте, далекий від ідеалу. Бажано отримати таке рішення, щоб піфагорові трійки можна було обчислювати для будь-якого довільно заданого натурального числа. З цією метою повернемося до четвертого етапу – формування структури отриманих математичних співвідношень.
Оскільки вибір величини c як базовий параметр визначення інших членів трійки виявився незручним, слід випробувати інший варіант. Як очевидно з табл. 1, вибір параметра a як базовий є кращим, оскільки значення цього параметра йдуть підряд у ряді непарних натуральних чисел. Після нескладних перетворень наводимо співвідношення (9) до більш конструктивного вигляду:
Співвідношення (14) дозволяють знайти піфагорову трійку для будь-якого наперед заданого непарного значення a. При цьому простота виразу для b дозволяє проводити обчислення навіть без калькулятора. Дійсно, обравши, наприклад, число 13, отримуємо:
А для числа 99 відповідно отримуємо:
Співвідношення (15) дозволяють отримувати значення всіх трьох членів піфагорової троки для будь-якого заданого n, починаючи з n=1.
Тепер розглянемо піфагорові трійки класу «c – 2». У табл. 2 наведено для прикладу десять таких трійок. Причому, у відомих публікаціях було знайдено лише три пари трійок – 8, 15, 23; 12, 35, 36; і 16, 63, 65. Цього виявилося достатньо, щоб визначити закономірності, якими вони формуються. Інші сім було знайдено з виведених раніше співвідношень (11). Для зручності обчислення ці співвідношення були перетворені те щоб всі параметри виражалися через величину a. З (11) з очевидність слід, що це трійки для класу «c - 2» задовольняють наступним співвідношенням:
Таблиця 2
Піфагорові трійки класу «С-2»
Як очевидно з табл. 2, все безліч трійок класу «c - 2» можна розділити на два підкласи. Для трійок, які мають значення a ділиться на 4 без залишку, значення b і c - непарні. Такі трійки, які мають НОД = 1, називають примітивними . Для трійок, у яких значення a не ділиться на 4 у цілих числах, всі три члени трійки a, b, c – парні.
Тепер перейдемо до розгляду результатів аналізу третього із виділених класів – класу «c – 8». Розрахункові співвідношення для цього класу, отримані з (13), мають вигляд:
Співвідношення (20), (21), по суті, ідентичні. Відмінність лише у виборі послідовності дій. Або, відповідно (20) вибирається бажане значення a (в даному випадку потрібно, щоб це значення ділилося на 4), потім, визначаються величини b і c. Або вибирається довільне число, і потім, із співвідношень (21) визначаються всі три члени піфагорової трійки. У табл. 3 наведено ряд піфагорових трійок, обчислених вказаним способом. Однак обчислювати значення піфагорових трійок можна ще простіше. Якщо відомо хоч одне значення , всі наступні значення визначаються дуже просто по наступним співвідношенням:
Таблиця 3
Справедливість співвідношення (22) всім може бути перевірена як у трійках з табл. 2, і за іншими джерелами. Як приклад, у табл. 4 курсивом виділено трійки з великої таблиці піфагорових трійок (10000 трійок), обчислених на основі комп'ютерної програми за співвідношенням (2) та жирним шрифтом - трійки, обчислені за співвідношенням (20). Ці значення у вказаній таблиці були відсутні.
Таблиця 4
Піфагорові трійки класу «С-8»
Відповідно, для трійок виду можуть використовуватися співвідношення:
І для трійок виду<
Слід підкреслити, що розглянуті вище класи трійок «c - 1», «с - 2», «с - 8» становлять понад 90 % серед першої тисячі трійок, наведеної в таблиці . Це дає підстави сприймати зазначені класи як базові. Додамо, що з виведенні співвідношень (22), (23), (24) не використовувалися якісь спеціальні властивості чисел, досліджувані теоретично чисел (прості, взаємно прості та інших.). Виявлені закономірності формування піфагорових трійок обумовлені лише системними властивостями геометричних фігур, що описуються цими трійками - квадратів, що складаються з сукупності одиничних квадратів.
Висновок
Тепер, як сказав Ендрю Уайлс у 1993 р.: «Думаю, мені слід зупинитися на цьому» . Поставленої мети повністю досягнуто. Показано, що аналіз властивостей математичних моделей, структура яких пов'язана з геометричними фігурами, значно спрощується, якщо у процесі аналізу поруч із суто математичними викладками враховуються і геометричні характеристики досліджуваних моделей. Спрощення досягається, зокрема за рахунок того, що дослідник «бачить» результати, не проводячи математичних перетворень.
Наприклад, рівність
стає очевидним без перетворень у лівій його частині, варто лише поглянути на рис. 1, де наведено графічну модель цієї рівності.
В результаті, на основі проведеного аналізу показано, що для будь-якого квадрата зі стороною можуть бути знайдені квадрати зі сторонами b і c, такі, що для них виконується рівність та отримані співвідношення, що забезпечують отримання результатів при мінімальному обсязі обчислень:
для непарних значень a,
та - для парних значень.
Бібліографічне посилання
Безкровний І.М. СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ВЛАСТИВОСТЕЙ ПІФАГОРОВИХ ТРІЙОК // Сучасні наукомісткі технології. - 2013. - № 11. - С. 135-142;URL: http://сайт/ua/article/view?id=33537 (дата звернення: 20.03.2020). Пропонуємо до вашої уваги журнали, що видаються у видавництві «Академія Природознавства»
Зручний і дуже точний спосіб, що використовується землемірами для проведення на перпендикулярних ліній, полягає в наступному. Нехай через точку А потрібно до прямої MN провести перпендикуляр (рис. 13). Відкладають від А у напрямку AM тричі якусь відстань а. Потім зав'язують на шнурі три вузли, відстані між якими дорівнюють 4а і 5а. Приклавши крайні вузли до точок А та В, натягують шнур за середній вузол. Шнур розташується трикутником, у якому кут А – прямий.
Цей стародавній спосіб, мабуть, що застосовувався ще тисячоліття тому будівельниками єгипетських пірамід, заснований на тому, що кожен трикутник, сторони якого відносяться, як 3:4:5, відповідно до загальновідомої теореми Піфагора, є прямокутним, оскільки
3 2 + 4 2 = 5 2 .
Крім чисел 3, 4, 5, існує, як відомо, безліч цілих позитивних чисел а, b, с, що задовольняють співвідношенню
А 2 + b 2 = с2.
Вони називаються піфагоровими числами. Відповідно до теореми Піфагора такі числа можуть бути довжинами сторін деякого прямокутного трикутника; тому а та b називають "катетами", а з - "гіпотенузою".
Ясно, що якщо а, b, є трійка піфагорових чисел, то і ра, рb, рс, де р - цілісний множник, - піфагорові числа. Назад, якщо пифагоровы числа мають загальний множник, то цей загальний множник можна їх скоротити, і знову вийде трійка пифагоровых чисел. Тому спочатку досліджуватимемо лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта виходять з них множенням на цілісний множник р).
Покажемо, що у кожній з таких трійок а, b, з одним з "катетів" має бути парним, а інший непарним. Станемо міркувати "від неприємного". Якщо обидва "катета" а та b парні, то парним буде число a 2 + b 2 , а значить, і "гіпотенуза". Це, однак, суперечить тому, що числа а, b, з не мають спільних множників, тому що три парні числа мають загальний множник 2. Таким чином, хоч один із "катетів" а, b непарний.
Залишається ще одна можливість: обидва "катета" непарні, а "гіпотенуза" парна. Неважко довести, що цього може бути. Справді: якщо "катети" мають вигляд
2х + 1 та 2у + 1,
то сума їх квадратів дорівнює
4х 2 + 4х + 1 + 4у 2 + 4у + 1 = 4(х 2 + х + у 2 + у) + 2,
тобто є число, яке при розподілі на 4 дає в залишку 2. Тим часом квадрат будь-якого парного числа повинен ділитися на 4 без залишку. Отже, сума квадратів двох непарних чисел може бути квадратом парного числа; інакше кажучи, наші три числа – не піфагорові.
Отже, з "катетів" а, b один парний, а другий непарний. Тому число а 2 + b 2 непарне, а значить, непарне і "гіпотенуза" с.
Припустимо, для визначеності, що непарним є "катет" а, а парним b. З рівності
а 2 + b 2 = с 2
ми легко отримуємо:
А 2 = з 2 - b 2 = (З + b) (С - b).
Множники з + b і з - b, що стоять правої частини, взаємно прості. Справді, якби ці числа мали загальний простий множник, відмінний від одиниці, то цей множник ділилися б і сума
(с + b) + (с - b) = 2с,
і різницю
(с + b) - (с - b) = 2b,
та твір
(с + b) (с - b) = а 2
т. е. числа 2с, 2b і мали б загальний множник. Оскільки а непарно, цей множник відмінний від двійки, і тому цей загальний множник мають числа а, b, з, чого, проте, може бути. Отримане суперечність показує, що числа з + b та с - b взаємно прості.
Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне з них є квадратом, тобто.
Вирішивши цю систему, знайдемо:
C = (m 2 + n 2) / 2, b = (m 2 - n 2) / 2, а 2 = (с + b) (с - b) = m 2 n 2, а = mn.
Отже, розглянуті піфагорові числа мають вигляд
A = mn, b = (m 2 - n 2)/2, з = (m 2 + n 2)/2.
де m і n – деякі взаємно прості непарні числа. Читач легко може переконатися й у зворотному: за будь-яких непарних тип написані формули дають три піфагорові числа а, b, с.
Ось кілька трійок піфагорових чисел, одержуваних за різних типів:
При m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 при m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 при m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 при m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 при m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 при m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 при m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 при m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 при m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 при m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 при m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 при m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 при m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 при m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 при m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 при m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2
(Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа, більші за сто.)