Починаючи міркувати про середні величини, найчастіше згадують, як закінчували школу і вступали до навчальний заклад. Тоді за атестатом розраховувався середній бал: всі оцінки (і добрі, і не дуже) складали, отриману суму ділили на їхню кількість. Так обчислюється найпростіший вид середньої, що називається середня арифметична проста. На практиці у статистиці застосовуються різні видисередніх величин: арифметична, гармонійна, геометрична, квадратична, структурні середні. Той чи інший їхній вид використовується залежно від характеру даних та цілей дослідження.
Середня величинає найбільш поширеним статистичним показником, за допомогою якого дається узагальнююча характеристика сукупності однотипних явищ по одному з ознак, що варіюють. Вона показує рівень ознаки розрахунку одиницю сукупності. За допомогою середніх величин проводиться порівняння різних сукупностей за ознаками, що варіюють, вивчаються закономірності розвитку явищ і процесів суспільного життя.
У статистиці застосовуються два класи середніх: статечні (аналітичні) та структурні. Останні використовуються для характеристики структури варіаційного ряду та будуть розглянуті далі в гол. 8.
До групи статечних середніх відносять середню арифметичну, гармонійну, геометричну, квадратичну. Індивідуальні формули для їх обчислення можна привести до вигляду, загальному для всіх статечних середніх, а саме
де m - показник статечної середньої: при m = 1 отримуємо формулу для обчислення середньої арифметичної, при m = 0 - середньої геометричної, m = -1 - середньої гармонійної, при m = 2 - середньої квадратичної;
x i - варіанти (значення, що приймає ознака);
f i – частоти.
Головною умовою, за якої можна використовувати статечні середні в статистичному аналізі, є однорідність сукупності, яка не повинна містити вихідних даних, що різко відрізняються за своїм кількісним значенням (у літературі вони мають назву аномальних спостережень).
Продемонструємо важливість цієї умови на такому прикладі.
Приклад 6.1. Обчислимо середню заробітну платупрацівників малого підприємства
| № п/п | Заробітна плата, руб. | № п/п | Заробітна плата, руб. |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
Для розрахунку середнього розміру заробітної плати необхідно підсумувати заробітну плату, нараховану всім працівникам підприємства (тобто знайти фонд заробітної плати), та поділити на кількість працюючих:
А тепер додамо в нашу сукупність лише одну людину (директора цього підприємства), але з окладом у 50 000 руб. У такому разі середня, що обчислюється, буде зовсім інша:
Як бачимо, вона перевищує 7000 руб. т.д. вона найбільше значень ознаки крім єдиного спостереження.
Для того щоб таких випадків не відбувалося на практиці, і середня не втрачала б свого сенсу (у прикладі 6.1 вона вже не виконує роль узагальнюючої характеристики сукупності, якою має бути), при розрахунку середньої слід аномальні, різко виділяються спостереження або виключити з аналізу і тим самим самим зробити сукупність однорідної, чи розбити сукупність на однорідні групи та обчислити середні значення з кожної групі та аналізувати не загальну середню, а групові середні значення.
6.1. Середня арифметична та її властивості
Середня арифметична обчислюється як проста, або як виважена величина.
При розрахунку середньої заробітної плати за даними таблиці прикладу 6.1 ми склали всі значення ознаки і поділили їх кількість. Хід наших обчислень запишемо у вигляді формули середньої арифметичної простої
де х i - варіанти (окремі значення ознаки);
п – число одиниць у сукупності.
Приклад 6.2. Тепер згрупуємо наші дані із таблиці прикладу 6.1, т.д. збудуємо дискретний варіаційний ряд розподілу працюючих за рівнем заробітної плати. Результати групування представлені у таблиці.
Запишемо вираз для обчислення середнього рівня заробітної плати у більш компактній формі:
У прикладі 6.2 була застосована формула середньої арифметичної зваженої
де f i - Частоти, що показують, скільки разів зустрічається значення ознаки х i y одиниць сукупності.
Розрахунок середньої арифметичної зваженої зручно проводити в таблиці, як показано нижче (табл. 6.3):
| Вихідні дані | Розрахунковий показник | |
| вести, крб. | чисельність працюючих, чол. | фонд заробітної плати, руб. |
| x i | f i | x i f i |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| Разом | 20 | 132 080 |
Слід зазначити, що середня арифметична проста використовується у випадках, коли дані не згруповані чи згруповані, але частоти рівні між собою.
Часто результати спостереження представляють як інтервального ряду розподілу (див. таблицю в прикладі 6.4). Тоді при розрахунку середньої як x i беруть середини інтервалів. Якщо перший та останній інтервали відкриті (не мають однієї з кордонів), то їх умовно "закривають", приймаючи за величини даного інтервалу величину інтервалу, що примикає, тощо. перший закривають виходячи з величини другого, а останній – за величиною передостаннього.
Приклад 6.3. За результатами вибіркового обстеження однієї з груп населення розрахуємо розмір середньодушового грошового доходу.
У наведеній таблиці середина першого інтервалу дорівнює 500. Дійсно, величина другого інтервалу – 1000 (2000-1000); тоді нижня межа першого дорівнює 0 (1000-1000), яке середина - 500. Аналогічно надаємо з останнім інтервалом. За його середину приймаємо 25 000: величина передостаннього інтервалу 10 000 (20 000-10 000), тоді його верхня межа – 30 000 (20 000 + 10 000), а середина відповідно – 25 000.
| Середньодушовий грошовий дохід, руб. у місяць | Чисельність населення до підсумку, % f i | Середини інтервалів x i | x i f i |
|---|---|---|---|
| До 1000 | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| 20 000 і вище | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| Разом | 100,0 | - | 892 850 |
Тоді середньодушовий розмір місячного доходу становитиме
Тема 4
Основні питання: 1. Абсолютні статистичні величини.
2. Види абсолютних статистичних величин.
3. Відносні величини.
4. Види відносних величин.
5. Середня величина. Види середніх величин.
6. Середня арифметична.
7. Середня гармонійна.
8. Середня геометрична.
9. Середня квадратична та середня кубічна.
10. Структурні середні.
11. Співвідношення між середньою арифметичною, медіаною та модою у статистичних розподілах.
1.Абсолютні статистичні величини.Щоб відобразити розмір, обсяги явищ у статистиці застосовуються абсолютні величини. Абсолютна величина (А.В.) виходить у результаті зведення статистичного матеріалу. А.В. виражаються у різних одиницях виміру – натуральних, вартісних (грошових), умовних, трудових.
1) Натуральні одиниці виміру характеризують величину і розмір явищ, що вивчаються. Вони виражаються у метрах, тоннах, літрах тощо. Натуральні одиниці можна підсумовувати лише за однорідними продуктами, не можна скласти тонни сталі з метрами тканини.
2) Варті одиниці застосовуються для оцінки у вартісному вираженні багатьох статистичних показників: розмір роздрібного товарообігу, ВВП, доходи населення тощо.
3) Умовні. Нерідко в повному обсязі види однорідної продукції можна сумувати. Не можна підсумовувати мило (т.к. воно має різний відсоток жирності), паливо (різну калорійність) тощо. У.о.і. застосовують для обліку однорідної продукції різних різновидів. Наприклад, консерви випускають у банках різної ємності. Тому їх рахують у тисячах умовних банок. За одну умовну банкуприйнята вага продукції нетто 400 грн.
4) Трудові одиниці виміру – людино-годинник, людино-дні тощо. Використовуються для виміру трудових ресурсів, витрат праці.
2.Види абсолютних статистичних величин.За способом висловлювання:
1) Індивідуальні – А.В., що характеризують розміри ознаки в окремих одиниць сукупності (наприклад, зарплата окремого працівника, розмір посівної площі конкретного фермерського господарства). Вони виходять безпосередньо у процесі статистичного спостереження та фіксуються у первинних облікових документах.
2) Сумарні А.В. – виражають величину тієї чи іншої ознаки всіх одиниць досліджуваної сукупності чи окремих її груп та виходять у результаті підсумовування індивідуальних А.В. (Заробітна плата по підприємству).
А.В. завжди є іменованими числами. Вони виражаються у певних одиницях виміру (кг, шт., тонни, га, м тощо).
У практичній діяльності за відсутності необхідної інформації абсолютні величини отримують розрахунковим шляхом, наприклад, на основі балансової ув'язки:
де – запас початку періоду; - Надходження за період; - Витрата за період; - Запас на кінець періоду.
Абсолютні статистичні величини широко використовують у аналізі та прогнозуванні стану та розвитку явищ суспільного життя.
На основі А.В. обчислюють відносні величини.
3.Відносні величини (О.В.).Виходять у результаті розподілу однієї величини в іншу. Чисельник відносини – порівнювана величина, її називають поточноюабо звітноївеличиною, знаменник відносини називають базою порівняння чи підставою порівняння.
Якщо основа порівняння дорівнює 100, то О.В. виражена (%), якщо база порівняння 1 000 – проміле (‰), 10 000 – у продецимілі (‰0).
Порівнювані величини можуть бути однойменними та різноіменними. Якщо порівнюють однойменні величини, їх виражають у коефіцієнтах, відсотках, проміле. При зіставленні різноїменних величин найменування відносних величин утворюється від найменувань порівнюваних величин: щільність населення – чол./км 2 , врожайність – ц/га тощо.
4.Види відносних величин (показників).
1) планового завдання – ОППЗ;
2) виконання плану - ОПВП;
3) динаміки (ОПД);
4) структури (d);
5) інтенсивності та рівня розвитку;
6) координації (ОПК);
7) порівняння (ОПС).
1) ОППЗ- служить для планування. Обчислюється відношенням рівня, запланованого на майбутній період (П), до рівня показника, досягнутого у попередньому періоді ():
2) ОПВП- служить для порівняння реально досягнутих результатів із наміченими раніше.
– досягнутий рівень у поточному періоді; - План на цей же період.
3) ОПД– характеризує зміну рівня будь-якого економічного явища у часі і виходить розподілом рівня ознаки за певний період або момент часу на рівень цього показника в попередній період або момент часу. Інакше їх називають – темпом зростання. Обчислюються у коефіцієнтах або %.
4) d- характеризують склад досліджуваної сукупності, частки, питома вагаелементів сукупності загалом і є ставлення частини одиниць сукупності () до всієї чисельності одиниць сукупності ():
5) Інтенсивності та рівня розвитку– характеризують ступінь насиченості чи розвитку цього явища у певному середовищі, є іменованими і можуть виражатися у кратних відносинах, %, ‰ та інших. формах.
6) ОПК– характеризує ставлення елементів досліджуваної сукупності до однієї з них, прийнятої за основу порівняння. Вони показують, у скільки разів одна частина сукупності більша за іншу, або скільки одиниць однієї частини припадає на 1, 10, 100, 1000 одиниць іншої частини. Ці відносні величини можуть бути обчислені як за абсолютними показниками, так і за показниками структури.
7) ОПС– характеризують відносини однойменних абсолютних чи відносних показників, відповідних одному й тому періоду чи моменту часу, але які стосуються різних об'єктів чи територіям.
5.Середня величина. Види середніх величин.
Визначення: Середньою величиною в статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності.
Види середніх величин: 1) арифметична;
2) гармонійна;
3) геометрична;
4) квадратична;
5) кубічний.
Всі ці середні відносяться до класу статечних середніх і об'єднуються загальною формулою (при різних значеннях m):
де - Середнє значення досліджуваного явища;
- Показник ступеня середньої;
- поточне значення ознаки, що осредняється;
- Число ознак.
Залежно від значення показника ступеня m розрізняють такі види статечних середніх:
при - середня гармонійна;
при - середня геометрична;
при - середня арифметична;
при - середня квадратична;
при - середня кубічна.
При використанні тих самих даних, що більше m, то більше значення середньої величини:
- Правило мажорантності середніх.
Вид середньої вибирається у кожному випадку шляхом конкретного аналізувивчається сукупності, він визначається матеріальним змістом досліджуваного явища.
6.Середня арифметична.
а) Середня арифметична простазастосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності є сумою значень ознак окремих її одиниць (найбільш поширена).
Часто доводиться обчислювати середню за груповим середнім або середнім окремих частин сукупності (приватним середнім), тобто. середню із середніх. Так, наприклад, середня тривалість життя громадян країни є середнім із середніх тривалостей життя по окремих регіонах даної країни.
Середнє середніх величин обчислюється за такою формулою, вважаючи :
де - Число одиниць у кожній групі.
Властивості середніх величин:
1. Якщо всі індивідуальні значення ознаки зменшити (збільшити) у раз, тоді середнє значення нової ознаки відповідно зменшиться (збільшиться) у раз.
2. Якщо варіанти ознаки зосередженого зменшити (збільшити) на , то середня арифметична відповідно зменшиться (збільшиться) на те ж число .
3. Якщо вага всіх опосередкованих варіантів зменшиться (збільшиться) у раз, то середня арифметична не зміниться.
4. Сума відхилень від середньої дорівнює нулю.
7.Середня гармонійна.Застосовується у тих випадках, коли не відомі частоти за окремими варіантами xсукупності, а представлено їх твір. Позначимо цей твір через , тоді отримаємо формулу середньої зваженої гармонічної:
є перетвореною формою і тотожною їй. Замість завжди можна розрахувати, але для цього потрібно визначити ваги окремих значень ознаки, приховані у терезах середньої гармонійної.
У тих випадках, коли вага кожного варіанта дорівнює одиниці, застосовується середня гармонійна проста:
де - окремі варіанти зворотної ознаки, що зустрічаються по одному разу,
- Число варіантів.
Якщо двома частинами сукупності (чисельності і ) дано середні гармонічні, то загальну середню гармонійну по всій сукупності можна як зважену гармонійну середню з групових середніх:
8.Середня геометрична.Застосовується, коли індивідуальні значення ознаки характеризує середній коефіцієнт зростання (є, як правило, відносні величини динаміки, побудовані у вигляді ланцюгових величин, як відношення до попереднього рівня кожного рівня в ряді динаміки). Обчислюється за такою формулою:
- Число варіантів; - Знак твору.
Найбільш широко застосовується визначення середніх темпів зміни у лавах динаміки, і навіть у лавах розподілу (розглянемо її застосування пізніше).
9.Середня квадратична та середня кубічна.
- Застосовується для обчислення середньої величини сторони n квадратних ділянок, діаметрів труб і т.п.
Визначення:Мода ()- значення випадкової величини, що зустрічається з найбільшою ймовірністю дискретному варіаційному ряду - варіант, що має найбільшу частоту.
Широко використовується щодо купівельного попиту, реєстрації цін тощо.
Формула для обчислення:
де – нижня межа модального інтервалу;
– частоти в модальному, попередньому та наступному за модальним інтервалом (відповідно).
Модальний інтервал визначається найбільшою частотою.
Визначення:Медіана - варіанта, що знаходиться в середині варіаційного ряду.
Поділяє ряд на дві рівні (за кількістю одиниць) частини - зі значеннями ознаки менше медіани і зі значенням ознаки більше медіани.
Мода та медіана, як правило, відрізняються від значення середньої, збігаючись із нею лише у разі симетричного розподілу частот варіаційного ряду. Тому співвідношення моди, медіани та середньої арифметичної дозволяє оцінити асиметрію низки розподілів.
Мода та медіана, як правило, є додатковими до середньої характеристиками сукупності та використовуються в математичної статистикидля аналізу форми рядів розподілу.
Аналогічно медіани обчислюються значення ознаки, що ділять сукупність чотирма рівні (за кількістю одиниць) частини – квартили, п'ять – квінтилі, десять – децили, сто – перцентили.
Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична.
Середня арифметична проста
Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять в дану сукупність. Так, середньорічне вироблення продукції на одного працюючого — це така величина обсягу продукції, яка припадала б на кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаково розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою:
Проста середня арифметична— дорівнює сумі індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності
Приклад 1. Бригада з 6 робочих отримує місяць 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.
Знайти середню заробітну плату
Рішення: (3+3,2+3,3+3,5+3,8+3,1)/6=3,32 тис. руб.
Середня арифметична виважена
Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарну кількість продукції.
Подаємо це у вигляді наступної формули:
Зважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів.
Приклад 2. Знайти середню заробітну плату робітників цеху за місяць
Середня заробітна плата може бути отримана шляхом поділу загальної суми заробітної плати на загальну кількість робітників:
Відповідь: 3,35 тис.руб.
Середня арифметична для інтервального ряду
При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу, як напівсуму верхньої та нижньої меж, а потім середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.
Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.
Приклад 3. Визначити середній вікстуденти вечірнього відділення.
Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.
При розрахунку середніх як терези можуть використовуватися не тільки абсолютні, а й відносні величини (частина):
Середня арифметична має цілу низку властивостей, які більш повно розкривають її сутність і спрощують розрахунок:
1. Твір середньої у сумі частот завжди дорівнює сумі творів варіант на частоти, тобто.
2.Середня арифметична суми варіюючих величин дорівнює сумі середніх арифметичних цих величин:
3.Алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю.
Лекція 5. Середні величини
Поняття середньої величини у статистиці
Середня арифметична та її властивості
Інші види статечних середніх величин
Мода та медіана
Квартили та децилі
Велике поширення у статистиці мають середні величини. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати звернення, прибуток, рентабельність та інших.
Середня- це один із найпоширеніших прийомів узагальнень. Правильне розуміннясутності середньої визначає її особливу значимість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне і випадкове дозволяє виявити загальне і вкрай важливе, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.
Середня величина- це узагальнюючі показники, у яких знаходять вираз дії загальних умов, закономірностей досліджуваного явища
Середня величина (У статистиці) - узагальнюючий показник, що характеризує типовий розмір або рівень суспільних явищ у розрахунку на одиницю сукупності за інших рівних умов.
За допомогою методу середніх вирішуються наступні основні завдання:
1. Характеристика рівня розвитку явищ.
2. Порівняння двох або кількох рівнів.
3. Вивчення взаємозв'язків соціально – економічних явищ.
4. Аналіз розміщення соціально-економічних явищ у просторі.
Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного та вибіркового). При цьому статистична середня буде об'єктивна і типова, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в кооперативах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає всякий сенс.
За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, які виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження. Наприклад, середнє вироблення продавця залежить від багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я і т.д.
Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією факторів базових. Це дозволяє середній відображати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям.
Середня величина є відображенням значень досліджуваного ознаки, отже, вимірюється у тому розмірності, як і цей ознака.
Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про досліджувану сукупність по ряду істотних ознак, в цілому дуже важливо мати систему середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.
Існують різні середні:
Середня арифметична;
Середня геометрична;
Середня гармонійна;
Середня квадратична;
Середня хронологічна.
Поняття середньої величини у статистиці - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Поняття середньої величини у статистиці" 2017, 2018.
Середня величина – це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.
Середня величина це:
1) найбільш типове для сукупності значення ознаки;
2) обсяг ознаки сукупності, розподілений нарівно між одиницями сукупності.
Ознака, котрій розраховується середня величина, у статистиці називається «осредняемый».
Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, що зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки одиниць, що відносяться до різних сукупностей. Так, якщо потрібно порівняти рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних для порівняння працівників може бути не типовою для цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, що розглядаються, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Отже, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.
Важливо відзначити, що у процесі опосередкування сукупне значення рівнів ознаки чи кінцеве його значення (у разі розрахунку середніх рівнів у ряді динаміки) має залишатися незмінним. Іншими словами, при розрахунку середньої величини обсяг досліджуваного ознаки не повинен бути спотворений, і вирази, що складаються під час розрахунків середньої, обов'язково повинні мати сенс.
Обчислення середнього – одне із поширених прийомів узагальнення; середній показник заперечує те загальне, що характерно (типово) всім одиниць досліджуваної сукупності, водночас він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх з дії закону великих чиселвипадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному конкретному випадку. У можливості абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючих показників сукупностей.
Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.
Зупинимося на деяких загальних засадах застосування середніх величин.
1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.
2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.
3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.
4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.
5.2. Види середніх та способи їх обчислення
Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та сфери застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні, структурні середні.
До статечним середнім відносяться такі найбільш відомі та часто застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична та середня квадратична.
Як структурні середні розглядаються мода і медіана.
Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від представлення вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середнявважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:
,
де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняється;
n – число варіантів.
Зважена середнявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд
,
де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняється, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанти;
m – показник ступеня середнього;
f i - Частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значенняосредняемого ознаки.
Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:
У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.
Види статечних середніх
|
Вигляд статечної |
Показник |
Формула розрахунку |
|
|
Проста |
Зважена |
||
|
Гармонійна |
|||
|
Геометрична |
|
|
|
|
Арифметична |
|||
|
Квадратична |
|||
|
Кубічна |
|||
Середня гармонійна має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонічну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь за двома (трьома, чотирма тощо) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного і того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.
Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значення ознаки кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних і зведених показників. Інакше висловлюючись, середня величина має обчислюватися те щоб заміні кожного індивідуального значення осредняемого показника його середньої величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний у тому чи іншим чином з осредняемым. Цей підсумковий показник називається визначальним,оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.
Формула середньої геометричної
використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.
Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, на зростання обсягу виробництва в порівнянні з рівнем попереднього року: i 1, i 2, i 3, ..., i n. Очевидно, що обсяг виробництва в останньому роцівизначається початковим його рівнем (q 0) та наступним нарощуванням за роками:
q n =q 0 x i 1 x i 2 x ... x i n .
Прийнявши q n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення
Звідси
Особливий вид середніх величин - структурні середні - застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (статечного типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяги виробництва, і про суму витрат за групами підприємств).
Як структурні середні найчастіше використовують показники моди –найбільш часто повторюваного значення ознаки – і медіани –величини ознаки, яка поділяє впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – щонайменше його.
Якщо ознака, що вивчається, має дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди і медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:
,
де X Me – нижня межа медіанного інтервалу;
h Me – його величина;
(Sum m)/2 – половина від загальної кількості спостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважуючий у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);
S Me-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;
m Me – число спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).
При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду треба звертати увагу на те, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтервалами величина моди визначається як
,
де Х Mo – нижнє значення модального інтервалу;
m Mo - число спостережень або обсяг зважуючого ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);
m Mo-1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;
m Mo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;
h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.
ЗАДАЧА 1
Є такі дані щодо групи промислових підприємств за звітний рік
|
№ підприємства |
Обсяг продукції, млн. руб. |
Середньооблікова кількість працівників, чол. |
Прибуток, тис. руб. |
|
|
197,7 |
10,0 |
13,5 |
||
|
22,8 |
1500 |
136,2 |
||
|
465,5 |
18,4 |
1412 |
97,6 |
|
|
296,2 |
12,6 |
1200 |
44,4 |
|
|
584,1 |
22,0 |
1485 |
146,0 |
|
|
480,0 |
119,0 |
1420 |
110,4 |
|
|
57805 |
21,6 |
1390 |
138,7 |
|
|
204,7 |
30,6 |
|||
|
466,8 |
19,4 |
1375 |
111,8 |
|
|
292,2 |
113,6 |
1200 |
49,6 |
|
|
423,1 |
17,6 |
1365 |
105,8 |
|
|
192,6 |
30,7 |
|||
|
360,5 |
14,0 |
1290 |
64,8 |
|
|
280,3 |
10,2 |
33,3 |
Потрібно виконати угруповання підприємств з обміну продукції, прийнявши такі інтервали:
від 400 до 600 млн. руб.
По кожній групі та по всіх разом визначити число підприємств, обсяг продукції, середньооблікове число працівників, середній виробіток продукції на одного працівника. Результати угруповання подати у вигляді статистичної таблиці. Сформулювати висновок.
РІШЕННЯ
Зробимо угруповання підприємств з обміну продукції, розрахунок кількості підприємств, обсягу продукції, середньооблікового числа працівників за формулою простої середньої. Результати угруповання та розрахунків зводимо до таблиці.
Групи за обсягом продукції
№
підприємства
Обсяг продукції, млн. руб.
Середньорічна вартість основних засобів, млн. руб.
Середньоспі
соковита кількість працівників, чол.
Прибуток, тис. руб.
Середнє вироблення продукції одного працівника
1 група
до 200 млн. руб.
1,8,12
197,7
204,7
192,6
10,0
9,4
8,8
900
817
13,5
30,6
30,7
28,2
2567
74,8
0,23
Середній рівень
198,3
24,9
2 група
від 200 до 400 млн. руб.
4,10,13,14
196,2
292,2
360,5
280,3
12,6
113,6
14,0
10,2
1200
1200
1290
44,4
49,6
64,8
33,3
1129,2
150,4
4590
192,1
0,25
Середній рівень
282,3
37,6
1530
64,0
3 група
від 400 до
600 млн.
2,3,5,6,7,9,11
592
465,5
584,1
480,0
578,5
466,8
423,1
22,8
18,4
22,0
119,0
21,6
19,4
17,6
1500
1412
1485
1420
1390
1375
1365
136,2
97,6
146,0
110,4
138,7
111,8
105,8
3590
240,8
9974
846,5
0,36
Середній рівень
512,9
34,4
1421
120,9
Усього за сукупністю
5314,2
419,4
17131
1113,4
0,31
У середньому за сукупністю
379,6
59,9
1223,6
79,5
Висновок. Отже, у аналізованої сукупності найбільше підприємств за обсягом продукції потрапило до третьої групи – сім, чи половина підприємств. Величина середньорічної вартості основних засобів також у цій групі, як і велика величина середньооблікового числа працівників – 9974 осіб, найменш прибуткові підприємства першої групи.
ЗАДАЧА 2
Є такі дані на підприємствах фірми
Номер підприємства, що входить до фірми
I квартал
II квартал
Випуск продукції, тис. руб.
Відпрацьовано робітниками людино-днів
Середнє вироблення однієї робочого щодня, крб.
59390,13
до 200 млн. руб.
від 200 до 400 млн. руб.