Зручний і дуже точний спосіб, що використовується землемірами для проведення на перпендикулярних ліній, полягає в наступному. Нехай через точку А потрібно до прямої MN провести перпендикуляр (рис. 13). Відкладають від А у напрямку AM тричі якусь відстань а. Потім зав'язують на шнурі три вузли, відстані між якими дорівнюють 4а і 5а. Приклавши крайні вузли до точок А та В, натягують шнур за середній вузол. Шнур розташується трикутником, у якому кут А – прямий.
Цей стародавній спосіб, мабуть, що застосовувався ще тисячоліття тому будівельниками єгипетських пірамід, заснований на тому, що кожен трикутник, сторони якого відносяться, як 3:4:5, згідно з загальновідомою теоремою Піфагора, - прямокутний, оскільки
3 2 + 4 2 = 5 2 .
Крім чисел 3, 4, 5, існує, як відомо, безліч цілих позитивних чисел а, b, с, що задовольняють співвідношенню
А 2 + b 2 = с2.
Вони називаються піфагоровими числами. Відповідно до теореми Піфагора такі числа можуть бути довжинами сторін деякого прямокутного трикутника; тому а та b називають "катетами", а з - "гіпотенузою".
Ясно, що якщо а, b, є трійка піфагорових чисел, то і ра, рb, рс, де р - цілісний множник, - піфагорові числа. Назад, якщо пифагоровы числа мають загальний множник, то цей загальний множник можна їх усе скоротити, і знову вийде трійка пифагоровых чисел. Тому спочатку досліджуватимемо лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта виходять з них множенням на цілісний множник р).
Покажемо, що у кожній з таких трійок а, b, з одним з "катетів" має бути парним, а інший непарним. Станемо міркувати "від неприємного". Якщо обидва "катета" а та b парні, то парним буде число a 2 + b 2 , a отже, і "гіпотенуза". Це, однак, суперечить тому, що числа а, b, з не мають спільних множників, тому що три парні числа мають загальний множник 2. Таким чином, хоч один із "катетів" а, b непарний.
Залишається ще одна можливість: обидва "катеты" непарні, а "гіпотенуза" парна. Неважко довести, що цього може бути. Справді: якщо "катети" мають вигляд
2х + 1 та 2у + 1,
то сума їх квадратів дорівнює
4х 2 + 4х + 1 + 4у 2 + 4у + 1 = 4(х 2 + х + у 2 + у) + 2,
тобто є число, яке при розподілі на 4 дає в залишку 2. Тим часом квадрат будь-якого парного числа повинен ділитися на 4 без залишку. Отже, сума квадратів двох непарних чисел може бути квадратом парного числа; інакше кажучи, наші три числа – не піфагорові.
Отже, з "катетів" а, b один парний, а другий непарний. Тому число а 2 + b 2 непарне, а значить, непарне і "гіпотенуза" с.
Припустимо, для визначеності, що непарним є "катет" а, а парним b. З рівності
а 2 + b 2 = с 2
ми легко отримуємо:
А 2 = з 2 - b 2 = (З + b) (С - b).
Множники з + b і з - b, що стоять правої частини, взаємно прості. Справді, якби ці числа мали загальний простий множник, відмінний від одиниці, то цей множник ділилися б і сума
(с + b) + (с - b) = 2с,
і різницю
(с + b) - (с - b) = 2b,
та твір
(с + b) (с - b) = а 2
т. е. числа 2с, 2b і мали б загальний множник. Оскільки а непарно, цей множник відрізняється від двійки, і тому цей загальний множник мають числа а, b, з, чого, проте, може бути. Отримане суперечність показує, що числа с + b та с - b взаємно прості.
Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне з них є квадратом, тобто.
Вирішивши цю систему, знайдемо:
C = (m 2 + n 2) / 2, b = (m 2 - n 2) / 2, а 2 = (с + b) (с - b) = m 2 n 2, а = mn.
Отже, розглянуті піфагорові числа мають вигляд
A = mn, b = (m 2 - n 2)/2, з = (m 2 + n 2)/2.
де m і n – деякі взаємно прості непарні числа. Читач легко може переконатися і у зворотному: за будь-яких непарних тип написані формули дають три піфагорові числа а, b, с.
Ось кілька трійок піфагорових чисел, одержуваних за різних типів:
При m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 при m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 при m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 при m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 при m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 при m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 при m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 при m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 при m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 при m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 при m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 при m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 при m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 при m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 при m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 при m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2
(Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа, більші за сто.)
«Обласний центр освіти»
Методична розробка
Використання піфагорових трійок при вирішенні
геометричних завдань та тригонометричних завданьЄДІ
м. Калуга, 2016
I. Вступ
Теорема Піфагора - одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова ще й тим, що сама собою вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна побачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивися на прямокутний трикутник, ніяк не побачиш, що між його сторонами є таке просте співвідношення: a2+b2=c2. Однак не Піфагор відкрив теорему, яка носить його ім'я. Вона була відома ще раніше, але, можливо, лише як факт, виведений із вимірів. Мабуть, Піфагор знав це, але знайшов доказ.
Існує безліч натуральних чисел a, b, c, що задовольняють співвідношенню a2+b2=c2.. Вони називаються піфагоровими числами. Відповідно до теореми Піфагора такі числа можуть бути довжинами сторін деякого прямокутного трикутника – називатимемо їх пифагоровыми трикутниками.
Мета роботи:вивчити можливість та ефективність застосування піфагорових трійок для вирішення задач шкільного курсуматематики, завдань ЄДІ.
Виходячи з мети роботи, поставлені такі завдання:
Вивчити історію та класифікацію піфагорових трійок. Проаналізувати завдання із застосуванням піфагорових трійок, що є у шкільних підручниках та зустрічаються у контрольно-вимірювальних матеріалах ЄДІ. Оцінити ефективність застосування піфагорових трійок та їх властивостей для вирішення задач.
Об'єкт дослідження: піфагорові трійки чисел
Предмет дослідження: завдання шкільного курсу тригонометрії та геометрії, в яких використовуються піфагорові трійки
Актуальність дослідження. Піфагорові трійки часто використовуються в геометрії та тригонометрії, знання їх позбавить помилок у обчисленнях та економить час.
ІІ. Основна частина. Розв'язання задач за допомогою піфагорових трійок.
2.1.Таблиця трійок піфагорових чисел (за Перельманом)
Піфагорові числа мають вигляд a= m·n, , Де m і n - Деякі взаємно прості непарні числа.
Піфагорові числа мають низку цікавих особливостей:
Один із «катетів» має бути кратним трьом.
Один із «катетів» має бути кратним чотирма.
Одне з піфагорових чисел має бути кратним п'яти.
У книзі «Цікава алгебра» наводиться таблиця піфагорових трійок, що містять числа до ста, що не мають спільних множників.
32+42=52 |
||
52+122=132 |
||
72+242=252 |
||
92+402=412 |
||
112+602=612 |
||
132+842=852 |
||
152+82=172 |
||
212 +202=292 |
||
332+562=652 |
||
392+802=892 |
||
352+122=372 |
||
452+282=532 |
||
552+482=732 |
||
652+722=972 |
||
632+162=652 |
||
772+362=852 |
2.2. Класифікація піфагорових трійок по Шустрову.
Шустрова була виявлена така закономірність: якщо всі піфагорові трикутники розподілити по групах, то для непарного катета x, парного y і гіпотенузи z справедливі наступні формули:
х = (2N-1) · (2n + 2N-1); y = 2n · (n + 2N-1); z = 2n · (n + 2N-1) + (2N-1) 2, де N - номер сімейства і n - порядковий номер трикутника в сімействі.
Підставляючи в формулу місце N і n будь-які цілі позитивні числа, починаючи з одиниці, можна отримати всі основні піфагорові трійки чисел, а також кратні певного виду. Можна скласти таблицю всіх піфагорових трійок по кожному сімейству.
2.3. Завдання з планіметрії
Розглянемо завдання з різних підручників з геометрії та з'ясуємо, наскільки часто зустрічаються піфагорові трійки у цих завданнях. Тривіальні завдання на перебування третього елемента за таблицею піфагорових трійок не розглядатимемо, хоча вони теж зустрічаються в підручниках. Покажемо, як звести розв'язок задачі, дані якої не виражені натуральними числами, до піфагорових трійок.
Розглянемо завдання із підручника з геометрії для 7-9 класу.
№ 000. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника за катетами а=, b=.
Рішення. Помножимо довжини катетів на 7, отримаємо два елементи з піфагорової трійки 3 і 4. Недостатній елемент 5, який поділяємо на 7. Відповідь .
№ 000. У прямокутнику ABCD знайдіть BC, якщо CD=1,5, AC=2,5.
https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">
Рішення. Розв'яжемо прямокутний трикутник АСD. Помножимо довжини на 2, отримаємо два елементи з піфагорової трійки 3 і 5, Недостатній елемент 4, який ділимо на 2. Відповідь: 2.
При вирішенні наступного номера перевіряти співвідношення a2+b2=c2Зовсім необов'язково, достатньо скористатися піфагоровими числами та їх властивостями.
№ 000. З'ясуйте, чи трикутник є прямокутним, якщо його сторони виражаються числами:
а) 6,8,10 (піфагорова трійка 3,4.5) - так;
Один із катетів прямокутного трикутника повинен ділитися на 4. Відповідь: ні.
в) 9,12,15 (піфагорова трійка 3,4.5) - так;
г) 10,24,26 (піфагорова трійка 5,12.13) - так;
Одне з піфагорових чисел має бути кратним п'яти. Відповідь: ні.
ж) 15, 20, 25 (піфагорова трійка 3,4.5) - так.
З тридцяти дев'яти завдань даного параграфа (теорема Піфагора) двадцять два вирішуються усно за допомогою піфагорових чисел та знання їх властивостей.
Розглянемо задачу № 000 (з розділу «Додаткові задачі»):
Знайдіть площу чотирикутника ABCD, у якому АВ=5 см, ВС=13 см, CD=9 см, DА=15 см, АС=12 см.
У задачі треба перевірити співвідношення a2+b2=c2і довести, що цей чотирикутник складається з двох прямокутних трикутників (зворотна теорема). А знання піфагорових трійок: 3, 4, 5 і 5, 12, 13 позбавляє від обчислень.
Наведемо розв'язання кількох завдань із підручника з геометрії для 7-9 класу.
Завдання 156 (з). Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 40. Знайдіть медіану, проведену до гіпотенузи.
Рішення . Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. Піфагорова трійка 9,40 та 41. Отже, медіана дорівнює 20,5.
Завдання 156(і). Бічні сторони трикутника рівні: а= 13 см, b = 20 см, а висота hс = 12 см. Знайдіть основу с.
Завдання (КІМИ ЄДІ). Знайдіть радіус кола, вписаного в гострокутний трикутник АВСякщо висота ВH дорівнює12 і відомо, що sin А=,sin З = left "> 
Рішення.Вирішуємо прямокутний АСК: sin А=, ВH=12 , звідси АВ=13,АК=5 (Піфагорова трійка 5,12,13). Вирішуємо прямокутний ∆ВСH: ВH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Піфагорова трійка 3,4,5) Радіус знаходимо за формулою r === 4. Відповідь.
2.4. Піфагорові трійки у тригонометрії
Основне тригонометричне тотожність – окремий випадоктеореми Піфагора: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Тому деякі тригонометричні завдання легко вирішуються усно за допомогою Піфагорових трійок.
Завдання, у яких потрібно за заданим значенням функції знайти значення інших тригонометричних функцій, можна вирішити без зведення в квадрат та вилучення квадратного кореня. Усі завдання цього у шкільному підручнику алгебри (10-11) Мордковича (№ 000-№ 000) можна вирішити усно, знаючи лише кілька піфагорових трійок: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Розглянемо розв'язки двох завдань.
№000 а). sin t = 4/5, π/2< t < π.
Рішення. Піфагорова трійка: 3, 4, 5. Отже, cos t = -3/5; tg t = -4/3,
№000 б). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.
Рішення. tg t = 2,4 = 24/10 = 12/5. Піфагорова трійка 5,12,13. З огляду на знаки отримуємо sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.
3. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ
а) cos (arcsin 3/5) = 4/5 (3, 4, 5)
б) sin (arccos 5/13) = 12/13 (5, 12, 13)
в) tg (arcsin 0,6) = 0,75 (6, 8, 10)
г) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)
д) 4/3 tg (π-arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3·3/4=1
е) перевірте вірність рівності:
arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.
Рішення. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2
arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65
sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)
sin (arcsin 4/5) · cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) · sin (arcsin 5/13) = 63/65
4/5 · 12/13 + 3/5 · 5/13 = 63/65
ІІІ. Висновок
В геометричних задачахчасто доводиться вирішувати прямокутні трикутники, іноді кілька разів. Проаналізувавши завдання шкільних підручників та матеріалів ЄДІ, Можна зробити висновок, що в основному використовуються трійки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; які легко запам'ятати. При вирішенні деяких тригонометричних завдань класичне рішення за допомогою тригонометричних формул і великою кількістю обчислень займає час, а знання піфагорових трійок позбавить помилок у обчисленнях і заощадить час для вирішення важких завдань на ЄДІ.
бібліографічний список
1. Алгебра та початку аналізу. 10-11 класи. У 2 год. Ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ/[ та ін.]; за ред. . - 8-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 315 с. : іл.
2. Перельман алгебра. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.
3. Рогановський: Навч. Для 7-9 кл. з поглибл. вивченням математики загальноосвіт. шк. з русявий. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн.; народ. Асвіта, 2000. - 574 с.: іл.
4. Математика: Хрестоматія з історії, методології, дидактики. / Упоряд. . - М.: Вид-во УРАО, 2001. - 384 с.
5. Журнал «Математика у шкільництві» №1, 1965 рік.
6. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ.
7. Геометрія, 7-9: Навч. для загальноосвітніх установ/, та ін. – 13-те вид. – М.: Просвітництво,2003. - 384 с. : іл.
8. Геометрія: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк./, та інших. – 2-ге вид. - М: Просвітництво, 1993, - 207 с.: іл.
Перельман алгебра. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.
Журнал «Математика у шкільництві» №1, 1965 рік.
Геометрія, 7-9: Навч. для загальноосвітніх установ/, та ін. – 13-те вид. – М.: Просвітництво,2003. - 384 с. : іл.
Рогановський: Навч. Для 7-9 кл. з поглибл. вивченням математики загальноосвіт. шк. з русявий. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн.; народ. Асвіта, 2000. - 574 с.: іл.
Алгебра та початку аналізу. 10-11 класи. У 2 год. Ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ/[ та ін.]; за ред. . - 8-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 315 с. : іл., стор.18.
Навчальна: вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування у різних ситуаціях, скласти пам'ятку щодо їх використання.Хід уроку
I. Організаційний момент
ІІ. Пояснення нового матеріалу
Вчитель: Загадка привабливої сили піфагорових трійок давно хвилює людство. Унікальні властивості піфагорових трійок пояснюють їхню особливу роль у природі, музиці, математиці. Піфагорове заклинання, теорема Піфагора, залишається у мозку мільйонів, а то й мільярдів, людей. Це – фундаментальна теорема, заучувати яку змушують кожного школяра. Незважаючи на те, що теорема Піфагора доступна розумінню десятирічних, вона є надихаючим початком проблеми, при вирішенні якої зазнали фіаско найбільших уми в історії математики, теорема Ферма. Піфагор із острова Самос (див. Додаток 1 , слайд 4) був однією з найвпливовіших і тим не менш загадкових фігур у математиці. Оскільки достовірних повідомлень про його життя та роботу не збереглося, його життя виявилося оповитим міфами та легендами, і історикам буває важко відокремити факти від вигадки. Не підлягає сумніву, однак, що Піфагор розвинув ідею про логіку чисел і що саме ми зобов'язані першим золотим віком математики. Завдяки його генію, числа перестали використовуватися тільки для рахунку та обчислень та були вперше гідно оцінені. Піфагор вивчав властивості певних класів чисел, співвідношення між ними та фігури, що утворюють числа. Піфагор зрозумів, що числа є незалежно від матеріального світу, і тому на вивченні чисел не позначається неточність наших органів чуття. Це означало, що Піфагор знайшов можливість відкривати істини, незалежні від будь-чиєї думки або забобону. Істини більш абсолютні, ніж будь-яке попереднє знання. На основі вивченої літератури, що стосується піфагорових трійок, нас буде цікавити можливість застосування піфагорових трійок при вирішенні задач тригонометрії. Тому ми поставимо собі за мету: вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування, скласти пам'ятку щодо їх використання, провести дослідження щодо їх застосування в різних ситуаціях.
Трикутник ( слайд 14), сторони якого дорівнюють піфагоровим числам, є прямокутним. З іншого боку, будь-який такий трикутник є героновим, тобто. таким, у якого всі сторони та площа є цілими. Найпростіший із них – єгипетський трикутник зі сторонами (3, 4, 5).
Складемо ряд піфагорових трійок шляхом примноження чисел (3, 4, 5) на 2, на 3, на 4. Отримаємо ряд піфагорових трійок, відсортуємо їх за зростанням максимальної кількості, виділимо примітивні.
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).
ІІІ. Хід уроку
1. Покрутимося навколо завдань:
1) Використовуючи співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу знайдіть, якщо
відомо що .
2) Знайдіть значення тригонометричних функцій кута?, якщо відомо, що:
3) Система тренувальних завдань на тему “Формули складання”
знаючи, що sin = 8/17, cos = 4/5, і – кути першої чверті, знайдіть значення виразу:
знаючи, що і – кути другої чверті, sin = 4/5, cos = – 15/17, знайдіть: .
4) Система тренувальних завдань на тему “Формули подвійного кута”
a) Нехай sin = 5/13 – кут другої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.
b) Відомо що tg? = 3/4 – кут третьої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.
c) Відомо, що 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.
d) Відомо, що 
, < < 2.
Найдите sin, cos, tg.
e) Знайдіть tg( + ), якщо відомо, що cos = 3/5, cos = 7/25, де і – кути першої чверті.
f) Знайдіть 
, - Кут третьої чверті.
Розв'язуємо задачу традиційним способом з використанням основних тригонометричних тотожностей, а потім вирішуємо ці завдання більш раціональним способом. Для цього використовуємо алгоритм розв'язання задач з використанням піфагорових трійок. Складаємо пам'ятку розв'язання задач з використанням піфагорових трійок. Для цього згадуємо визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, гострого кута прямокутного трикутника, зображуємо його, залежно від умов задачі на сторонах прямокутного трикутника правильно розставляємо піфагорові трійки ( Рис. 1). Записуємо співвідношення та розставляємо знаки. Алгоритм вироблено.
|
Малюнок 1
Алгоритм розв'язання задач
Повторити (вивчити) теоретичний матеріал.
Знати напам'ять примітивні піфагорові трійки і за необхідності вміти конструювати нові.
Застосовувати теорему Піфагора для точок із раціональними координатами.
Знати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута прямокутного трикутника, вміти зобразити прямокутний трикутник і залежно від умови завдання правильно розставити піфагорові трійки на сторонах трикутника.
Знати знаки синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежно від їх розташування в координатній площині.
Необхідні вимоги:
- знати, які знаки синус, косинус, тангенс, котангенс мають у кожній із чвертей координатної площини;
- знати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута прямокутного трикутника;
- знати та вміти застосовувати теорему Піфагора;
- знати основні тригонометричні тотожності, формули додавання, формули подвійного кута, формули половинного аргументу;
- знати формули наведення.
З урахуванням вищевикладеного заповнимо таблицю ( Таблиця 1). Її потрібно заповнювати, слідуючи визначенню синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу або з використанням теореми Піфагора для точок з раціональними координатами. При цьому необхідно пам'ятати знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенса в залежності від їх розташування в координатній площині.
Таблиця 1
 |
Трійки чисел | sin | cos | tg | ctg | ||
| (3, 4, 5) | I год. | ||||||
| (6, 8, 10) | ІІ год. | - | - | ||||
| (5, 12, 13) | ІІІ год. | - | - | ||||
| (8, 15, 17) | IV год. | - | - | - | |||
| (9, 40, 41) | I год. | ||||||
Для успішної роботи можна скористатися пам'яткою застосування піфагорових трійок.
Таблиця 2
 |
 |
 |
|
|
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), … |
|||
2. Вирішуємо разом.
1) Завдання: знайдіть cos, tg і ctg, якщо sin = 5/13, якщо кут другої чверті.
Властивості
Оскільки рівняння x 2 + y 2 = z 2 однорідно, при домноженні x , yі zна те саме число вийде інша піфагорова трійка. Піфагорова трійка називається примітивноюякщо вона не може бути отримана таким способом, тобто - взаємно прості числа .
Приклади
Деякі піфагорові трійки (відсортовані за зростанням максимальної кількості, виділені примітивні):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Грунтуючись на властивостях чисел Фібоначчі, можна скласти з них, наприклад, такі піфагорові трійки:
.Історія
Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі давньомісопотамських надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, складений із двох прямокутних зі сторонами 9, 12 та 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 та 29, а також 18, 24 та 30 десятків єгипетських ліктів.
Див. також
Посилання
- Є. А. ГорінСтупені простих чисел у складі піфагорових трійок // Математичне просвітництво. – 2008. – В. 12. – С. 105-125.
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Піфагорові числа" в інших словниках:
Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5 … Великий Енциклопедичний словник
Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, наприклад трійка чисел: 3, 4, 5. * * * Енциклопедичний словник
Трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним. По теоремі, зворотної теоремиПіфагора (див. Піфагора теорема), для цього достатньо, щоб вони…
Трійки цілих позитивних чисел х, у, z, що задовольняють рівняння x2 + 2 = z2. Всі рішення цього рівняння, а отже, і всі П. ч. виражаються формулами х = а 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 де а, b довільні цілі позитивні числа (а> b). П. год. Математична енциклопедія
Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5 … Природознавство. Енциклопедичний словник
У математиці піфагоровими числами (піфагорової трійкою) називається кортеж із трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: x2 + y2 = z2. Зміст 1 Властивості 2 Приклади … Вікіпедія
Фігурні числа загальна назвачисел, пов'язаних з тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття перегукується з піфагорійцям. Імовірно від фігурних чисел виник вираз: «Повести число квадрат або куб». Зміст… … Вікіпедія
Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних із тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття перегукується з піфагорійцям. Розрізняють такі види фігурних чисел: Лінійні числа числа, що не розкладаються на помножувачі, тобто їх ... Вікіпедія
- «Парадокс числа пі» жарт на тему математики, що мала ходіння серед студентів до 80 х років (фактично, до масового поширення мікрокалькуляторів) і була пов'язана з обмеженою точністю обчислень тригонометричних функцій і ... Вікіпедія
- (грец. arithmetika, від arithmys число) наука про числа, насамперед про натуральні (цілі позитивні) числа і (раціональні) дроби, і дії над ними. Володіння досить розвиненим поняттям натурального числа та вміння. Велика Радянська Енциклопедія
Книжки
- Архімедове літо, або Історія співдружності юних математиків. Двійкова система числення, Бобров Сергій Павлович. Двійкова система числення, "Ханойська вежа", хід коня, магічні квадрати, арифметичний трикутник, фігурні числа, поєднання, поняття про ймовірності, стрічка Мебіуса та пляшка Клейна.
Черв'як Віталій
Завантажити:
Попередній перегляд:
Конкурс наукових проектів школярів
В рамках крайової науково-практичної конференції «Евріка»
Малої академії наук учнів Кубані
Дослідження піфагорових чисел
Секція математики.
Черв'як Віталій Геннадійович, 9 клас
МОБУ ЗОШ №14
Коренівський район
Ст. Журавська
Науковий керівник:
Манько Галина Василівна
Учитель математики
МОБУ ЗОШ №14
Коренівськ 2011 р
Черв'як Віталій Геннадійович
Піфагорові числа
Анотація.
Тема дослідження:Піфагорові числа
Цілі дослідження:
Завдання дослідження:
- Виявлення та розвиток математичних здібностей;
- Розширення математичного уявленняна цю тему;
- Формування сталого інтересу до предмета;
- Розвиток комунікативних та загальнонавчальних навичок самостійної роботи, уміння вести дискусію, аргументувати тощо;
- Формування та розвиток аналітичного та логічного мислення;
Методи дослідження:
- використання ресурсів мережі Інтернет;
- Звернення до довідкової літератури;
- Проведення експерименту;
Висновок:
- Ця робота може бути використана на уроці геометрії як додатковий матеріал, для проведення елективних курсів або факультативів з математики, а також позакласної роботиз математики;
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
- Введение…………………………………………………………………3
- Основна частина
2.1 Історична сторінка……………………………………………………4
2.2 Доказ парності і непарності катетів……….............................5-6
2.3 Висновок закономірності знаходження
Піфагорових чисел……………………………………………………………7
2.4 Властивості піфагорових чисел ……………………………………………… 8
3. Висновок……………………………………………………………………9
4.Список використаних джерел та літератури…………………… 10
Програми................................................. .................................................. ......11
Додаток I……………………………………………………………………11
Додаток II…………………………………………………………………..13
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Вступ
Про Піфагора та його життя я почув у п'ятому класі на уроці математики, і мене зацікавило висловлювання «Піфагорові штани на всі боки рівні». При вивченні теореми Піфагора мене зацікавили пифагорові числа.мета дослідження: дізнатися більше про теорему Піфагора і «піфагорові числа».
Актуальність теми. Цінність теореми Піфагора та піфагорових трійок доведена багатьма вченими світу протягом багатьох століть. Проблема, про яку йтиметься у моїй роботі виглядає досить простою тому, що в основі її лежить математичне твердження, яке всім відомо, - теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах. Тепер трійки натуральних чисел x, y, z, для яких x 2 + y 2 = z 2 , прийнято називатипіфагоровими трійками. Виявляється, піфагорові трійки знали вже у Вавилоні. Поступово знайшли їх та грецькі математики.
Мета цієї роботи
- Дослідити піфагорові числа;
- Зрозуміти, як виходять піфагорові числа;
- З'ясувати, які властивості мають піфагорові числа;
- Дослідно-експериментальним шляхом побудувати перпендикулярні прямі на місцевості, використовуючи піфагорові числа;
Відповідно до метою роботи поставлено низку наступнихзавдань:
1. Глибше вивчити історію теореми Піфагора;
2. Аналіз універсальних властивостей піфагорових трійок.
3. Аналіз практичного застосування піфагорових трійок.
Об'єкт дослідження: піфагорові трійки
Предмет дослідження: математика .
Методи дослідження: - використання ресурсів мережі Інтернет; -звернення до довідкової літератури; -проведення експерименту;
Теоретична значимість:роль, яку грає відкриття піфагорових трійок у науці; практичне застосування відкриття Піфагора у життєдіяльності людини.
Прикладна цінністьдослідження полягає в аналізі літературних джерелта систематизації фактів.
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
З історії піфагорових чисел.
- Древній Китай:
Математична книга Чу-пей:[ 2]
"Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4".
- Стародавній Єгипет: [2]
Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3² + 4² = 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е., за часів царяАменемхета (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Канторагарпедонапти або "натягувачі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3; 4 та 5.
- Вавилон: [3]
«Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор та піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обґрунтування. У руках обчислювальні рецепти, засновані на невиразних уявленнях, перетворилися на точну науку."
- Історія теореми Піфагора:
Хоча ця теорема пов'язується з ім'ям Піфагора, вона була відома задовго до нього.
У вавилонських текстах вона трапляється за 1200 років до Піфагора.
Очевидно, він першим знайшов її підтвердження. У зв'язку з цим було зроблено такий запис: «... коли він відкрив, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза має відповідність до катетами, він приніс жертву бика, зробленого з пшеничного теста».
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Дослідження Піфагорових чисел.
- Кожен трикутник, сторони відносяться як 3:4:5, відповідно до загальновідомої теореми Піфагора - прямокутний, тому що
3 2 + 4 2 = 5 2.
- Крім чисел 3,4 і 5 існує, як відомо, нескінченна безлічцілих позитивних чисел а, в і с, що задовольняють співвідношенню
- А 2 + 2 = з 2.
- Ці числа називаютьсяпіфагоровими числами
Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі давньолісотамських надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, складений з двох прямокутних зі сторонами 9, 12 і 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 та 29, а також 18, 24 та 30 десятків єгипетських ліктів.[ 1 ]
Прямокутний трикутник з катетами 3, 4 і гіпотенузою 5 називається єгипетським трикутником. Площа цього трикутника дорівнює досконалому числу 6. Периметр дорівнює 12 - числу, яке вважалося символом щастя та достатку.
За допомогою мотузки розділеної вузлами на 12 рівних частин стародавні єгиптяни будували прямокутний трикутник та прямий кут. Зручний і дуже точний спосіб, що використовується землемірами щодо біля перпендикулярних ліній. Необхідно взяти шнур і три кілочки, шнур мають трикутник так, щоб одна сторона складалася з 3 частин, друга з 4 часток і остання з п'яти таких часток. Шнур розташується трикутником, у якому є прямий кут.
Цей стародавній спосіб, мабуть, що застосовувався ще тисячоліття тому будівельниками єгипетських пірамід, заснований на тому, що кожен трикутник, сторони якого відносяться як 3:4:5, відповідно до теореми Піфагора, прямокутний.
Знаходженням піфагорових трійок займалися Евклід, Піфагор, Діофант та багато інших.[ 1]
Зрозуміло, що якщо (x, y, z ) – піфагорова трійка, то для будь-якого натурального k трійка (kx, ky, kz) також буде піфагорової трійкою. Зокрема, (6, 8, 10), (9, 12, 15) тощо. є піфагоровими трійками.
У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше і знаходити їх стає все складніше і складніше. Піфагорійці винайшли спосіб відшукання
таких трійок і, користуючись ним, довели, що піфагорових трійок існує дуже багато.
Трійки, що не мають спільних дільників, більших 1, називаються найпростішими.
Розглянемо деякі властивості піфагорових трійок.[ 1]
Відповідно до теореми Піфагора ці числа можуть бути довжинами деякого прямокутного трикутника; тому а і називають «катетами», а з – «гіпотенузою».
Ясно, що якщо а,в, є трійка піфагорових чисел, то і ра,рв,рс, де р-цілочисленний множник,-піфагорові числа.
Вірне і зворотне твердження!
Тому спочатку досліджуватимемо лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта виходять з них множенням на цілісний множник р).
Покажемо, що у кожній з таких трійок а,в,з одним із «катетів»має бути парним, а інший непарним. Розмірковуватимемо «від неприємного». Якщо обидва «катета» а й у парні, то парним буде число а 2 + у 2 , отже, і «гіпотенуза». Але це суперечить тому, що числа а,ві з не мають спільних множників, тому що три парних числа мають загальний множник 2. Таким чином хоч один із «катетів» а й у непарний.
Залишається ще одна можливість: обидва «катета» непарні, а «гіпотенуза» парна. Неважко довести, що цього не може бути, тому що якщо «катети» мають вигляд 2х+1 і 2у+1, то сума їх квадратів дорівнює
4х 2 + 4х + 1 + 4у 2 + 4у +1 = 4 (х 2 + х + у 2 + у) +2, тобто. є число, яке при розподілі на 4 дає в залишку 2. Тим часом квадрат будь-якого парного числа повинен ділитися на 4 без залишку.
Отже, сума квадратів двох непарних чисел може бути квадратом парного числа; інакше кажучи, наші три числа – не піфагорові.
ВИСНОВОК:
Отже, з «катетів» а в один парний, а інший непарний. Тому число а 2 + у 2 непарно, а значить, непарна і «гіпотенуза» с.
Піфагор знайшов формули, які в сучасній символіці можуть бути записані так: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1 де n – ціле число.
Ці числа – піфагорові трійки.
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Висновок закономірності для знаходження піфагорових чисел.
Ось такі піфагорові трійки:
- 3, 4, 5; 9+16=25.
- 5, 12, 13; 25+144=225.
- 7, 24, 25; 49+576=625.
- 8, 15, 17; 64+225=289.
- 9, 40, 41; 81+1600=1681.
- 12, 35, 37; 144+1225=1369.
- 20, 21, 29; 400+441=881
Неважко помітити, що при множенні кожного з чисел піфагорової трійки на 2, 3, 4, 5 тощо, ми отримаємо наступні трійки.
- 6, 8, 10;
- 9,12,15.
- 12, 16, 20;
- 15, 20, 25;
- 10, 24, 26;
- 18, 24, 30;
- 16, 30, 34;
- 21, 28, 35;
- 15, 36, 39;
- 24, 32, 40;
- 14, 48, 50;
- 30, 40, 50 тощо.
Вони також є Піфагоровими числами/
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Властивості піфагорових чисел.
- При розгляді піфагорових чисел я побачив ряд властивостей:
- 1) Одне з піфагорових чисел має бути кратним трьом;
- 2) Інше їх має бути кратно чотирма;
- 3) А третє з піфагорових чисел має бути кратно п'яти;
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Висновок.
Геометрія, як та інші науки, виникла з потреб практики. Саме слово "геометрія" - грецьке, у перекладі означає "землемірство".
Люди дуже рано зіткнулися з необхідністю виміряти земельні ділянки. Вже за 3-4 тис. років до н. кожен клаптик родючої землі в долинах Нілу, Єфрату та Тигра, річок Китаю мав значення для життя людей. Це вимагало певного запасу геометричних та арифметичних знань.
Поступово люди почали вимірювати та вивчати властивості складніших геометричних фігур.
І в Єгипті та у Вавилоні споруджувалися колосальні храми, будівництво яких могло проводитися тільки на основі попередніх розрахунків. Також будувалися водопроводи. Все це вимагало креслень та розрахунків. До цього часу були добре відомі окремі випадки теореми Піфагора, вже знали, що якщо взяти трикутники зі сторонами x, y, z, де x, y, z – такі цілі числа, що x 2 + y 2 = z 2 , то ці трикутники будуть прямокутними.
Всі ці знання безпосередньо застосовувалися в багатьох сферах життєдіяльності людини.
Так досі велике відкриття вченого та філософа давнини Піфагора знаходить пряме застосування у нашому житті.
Будівництво будинків, доріг, космічних кораблів, автомобілів, верстатів, нафтопроводів, літаків, тунелів, метро та багато іншого. Піфагорові трійки знаходять пряме застосування у проектуванні безлічі речей, що оточують нас у повсякденному житті.
А уми вчених продовжують шукати нові варіанти доказів теореми Піфагора.
- В результаті моєї роботи мені вдалося:
- 1. Більше дізнатися про Піфагора, його життя, братерство Піфагорійців.
- 2. Ознайомитись з історією теореми Піфагора.
- 3. Дізнатися про піфагорові числа, їх властивості, навчитися їх знаходити і застосовувати в практичній діяльності.
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Література.
- Цікава алгебра. Я І. Перельман (с.117-120)
- www.garshin.ru
- image.yandex.ru
4. Аносов Д.В. Погляд на математику і щось із неї. - М.: МЦНМО, 2003.
5. Дитяча енциклопедія. - М.: Видавництво Академії Педагогічних Наук РРФСР, 1959.
6. Степанова Л.Л. Вибрані глави елементарної теорії чисел. - М.: Прометей, 2001.
7. В. Серпінський Піфагорові трикутники. - М: Учпедгіз, 1959. С.111
Історична сторінка; Теорема Піфагора; Довести, що один із «катетів» повинен бути парним, а інший непарним; Виведення закономірності для знаходження піфагорових чисел; Виявити властивості піфагорових чисел;
Вступ Про Піфагора та його життя я почув у п'ятому класі на уроці математики, і мене зацікавило висловлювання «Піфагорові штани на всі боки рівні». При вивченні теореми Піфагора мене зацікавили пифагорові числа. Я поставив за мету дослідження: дізнатися більше про теорему Піфагора і «піфагорові числа».
Буде вічною істина, коли її пізнає слабка людина! І нині теорема Піфагора Верна, як і в його далекий вік
З історії піфагорових чисел. Стародавній Китай Математична книга Чу-пей: "Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4".
Піфагорові числа у стародавніх єгиптян Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 ² + 4 ² = 5 ² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е., за часів царя Аменемхета (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або "натягувачі мотузок", будували прямі кути з допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3; 4 та 5.
Теорема Піфагора у Вавилонії «Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор та піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обґрунтування. У руках обчислювальні рецепти, засновані на невиразних уявленнях, перетворилися на точну науку."
Кожен трикутник, сторони відносяться як 3:4:5, відповідно до загальновідомої теореми Піфагора, - прямокутний, тому що 3 2 + 4 2 = 5 2. Крім чисел 3,4 і 5 існує, як відомо, нескінченна безліч цілих позитивних чисел а , в і с, що задовольняють співвідношенню А 2 + в 2 = с 2. Ці числа називаються піфагоровими числами
Відповідно до теореми Піфагора ці числа можуть бути довжинами деякого прямокутного трикутника; тому а і називають «катетами», а з – «гіпотенузою». Ясно, що якщо а,в, є трійка піфагорових чисел, то і ра,рв,рс, де р - цілісний множник,- піфагорові числа. Вірне і зворотне твердження! Тому спочатку досліджуватимемо лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта виходять з них множенням на цілісний множник р).
Висновок! Отже з чисел а й у одне парно, інше непарно, отже непарно і третє число.
Ось такі Піфагорові трійки: 3, 4, 5; 9+16=25. 5, 12, 13; 25 +144 = 169. 7, 24, 25; 49 +576 = 625. 8, 15, 17; 64 +225 = 289. 9, 40, 41; 81 +1600 = 1681. 12, 35, 37; 144 +1225 = 1369. 20, 21, 29; 400+441=841
Неважко помітити, що при множенні кожного з чисел піфагорової трійки на 2, 3, 4, 5 тощо, ми отримаємо наступні трійки. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 тощо. Вони також є Піфагоровими числами
Властивості піфагорових чисел При розгляді піфагорових чисел я побачив ряд властивостей: 1) Одне з піфагорових чисел має бути кратним трьом; 2) одне з них має бути кратним чотири; 3) А інше з піфагорових чисел має бути кратно п'яти;
Практичне застосування піфагорових чисел
Висновок: В результаті моєї роботи мені вдалося 1. Більше дізнатися про Піфагорі, його життя, братерство Піфагорійців. 2. Ознайомитись з історією теореми Піфагора. 3. Дізнатися про піфагорові числа, їх властивості, навчитися їх знаходити. Досвідчено-експериментальним шляхом відкладати прямий кут за допомогою піфагорових чисел.