Включаючи нескінченні, за їхньою «потужністю» (узагальнення поняття кількості) через поняття взаємно-однозначної відповідності між множинами. Він класифікував безлічі за їхньою потужністю, визначив поняття кардинальних та порядкових чисел, арифметику кардинальних та порядкових чисел.
Георг був первістком, старшим із шести дітей. Він віртуозно грав на скрипці, успадкувавши від своїх батьків значні мистецькі та музичні таланти. Батько сімейства писав 1851 року про сина: «». Коли батько захворів, сім'я, розраховуючи на більш м'який клімат, у 1856 році переїхала до Німеччини: спочатку до Вісбадену, а потім до Франкфурта.
Він обдарований від природи прагненням до порядку, що переважає над усім іншимУ 1860 році Георг закінчив з відзнакою реальне училище в Дармштадті; вчителі відзначали його виняткові здібності до математики, зокрема до тригонометрії. У 1862 році вступив до . За рік помер його батько; отримавши солідну спадщину, Георг перевівся в Берлінський університет імені Гумбольдта, де почав відвідувати лекції таких знаменитих учених, як Леопольд Кронекер, Карл Вейєрштрасс та Ернст Куммер. Літо 1866 року він провів у Геттінгенському університеті - найбільшому центрі математичної думки тих часів. У 1867 році Берлінський університет надав йому ступінь доктора філософії за роботу з теорії чисел "De aequationibus secundi gradus indeterminatis".
Після нетривалої роботи як викладача в Берлінській школі для дівчаток, Кантор зайняв місце в Галльському університеті Мартіна Лютера, де й пройшла вся його кар'єра. Необхідну для викладання хабілітацію він отримав за дисертацію з теорії чисел. У 1872 році Кантор познайомився з Ріхардом Дедекіндом, який став його близьким другом і однодумцем. Багато ідей Кантора обговорювалися у листуванні з Дедекіндом.
У статті 1872 року Кантор дав варіант обґрунтування теорії речових чисел. У його моделі речове число визначається як клас фундаментальних послідовностей раціональних чисел. На відміну від загальноприйнятого ньютоновського визначення з «Універсальної арифметики» канторівський підхід був чисто математичним, без посилань до геометрії або іншим вимірювальним процедурам. Іншу версію, також чисто математичну, опублікував у тому ж році Дедекінд (вона була заснована на «дедекіндових перерізах», див.).
У 1874 році Кантор одружився з Валлі Гутман ( Vally Guttmann). У них було 6 дітей, останній з яких народився 1886 року (4 дочки та двоє синів). Незважаючи на скромну академічну платню, Кантор був в змозі забезпечити сім'ї безбідне проживання завдяки отриманій від батька спадщині. Біографи відзначають, що навіть у період свого медового місяця в горах Гарца, Кантор багато часу проводив за математичними бесідами з другом Дедекіндом. У цьому ж 1874 року Кантор опублікував у «Журналі Крелле» статтю, у якій ввів поняття потужності множини і показав, що раціональних чисел стільки ж, скільки натуральних, а речових набагато більше (за порадою Вейєрштрасса цей революційний висновок був у статті пом'якшений).
Кантор отримав звання позаштатного професора в 1872, а в 1879 став повним професором. Здобути це звання в 34 роки було великим досягненням, але Кантор мріяв про посаду в більш престижному університеті, наприклад, Берлінському - на той час провідному університеті Німеччини, проте його теорії зустрічають серйозну критику, і перехід в інше місце здійснити не вдалося.
У 1877 році Кантор отримав разючий результат, який повідомив у листі Дедекінду: безлічі точок відрізка і точок квадрата мають одну і ту ж потужність (континуум), незалежно від довжини відрізка та ширини квадрата. Водночас він сформулював і безуспішно намагався довести «континуум-гіпотезу». Перша стаття Кантора з викладом цих ключових результатів з'явилася в 1878 і називалася « До вчення про різноманіття» (термін різноманіттяКантор пізніше замінив на безліч). Публікація статті неодноразово відкладалася на вимогу обуреного Кронекера, який очолював кафедру математики Берлінського університету. Кронекер, що вважається предтечей конструктивної математики, з ворожістю ставився до канторівської теорії множин, оскільки докази нерідко носять неконструктивний характер, без побудови конкретних прикладів; поняття актуальної нескінченності Кронекер вважав абсурдним.
Кантор зрозумів, що позиція Кронекер не дозволить йому навіть піти з Галльського університету. Сам Кантор дотримувався тієї ж думки, що більшість сучасних нам математиків: будь-який несуперечливий математичний об'єкт слід вважати допустимим і існуючим.
Канторівська теорія множин натрапила на різку критику з боку низки відомих математиків-сучасників - Анрі Пуанкаре; пізніше - Германа Вейля та Лейтзена Брауера (див.). Вони нагадували, що до Кантора всі корифеї математики, від Аристотеля до Гауса, вважали актуальну нескінченність неприпустимим науковим поняттям. Становище посилило виявлення у першій версії теорії множин згубних протиріч. Критика була часом дуже агресивна: так, Пуанкаре називав «канторизм» тяжкою хворобою, що вразила математичну науку, і висловлював надію, що майбутні покоління від неї вилікуються; а в публічних заявах та особистих випадах Кронекера на адресу Кантора миготили іноді такі епітети, як «науковий шарлатан», «відступник» та «розпусник молоді».
Різкій критиці з боку частини відомих математиків протистояли всесвітня популярність та схвалення інших. У 1904 році Лондонське королівське суспільство присудило Кантору свою найвищу математичну нагороду - медаль Сільвестра. Сам Кантор вірив у те, що теорія трансфінітних чисел була повідомлена йому згори. Бертран Рассел оцінив теорію множин як «один із головних успіхів нашої епохи», а Давид Гільберт назвав Кантора «математичним генієм» і заявив: «Ніхто не зможе вигнати нас із раю, створеного Кантором».
У 1881 році помер колега Кантора Едуард Гейне, залишивши по собі вакантну посаду. Керівництво університету прийняло пропозицію Кантора запросити на цю посаду Ріхарда Дедекінда, Генріха Вебера або Франца Мертенса (саме в такому порядку), але, на превеликий жаль Кантора, всі вони відмовилися. У результаті пост зайняв. В 1882 спілкування Кантора з Дедекіндом припинилося - ймовірно, внаслідок образи на відмову останнього з посади в Галле.
В 1883 Кантор опублікував ключову у своїй творчості статтю «Основи загального вчення про різноманіття». В цей же час він почав активне листування з видатним математиком того часу - Гьостой Міттаг-Леффлер, який жив у Швеції, і незабаром почав публікуватися в його журналі «Acta mathematica». Проте в 1885 Міттаг-Леффлер стривожився щодо філософського підтексту і нової термінології в одній статті, надісланій йому Кантором для друку, і попросив Кантора відкликати свою статтю, поки та ще проходила коректуру, написавши, що ця стаття «випередила час приблизно років на сто». Кантор погодився, але ніколи більше в Acta Mathematicaне публікувався і різко обірвав стосунки та листування з Міттаг-Леффлером. У Кантора розпочався перший період депресії, і протягом більш ніж п'яти років Кантор нічого не публікував, окрім кількох статей філософського плану, обмежуючись викладацькою діяльністю.
Незабаром після відновлення (1889) Кантор відразу ж зробив кілька важливих доповнень до своєї теорії, зокрема, довів діагональним методом незліченні безлічі всіх підмножин натуральних чисел, однак так і не досяг того ж високого рівняпродуктивності, який він мав у 1874-1884 роках. Зрештою, він звернувся з пропозицією про мир до Кронекера, яке той прихильно прийняв. Тим не менш, філософські розбіжності, що розділяли їх, і труднощі залишилися. Тим часом частина математиків, особливо молоді, прийняли теорію множин, стали її розвивати та застосовувати для вирішення різноманітних проблем. Серед них - Дедекінд, Гільберт, Фелікс Бернштейн 1891; тоді його репутація була дуже стійка навіть попри опозицію Кронекера, у результаті Кантор був обраний першим президентом суспільства. Кантор запросив Кронекера виступити з доповіддю, але той не зміг прийняти пропозицію через трагічну загибель своєї дружини.
Періодично повторювані з 1884 року і до кінця днів Кантора напади депресії деякий час ставили у провину його сучасникам, які зайняли надто агресивну позицію, але зараз вважається, що ці напади, найімовірніше, були розвитком душевної хвороби.
У статті 1892 року вперше з'явився знаменитий діагональний метод Кантора. Останньою роботою, своєрідним заповітом вченого стала стаття «До обґрунтування вчення про трансфінітні множини» (у двох частинах, 1895-1897). Це одна з найвідоміших робіт Кантора, в ній, на додаток до попередніх результатів теорії множин, будується ієрархія алефів.
У 1897 році почалося інтенсивне листування Кантора з Гільбертом з приводу першого виявленого в теорії множин суперечності - парадоксу Буралі-Форті, що вкрай стурбував Гільберта. Кантор висловив думку, що в теорії множин слід проводити різницю між двома типами понять - трансфінітними та абсолютними (« недоступними», як він висловився), з них тільки перші піддаються людському розуму, а щодо других можливе лише наближення до їхнього розуміння. Гільберта ця метафізика не переконала, на його думку, нерозв'язних. математичних завданьні і бути не може. Дискусія тривала два роки і ні до чого не спричинила. Рішення парадоксів (що не стало, втім, загальноприйнятим) було знайдено лише через 30 років, після заміни «наївної теорії множин» Кантора на аксіоматичну, що виключила «недоступні» множини з числа легальних понять.
У грудні 1899 року у Кантора помер 13-річний син. Душевна хвороба Кантора загострилася, майже готова третина статті «До обґрунтування вчення про трансфінітні множини» так і не було завершено. До 1913 року Кантор продовжував викладання в університеті (іноді роблячи тривалі перерви на лікування), потім вийшов на пенсію. Його інтереси після 1899 року стосувалися в основному філософії Лейбніца та питання про авторство шекспірівських п'єс, яким Кантор захоплювався вже багато років.
Георг Кантор помер 6 січня 1918 року від серцевого нападу психіатричної лікарніміста Галле.
Народився 3 березня 1845 року в Санкт-Петербурзі і зростав там до 11-річного віку. Батько сімейства був членом Петербурзької фондової біржі. Коли він захворів, сім'я, розраховуючи на більш м'який клімат, у 1856 році переїхала до Німеччини: спочатку до Вісбадену, а потім до Франкфурта. У 1860 році Георг закінчив на відмінно реальне училище в Дармштадті; вчителі відзначали його виняткові здібності до математики, зокрема до тригонометрії. Продовжив він освіту у Федеральному політехнічному інституті в Цюріху. Через рік, після смерті батька, Георг отримав спадок і перевівся до Берлінського університету. Там він відвідує лекції Кронекера, Вейєрштрасса, Куммера. Літо 1866 року Кантор провів в університеті Геттінґена, важливому центріматематичної думки. У 1967 році в Берліні отримав ступінь доктора за роботу з теорії чисел De aequationibus secundi gradus indeterminatis.
Після нетривалої роботи викладачем у Берлінській школі для дівчаток, Кантор посідає місце у Галльському університеті Мартіна Лютера, де й пройде вся його кар'єра. В 1872 він стає ад'юнкт-професором, тоді ж, під час відпустки, зав'язує дружбу з Ріхардом Дедекіндом. У 34 роки Кантор стає професором математики. У 1879-84 він систематично викладає своє вчення про нескінченність; «ввів поняття граничної точки, похідної множини, побудував приклад досконалої множини, розвинув одну з теорій ірраціональних чисел, сформулював одну з аксіом безперервності» . Незважаючи на таку успішну кар'єру, мріє про посаду у більш престижному університеті, наприклад Берлінському. Однак, мріям не вдається втілитись у життя: багато сучасників, у тому числі Кронекер, який розглядається зараз як один із засновників конструктивної математики, з ворожістю ставляться до канторівської теорії множин, оскільки та стверджує існування множин, що задовольняють якимись властивостями, - без надання конкретних прикладів множин, елементи яких справді задовольняли б цим властивостям.
У 1984 році Кантор зазнав нападу глибокої депресії і на якийсь час відходить від математики, зміщуючи свої інтереси у бік філософії. Потім повертається на роботу. 1897 року він припиняє наукову творчість. Помер Кантор у Галлі 6 січня 1918 року.
Одна з актуальних проблем XIX століття була проблема нескінченного розподілу відрізків і існування точки, що належала всім таким відрізкам, що стягуються. Це завдання вимагало поняття дійсного числа.
Побудова Кантором теорії дійсного числа була опублікована 1872 року, майже одночасно з теорією Вейєрштрасса та Дедекінда. У своїй побудові Кантор виходить із наявності раціональних чисел. Потім він вводить фундаментальні послідовності Коші та приписує їм формальну межу. Далі він розглядає розбиває всі послідовності на класи еквівалентності. До одного й тому класу послідовності відносяться тоді і тільки тоді, коли їхня різниця прагне до нуля, тобто. Далі формальні межі рівні один одному, якщо вони мають дві такі фундаментальні послідовності, які еквівалентні один одному або. Ставлення порядку визначається в такий спосіб.
Таким чином, класи еквівалентності описують деякі речові числа. Назвемо їх речовими числами першого порядку. Якщо спробуємо утворити речове число більшого порядку, складаючи фундаментальні послідовності Коші, то отримаємо знову безліч речових чисел першого ладу. Іншими словами, безліч речових чисел замкнено.
Кантор звертає увагу той факт, що у визначенні речового числа лежить актуально нескінченна множина раціональних чисел: «...до визначення якого-небудь ірраціонального числа завжди належить деяка строго певна множина першої потужності раціональних чисел».
Зауважимо, що побудова Кантора можна узагальнити інші об'єкти, що було зроблено Кантором та її послідовниками, «розробка теорій дійсного числа була досить істотною причиною створення теорії множин». Наприклад, на основі своєї побудови речового числа Кантор згодом свою теорію трансфінітних чисел.
Крім того, Кантор ввів поняття потужності множин та довів нееквівалентність ірраціональних та раціональних чисел.
(Cantor) Георг Фердинанд Людвіг Філіпп - німецький математик, творець теорії множин; рід. 3.03.1845, С.-Петербург, пом. 6.01.1918, Галле (Німеччина).
Батько К. був лютеранином, мати – католичкою; сам К. отримав хрещення у Лютеранській Церкві. Навчався в Політехнічному інституті в Цюріху, ун-тах Берліна і Геттінгена. У 1879-1913 займав кафедру математики в ун-ті в Галлі. У 1891 заснував Союз нім. математиків і став його президентом.
К. ввів у математику поняття актуальної нескінченності, завдяки чому стало можливим говорити про нескінченні множини, такі як сукупність усіх натуральних чисел або сукупність усіх точок відрізка. Оскільки з нескінченними множинами пов'язані певні парадокси (напр., частина нескінченної множиниможе дорівнювати цілій множині), мн. вчені, починаючи з Аристотеля, відмовлялися визнати безліч як існуюче актуально. На їхню думку, можна говорити лише про потенційну нескінченність: так, нескінченність натуральних чисел означає лише, що до кожного числа можна додати одиницю і т.ч. отримати наступне. Континуум (напр., відрізок) є отд. поняття, що не зводиться до сукупності точок. К., проте, спростував осн. заперечення проти актуальної нескінченності, та її результати зіграли значної ролі у логічно суворому визначенні понять континууму і дійсного числа.
і багато інших. Наступні вчені бачили в теорії множин інструмент побудови та обґрунтування всієї математики, завдяки чому її розділи зв'язуються в єдине ціле. Проте, попри багато. важливі результати в цьому напрямі, у початковому формулюванні теорії множин К. були виявлені протиріччя (в т.ч. самим К.), причому досі не вирішено питання, яким чином можна було б побудувати цю теорію несуперечливим чином. Проте вона зіграла велику роль у логічному дослідженні підстав математики та їх філос. осмисленні.
був переконаний, що його ідеї мають значення для богослов'я, т.к. дають додаткові аргументи на користь віри в Бога, Який Сам є найвищою актуальною нескінченністю. Одним із своїх попередників К. вважав Августина, який стверджував, що Бог знає всю сукупність чисел як закінчене ціле. Прагнучи знайти аргументи на користь своєї концепції в попередній богосл. традиції, К. вивчав погляди Хоми Аквінського та Суареса, вів інтенсивне листування з рядом катол. богословів свого часу (К. Гутберлет, Т. Ессер, І. Яйлер, Т. Пеш, кард. І.Б. Францелін), які, водночас, перебуваючи на арістотелівсько-томістських позиціях, відкидали присутність актуальної нескінченності у тварному світі.
Соч.: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts/Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932; Праці з теорії множин. М., 1985.
Літ-ра: Пуркерт Ст, Ільгаудс Х.І. Георг Кантор. Харків, 1991; Флоренський П.А. Про символи нескінченності (Нарис ідей Р. Кантора) // Він же. Твори в 4 т. М., 1994-99, т. 1, с. 79-128; Катасонов В.М. Боротьба з нескінченним: Філософсько-релігійні аспекти генези теорії множин Г. Кантора. М., 1999; Meschkowski H. Probleme des Unendlichen: Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig, 1967; Dauben J.W. Georg Cantor: Його Mathematics and Philosophy of the Infinite. Cambridge (Mass.) - L., 1979.
- - Георг - творець основ теорії множин, теорії дійсних чисел та автор багатьох чудових та фундаментальних теорем математичного аналізу: ஐ "Але у тебе завжди був один недолік - ти бачиш не те, що...
Мир Лема - словник та путівник
- - Георг - німецький математик, логік, теолог, творець теорії трансфінітних множин, що надала визначальний вплив на розвиток математичних наук на рубежі 19-20 ст. Закінчив Університет Берліна, професор...
Історія філософії
- - КБНТОР, Спочатку К. називали церк. співочих, які брали участь у католицькій. богослужінні. Пізніше стали розрізняти К. per usum - співчих, які не мали теоретич...
Музична енциклопедія
- - I Кантор Георг, німецький математик. У 1867 році закінчив Берлінський університет. розробив теорію нескінченних множин і теорію трансфінітних чисел.
- – Кантор Георг, німецький математик. У 1867 році закінчив Берлінський університет. розробив теорію нескінченних множин і теорію трансфінітних чисел.
Велика Радянська Енциклопедія
- - Георге, німецький математик. Розробив основи так званої теорії множин - сукупностей об'єктів довільної природи, що розглядаються як одне ціле.
Сучасна енциклопедія
- - Співочий у католицькій церкві; вчитель музики, диригент хору, органіст та церковний композитор у протестантів; у синагозі - головний співак...
Сучасна енциклопедія
- - Співочий у католицькій церкві; вчитель музики, диригент хору, органіст та церковний композитор у протестантів. У єврейській синагозі – головний співак...
- - Німецький математик. Розробив основи теорії множин, що дуже вплинула на розвиток математики.
Великий енциклопедичний словник
- - 1) учитель співу у соборних училищах. 2) співач у єврейській синагозі...
Словник іноземних слів російської мови
- - ; мн. ка/нтори, Р.
Орфографічний словник російської мови
- - Кантор, -а, чоловік. У синагозі: співак, який співає псалми...
Тлумачний словник Ожегова
- - Кантор, кантора, чоловік. . Співак у єврейській синагозі...
Тлумачний словник Ушакова
- - Кантор I м. Співочий хору. II м. Служитель, який читає співу молитви; головний співак. III м. Вчитель музики, диригент хору, органіст...
Тлумачний словник Єфремової
- - до"...
Російський орфографічний словник
- - КАНТОР Див. Контор...
Історичний словник Галицизм російської мови
"Кантор Георг" у книгах
Розділ десятий. «ПОГАНИЙ» КАНТОР
З книги Бах автора Ветлугіна Ганна МихайлівнаРозділ десятий. Поганий КАНТОР Повернемося до історії битв нашого героя з начальством. Невблаганна Endzweck знову кликала Баха у бій за музичну досконалість. Цього разу композитор не побоявся вторгнутися у свята святих церковного життя – у теологію. Йшлося про підбір
Бах – кантор лейпцизької церкви Св. Хоми
З книги Якби Бах вів щоденник автора Хаммершлаг ЯношБах – кантор лейпцигської церкви Св. Хоми 1723 р. Власне кажучи, Бах досі був досить нестійкою людиною, яка, незважаючи на своє велике господарство та численну сім'ю, ніде не могла знайти собі справжнього місця; усвідомлюючи свою цінність як людину мистецтва,
§ 12. Георг Кантор
З книги Антологія реалістичної феноменології автора Колектив авторів§ 12. Георг Кантор Кантор, який розвинув ідеї Больцано далі, дійшов набагато цікавіших результатів. Він зухвало зробив вихідним пунктом своїх досліджень поняття нескінченної множини, нескінченної кількості і таким чином обґрунтував «арифметику нескінченної».
Гегель Георг Повне ім'я – Гегель Георг Вільгельм Фрідріх (нар. 1770 р. – пом. 1831 р.)
З книги Історія людства. Захід автора Згурська Марія ПавлівнаГегель Георг Повне ім'я – Гегель Георг Вільгельм Фрідріх (нар. 1770 р. – пом. 1831 р.) Німецький філософ. Основні твори: "Феноменологія духу", "Наука логіки", "Енциклопедія філософських наук", "Основи філософії права"; лекції з філософії історії, естетики, філософії
МАКСИМ КАНТОР, письменник
З книги Історичний маразм Кремля та «Болота». Росією правлять двієчники! автора Нерсесов Юрій АркадійовичМАКСИМ КАНТОР, письменник
Кантор
З книги Енциклопедичний словник автора Брокгауз Ф. А.Кантор Кантор – співак, особливо церковний, учитель церковних хорів. У IV ст. в католицькій церкві були К. (cantores et lectores), співали і читали псалми та гімни під час богослужіння. У VI ст., за Григорія Великого, були К. при співочих школах. У ІХ ст. при Карлі Великому засновані такі
Кантор Георг
БСЕКантор Моріц
З книги Велика Радянська Енциклопедія (КА) автора БСЕКантор (від лат. – співак)
З книги Велика Радянська Енциклопедія (КА) автора БСЕМАКСИМ КАНТОР
З книги Російська література сьогодні. Новий путівник автора Чупринін Сергій ІвановичМАКСИМ КАНТОР Кантор Максим Карлович народився 1957 року в Москві. Син філософа Карла Кантора, брат історика російської культури та прозаїка Володимира Кантора (нар. 1945). Закінчив Московський поліграфічний інститут (1980). Професійний художник, чиї роботи представлені в
Едді Дін (Едуард Кантор Дін)
Із книги Темна Вежа. Путівник автора Браунінг РобертЕдді Дін (Едуард Кантор Дін) «Перший – молодий, чорнявий. Стоїть на кордоні між розбоєм та вбивством. Демон вселився в нього. Ім'я демона – героїн». (ТБ-1) Роланд вперше стикається з Едді Діном на борту літака, що летить з Багамських островів до Нью-Йорка. Під кожною
M. КАНТОР Тягар пам'яті (про Сиріна)(238)
З книги Володимир Набоков: pro et contra T1 автора Долінін Олександр ОлександровичМаксим Кантор. Підручник малювання
З книги Кругові об'їзди по кишках жебрака автора Данилкін ЛевМаксим Кантор. Підручник малювання «ОГІ», Москва Дивно, яким чином цей роман – справжній собор: величезний, майже неосяжний, багатоярусний та багато прибраний – побудував одна людина, і до того ж за відносно короткий проміжок часу. Ще дивніше те, що, хоча за
П'яте примітка: Поет чи кантор?
З книги Росія та Захід [Збірник статей на честь 70-річчя К. М. Азадовського] автора Богомолов Микола ОлексійовичП'яте примітка: Поет чи кантор? Чи то Сурков, чи Польовий сказав про вірш «Дві години в резервуарі», що він «написано „з єврейським акцентом“». Тієї ж думки А. Г. Найман, який вважає, що макаронічні «рими типу „шпацирен-офіцирен“ нагадують швидше
Кантор
З книги Чужі уроки – 2009 автора Голубицький Сергій МихайловичКантор За іронічним ставленням до своєї біографії Карлу Ікану ледве вдається приховувати прикрі замішання: «Якби ви купили нерухомість у будь-якому кварталі Нью-Йорка в 50-ті роки, то неодмінно заробили б купу грошей у майбутньому. У будь-якому кварталі, крім Квінса, у
Сім'я Георга Кантора (1845-1918) переїхала з Росії Німеччину, що він ще був дитиною. Саме там він почав вивчати математику. Захистивши у 1868 р. дисертацію з теорії чисел, він отримав ступінь доктора у Берлінському університеті. У 27 років Кантор опублікував статтю, що містила спільне рішенняДуже складна математична проблема - і ідеї, що згодом виросли в його знамениту теорію - теорію множин. У 1878 р. він запровадив і сформулював значний ряд нових понять, дав визначення множини та перше визначення континууму, розвинув принципи порівнювання множин. Систематичний виклад принципів свого вчення про нескінченність він дав у 1879-1884 рр.
Наполегливе прагнення Кантора розглянути нескінченність як щось актуальне було для того часу великою новиною. Кантор мислив свою теорію як зовсім нове літочислення нескінченного, "трансфінітну" (тобто "надкінцеву") математику. На його думку, створення такого обчислення мало зробити переворот у математиці, а й у метафізиці і теології, які цікавили Кантора майже більше, ніж власне наукові дослідження. Він був єдиним математиком і філософом, який вважав, що актуальна нескінченність не тільки існує, а й у повному розумінні розуміння людини, і розуміння це буде піднімати математиків, а слідом за ними і теологів, все вище - і ближче до Бога. Цьому завданню він присвятив життя. Вчений твердо вірив, що його обрано Богом, щоб зробити великий переворот у науці, і ця його віра підтримувалася містичними видіннями. Титанічна спроба Георга Кантора, втім, закінчилася дивно: теоретично було виявлено важко подолані парадокси, які під сумнів і значення улюбленої ідеї Кантора - " сходи алефів " , послідовного ряду трансфінітних чисел. (Ці числа широко відомі у прийнятому ним позначенні: у вигляді літери алеф – першої літери єврейського алфавіту.)
Несподіванка і своєрідність його погляду, попри всі переваги підходу, зумовили різке неприйняття його робіт переважно учених. Десятиліттями він вів наполегливу боротьбу майже з усіма сучасниками-філософами та математиками, які заперечували законність побудови математики на фундаменті актуально-нескінченного. Деякі прийняли це як виклик, оскільки Кантор припускав існування множин чи послідовностей чисел, що мають безліч елементів. Знаменитий математик Пуанкаре назвав теорію трансфінітних чисел "хворобою", від якої математика має колись вилікуватися. Л. Кронекер - вчитель Кантора і один з найавторитетніших математиків Німеччини - навіть нападав на Кантора, називаючи його "шарлатаном", "ренегатом" та "розбещувачем молоді"! Тільки до 1890 р., коли були отримані додатки теорії множин до аналізу та геометрії, теорія Кантора отримала визнання як самостійний розділ математики.
Важливо відзначити, що Кантор сприяв створенню професійного об'єднання – Німецького математичного товариства, яке сприяло розвитку математики у Німеччині. Він вважав, що його наукова кар'єра постраждала від упередженого ставлення до його праць і сподівався, що незалежна організація дозволить молодим математикам самостійно судити про нові ідеї та зайнятися їх розробкою. Він був ініціатором скликання першого Міжнародного математичного конгресу в Цюріху.
Кантор тяжко переживав суперечності своєї теорії та складності з її прийняттям. З 1884 р. він страждав на глибоку депресію і через кілька років відійшов від наукової діяльності. Помер Кантор від серцевої недостатності у психіатричній лікарні у Галлі.
Кантор довів існування ієрархії нескінченностей, кожна з яких більша за попередню. Його теорія трансфінітних множин, переживши роки сумнівів та нападок, зрештою, виросла в грандіозну революціонізуючу силу в математиці 20 ст. і стала її наріжним каменем.
Початок ХІХ століття ознаменувалося відкриттям неевклідової геометрії. У 1825 році – Микола Васильович Лобачевський, трохи пізніше, у 1831 році – Янош Больяй. І доля цих відкриттів була трагічною. Жодного, ні другого відкриття не визнали. Аж до 1860-х років, до відкриттів інших неевклідових геометрій – Ріман та ін. А першовідкривачі неевклідової геометрії вже померли! І ось - теорія множин, яку теж не визнають, лають... Ох вже це дивне XIX століття...
Вважаються однією з найважливіших віх в історії людської думки. Теорія множин, яку він створив, є наріжним каменем сучасної математики
Георг Фердинанд Людвіг Філіп Канторнародився 3 березня 1845 року у Санкт-Петербурзі, куди незадовго до народження емігрував його батько, багатий датський комерсант. Через хворобу легень його батькові в 1856 довелося емігрувати знову, цього разу до Франкфурта. Саме там Георг навчався у кількох приватних школах. У віці 15 років його прийняли до училища у Вісбадені.
Кантор рано виявив спекотний інтерес до математики. У 1862 році він почав вивчати математику поряд з філософією та фізикою у Берлінському університеті.
Там його вчителями були Леопольд Кронекер (1823-1891), Ернст Куммер(1810-1893) та Карл Вейєрштрас(1815-1897). Останній вплинув на нього найбільший вплив, а Кронекер, який навчив його азам теорії чисел, згодом став найжорсткішим критиком ідей Кантора. У 1867 році Кантор отримав ступінь доктора, а через два роки - посаду в Університеті Галле, досить важливому освітньому центрі країни, який все ж таки не входив до числа найпрестижніших у Німеччині. Він розпочав роботу на посаді позаштатного професора, що означало, що його платня залежала від кількості студентів у класах. Лише 1879 року він отримав посаду повного професора.
У 29 років Кантор одружився з Валлі Гуттман і опублікував свою першу роботу про теорію множину «Журналі чистої та прикладної математики», заснованому Августом Креллем. У цій роботі він довів дивовижний факт: незважаючи на те, що безліч раціональних чисел є щільною на прямій, вона є лічильною, тобто число елементів у ньому не перевищує кількість натуральних чисел. Він також довів (остаточно оформивши доказ у 1891 році), що в цьому відношенні речові числа є особливими, оскільки між безліччю речових та безліччю натуральних чисел не можна встановити взаємно однозначну відповідність. Це була перша спроба штурму фортеці під назвою "нескінченність".
1877 також став дуже важливим для Кантора: саме тоді він довів, що, всупереч поширеній думці, між прямою і площиною можна встановити взаємно однозначна відповідність. Як і в 1874 році, цю статтю Кантор також відправив до Журналу Крелля.
Стаття зустріла непохитну відсіч Кронекера, одного з редакторів журналу, якому вдалося відкласти публікацію до наступного року. Кронекер був переконаним противником нескінченності і визнавав її лише як стенографічну запис багаторазово повторюваних процесів. Кантор же, навпаки, вивчав світ, сповнений справжніх нескінченностей, і щоразу розглядав нескінченності дедалі складнішої структури, наприклад, трансфінітні числа, над якими він безперервно працював у зрілі роки.
Все вказує на те, що Кантор страждав від захворювання, яке сьогодні називають маніакально-депресивним синдромом - хворобою ендогенного характеру, при якій фази ейфорії змінюються депресією.
Останні 20 років життя Кантор періодично лікувався у психіатричних клініках, куди він звертався за власним бажанням. Це не заважало йому продовжувати роботу та публікувати свої теорії у проміжках між курсами лікування. В останній развін був поміщений до клініки в 1917 році - єдиний раз проти своєї волі. У листах Кантор скаржився на холод, самотність і мізерне харчування. Незважаючи на те, що на той момент його теорії вже отримали широке визнання наукової спільноти, 6 січня 1918 року він помер на самоті і в воістину гнітючих умовах.