На цю тему відводиться три уроки, цей урок - другий.
Цілі уроку:
Закріплення та поглиблення знань про певний інтеграл та його додаток до знаходження площі фігур;
Формування умінь щодо застосування знань та способів дій у змінених та нових навчальних ситуаціях; - розвиток інформаційної та комунікативної культури учнів;
Виховання пізнавальної активності, вміння працювати в колективі, завзяття та досягнення мети.
Завдання уроку:
Повторити таблицю та правила знаходження первісних, поняття криволінійної трапеції, алгоритм знаходження площі криволінійної трапеції; - застосувати наявні знання та вміння для знаходження площ плоских фігур.
Форми організації роботи учнів: робота у групах.
Обладнання та програми, що використовуються: інтерактивна дошка Smart Board, «Жива математика».
Використовувані функції програмного забезпеченняінтерактивної дошки:
Функція – шторка:
Функція - клонування об'єкта:
Функція – перетягування об'єкта;
Функція – розумне перо.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Урок на тему: «Обчислення площ фігур за допомогою інтегралів»
В 11 класі.
Хід уроку:
- Організаційний момент ((перевіряється готовність до уроку, оголошується тема і ціль уроку, записується число).
Урок проходить під гаслом: Скажи мені, і я забуду, Покажи мені, і я запам'ятаю, Дай мені діяти самому, І я навчуся.
Конфуцій.
- Етап актуалізації отриманих раніше знань(Мета даного етапу: повторити таблицю та правила знаходження первообразних, поняття криволінійної трапеції, алгоритм знаходження площі криволінійної трапеції).
Вчитель: На попередніх уроках ми познайомилися з поняттям первісної, з таблицею та правилами їх знаходження.
Питання 1 : Що називається первісною для функції у = f(х) на деякому інтервалі?Питання 2 : Як задати всі первісні функції у = f(х), якщо F(х) – одна з них?Питання 3: Перерахуйте правила знаходження первинних. Після відповіді учнів відкривається 2 слайд, відсувається шторка, за якою приховані питання для учнів.Завдання 1 : Знайти одну з перших для зазначених функцій. (учні функцією –перетягування ставлять у відповідність функцію та першорядну).Завдання 2 : Для зазначеної функції знайти одну з першорядних, графік якої проходить через цю точку. (Учні на місцях самостійно вирішують, один із учнів перевіряє відповідь, відсуваючи екран).
А) Функції: 2х5 – 3х2; 3 cos x - 4 sin x; 3е х + 5 х - 2; е 2х - cos3х; 1/х + 1/sin 2 х – х.
Первинні: ln | x | - ctg x – x 2/2; 1/2е 2х - 1/3 sin 3x; х 6/3 - х 3; 3 sin x + 4 cos x; 3е х + 5 х/ln5.
Б) Для функції f(х) = 2х + 3 знайти первісну, графік якої проходить через точку М(1; 2).
Питання 4: Яку фігуру називають криволінійною трапецією?Завдання 3: Записати умову у визначенні, записаному на слайді.Завдання 4: Записати формулу Ньютона Лейбніца.
Завдання 5: Обчислити інтеграл. (Учні обчислюють самостійно, з наступною перевіркою). А)х 2 - 2х) dx; б)
Завдання 6: Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = 0, х = е, у = 1/х. (Учні самостійно виконують завдання з подальшою перевіркою, відкриваючи екрани на дошці).
- Етап формування та відпрацювання умінь та навичок при вирішенні різних завдань на тему «Обчислення площ фігур за допомогою інтегралів»
1.Учні згадують властивості площ
і наводять приклад фігури, площу якої можна обчислити за формулою S =Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = 0, у = х 2 – 4. (Один учень за допомогою функції – розумне перо пише рішення на інтерактивній дошці).
2. Учні обговорюютьплан обчислення площі фігури, обмеженої лініями у = х 2 - 6х +11 і у = х +1. Кожен етап супроводжується відкриттям шторки.
- Робота у групах. Клас заздалегідь поділений на групи. Три учні працюють біля дошки, а решта учнів за трьома варіантами (групи розбиті за варіантами) на місцях:Обчислити площу фігури, обмеженою лініями:1 варіант - у = (х - 3) 2 , у = 0, х = 1, х = 4. 2 варіант - у = х - 2, у = х 2 - 4х+2. 3 варіант - у = х, у = 5 - х, х = 1, х = 2. Перевірка після відкриття екранів.
- Робота у групах. Для кожного з наступних 8 слайдів необхідно обчислити площу фігури. У учнів у групах є набір даних малюнків. Учні вибирають формулу, якою можна знайти площу. Відкривається слайд, праворуч від креслення є формули, на які накладено функцію клонування. Після обговорення в групах виходять по одному учню від групи і пересувають обрану формулу або пишуть свою, якщо такої немає на дошці. Далі слідує обговорення: - Чому обрано цю формулу? - Чи є ще способи знаходження площі цієї фігури? - Яка з формул найзручніша у застосуванні
Домашнє завдання.
Підсумок уроку. Учні відповідають питання: - Що було зроблено під час уроку? - Що нового вони дізналися на уроці? - Як їм працювало у цій групі?
Практична робота на тему: «Обчислення площ плоских постатей з допомогою певного інтеграла»
Мета роботи: освоїти вміння вирішувати завдання на обчислення площі криволінійної плоскої фігури за допомогою певного інтегралу.
Обладнання: інструкційна карта, таблиця інтегралів, лекційний матеріал на тему: «Певний інтеграл. Геометричний сенс певного інтегралу».
Методичні вказівки:
1) Вивчіть матеріали лекції: «Певний інтеграл. Геометричний сенс певного інтегралу».
Короткі теоретичні відомості
Певний інтеграл функціїна відрізку - це межа, до
якому прагне інтегральна сума при прагненні нулю довжини найбільшого часткового відрізка.
Нижня межа інтегрування - верхня межа інтегрування.
Для обчислення певного інтеграла служить формула Ньютона-
Лейбниця:
Геометричний сенс певного інтегралу. Якщо інтегрована на
Відрізка функція неотрицательна, то чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції:
Криволінійна трапеція - фігура, обмежена графіком функції
Осю абсцис і прямими, .
Можливі різні випадки розташування плоских фігур у координатної площини:
Якщо криволінійна трапеція з основою обмежена знизу кривою , то з міркувань симетрії видно, що площа фігури дорівнює або.
Якщо фігура обмежена кривою, яка набуває і позитивних, і негативних значень . У цьому випадку, щоб вирахувати площу шуканої фігури, необхідно розбити її на частини, тоді
Якщо плоска фігура обмежена двома кривими та , то її площу можна знайти за допомогою площ двох криволінійних трапецій: і.У даному випадку площу шуканої фігури можна обчислити за формулою:
приклад. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями:
Рішення. 1) Побудуємо параболу та пряму в координатній площині (Малюнок до завдання).
2) Виділимо (заштрихуємо) фігуру, обмежену даними лініями.
Малюнок до завдання
3) Знайдемо абсциси точок перетину параболи та прямої. Для цього вирішимо
систему способом порівняння:
Площа фігури знайдемо як різницю площ криволінійних трапецій,
обмежених параболою та прямою.
5) Відповідь.
Алгоритм розв'язання задачі на обчислення площі фігури, обмеженої заданими лініями:
Побудувати в одній координатній площині задані лінії.
Заштрихувати фігуру, обмежену даними лініями.
Визначити межі інтегрування (знайти абсцис точок перетину кривих).
Обчислити площу фігури, обравши необхідну формулу.
Записати відповідь
2) Виконайте таке завдання по одному з варіантів:
Завдання. Обчислити площі фігур, обмежених лініями (користуйтесь алгоритмом розв'язання задачі на обчислення площі фігури):
Усна робота 1. Виразіть за допомогою інтеграла площі фігур, зображених на рисунках:
2. Обчисліть інтеграли:
Знайдіть площу фігури:
5) 1/3; ln2 ;√2
Трохи історії
"Інтеграл" придумав Якоб Бернуллі(1690р.)
"відновлювати" від латинського integro
«цілий» від латинського integer
«Примітивна функція»,
від латинського
primitivus- Початковий,
Жозеф Луї Лагранж
Інтеграл у давнину
Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до зв. е.), який намагався знайти площі та обсяги, розриваючи їх на нескінченна безліччастин, котрим площа чи обсяг вже відомий.
Цей метод був підхоплений та розвинений Архімедом , і використовувався для розрахунку площ парабол та наближеного розрахунку площі кола.
Євдокс Кнідський
Ісаак Ньютон (1643-1727)
Найбільш повний виклад диференціального та інтегрального обчислень міститься в
Змінні величини - флюенти (первоподібний або невизначений інтеграл)
Швидкість зміни флюент – флюксії (похідна)
Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646-1716)
- вперше використаний Лейбніцем наприкінці
Символ утворився з літери
S - скорочення слова
summa(Сума)
Формули для обчислення площ фігур, заштрихованих на малюнках
Алгоритм обчислення площі плоскої фігури :
- За умовою завдання зробити схематичне креслення.
- Уявити потрібну функцію, як суму або різницю площ криволінійних трапецій, вибрати відповідну формулу.
- Знайти межі інтегрування (а та b) умови завдання або креслення, якщо вони не задані.
- Обчислити площу кожної криволінійної трапеції та площу шуканої фігури.
З А Д А Ч А
Перед будинком школи вирішено розбити клумбу. Але формою клумба має бути круглої, квадратної чи прямокутної. Вона повинна містити у собі прямі та криві лінії. Нехай вона буде плоскою фігурою, обмеженою лініями
Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.
Обчислимо площу отриманої фігури за формулою:
де f(x)= 6 , а g(x)=4/x +2
Так як за кожен квадратний метр виплачується 50 рублів, то заробіток становитиме:
6,4*50 = 320 (рублів).
Домашнє завдання:
1125 Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла Методичні вказівки до виконання самостійних робіт з математики для студентів 1-го курсу факультету СПО Укладачі С.Л. Рибіна, Н.В.Федотова 0 Міністерство освіти і науки РФ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої освіти «Воронезький державний архітектурно-будівельний університет» Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла Методичні вказівки до виконання самостійних робіт з математики для студентів 1-го курсу факультету СПО Укладачі С.Л. Рибіна, Н.В.Федотова Воронеж 2015 1 УДК 51:373(07) ББК 22.1я721 Укладачі: Рибіна С.Л., Федотова Н.В. Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтегралу: методичні вказівки до виконання самостійних робіт з математики для студентів 1 курсу СПО/Воронезька ДАСУ; сост.: С.Л. Рибіна, Н.В. Федотова. – Воронеж, 2015. – с. Дано теоретичні відомості щодо обчислення площ плоских фігур за допомогою інтегралу, наведено приклади розв'язання задач, надано завдання для самостійної роботи. Можуть використовуватись для підготовки індивідуальних проектів. Призначені для студентів 1 курсу факультету СПО. Іл. 18. Бібліогр.: 5 назв. УДК 51:373(07) ББК 22.1я721 Друкується за рішенням навчально-методичної ради Воронезького ДАСУ Рецензент – Глазкова Марія Юріївна, канд. фіз.-мат. наук, доцент, викладач кафедри вищої математики Воронезького ДАСУ 2 Дані методичні вказівки призначені для студентів 1 курсу факультету СПО всіх спеціальностей. У пункті 1 наведено теоретичні відомості щодо обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла, у пункті 2 наведено приклади розв'язання задач, а в пункті 3 запропоновано завдання для самостійної роботи. Загальні положення Самостійна робота студентів – це робота, яка виконується ними за завданням викладача, без його безпосередньої участі (але під керівництвом) у спеціально представлений для цього час. Цілі та завдання самостійної роботи: систематизації та закріплення отриманих знань та практичних умінь та навичок студентів; поглиблення та розширення теоретичних та практичних знань; формування умінь використати спеціальну, довідкову літературу, Інтернет; розвитку пізнавальних здібностей та активності студентів, творчої ініціативи, самостійності, відповідальності та організованості; формування самостійності мислення, здібностей до саморозвитку, самовдосконалення та самореалізації; розвитку дослідних знань. забезпечення бази знань для професійної підготовкивипускника відповідно до ФГОС СПО; формування та розвиток загальних компетенцій, визначених у ФГОС СПО; підготовка до формування та розвитку професійних компетенцій, що відповідають основним видам професійної діяльності систематизація, закріплення, поглиблення та розширення отриманих теоретичних знань та практичних умінь студентів; розвиток пізнавальних здібностей та активності студентів: творчої ініціативи, самостійності, відповідальності та організованості; формування самостійності мислення: здатності до саморозвитку, самовдосконалення та самореалізації; оволодіння практичними навичками застосування інформаційно-комунікаційних технологій у професійній діяльності; розвиток дослідних умінь. Критеріями оцінки результатів позааудиторної самостійної роботи студента є рівень освоєння студентом навчального матеріалу; 3 уміння студента використовувати теоретичні знання під час вирішення завдань; обґрунтованість та чіткість викладу відповіді; оформлення матеріалу відповідно до вимог ФГОС. 4 1. Обчислення площ плоских постатей з допомогою інтеграла 1. Довідковий матеріал. 1.1. Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена зверху графіком безперервної і неотрицательная функції y=f(x), знизу відрізком осі Ох, і з боків відрізками прямих х=а, х=b (Рис.1) Рис. 1 Площу криволінійної трапеції можна обчислити за допомогою певного інтеграла: b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1.2. Нехай функція y=f(x) безперервна на відрізку і на цьому відрізку приймає позитивні значення (рис. 2). Тоді потрібно розбити відрізок на частини, потім обчислити за формулою (1) відповідні до цих частин площі, отримані площі скласти. S = S1 + S2 c S b ф x d x f x d x a (2) c Рис. 2 1.3. У тому випадку, коли безперервна функція f(x)< 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)> g(x) по всьому інтервалі (а; b). У цьому випадку площа фігури обчислюється за формулою y b S = (f (x) g (x)) dx y = f (x) (4) а 1 -1 O -1 b 1 y = g (x) x Рис. 4 1.5. Завдання на обчислення площ плоских постатей можна вирішувати за таким планом: 1) за умовою завдання роблять схематичний креслення; 2) представляють шукану фігуру як суму або різницю площ криволінійних трапецій. З умови завдання та креслення визначають межі інтегрування для кожної складової криволінійної трапеції; 3) записують кожну функцію як f x ; 4) обчислюють площу кожної криволінійної трапеції та шуканої фігури. 6 2.Приклади розв'язання задач 1. Обчисліть площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = х + 3, у = 0, х = 1 і х = 3. Рішення: Намалюємо лінії, задані рівняннями та заштрихуємо криволінійну трапецію, площу якої знаходитимемо. SАВСД = Відповідь: 10. 2. Фігура, обмежена лініями у = -2х + 8, х = -1, у = 0, ділиться лінією у = х2 - 4х + 5 на дві частини. Знайдіть площу кожної частини. Рішення: Розглянемо функцію у = х2 - 4х +5. у = х2 - 4х +5 = (х2 - 4х + 4) - 4 + 5 = (х - 2) 2 + 1, тобто. графіком цієї функції є парабола з вершиною К(2; 1). SАВС = . 7 SАВКМЕ = S1 = SАВКМЕ + SЕМС, S1 = S2 = SАВС - S1, S2 = Відповідь: і = . . 3. Завдання для самостійної роботи Усний тест 1. Яка фігура називається криволінійною трапецією? 2. Які з фігур є криволінійними трапеціями: 3. Як знайти площу криволінійної трапеції? 4. Знайдіть площу заштрихованої фігури: 8 5. Назвіть формулу для обчислення площі зображених фігур: Письмовий тест 1. На якому малюнку зображено фігуру, яка не є криволінійною трапецією? 2. За допомогою формули Ньютона-Лейбніца обчислюють: А. Первоподібну функцію; Б. Площа криволінійної трапеції; В. Інтеграл; Г. Похідну. 3. Знайдіть площу заштрихованої фігури: 9 А. 0; Б. -2; В 1; Г. 2. 4. Знайдіть площу фігури обмеженою віссю Ох та параболою у = 9 – х2 А. 18; Б. 36; Ст 72; Г. Не можна обчислити. 5. Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у = sin x, прямими х = 0, х = 2 та віссю абсцис. А. 0; Би. 2; В 4; Г. Не можна обчислити. Варіант 1 Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: а) у x2, б) у x2 в) у cos х, г) у 1, х3 у 0, х у 0; х, у 0, 0, 4; х х 1, х 0, х 6; 2. 10 Варіант 2 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: б) у 1 2 x , у 2 x2 2 х, в) у sin х, г) у 1 , х2 а) у у 0, х у 0; 0, х 0, х 3; 3 2; х 1. Варіант 3 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: а) у = 2 – х3, у = 1, х = -1, х = 1; б) у = 5 - х2, у = 2х2 + 1, х = 0, х = 1; в) у = 2sin x, х = 0, х = p, у = 0; г) у = 2х - 2, у = 0, х = 3, х = 4. Варіант 4 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: а) у = х2+1, у = 0, х = - 1, х = 2; б) у = 4 - х2 і у = х + 2; в) у = х2 + 2, у = 0, х = - 1, х = 2; г) у = 4 - х2 і у = 2 - х. Варіант 5 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: а) у 7 х, х=3, х=5, у=0; б) у в) у г) у 8, х = - 8, х = - 4, у = 0; х 0,5 х 2 4 х 10, у х 2; х 2, у х 6, х=-6 та координатними осями. 11 Варіант 6 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями а) у 4 х 2 , у=0; б) у cos х, х, х в) у х 2 8 х 18, у г) у х, у 2, у = 0; 2х 18; 1 х = 4. х Варіант 7 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями а) у х 2 6 х, х = -1, х=3,у=0; б) у=-3х, х=1, х=2, у=0; в) у х 2 10 х 16, у = х +2; г) у 3 х, у = -х +4 та координатними осями. Варіант 8 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями а) у sin x , х 3 , х, у=0; б) у х 2 4 , х=-1, х=2, у=0; в) у х 2 2 х 3, у 3х 1; г) у х 2 , у х 4 2 , у = 0, Варіант 1 1. Обчисліть площу фігури, обмеженою лініями: а) у = х2, х = 1, х = 3, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = - Ï Ï, х = ; 2 2 в) у = 2х2, у = 2х. 2. (додатково) Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у = х2 – 2х + 3, що стосується графіка в його точці з абцисою 2 та прямою х = -1. 12 Варіант 2 1. Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: а) у = х3 , х = 1, х = 3, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = 0, х = Ï; 2 в) у = 0,5 х2, у = х. 2. (додатково) Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у =3 + 2х - х2, що стосується графіка в його точці з абцисою 3 і прямою х = 0. Варіант 3 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: а) у = х, х = 1, х = 2, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = Ï 3Ï , х = ; 2 2 в) у = х2, у = -х2 + 2. 2. (додатково) Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у = 2х - х2, що стосується графіка в його точці з абцисою 2 та віссю ординат. Варіант 4 1. Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: а) у =0,5 х, х = 1, х = 2, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = Ï Ï , х = ; 4 2 в) у = 9 - х2, у = 2х + 6. 2. (додатково) Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у = х2+ 2х, що стосується графіка в його точці з абцисою -2 та віссю ординат. Завдання для роботи в парах: 1. Обчисліть площу заштрихованої фігури 2. Обчисліть площу заштрихованої фігури 13 3. Обчисліть площу заштрихованої фігури 14 5. Обчисліть площу заштрихованої фігури 6. Представте площа трапецій, обмежених графіками відомих вам ліній. 7. Уявіть площу заштрихованої фігури як суму чи різницю площ криволінійних трапецій, обмежених графіками відомих вам ліній. 15 Бібліографічний список 1. Шаригін, І. Ф. Математика: алгебра та початку математичного аналізу, геометрія. Геометрія. Базовий рівень. 10 – 11 класи: підручник / І.Ф Шаригін. - 2-ге вид., стер. - Москва: Дрофа, 2015. - 238 с. 2. Муравін Г. К. Математика: алгебра та початку математичного аналізу, геометрія. Базовий рівень. 11 клас: підручник / Г. К. Муравін, О. В. Муравіна – 2-ге вид., стер. – Москва: Дрофа, 2015. – 189 с. 3. Муравін Г. К. Математика: алгебра та початку математичного аналізу, геометрія. Базовий рівень. 10 клас: підручник/Г. К. Муравін, Муравіна О.В. - 2-ге вид., стер. - Москва: Дрофа, 2013 - 285 с. 4. Вивчення геометрії у 10-11 класах: Метод. рекомендації до навч.: Кн. для вчителя/С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. – 2-ге вид.– М.: Просвітництво, 2014. – 222 с.: іл. 5. Вивчення алгебри та почав аналізу у 10-11 класах: Кн. для вчителя/Н. Є. Федорова, М. В. Ткачова. - 2-е вид. - М.: Просвітництво, 2014. - 205 с.: іл. 6. Алгебра та початку аналізу. 10-11 кл.: У двох частинах. Ч. 1: Учеб.для загальноосвіт. установ/Мордкович А.Г. - 5-те вид. - М.: Мнемозіна, 2014. - 375 с.: іл. Інтернет-ресурси: 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Корисні посиланняна сайти математичної та освітньої спрямованості: Навчальні матеріали, тести 2. http://www.fxyz.ru/ - Інтерактивний довідник формул та відомості з алгебри, тригонометрії, геометрії, фізики. 3. http://maths.yfa1.ru – Довідник містить матеріал з математики (арифметика, алгебра, геометрія, тригонометрія). 4. allmatematika.ru - Основні формули з алгебри та геометрії: тотожні перетворення, прогресії, похідна, стереометрія та ін. 5. http://mathsun.ru/ - Історія математики. Біографії великих математиків. 16 Зміст Вступ. .................................................. .................................................. ................................. 3 Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла......... ..................................... 5 1. Довідковий матеріал........ .................................................. ................................................. 5 2. Приклади розв'язання задач............................................. .................................................. ......... 7 3. Завдання для самостійної роботи.................................. .............................................. 8 Бібліографічний список. .................................................. ................................................. 16 Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтегралу Методичні вказівки до виконання самостійних робіт з математики для студентів 1-го курсу факультету СПО Укладачі: Рибіна Світлана Леонідівна Федотова Наталія Вікторівна ь __.__. 2015. Формат 60х84 1/16. Уч.-вид. л. 1,1.Ум.-печ. л. 1.2. 394006, Воронеж, вул. 20-річчя Жовтня, 84 17