ТЕОРІЯ МНОЖИН КАНТОРУ. Кантор розвинув певну техніку оперування з актуально нескінченними множинами та побудував певний аналог поняття кількості для нескінченних множин. Основою цієї техніки служить поняття взаємно-однозначної відповідності між елементами двох множин. Кажуть, що елементи двох множин можна поставити у взаємно-однозначну відповідність, якщо кожному елементу першої множини можна поставити у відповідність елемент другої множини, різним – різні, і при цьому кожен елемент другої множини буде відповідати якомусь елементу першої. Про такі множини говорять, що вони еквівалентні, що вони мають однакову потужність, або однакове кардинальне число. Якщо ж можна довести, що елементи множини А можна поставити у взаємно-однозначну відповідність з елементами підмножини В1 множини, а елементи множини В не можна поставити у взаємнооднозначну відповідність з елементами А, то тоді кажуть, що потужність множини В більша за потужність множини А. визначення застосовні і до кінцевих множин. У цьому випадку потужність є аналогом кінцевих чисел. Але нескінченні множини мають у цьому сенсі парадоксальні властивості. Нескінченна безліч виявляється еквівалентною своїй частині, напр. так, як це відбувається у т.зв. «парадоксі Галілея»:
1, 2, 3, 4, ..., n, ...
2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...
Ці парадокси були відомі давно, і саме вони, зокрема, були перешкодою для розгляду актуально нескінченних множин. Те, що тут просто дається взнаки специфіка актуально нескінченного, пояснював у «Парадоксах нескінченного» Больцано. Дедекінд вважав цю властивість актуально нескінченних множин характеристичним.
Кантор розвиває арифметику кардинальних чисел. Сумою двох кардинальних чисел є потужність об'єднання відповідних ним множин, твором – потужність т.зв. множини-твори двох даних множин і т.д. Найважливішим виявляється перехід від даної множинидо множини-ступеня, тобто, за визначенням, до множини всіх підмножин вихідної множини. Кантор доводить основну для його теорії теорему: потужність множини-ступеня більша за потужність вихідної множини. Якщо потужність вихідної множини записати через а, то відповідно до арифметики кардинальних чисел потужність множини-ступеня буде 2a, і ми маємо, отже, 2a >а.
Значить, переходячи від деякої нескінченної множини, напр. від множини всіх натуральних чисел, що має потужність ℵα (позначення Кантора) до множини всіх підмножин цієї множини, до множини всіх підмножин цієї нової множини і т.д., ми будемо отримувати ряд множин все більшої потужності. Чи є якась межа цього зростання? Відповісти це питання можна, лише ввівши до розгляду деякі додаткові поняття.
Оперувати з нескінченними множинами, позбавленими будь-якої додаткової структури, взагалі кажучи, неможливо. Тому Кантор увів у розгляд впорядковані множини, тобто. множини, для будь-яких двох елементів яких визначено відношення «більше» > (або «менше»<). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:
0 1 2 ... ω0, ω0 + 1 ... ω1 ... ω2 ... ωn ... ωω0 ... Ω (ординали)
0 1 2 ... ℵ0 ... ℵ1 ... ℵ2 ℵn …ℵ ω0 … τ («тау»-кардинали)
Відповідно до теорем теорії множин будь-який «відрізок» шкали Ω ординальних чисел, сам як безліч цілком упорядковане, матиме більший ординал, ніж ув'язнені в цьому відрізку. Звідси випливає, що неможливо розглядати все як безліч, т.к. в іншому випадку Ω мало б своїм ординалом β, яке найбільше ординалів у Ω, але оскільки останнє містить усі ординали, тобто. і β, було б: β > β (парадокс Буралі – Форті, 1897). Кантор прагнув обійти цей феномен запровадженням (з 1880-х рр.) поняття консистентності. Не будь-яка множинність (Vielheit) є безліч (Menge). Множинність називається консистентною, або безліччю, якщо її можна розглядати як закінчене ціле. Якщо ж припущення «спільного буття» всіх елементів множинності веде до суперечності, то множинність виявляється неконсистентною, і її, власне, не можна розглядати в теорії множин. Такими неконсистентними множинами виявляються, зокрема, Ω – безліч усіх ординальних чисел і τ («тау») – безліч кардиналів («алефів»). Тим самим ми знову повертаємось до нескінченності як процесу. Як пише математик 20 в. П.Вопенка: «Теорія множин, зусилля якої були спрямовані на актуалізацію потенційної нескінченності, виявилася нездатною потенційність усунути, а лише змогла перемістити її у вищу сферу» (Вопенка П. Математика в альтернативній теорії множин. – «Нове у зарубіжній науці. Математи» », 1983, № 31, с. 124.) Це не бентежило, однак, самого Кантора. Він вважав, що шкала «алефів» піднімається до нескінченності самого Бога і тому те, що остання виявляється математично невимовною, було для нього само собою зрозумілим: «Я ніколи не виходив із якогось «Genus supremum» актуальної нескінченності. Зовсім навпаки, я суворо довів абсолютне неіснування Genus supremum для актуальної нескінченності. Те, що перевершує все нескінченне та трансфінітне, не є «Genus»; це є єдина, найвищою мірою індивідуальна єдність, до якої включено все, що включає «Абсолютне», незбагненне для людського розуміння. Це є "Actus Purissimus", яке багатьма називається Богом" (Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg Cantors. - "Der Mathematilkuntemcht", 1971, № 4, S. 30-34).
Б. H. Катасонів
Нова філософська енциклопедія. У чотирьох томах. / Ін-т філософії РАН. Науково-ред. порада: В.С. Степін, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигін. М., Думка, 2010, т. I, А – Д, с. 249-250.
Вважаються однією з найважливіших віх в історії людської думки. Теорія множин, яку він створив, є наріжним каменем сучасної математики
Георг Фердинанд Людвіг Філіп Канторнародився 3 березня 1845 року у Санкт-Петербурзі, куди незадовго до народження емігрував його батько, багатий датський комерсант. Через хворобу легень його батькові в 1856 довелося емігрувати знову, цього разу до Франкфурта. Саме там Георг навчався у кількох приватних школах. У віці 15 років його прийняли до училища у Вісбадені.
Кантор рано виявив спекотний інтерес до математики. У 1862 році він почав вивчати математику поряд з філософією та фізикою у Берлінському університеті.
Там його вчителями були Леопольд Кронекер (1823-1891), Ернст Куммер(1810-1893) та Карл Вейєрштрас(1815-1897). Останній вплинув на нього найбільший вплив, а Кронекер, який навчив його азам теорії чисел, згодом став найжорсткішим критиком ідей Кантора. У 1867 році Кантор отримав ступінь доктора, а через два роки - посаду в Університеті Галле, досить важливому освітньому центрі країни, який все ж таки не входив до числа найпрестижніших у Німеччині. Він розпочав роботу на посаді позаштатного професора, що означало, що його платня залежала від кількості студентів у класах. Лише 1879 року він отримав посаду повного професора.
У 29 років Кантор одружився з Валлі Гуттман і опублікував свою першу роботу про теорію множину «Журналі чистої та прикладної математики», заснованому Августом Креллем. У цій роботі він довів дивовижний факт: незважаючи на те, що безліч раціональних чисел є щільною на прямій, вона є лічильною, тобто число елементів у ньому не перевищує кількість натуральних чисел. Він також довів (остаточно оформивши доказ у 1891 році), що у цьому відношенні речові числає особливими, оскільки між безліччю речових та безліччю натуральних чисел не можна встановити взаємно однозначної відповідності. Це була перша спроба штурму фортеці під назвою "нескінченність".
1877 також став дуже важливим для Кантора: саме тоді він довів, що, всупереч поширеній думці, між прямою і площиною можна встановити взаємно однозначна відповідність. Як і в 1874 році, цю статтю Кантор також відправив до Журналу Крелля.
Стаття зустріла непохитну відсіч Кронекера, одного з редакторів журналу, якому вдалося відкласти публікацію до наступного року. Кронекер був переконаним противником нескінченності і визнавав її лише як стенографічну запис багаторазово повторюваних процесів. Кантор же, навпаки, вивчав світ, сповнений справжніх нескінченностей, і щоразу розглядав нескінченності дедалі складнішої структури, наприклад, трансфінітні числа, над якими він безперервно працював у зрілі роки.
Все вказує на те, що Кантор страждав від захворювання, яке сьогодні називають маніакально-депресивним синдромом - хворобою ендогенного характеру, при якій фази ейфорії змінюються депресією.
Останні 20 років життя Кантор періодично лікувався у психіатричних клініках, куди він звертався за власним бажанням. Це не заважало йому продовжувати роботу та публікувати свої теорії у проміжках між курсами лікування. В останній развін був поміщений до клініки в 1917 році - єдиний раз проти своєї волі. У листах Кантор скаржився на холод, самотність і мізерне харчування. Незважаючи на те, що на той момент його теорії вже отримали широке визнання наукової спільноти, 6 січня 1918 року він помер на самоті і в воістину гнітючих умовах.
Теорія Кантора про трансфінітні числа спочатку була сприйнята настільки нелогічною, парадоксальною і навіть шокуючою, що натрапила на різку критику з боку математиків-сучасників, зокрема, Леопольда Кронекера та Анрі Пуанкаре; Пізніше - Германа Вейля та Лейтзена Брауера, а Людвіг Вітгенштейн висловив заперечення філософського плану (див. Спори про теорію Кантора). Деякі християнські богослови (особливо представники неотомізму) побачили у роботі Кантора виклик унікальності абсолютної нескінченності природи Бога, колись прирівнявши теорію трансфінітних чисел і пантеїзм. Критика його праць була часом дуже агресивна: так, Пуанкаре називав його ідеї «важкою хворобою», що вражає математичну науку; а в публічних заявах та особистих випадах Кронекера на адресу Кантора миготіли іноді такі епітети, як «науковий шарлатан», «відступник» та «розпусник молоді». Десятиліття після смерті Кантора, Вітгенштейн з гіркотою відзначав, що математика "витоптана вздовж і поперек руйнівними ідіомами теорії множин", яке він відхиляє як "блазенство", "сміхотворне" і "помилкове". Періодично повторювані з 1884 року і до кінця днів Кантора напади депресії якийсь час ставили у провину його сучасникам, які зайняли надто агресивну позицію, але зараз вважається, що ці напади, можливо, були проявом біполярного розладу.
Різкій критиці протистояли всесвітня популярність та схвалення. В 1904 Лондонське королівське суспільство нагородило Кантора Медаллю Сільвестра, найвищою нагородою, яку воно могло завітати. Сам Кантор вірив у те, що теорія трансфінітних чисел була повідомлена йому згори. Свого часу, захищаючи її від критики, Давид Гільберт сміливо заявив: «Ніхто не вижене нас із раю, який заснував Кантор».
Біографія
Юні роки та навчання
Кантор народився 1845 року в Західній колонії торговців у Санкт-Петербурзі і зростав там до 11-річного віку. Георг був старшим із шести дітей. Він віртуозно грав на скрипці, успадкувавши від своїх батьків значні мистецькі та музичні таланти. Батько сімейства був членом Петербурзької фондової біржі. Коли він захворів, сім'я, розраховуючи на більш м'який клімат, у 1856 році переїхала до Німеччини: спочатку до Вісбадену, а потім до Франкфурта. В 1860 Георг закінчив з відзнакою реальне училище в Дармштадті; вчителі відзначали його виняткові здібності до математики, зокрема до тригонометрії. В 1862 майбутній знаменитий учений вступив до Федерального політехнічного інституту в Цюріху (нині - Швейцарська вища технічна школа Цюріха). За рік помер його батько; отримавши солідну спадщину, Георг переводиться в Берлінський університет імені Гумбольдта, де починає відвідувати лекції таких знаменитих вчених, як Леопольд Кронекер, Карл Вейєрштрас і Ернст Куммер. Літо 1866 року він провів у Геттінгенському університеті, тоді, та й зараз, - дуже важливого центруматематичної думки. В 1867 Берлінський університет привласнив йому ступінь доктора філософії за роботу з теорії чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».
Вчений та дослідник
Після нетривалої роботи як викладача в Берлінській школі для дівчаток, Кантор займає місце в Галльському університеті Мартіна Лютера, де й пройде вся його кар'єра. Необхідну для викладання хабілітацію він одержав за свою дисертацію з теорії чисел.
В 1874 Кантор одружився з Валлі Гуттманн (Vally Guttmann). Вони мали 6 дітей, останній у тому числі народився 1886 року. Незважаючи на скромну академічну платню, Кантор був в змозі забезпечити сім'ї безбідне проживання завдяки отриманій від батька спадщині. Протягом свого медового місяця у горах Гарца, Кантор багато часу проводив за математичними розмовами з Ріхардом Дедекіндом, з яким зав'язав дружбу ще двома роками раніше під час відпустки, у Швейцарії.
Кантор отримав звання Позаштатного Професора в 1872, а в 1879 став Повним Професором. Здобути це звання в 34 роки було великим досягненням, але Кантор мріяв про посаду в більш престижному університеті, наприклад, Берлінському - на той час провідному університеті Німеччини. Однак його теорії зустрічають серйозну критику, і мріям не вдається втілитись у життя. Кронекер, який очолював кафедру математики Берлінського університету, все більше і більше був не в захваті від перспективи отримати такого колегу, як Кантор, сприймаючи його як «розбещувача молоді», який наповнював своїми ідеями голови молодого покоління математиків. Більше того, Кронекер, будучи помітною фігурою в математичному співтоваристві та колишнім вчителемКантора був докорінно не згоден зі змістом теорій останнього. Кронекер, який розглядається зараз як один із засновників конструктивної математики, з ворожістю ставився до канторівської теорії множин, оскільки та стверджувала існування множин, що задовольняють деяким властивостям, - без надання конкретних прикладів множин, елементи яких справді задовольняли б цим властивостям. Кантор зрозумів, що позиція Кронекер не дозволить йому навіть піти з Галльського університету.
У 1881 Едуард Гейне, колега Кантора, помер, залишивши по собі вакантну посаду. Керівництво університету прийняло пропозицію Кантора запросити на цю посаду Ріхарда Дедекінда, Генріха Вебера або Франца Мертенца (саме в такому порядку), але всі вони відмовилися. У результаті посаду зайняв Фрідріх Вангерін, проте він ніколи не був другом Кантора.
У 1882 році наукове листування з Дедекіндом обірвалося, ймовірно, як наслідок відмови останнього з посади в Галлі. У той же час Кантор встановив інше важливе листування з Геста Міттаг-Леффлером, який жив у Швеції, і незабаром почав публікуватися в його журналі «Acta mathematica». Проте в 1885 Міттаг-Леффлер стривожився щодо філософського підтексту і нової термінології в одній статті, надісланій йому Кантором для друку. Він попросив Кантора відкликати свою статтю, поки та ще проходила коректуру, написавши, що ця стаття випередила час приблизно років на сто. Кантор погодився, але при цьому наголосив у листуванні з іншою людиною:
Після цього Кантор різко обірвав відносини і листування з Міттаг-Леффлером, виявляючи схильність сприймати сповнену благих намірів критику як глибоку особисту образу.
Перший відомий напад депресії Кантор зазнав 1884 року. Критика його робіт обтяжувала його розум: кожен із 52 листів, які він написав Маттаг-Леффлеру в 1884 році, зазнав атаки Кронекера. Уривок з одного листа показує ступінь шкоди, завданої відчуттям впевненості Кантора в собі:
Ця емоційна криза змусила його змістити свій інтерес від математики до філософії та почати читати лекції з неї. З іншого боку, Кантор почав інтенсивно вивчати англійську літературу епохи Єлизавети; він намагався довести, що ті п'єси, які приписувалися Шекспіру, насправді написав Френсіс Бекон (див. питання авторства Шекспіра); Результати цієї роботи зрештою були опубліковані у двох проспектах 1896 і 1897 років.
Незабаром після цього Кантор відновився, і відразу ж зробив кілька важливих доповнень до своєї теорії, зокрема, свої знамениті діагональні аргументи і теорему. Однак він уже ніколи не зможе досягти того високого рівня, який був у його роботах 1874-1884 років. Зрештою він звернувся з пропозицією про мир до Кронекера, яке той прихильно прийняв. Тим не менш, філософські розбіжності, що розділяли їх, і труднощі залишилися. Якийсь час вважалося, що періодичні напади депресії Кантора пов'язані з жорстким неприйняттям його робіт з боку Кронекера. Але хоча його депресія і дуже впливала на математичні занепокоєння Кантора та його проблеми з деякими людьми, малоймовірно, що це було її причиною. Навпаки, як основна причина його непередбачуваного настрою затвердили його посмертний діагноз - маніакально-депресивний психоз.
В 1890 Кантор сприяв організації Німецького математичного товариства (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) і був головою першого його збору в Галле в 1891; на той час його репутація була досить сильною, навіть незважаючи на опозицію Кронекера, щоб його обрали першим президентом цього товариства. Закривши очі на свою неприязнь до Кронекера, Кантор запросив його виступити з доповіддю, але Кронекера не зміг цього зробити через смерть своєї дружини.
Об'єкти на честь Кантора
- Канторове безліч- континуальне безліч нульової міри на відрізку;
- Функція Кантора (Канторові сходи);
- Нумеруюча функція Кантора - відображення декартового ступеня множини натуральних чисел у себе;
- Теорема Кантора (див. також Теорема Кантора (значення)) про те, що потужність множини всіх підмножин даної множини строго більша за потужність самої множини;
- Теорема Кантора - Бернштейна про рівномірність множин A і B за умови рівноваги A підмножини B та рівнопотужності B підмножини A;
- Теорема Кантора - Гейне про рівномірну безперервність безперервної функції на компакті;
- Теорема Кантора – Бендіксона
- Медаль Кантора – математична нагорода, що вручається Німецьким математичним суспільством;
- також інші математичні об'єкти.
Твори
- Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts/Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.
На правах рукопису.
Попов Н.А., Попов А.М.
НАЇВНА ТЕОРІЯ МНОЖИН
І РІШЕННЯ ПАРАДОКСУ КАНТОРУ
ЗМІСТ
Стор.
Передмова. . . . . . . . . 5
Глава I. Вступ. Основні відомості з теорії множин. . 8
Розділ II. Чи суперечлива канторівська наївна теорія множин?
Рішення феномена Кантора. . . .19
Розділ III. Аксіоматика канторівської теорії множин. . . . . . . .60
Розділ IV. Z-теорема та два її докази. . . . . . . . . . .72
Глава V. Завдання про відмінність (узагальнення Z-теореми). . . . . . . . .90
Розділ VI. Про логічні парадокси. . . . . . . . . . . . . . .87
ПЕРЕДМОВА
Привести загальні логічні основи сучасної математики в такий стан, щоб їх можна було викладати у школі підліткам 14 – 15 років.
Колмогоров А.М. Простоту - складному / / Вісті. 1962. 31 груд.
Інтуїтивна канторівська так звана «наївна» теорія множини серед математиків вважається суперечливою теорією. В обґрунтування такої оцінки зазвичай вказують на надто розпливчасте, «недостатньо математичне» визначення поняття множини у Кантора. Деякі згадають про парадокси наївної теорії – про парадокс Рассела та парадокс Кантора. Але що складаються ці парадокси, мало хто може пояснити.
Інших підстав вважати «наївну» теорію суперечливою ми знаємо. Все це і було спонукальним мотивом для викладеної нижче спроби розібратися, чи можна обґрунтувати побудову наївної теорії множин, виходячи лише з визначення поняття множини і принципу об'ємності.
Початковим поштовхом до цієї роботи була та дивна обставина, що одночасно з згадуваним у деяких підручниках (наприклад, ) парадоксом Кантора в тих же підручниках викладається явно помилковий, як нам здавалося, доказ знаменитої теореми Кантора. Але, на жаль, як з'ясувалося трохи пізніше, очевидність логічної помилки доказу майже ні для кого була очевидністю. А очевидність була в іншому: більше 100 років ніхто з серйозних математиків підтвердження теореми Кантора не заперечує. Тож цього не може бути! Ставлення до теорему Кантора, що оспорює, (а це рідкісні поодинокі випадки) склалося приблизно таке ж, як до винахідників вічного двигуна.
Як показала практика обговорень цієї проблеми, всі продумані та викладені на папері міркування досить складні для сприйняття і вимагають значних розумових зусиль і, головне, часу. Тому серйозної критики нашої роботи не було. Тема обговорення дуже рідко зустрічала серйозне та сумлінне ставлення. Жоден опонент (а кількість їх обчислюється одиницями) не зміг подати жодного переконливого заперечення до викладених міркувань.
Проте робота виконана. Парадокс Кантора досліджено та дозволено. Результати його дослідження такі.
У головному Кантор мав рацію. Його знамениту теорему нам вдалося довести і з'ясувати, з яких аксіом вона випливає. А всі відомі нам суперечливі приклади, приклади множин, що суперечать його теоремі, включаючи множину всіх множин, виявилися неспроможними. У тому сенсі, що ці множини виявилися внутрішньо суперечливими утвореннями: для них не виконується одна з аксіом, що визначають поняття множини, а саме аксіома визначеності, сформульована у розділі III. Проте загальноприйнятий, стандартний доказ теореми Кантора, що викладається у всіх підручниках, є помилковим. Помилка доказу полягає в тому, що суперечність, що випливає тільки з суперечливого визначення множини, видається у стандартному доказі від протилежного за свідчення хибності припущення противного.
Невеликий відступ про «кризу в основах» теорії множин має дати читачеві уявлення про зміст роботи та її ставлення до існуючого стану теорії множин.
У сучасній літературі з підстав математики, в таких, зокрема, монографіях, як «Введення в метаматематику», Кліні, «Підстави теорії множин», Френкель А.А., Бар-Хіллел, стан цієї галузі знань характеризується як і досі не подолана криза. Поштовхом до виявлення далекосяжних розбіжностей думок та точок зору щодо найголовніших математичних понятьпослужило відкриття на рубежі ХIX і ХХ століть про антиномій (парадоксів) в самих підставах недавно виниклої теорії множин. У прагненні позбавити теорію від суперечностей, що здавалися неприпустимими, і в результаті перегляду її основ виникли так звані аксіоматичні теорії множин, вільні від відомих на той час парадоксів. Цей успіх було досягнуто ціною скорочення області застосування основного поняття теорії – поняття множини. Причину антиномій бачили у розгляді «надто великих» (???) множин. Деякі інтуїтивно зрозумілі сукупності, такі як безліч усіх множин чи безліч всіх потужностей були оголошені не множинами, а класами. Від канторівської теорії множин фактично відмовилися, оголосивши її суперечливою.
На наш погляд, заснованої на результатах дослідження та вищезгаданих парадоксів теорії множин, і так званих діагональних доказів, правильне вирішення проблеми парадоксів не було досягнуто. Парадокси були з теорії усунуті, але не дозволені, тобто причини виникнення протиріч були розкриті остаточно. Через війну і нині загальновизнаної теорії множин (ZF), і навіть у деяких теоремах математичної логіки (див. розділ V.7 глави V про підтвердження теореми А.Тарського) використовуються помилкові методи докази. Ми стверджуємо, що всі докази теореми Кантора в підручниках з теорії множин, математичної логіки та теорії функцій дійсної змінної (наприклад, див.) помилкові.
При ретельному дослідженні теоретико-множинних парадоксів з'ясувалась причина протиріч у них. Це, як показано в розділах II.4 - II.11, лише суперечливі визначення множин. При ясному розумінні цієї причини не було б розмов про кризу в підставах математики.
Загальний план роботи є наступним.
У розділі I даються основні відомості з теорії множин. Розділ адресований читачам, не знайомим з теорією множин, або бажаючим освіжити свої знання у цій галузі. Читачі, які мають навіть поверхневі знання з теорії множин, можуть пропустити цю главу (крім розділу I.7) без шкоди для розуміння наступного матеріалу.
Зміст глави II є викладом дослідження проблеми парадоксу Кантора шляхом уважного продумування проблеми, дослідження, заснованого виключно на логіці здорового глузду. Це дослідження тривало з перервами багато років. Основний результат роботи полягає в тому, що парадокс Кантора досліджено та дозволено.
У розділі III робиться спроба аксіоматичного побудови канторівської «наївної» теорії множин.
У розділах IV і V викладається так звана Z-теорема, що узагальнює сімейство діагональних парадоксів і пояснює з єдиних позицій теоретико-множинні парадокси. Глава VI присвячена розбору кількох найвідоміших парадоксів.
Для розуміння роботи не потрібно спеціальних знань, досить навіть поверхневого знайомства з основними поняттями теорії множин (поняттями "множина", "функція", "область визначення" тощо) та деяка звичка до сприйняття математичних міркувань, так що робота цілком доступна студентам фізико -математичних факультетів та просто людині з університетською, вищою технічною або вищою педагогічною освітою. Автори роботи поставили перед собою завдання розповісти про результати своїх досліджень парадоксів теорії множин мовою, зрозумілою навіть школяру-старшокласнику. Наскільки їм вдалося вирішити це завдання, нехай судить читач.
Ми дякуємо
Н.А.Дмитрієва
за цінні дискусії з теми роботи, а також співробітників ВНДІЕФ
М.І.Каплунова,
Г.С.Клінкова, І.В.Кузьмицького,
В.С.Лебедєва,
Б.В.Певницького, В.І.Філатова, В.А.Щербакова та І.Т.Шморіна, які читали фрагменти нашої роботи в рукописах та обговорювали її.
Списки використаних джерел у цьому виданні подаються до кожного розділу окремо.
РОЗДІЛ I.
ВСТУП. ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ МНОЖИН
I.1. Про поняття множини. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2. Способи опису множин. . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.3. Теоретико-множинні операції. . . . . . . . . . . . . 11
I.4. Кількісне порівняння множин. . . . . . . . . . . . . 11
І.5. Поняття підмножини. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.6. Теорема Кантора (формулювання). . . . . . . . . . . . . . 14
I.7. Невизначені множини. . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.8. Про незліченні множини. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Список використаних джерел. . . . . . . . . . . . . . 19
Цей розділ має на меті дати основні відомості з теорії множин читачеві, не знайомому з цією теорією, або бажаючий освіжити свої знання в цій галузі. Читачі, які мають пізнання в теорії множин хоча б в обсязі курсу для фізико-математичних факультетів педвузів, можуть цю главу пропустити (крім розділу I.7) без шкоди для розуміння наступного матеріалу.
I.1. Про поняття множини.
Термін “множина” у побуті використовується позначення великих кількостей якихось об'єктів, що піддаються рахунку. Ми говоримо: безліч помилок, безліч картин, безліч людей.
Побутове поняття "множина" досить розпливчасте, неможливо вказати ту кількість, наприклад, корів, яку слід назвати безліччю корів. На цю тему відомий так званий "парадокс купи": з якої кількості зерна утворюють купу зерна?
Для того, щоб можна було будувати якусь теорію, поняття цієї теорії мають бути чіткими. Для побудови теорії множин необхідно мати чітке поняття множини. Геніальний засновник теорії множин Георг Кантор (1845 - 1918) дав своє знамените визначення поняття множини. Ось воно.
«Під "множиною" ми розуміємо об'єднання в одне ціле М певних цілком розрізняються об'єктів m нашого сприйняття або мислення (які будуть називатися "елементами" множини M)».
Чи можна вважати це визначення досить чітким, ми обговоримо дещо пізніше, а зараз зазначимо деякі його особливості.
Для початку зауважимо, що про кількість предметів, що об'єднуються, нічого не йдеться. Це означає, що два елементи утворюють безліч. Це означає, що безліч залишиться безліччю, якщо з нього прибрати один елемент. Керуючись цим принципом, ми приходимо до поняття одиничної множини, яка виходить, якщо з множини двох елементів прибрати один з них. І тут ми виявляємо, що канторівське визначення множини не повне: у разі одиничної множини ніякого об'єднання ми не бачимо.
Дальше більше. Забираючи з одиничної множини його єдиний елемент, ми приходимо до поняття порожньої множини. Цю абстракцію вже не всі можуть переварити. При першому знайомстві з поняттям множини не всі погоджуються визнати множиною порожню множину. У зв'язку з цим автору монографії «Вступ до метаматематики» С.Кліні канторівське визначення поняття множини здалося недостатньо повним, і він доповнив його так:
«До множин приєднуються порожня множина, що не має елементів, і поодинокі множини, кожна з яких має один єдиний елемент.»
Справді, жодного «об'єднання в одне ціле» в порожній і поодинокій множині на перший погляд не видно. Однак, як зауважив В.А.Щербаков, якщо «об'єднання» проводиться за деякою ознакою, то за деяких ознак виникатимуть і поодинокі, і порожня множина, і тоді доповнення Кліні вже не потрібне.
Необхідність розгляду одиничних множин і порожньої множини поряд з іншими видно з того, що, визначаючи якусь множину тим чи іншим способом, ми можемо не знати заздалегідь, чи містить вона більше одного або хоча б один елемент.
Тут необхідно підкреслити, що одинична множина та її єдиний елемент – це суттєво різні поняття та різні речі. Різниця полягає в тому, що одиничне безліч має всі властивості множин: у нього є підмножини, до нього можна застосовувати теоретико-множинні операції, у той час як елемент одиничної множини цими властивостями, якщо він сам не є безліччю, не має.
Далі у визначенні Кантора йдеться про «певні і цілком розрізняються об'єкти нашого сприйняття чи мислення». Тут ми не обговорюватимемо це основне поняття - поняття об'єкта, відклавши на час його аналіз і вважаючи його досить ясним для першого знайомства з поняттям множини. Для нас зараз набагато важливіше засвоїти той бік поняття множини, то невід'ємна властивість множини, про яку у визначенні Кантора нічого не йдеться. Властивість це виражається так:
безліч повністю визначається своїми елементами.
В аксіоматичних формальних теоріях ця сторона поняття множини формулюється як аксіома, звана аксіомою об'ємності, або аксіомою екстенсіональності. Але й при викладі змістовної ("наївної") канторівської теорії множин це становище або мається на увазі, або формулюється явно, наприклад, як "інтуїтивний принцип об'ємності" у підручнику Р.Столла "Багато. Логіка. Аксіоматичні теорії".
Аксіома об'ємності стверджує, що багато не залежить від порядку перерахування або порядку розташування його елементів. З тих самих елементів може складатися лише одне безліч. Наприклад, різні перестановки, складені з тих самих символів:
(а, b, c, d), (а, c, d, b), (b, d, c, a), і т. д.,
Є одне й те саме безліч, і як безлічі не відрізняються. Це значить, що різні різні множини можуть тільки за рахунок присутності або відсутності в них принаймні одного елемента.
Звідси стає видно, що існує тільки одна порожня множина, тому що за відсутності елементів у множин немає ознак відмінності. Порожня множина позначається значком;
За своїм складом, як це видно з визначення Кантора, множини можуть мислитися як складаються з реальних об'єктів (множина кішок гір. Сарова, наприклад) або з мислимих, понятійних сутностей (множина натуральних чисел). Серед останніх дуже важливим різновидом множин є нескінченні множини, тобто такі, що складаються з нескінченної кількості елементів.
Тут слід зазначити дві обставини. З одного боку ясно, що це чисто уявні абстракції, що безліч реальних об'єктів нескінченними бути не можуть. З іншого боку саме нескінченні множини надають особливої цінності, краси і неповторності канторівської теорії множин. У заслугу Кантору справедливо ставиться його наукова сміливість, що він став розглядати нескінченні множини як сутності, доступні людському розуму.
Зазначимо також, що й саме поняття множини є суто уявним поняттям, висловлюючись словами Кантора – об'єктом нашої думки.
I.2. Способи опису множин
Якщо буква М позначає деяке безліч, а буква х - деякий "певний і цілком розрізняється об'єкт нашого сприйняття або думки", то вираз "х; М" читається як "х належить М", або "х входить до М", або "х є елементом М", або іншим способом. Перекреслений знак входження; означає заперечення твердження про входження.
Якщо елементів a, b, c, ... множини М не надто багато, то можливий опис множини шляхом перерахування його елементів усередині фігурних дужок:
М = (a, b, c, ...).
В іншому випадку безліч прийнято описувати за допомогою деякої умови приналежності P(x):
M = (x: P(x)).
Цей вираз читається так: безліч M складається з усіх таких і тільки таких х, котрим судження P(x) істинно. Читач може помітити, що другий спосіб позначення множини - загальніший, і перша форма опису множини може бути зведена до другої. Наприклад, за допомогою логічної формули:
М = (x: x=a, або х=b, або х=с, або...),
Якщо ж a, b, c,... – числа (все одно які), то, наприклад, з допомогою рівняння:
М = (x: (x-a) (x-b) (x-c) ... = 0).
I.3. Теоретико-множинні операції.
Над множинами можна виконувати операції. Найбільш уживані операції об'єднання та перетину.
Об'єднання двох множин є безліч, що об'єднує в собі елементи обох множин, що об'єднуються. Ця операція позначається символом; Наприклад, якщо безліч А = (a, b, c), і безліч В = (c, d, e), то
A; B = (a, b, c, d, e).
Перетином двох множин називається безліч, що складається із загальних елементів цих множин. Ця операція позначається символом; Для двох множин попереднього прикладу А; B = (c).
Використовуються та інші, складніші операції над множинами.
I.4. Кількісне порівняння множин.
Для кінцевих множин питання про порівняння їх чисельності вирішується просто: для цього досить порівнювані множини перерахувати, а порівнювати натуральні числа ми вміємо вже з початкової школи. Але як порівнювати нескінченні множини? Кантор запропонував порівнювати нескінченні множини кількісно за принципом взаємно однозначної відповідності.
ВИЗНАЧЕННЯ. Ми говоримо, що між множиною А і множиною У встановлено взаємно однозначну відповідність, якщо кожному елементу множини А поставлений у відповідність один і тільки один елемент множини В так, що кожен елемент множини В поставлений у відповідність одному і тільки одному елементу множини А.
Взаємно однозначну відповідність ми будемо позначати коротшим терміном “1-1-відповідність”, або ще коротше – біекція.
За цим принципом дві множини вважаються рівночисельними, або, точніше, рівносильними, або еквівалентними, якщо між ними можна встановити бієкцію. Якщо ж бієкцію між ними встановити не можна, то потужнішим вважається те з них, частина якого можна взаємно однозначно відобразити інше.
Очевидно, що відношення еквівалентності між множинами симетричне, рефлексивне і транзитивне. Ясно, що порівнювати методом 1-1-відповідності можна і кінцеві множини, і що цей метод є узагальненням звичного способу порівняння кінцевих множин їх перерахунком. По суті спосіб перерахунку є метод порівняння 1-1-відповідністю зі стандартним безліччю – безліччю натуральних чисел.
Приклади порівняння нескінченних множин.
Ще Галілей помітив, що безліч усіх квадратів натуральних чисел можна поставити в 1-1-відповідність з безліччю всіх натуральних чисел:
1, 2, 3, 4, 5, …
1, 4, 9, 16, 25, …
І в цьому сенсі квадратів натуральних чисел рівно стільки, скільки самих чисел. Так само положення і з парними числами: їх теж рівно стільки ж. Ми, що за запропонованому Кантором способі кількісного порівняння множин частина нескінченної множини виявилася кількісно еквівалентна целому. Цю властивість нескінченних множин Кантор запропонував прийняти як визначальну ознаку нескінченної множини.
Безліч, для яких можна встановити біекцію з безліччю натуральних чисел, іншими словами - перенумерувати їх елементи, називаються численними множинами. Рахунковими множинами, очевидно, є і безліч усіх квадратів цілих чисел, і безліч парних чисел. Безліч всіх цілих чисел (позитивних та негативних) теж лічильне. Це видно з того, що всі цілі числа можна розташувати у вигляді такого ланцюжка:
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, . . .
Ясно, що в цей ланцюжок попадуть усі цілі числа, і ми можемо числа всього цього ланцюжка перенумерувати.
Але ось приклад складніше. Чи можна перенумерувати усі позитивні раціональні числа? Кантор запропонував наступний спосіб нумерації множини всіх позитивних раціональних чисел. Розташуємо це безліч як нескінченної таблиці – нескінченної кількості нескінченних рядків. У першому рядку розташуємо всі дроби зі знаменником 1, тобто натуральні числа у порядку зростання. У другому рядку розташуємо всі дроби зі знаменником 2 у порядку зростання чисельника, у третьому рядку – у тому порядку всі дроби зі знаменником 3, тощо. Після цього пронумеруємо спочатку всі дроби із сумою чисельника та знаменника, що дорівнює 2 (це всього один дріб 1/1), потім – усі дроби із сумою знаменника та чисельника, що дорівнює 3 (це; і 2/1), потім – із сумою знаменника і чисельника, що дорівнює 4 (це 1/3, 2/2 та 3/1), і так далі. При цьому скоротити дроби пропускатимемо, оскільки вони вже були пронумеровані раніше. Ясно, що за такого способу нумерації номер отримає будь-яке позитивне раціональне число. На рис. I.1 зображена схема нумерації множини всіх раціональних чисел, запропонована Кантором; стрілками вказано порядок нумерації.
1/1, ; 2/1, 3/1, ; 4/1, 5/1, ; …
; ; ; ;
1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, … .
; ; ; ;
1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3 …
; ;
1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4 …
; ;
1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5, …
Ця схема нумерації вибита на пам'ятнику на могилі Кантора.
За тією ж схемою нумерації можна перенумерувати і безліч всіх упорядкованих пар натуральних чисел (оскільки кожному позитивному раціональному числу відповідає впорядкована пара натуральних чисел - чисельник і знаменник). Далі, розташувавши пронумеровану безліч впорядкованих пар в одному рядку, ми можемо застосувати той самий прийом для нумерації безлічі всіх упорядкованих трійок натуральних чисел, потім - четвірок, і взагалі впорядкованих n-ок, де n - будь-яке натуральне число.
І.5. Поняття підмножини.
Множина М називається підмножиною множини N, якщо M немає елементів, що не входять в N (зокрема, М може збігатися з N).
Іншими словами, у підмножині не повинно бути "сторонніх" елементів, якщо характеризувати цим терміном всі елементи за межами ширшої (власне кажучи) множини N.
Це визначення добре тим, що воно охоплює і пусту множину: у порожній множині немає жодних, а значить і "сторонніх" елементів. Воно, таким чином, є підмножиною будь-якої множини. Якщо визначити поняття підмножини зрозумілішим способом, як множини, що складається тільки з елементів основної множини, то порожню множину доведеться зараховувати до підмножин "окремим рядком". Необхідність такого зарахування видно з тих же міркувань, що і необхідність доповнити порожнім безліччю загальне поняттямножини (див. вище).
Якщо безліч М є підмножиною множини N, то ця обставина може бути коротко зазначено в позначенні множини M:
M = (x; N: P (x))
(читається: безліч M складається з усіх таких і тільки таких х з N, котрим судження P(x) істинно).
І.5.1. Власні та невласні підмножини.
Порожня множина; як уже говорилося, є підмножиною будь-якої множини. У цьому сенсі воно стоїть особняком, і тому його називають невласним підмножиною.
Окрім порожнього, невласним підмножиною називають також підмножину, що збігається з усією множиною. Інші підмножини називаються власними. Вони становлять "правильні" частини основної множини, тоді як невласні підмножини є "неправильними" частинами: це частина, що дорівнює цілому, або нульова частина.
I.5.2. Скільки підмножин у найпростіших множин?
Найменш порожнє безліч - у ньому 0 елементів. Скільки ж у ньому підмножини? Незважаючи на відсутність елементів, одна підмножина у порожньої множини все ж таки є. Це воно саме, це його двічі невласне підмножина: по-перше, тому, що воно порожнє, і, по-друге, тому, що воно збігається з усіма множинами. (Зауважимо, що 20 = 1.)
У одиничної множини, в якій всього один елемент, підмножин вже два, обидва невласні: це порожня множина і підмножина, що збігається з усією множиною. (Знов зазначимо, що 21 = 2.)
У множини, що складається з двох елементів, до двох невласних підмножин додаються два власні - одиничні підмножини, що містять по одному з елементів множини. Разом – 4. (Знову зазначимо, що 22 = 4)
Методом індукції або якось ще читач легко доведе, що у кінцевої множини з n елементів 2n підмножин.
I.6. Теорема Кантора (формулювання)
Ми бачимо, що за будь-якого n 2n > n, тобто число підмножин кінцевої множини завжди більше числаелементів. Це очевидна властивість кінцевих множин Кантор узагальнив на нескінченні множини, довівши свою знамениту теорему, яка говорить:
потужність множини всіх підмножин більша за потужність вихідної множини.
На погляд це узагальнення настільки природно, що у справедливості теореми Кантора сумніватися годі було. Ми, однак, наведемо приклад протилежної якості. Кількість різноманітних упорядкованих пар елементів кінцевої множини з n елементів дається формулою n2, і бачимо, що з n>1 n2>n. Однак ми бачили (див. розділ I.3), що потужність безлічі впорядкованих пар нескінченної множини натуральних чисел не більша за потужність вихідної множини.
Загальне заперечення обох прикладів співвідношень чисельностей кінцевих множин у тому, що аналогія немає доказ.
I.7. Невизначені множини
Існування недовизначених множин випливає із існування парадоксальних, саме суперечливих суджень. Покажемо, як це виходить.
Згадаймо другий спосіб опису множин (див. розділ I.2). Ось як викладається цей спосіб у підручнику Р.Столла
Інтуїтивний принцип абстракції. Будь-яка форма Р(х) визначає деяку множину А за допомогою умови, згідно з якою елементами множини А є в точності такі предмети а, що Р(а) є справжнім висловлюванням
Вираз «форма Р(х)» означає деяке висловлювання якийсь предмет, у якому ім'я цього предмета замінено змінну х, пробігає задану область значень. Інший термін поняття «форма Р(х)» – одномісний предикат. У розділі I.2 у тому сенсі вжито вираз «умова власності».
Але як бути, якщо при деяких значеннях (для деяких предметів а) судження Р(х) виявляється суперечливим?
Конкретний приклад множини з такою умовою приналежності робить зрозумілішим поставлене питання.
Розглянемо назви якихось об'єктів, але лише однозначні назви, тобто які стосуються лише одного певному об'єкту. Назва, що міститься в об'єкті з цією назвою (об'єктом може бути безліч, або, наприклад, книга) називатимемо внутрішньою назвою. Назва, яка не є внутрішньою, називатимемо зовнішньою. Безліч Е - безліч зовнішніх назв сукупності об'єктів S, якщо воно входить у сукупність S і має назву, дає нам приклад недовизначеної множини.
Справді, назва множина Е має, вона виражена буквою Е. До якої з двох категорій слід віднести назву множини Е? Якщо визнати його зовнішньою назвою, тобто одним з елементів множини Е, воно виявиться внутрішньою назвою, і навпаки. Судження про належність назви множини Е до цієї множини не має значення істинності.
Відповідь на поставлене вище питання є очевидною. Для значень х, що звертають Р(х) у суперечливе судження, не можна встановити, чи є відповідний предмет а елементом множини А. Безліч А по відношенню до цього предмета недовизначено.
Але особливість недовизначеної множини не тільки і не стільки у його недовизначеності. Набагато важливішим є те, що його недовизначеність є результатом суперечливості його визначення. Такої суперечливості, яку не одразу помітиш. Адже вона проявляється лише по відношенню до одного єдиного його елементу (у нашому прикладі – до власної назви безлічі зовнішніх назв). Розгляд умови приналежності до такої множини призводить до суперечності. Оскільки ми звикли, що суперечність є результат або помилки, або помилковості однієї з вихідних посилок міркування, то звідси виникає спокуса щось довести.
А тим часом протиріччя, що випливає з суперечливого, а правильніше сказати – з нездійсненного визначення, нічого не доводить (крім нездійсненності цього визначення). Нерозуміння цього не дуже складного обставини призводить до появи хибних теорем
Як слід ставитися до множин із суперечливими визначеннями? Ми бачимо тут дві можливі форми цього відношення (з одним і тим самим змістом).
1) Можна суперечливі множини типу описаного вище множини Е продовжувати вважати множинами, допускаючи можливість суперечливих множин, яку вказував ще Кантор (суперечливим він вважав безліч всіх множин), але тоді можливість виникнення таких множин не можна не враховувати при доказах теорем.
З урахуванням цієї можливості з суперечності, що виходить при доказі від протилежного, не завжди можна зробити висновок про помилковість якоїсь посилки: для суперечливої множини суперечність є його законним атрибутом і ні про що не говорить.
2) Більш правильним представляється оформити наше ставлення до суперечливих множин (точніше – до множин з суперечливим визначенням) шляхом уточнення канторівського поняття множини у тому сенсі, що питання про приналежність множини будь-якого об'єкта повинен мати однозначну і несуперечливу відповідь. Сукупності, що не задовольняють цій вимогі, не дозволяють, подібно до безлічі Е, дати таку відповідь на це питання хоча б для одного єдиного елемента, не повинні вважатися повноцінними множинами. Це недовизначені множини.
Можливість появи недовизначених множин має враховуватися при доказах теорем, як говорилося.
Властивість визначеності множини у зазначеному вище сенсі в канторівському понятті множини, звичайно ж, мається на увазі, хоча в явному вигляді, мабуть, Кантором не було висловлено. Щоправда, один із коментаторів канторівського визначення поняття множини (див. розділ I.1) Роберт Р.Стол саме так тлумачить слова «певних об'єктів» у цьому визначенні.
Уточнення поняття множини у зазначеному сенсі може бути сформульовано у вигляді аксіоми виключеної третьої, якій повинні підпорядковуватися множини.
Аксіома виключеного третього є окремим випадком закону виключеного третього, який говорить, що будь-яке судження або істинно, або хибно, і третього не дано. Але ми знаємо, що можливі і цілком осмислені суперечливі судження, не істинні і не хибні, що порушують, таким чином, закон виключеного третього, прикладами чого можуть бути судження з різних парадоксів. Тому, щоб виключити суперечливі множини з числа допустимих, ми не можемо обмежитися посиланням на цей закон, і маємо передбачити можливість його порушення спеціальною аксіомою.
АКСІОМА ВИКЛЮЧЕНОГО ТРЕТЬОГО. Для всякої множини судження про належність до нього будь-якого об'єкта або істинно, або хибно.
У існуючих (і присутніх у навчальних програмах математичних факультетів ВНЗ) теоріях множин недовизначені множини не виникають лише через те, що можливість парадоксальних суджень у цих теоріях не враховується.
I.8. Про незліченні множини.
Запропонований Кантором метод кількісного порівняння множин шляхом встановлення бієкції між порівнюваними множинами (див. розділ I.3.) неявно передбачає, що існують (можуть зустрітися) і такі нескінченні множини, між якими встановити біекцію неможливо. Якби це було не так, то всі нескінченні множини виявилися б рівносильними, а канторівський метод порівняння множин – беззмістовним.
Нескінченні множини, Порівняльні з безліччю натуральних чисел, що означає, що всі елементи їх можна перенумерувати, називаються рахунковими множинами. Звідси випливає, що незліченні множини (тобто множини, що не є лічильними) такі (настільки численні), що всі їх елементи перенумерувати неможливо.
Як показав Кантор, незліченною є безліч усіх дійсних чисел проміжку від 0 до 1, зазвичай зване континуумом. Потужність континууму прийнято позначати буквою З. Зазначимо такі чудові властивості множин із потужністю континууму.
По-перше, безліч дійсних чисел х одиничного відрізка рівномірно з безліччю дійсних чисел у будь-якого відрізка числової прямої. Бієкція між цими множинами встановлюється формулою:
У = a + x (b - a),
Де числа а та b відповідають кінцям довільного відрізка.
По-друге, формула у = tg (x-0.5;) встановлює бієкцію між одиничним відрізком (точніше - напівінтервалом) і всієї числової прямої. Це означає, що потужність безлічі всіх дійсних чисел має таку ж потужність, як і безліч чисел одиничного відрізка (відрізок на відміну інтервалу включає у собі числа, відповідні його кінцям, але це різниця не призводить до відмінності потужностей).
Наступний важливий факт теорії множин полягає в тому, що множина С (континуум) рівномірна безлічі всіх підмножин натурального ряду. Насправді, кожне дійсне число, менше одиниці, можна взаємно однозначно уявити правильним нескінченним двійковим дробом. Для цього умовимося двійково-раціональні числа, що мають два двійкові уявлення, одне з яких закінчується нескінченною послідовністю одиниць, представляти саме тим способом, при якому двійковий дріб нескінченний. А кожен такий дріб взаємно однозначно визначається підмножиною натурального ряду – безліччю номерів тих розрядів двійкового дробу, у яких стоять одиниці.
І, нарешті, ще один зовсім несподіваний результат, який здивував самого Кантора, випливає з канторівського визначення рівноваги множин та можливості однозначного уявлення дійсного числа нескінченним двійковим (або десятковим) дробом. Рівномощним безлічі С виявилося безліч пар таких же чисел, тобто чисел проміжку від нуля до одиниці. У перекладі на мову аналітичної геометрії це означає, що безліч точок одиничного відрізка виявилося рівносильним безлічі точок одиничного квадрата.
Насправді, кожному дійсному числу одиничного відрізка, представленому нескінченною послідовністю значень десяткових (наприклад) розрядів цього числа, можна взаємно однозначно поставити у відповідність пару таких самих чисел, одне з яких утворено з парних, а інше – з непарних розрядів вихідного числа.
Але це означає, що потужність С - потужність безлічі дійсних чисел будь-якого відрізка - має безліч всіх точок площини (бієкція між одиничним квадратом і всією площиною встановлюється так само, як між одиничним інтервалом і всієї числової прямої).
Аналогічним способом встановлюється рівномірність множин точок відрізка і точок об'ємної фігури - куба, а значить і множини всіх точок всього нескінченного 3-мірного і навіть n-мірного простору.
Цей дивовижний результат при неприязному ставленні до канторівської теорії множин може бути покірний докором цієї теорії: ось до яких абсурдних результатів наводить запропонований Кантором метод кількісного порівняння множин за критерієм взаємно однозначної відповідності.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛОВ
(До введення і гол. I)
1. Кліні Cтефен K. Введення у метаматематику. М: Видавництво Іноземної
Літератури. 1957. 526c.
2. Френкель А.А., Бар-Хіллел. Підстави теорії множин. М: Світ. 1966. 556с.
3. Александров П.С. Введення у загальну теорію множин та функцій. Москва,
Ленінград. Гостехвидав. 1948. 412c.
4. Келлі Джон Л. Загальна топологія. М: Наука. 1968. 384c.
5. Хаусдорф Ф. Теорія множин. Москва, Ленінград. ОНТІ. 1937.
6. Натансон І.П. Теорія функцій речової змінної. М: Гостехвидав.
1957. 552c.
7. Колмогоров А.М., Драгалін А.Г. Математична логіка. Додаткові гла-
ви. Видавництво Московського університету. 1984. 120с.
8. Архангельський А.В. Канторівська теорія множин. Видавництво Московського
Університет. 1988. 112с.
9. Бурбаки Н. Теорія множин. М: Світ. 1965. 455c.
10. Ященко І.В. Парадокси теорії множин. М. Видавництво Московського
центру безперервної математичної освіти. 2002. 40с.
11. Кантор Георг. Праці з теорії множин. За ред. О.М.Колмогорова та
А.П.Юшкевича. М: "Наука". 1985. 432с.
12. Столл Роберт Р. Безліч. логіка. Аксіоматичні теорії. М: Просвітництво-
ня. 1968. 230с.
Сім'я Георга Кантора (1845-1918) переїхала з Росії Німеччину, що він ще був дитиною. Саме там він почав вивчати математику. Захистивши у 1868 р. дисертацію з теорії чисел, він отримав ступінь доктора у Берлінському університеті. У 27 років Кантор опублікував статтю, що містила спільне рішенняДуже складна математична проблема - і ідеї, що згодом виросли в його знамениту теорію - теорію множин. У 1878 р. він запровадив і сформулював значний ряд нових понять, дав визначення множини та перше визначення континууму, розвинув принципи порівнювання множин. Систематичний виклад принципів свого вчення про нескінченність він дав у 1879-1884 рр.
Наполегливе прагнення Кантора розглянути нескінченність як щось актуальне, це було для того часу великою новиною. Кантор мислив свою теорію як зовсім нове літочислення нескінченного, "трансфінітну" (тобто "надкінцеву") математику. На його думку, створення такого обчислення мало зробити переворот у математиці, а й у метафізиці і теології, які цікавили Кантора майже більше, ніж власне наукові дослідження. Він був єдиним математиком і філософом, який вважав, що актуальна нескінченність не тільки існує, а й у повному розумінні розуміння людини, і розуміння це буде піднімати математиків, а слідом за ними і теологів, все вище - і ближче до Бога. Цьому завданню він присвятив життя. Вчений твердо вірив, що його обрано Богом, щоб зробити великий переворот у науці, і ця його віра підтримувалася містичними видіннями. Титанічна спроба Георга Кантора, втім, закінчилася дивно: теоретично було виявлено важко подолані парадокси, які під сумнів і значення улюбленої ідеї Кантора - " сходи алефів " , послідовного ряду трансфінітних чисел. (Ці числа широко відомі у прийнятому ним позначенні: у вигляді літери алеф – першої літери єврейського алфавіту.)
Несподіванка і своєрідність його погляду, попри всі переваги підходу, зумовили різке неприйняття його робіт переважно учених. Десятиліттями він вів наполегливу боротьбу майже з усіма сучасниками-філософами та математиками, які заперечували законність побудови математики на фундаменті актуально-нескінченного. Деякі прийняли це як виклик, оскільки Кантор припускав існування множин чи послідовностей чисел, що мають безліч елементів. Знаменитий математик Пуанкаре назвав теорію трансфінітних чисел "хворобою", від якої математика має колись вилікуватися. Л. Кронекер - вчитель Кантора і один з найавторитетніших математиків Німеччини - навіть нападав на Кантора, називаючи його "шарлатаном", "ренегатом" та "розбещувачем молоді"! Тільки до 1890 р., коли були отримані додатки теорії множин до аналізу та геометрії, теорія Кантора отримала визнання як самостійний розділ математики.
Важливо відзначити, що Кантор сприяв створенню професійного об'єднання – Німецького математичного товариства, яке сприяло розвитку математики у Німеччині. Він вважав, що його наукова кар'єра постраждала від упередженого ставлення до його праць і сподівався, що незалежна організація дозволить молодим математикам самостійно судити про нові ідеї та зайнятися їх розробкою. Він був ініціатором скликання першого Міжнародного математичного конгресу в Цюріху.
Кантор тяжко переживав суперечності своєї теорії та складності з її прийняттям. З 1884 р. він страждав на глибоку депресію і через кілька років відійшов від наукової діяльності. Помер Кантор від серцевої недостатності психіатричної лікарніу Галлі.
Кантор довів існування ієрархії нескінченностей, кожна з яких більша за попередню. Його теорія трансфінітних множин, переживши роки сумнівів та нападок, зрештою, виросла в грандіозну революціонізуючу силу в математиці 20 ст. і стала її наріжним каменем.
Початок ХІХ століття ознаменувалося відкриттям неевклідової геометрії. У 1825 році – Микола Васильович Лобачевський, трохи пізніше, у 1831 році – Янош Больяй. І доля цих відкриттів була трагічною. Жодного, ні другого відкриття не визнали. Аж до 1860-х років, до відкриттів інших неевклідових геометрій – Ріман та ін. А першовідкривачі неевклідової геометрії вже померли! І ось - теорія множин, яку теж не визнають, лають... Ох вже це дивне XIX століття...