Компоненти математичних можливостей. Навіщо розвивати математичні здібності в дітей віком дошкільного віку. Застосовувати можна різні ігри

математичний здатність сприйняття крутецький

Аналіз здібностей викликає необхідність розрізнити поняття здібностей, з одного боку, та вмінь та навичок - з іншого. Ці категорії взаємопов'язані та взаємозалежні. С.Л. Рубінштейн писав про «своєрідну діалектику між здібностями та вміннями». З одного боку, у процесі набуття знань, умінь та навичок розвиваються здібності. Їх формування та розвиток неможливий поза цим процесом. З іншого боку - здібності дозволяють швидше, легше і глибше опанувати відповідні знання, вміння і навички.

Ми вважаємо, що реальний тісний зв'язок та взаємозалежність здібностей та умінь, навичок не «закриває» можливості диференціювати ці категорії. Як неправильно було б розривати їх, так неправильно було б ототожнювати їх.

Як же відрізняти здібності від умінь та навичок? В основі визначення поняття "здатності" лежить характеристика індивідуально-психологічних особливостей людини. З іншого боку, всі визначення навичок, умінь ґрунтуються на поняття діяльності. О.М. Леонтьєв говорить про вміння як доцільне виконання дій. У цьому різниця: коли говорять про здібності, мають на увазі психологічну характеристику людини в діяльності, коли говорять про вміння (навички) - психологічну характеристику діяльності людини.

Усе це дає підстави так диференціювати зазначені поняття. Під здібностями розуміється індивідуально-психологічні особливості людини, які сприяють оволодінню певною, наприклад, математичною діяльністю, оволодінню відповідними навичками та вміннями; під уміннями та навичками розуміється конкретні акти діяльності (наприклад, математичної), які здійснюються людиною на порівняно високому рівні (це поняття виходить із аналізу даної конкретної діяльності).

Необхідно підкреслити, що з аналізі, як умінь, навичок, і здібностей аналізується діяльність. І наявність здібностей, і наявність умінь і навиків, необхідно судити з особливостям виконання людиною відповідної (наприклад, математичної) діяльності.

Класифікація здібностей людини.

Теоретично здібності насамперед розрізняють природні, чи природні і соціальні людські здібності, мають суспільно-історичне походження.

До природних здібностей відносяться такі елементарні здібності як сприйняття, пам'ять, мислення, здатність до елементарних комунікацій лише на рівні експресії.

До соціальних здібностей відносяться загальні та спеціальні вищі інтелектуальні здібності.

Загальні здібності включають ті, якими визначаються успіхи людини в самих різних видахдіяльності. До них, наприклад, відносяться розумові здібності, тонкість та точність ручних рухів, розвинена пам'ять, досконала мова та низка інших. Спеціальні здібності визначають успіхи людини в специфічних видах діяльності, для яких необхідні задатки особливого роду та їх розвиток. До таких здібностей можна віднести музичні, математичні, лінгвістичні, технічні, літературні, художньо-творчі, спортивні та інші.

Наявність в людини загальних здібностей виключає розвитку спеціальних і навпаки. Нерідко загальні та спеціальні здібності співіснують, взаємно доповнюючи та збагачуючи одна одну.

Залежно від діяльності, яку здійснює людина, спеціальні можливості можуть класифікуватися як:

1) Теоретичні та практичні здібності. Ці здібності відрізняються тим, що перші визначають схильність людини до абстрактно-теоретичних роздумів, а другі - до конкретних, практичних дій. Такі здібності, на відміну загальних і спеціальних, часто поєднуються друг з одним, разом зустрічаючись лише в обдарованих, різнобічно талановитих людей.

2) Здібності до спілкування, взаємодії з людьми, а також предметно-діяльнісні, або предметно-пізнавальні, здібності. Вони найбільше соціально обумовлені. Як приклади здібностей першого виду можна навести мова людини як спілкування (мова в її комунікативної функції), здібності міжособистісного сприйняття та оцінювання людей, здібності соціально-психологічної адаптації до різних ситуацій, здатності входити в контакт з різними людьми, розташовувати їх до себе, надавати на них вплив тощо.

3) Навчальні та творчі відрізняються один від одного на думку Р.С. Немова тим, що перші визначають успішність навчання та виховання, засвоєння людиною знань, умінь, навичок, формування якостей особистості, у той час як другі – створення предметів матеріальної та духовної культури, виробництво нових ідей, відкриттів та винаходів, словом – індивідуальна творчість у різних сферах людської діяльності. Але нам здається, різницю між двома здібностями не носить абсолютний характер. Вивчаючи математичні здібності школярів, ми маємо на увазі не просто здатність до навчання.

У нашому дослідженні йтиметься хоч і про навчальні здібності школярів, але й про творчі навчальні здібності, пов'язані з самостійним творчим оволодінням математикою в умовах шкільного навчання, з самостійною постановкою нескладних математичних проблем та знаходженням шляхів та методів для їх вирішення, винаходом доказів, самостійним виведенням формул. Усе це поза сумнівом теж прояв математичної творчості. Якщо критерієм власне математичного мислення є наявність творчого початку, то не слід забувати, що математична творчість може бути не лише об'єктивною, а й суб'єктивною.

Встановлюючи специфічні критерії, що відрізняють творчий розумовий процес від нетворчого, А. Ньюелл, Д. Шоу та Г. Саймон відзначають такі ознаки творчого мислення:

1) продукт розумової діяльності має новизну і цінність як у суб'єктивному і в об'єктивному сенсі;

розумовий процес також відрізняється новизною у тому сенсі, що потребує перетворення раніше прийнятих ідей або відмови від них.

Творчий розумовий процес характеризується наявністю сильної мотивацією та стійкості, протікаючи або протягом значного періоду часу, або з великою інтенсивністю.

Здібності та успішне виконання діяльності

Визначають успішність виконання будь-якої діяльності не окремі здібності, лише їх вдале поєднання, саме таке, яке для цієї діяльності необхідно. Практично немає такої діяльності, успіх у якій визначався лише однією здатністю. З іншого боку, відносна слабкість будь-якої однієї здібності не виключає можливості успішного виконання тієї діяльності, з якою вона пов'язана, оскільки недостатня здатність може бути компенсована іншими, що входять до комплексу, що забезпечує цю діяльність. Наприклад, слабкий зір частково компенсується особливим розвитком слуху та шкірної чутливості.

Здібності як спільно визначають успішність діяльності, а й взаємодіють, впливаючи друг на друга. Поєднання різних високорозвинених здібностей називають обдарованістю, і ця характеристика відноситься до людини, здатної до багатьох різних видів діяльності.

Багатоплановість та різноманітність видів діяльності, в які одночасно включається людина, постає як одна з найважливіших умов комплексного та різнобічного розвитку її здібностей. У цьому слід обговорити основні вимоги, які пред'являються діяльності, розвиваючої здібності людини. Р.С. Нємов теоретично соціального навчання виділив такі вимоги: творчий характер діяльності, оптимальний рівень її труднощі для виконавця, належна мотивація та забезпечення позитивного емоційного настрою під час та по закінченні виконання діяльності.

Якщо діяльність дитини носить творчий, нерутинний характер, вона постійно змушує його думати і як така стає досить привабливим справою як перевірки і розвитку здібностей. Така діяльність завжди пов'язана зі створенням чогось нового, відкриттям для себе нового знання, виявлення у собі нових можливостей. Це саме собою стає сильним і дієвим стимулом до занять нею, до докладання необхідних зусиль, спрямованих на подолання труднощів, що виникають. Така діяльність зміцнює позитивну самооцінку, підвищує рівень домагань, породжує впевненість у собі та почуття задоволеності від досягнутих успіхів.

Якщо виконувана діяльність перебуває у зоні оптимальної проблеми, тобто. на межі можливостей дитини, вона веде у себе розвиток її здібностей, реалізуючи те, що Л.С.Выготский називав зоною потенційного розвитку. Діяльність, що не перебуває в межах цієї зони, набагато меншою мірою веде за собою розвиток здібностей. Якщо вона занадто проста, то забезпечує лише реалізацію наявних здібностей; якщо ж вона надмірно складна, то стає нездійсненною і, отже, також не призводить до формування нових умінь та навичок.

Підтримка інтересу до діяльності через стимулюючу мотивацію означає перетворення мети відповідної діяльності на актуальну потребу людини. У руслі теорії соціального навчання особливо підкреслювалася та обставина, що з придбання і закріплення в людини нових форм поведінки, необхідне навчання, яке без відповідного підкріплення немає. Становлення та розвиток здібностей - це теж результат навчання, і що сильніше підкріплення, то швидше йтиме розвиток. Що ж до потрібного емоційного настрою, він створюється таким чергуванням успіхів і невдач у діяльності, розвиваючої здібності людини, у якому за невдачами (вони не виключені, якщо діяльність перебуває у зоні потенційного розвитку) обов'язково слідує емоційно підкріплювані успіхи, причому їх кількість загалом є більшим, ніж число невдач.

Математичні здібності

Дослідженням математичних здібностей займалися і такі яскраві представники певних напрямів у зарубіжній психології, як А. Біне, Е. Трондайк та Г. Ревеш, та такі видатні математики, як А. Пуанкаре та Ж. Адамар. Велика різноманітність напрямів визначила і велика різноманітність у підході до дослідження математичних здібностей, у методичних засобах та теоретичних узагальненнях. Єдине, в чому сходяться всі дослідники, це, мабуть, думка про те, що слід розрізняти звичайні, «шкільні» здібності до засвоєння математичних знань, до їхнього репродукування та самостійного застосування та творчі математичні здібності, пов'язані з самостійним створенням оригінального та має суспільну цінність продукту. Велике єдність поглядів виявляють зарубіжні дослідники щодо вродженості чи набутості математичних здібностей. Якщо і тут розрізняти два різні аспекти цих здібностей - «шкільні» та творчі здібності, то щодо других існує повна єдність - творчі здібності вченого-математика є вродженою освітою, сприятливе середовище необхідне лише для їхнього прояву та розвитку. Що стосується «шкільних» (навчальних) здібностей зарубіжні психологи висловлюються менш одностайно. Тут, мабуть, домінує теорія паралельної дії двох факторів – біологічного потенціалу та середовища. Основним питанням у дослідженні математичних здібностей (як навчальних, так і творчих) за кордоном було і залишається питання сутності цієї складної психологічної освіти. Вирізняють три важливі проблеми.

Проблема специфічності математичних здібностей. Чи існують власне математичні здібності як специфічна освіта, відмінна від категорії загального інтелекту? Або математичні здібності є якісна спеціалізація загальних психічних процесів та властивостей особистості, тобто загальні інтелектуальні здібності, розвинені стосовно математичної діяльності? Інакше кажучи, чи можна стверджувати, що математична обдарованість - це не що інше, як загальний інтелект плюс інтерес до математики та схильність до неї?

Проблема структурності математичних здібностей. Чи є математична обдарованість унітарною (єдиною нерозкладною) або інтегральною (складною) властивістю? У разі можна ставити питання структурі математичних здібностей, про компоненти цього складного психічного освіти.

Проблема типологічних відмінностей у математичних здібностях. Чи існують різні типи математичної обдарованості або за однієї і тієї ж основі мають місце відмінності тільки в інтересах і схильностях до тих чи інших розділів математики?

Для математика недостатньо мати хорошу пам'ять та увагу. На думку Пуанкаре, людей, здатних до математики, відрізняє вміння вловити порядок, у якому мають бути розташовані елементи, необхідні математичного докази. Наявність такого роду інтуїції - є основним елементом математичної творчості. Одні люди не володіють цим тонким почуттям і не володіють сильною пам'яттю і увагою і тому не здатні розуміти математику. Інші мають слабку інтуїцію, але обдаровані гарною пам'яттю і здатністю до напруженої уваги і тому можуть розуміти і застосовувати математику. Треті мають таку особливу інтуїцію і навіть за відсутності відмінної пам'яті можуть як розуміти математику, а й робити математичні відкриття. Тут йдеться про математичну творчість, доступну небагатьом. Але, як писав Ж. Адамар, «між роботою учня, який вирішує завдання з алгебри чи геометрії, і творчою роботоюрізниця лише на рівні, як, оскільки обидві роботи аналогічного характеру». Щоб зрозуміти, які якості ще потрібні для досягнення успіхів у математиці, дослідниками аналізувалась математична діяльність: процес вирішення завдань, способи доказів, логічних міркувань, особливості математичної пам'яті. Цей аналіз призвів до створення різних варіантів структур математичних здібностей, складних за компонентним складом. У цьому думки більшості дослідників сходилися щодо одного - що немає і може бути єдиної яскраво вираженої математичної здібності - це сукупна характеристика, у якій відбиваються особливості різних психічних процесів: сприйняття, мислення, пам'яті, уяви.

Основним становищем вітчизняної психології у цьому питанні є положення про вирішальне значення соціальних факторів у розвитку здібностей, що веде роль соціального досвіду людини, умов її життя та діяльності. Психічні особливості не можуть бути уродженими. Це цілком відноситься і до можливостей. Здібності завжди результат розвитку. Вони формуються та розвиваються у житті, у процесі діяльності, у процесі навчання та виховання. У індивідах мають існувати причини, внутрішні умови у розвиток здібностей. О.М. Леонтьєв та А.Р. Лурія також говорять про необхідні внутрішні умови, що роблять можливим виникнення здібностей. Здібності не укладені в задатках. У онтогенезі де вони виявляються, а формуються. Завдаток не потенційна здатність (а здатність не завдаток у розвитку), тому що анатомо-фізіологічна особливість за жодних умов не може розвиватися в психічну особливість.

Серед найважливіших компонентів математичних здібностей виділяються специфічна здатність до узагальнення математичного матеріалу, здатність до просторових уявлень, здатність до абстрактного мислення. Деякі дослідники виділяють також як самостійний компонент математичних здібностей математичну пам'ять на схеми міркувань і доказів, методи вирішення завдань та принципи підходу до них. Вітчизняний психолог, який досліджував математичні здібності у школярів, В.А. Крутецький дає таке визначення математичним здібностям: «Під здібностями до вивчення математики ми розуміємо індивідуально-психологічні особливості (насамперед особливості розумової діяльності), що відповідають вимогам навчальної математичної діяльності та обумовлюють на інших рівних умовах успішність творчого оволодіння математикою як навчальним предметом, зокрема щодо , легке та глибоке оволодіння знаннями, вміннями та навичками в галузі математики».

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

САРАТІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. Н.Г. ЧЕРНИШІВСЬКОГО

РЕФЕРАТ З ДИСЦИПЛІНИ

Психолого-педагогічні засади навчання математики

«Математичні здібності»

ВИКОНАВ: студентка

заочного відділення Дудрова Л.В.

ПРОВІРИВ: Гуменська О.М.

Саратов 2013

Вступ

1. Математичні здібності

4. Вікові особливості математичних здібностей0

Висновок

Бібліографія

Вступ

Здібності - сукупність психічних якостей мають складну структуру. Наприклад, у структурі здібностей математичних є: здатність до математичного узагальнення, здатність до призупинення процесу математичних міркувань і процесів, гнучкість під час вирішення завдань математики тощо.

Структура здібностей літературних характеризується наявністю високорозвинених естетичних почуттів, яскравих образів пам'яті, почуття краси мови, фантазії та потреби самовираження.

Структура здібностей у музиці, педагогіці, медицині також має досить специфічний характер. Існує серед властивостей особистості, що утворюють структуру певних здібностей, що займають провідне становище, а є і допоміжне. Наприклад, у структурі здібностей педагога провідними будуть: тактовність, здатність до виборчого спостереження, любов до вихованців, яка виключає вимогливості, потреба вчити, здатність організувати навчальний процес тощо. буд.

Відомо те, що і провідні, і допоміжні елементи здібностей педагога утворюють єдину складову успішного навчання та виховання.

1. Математичні здібності

У дослідження математичних здібностей зробили свій внесок і такі яскраві представники певних напрямів у психології, як А. Біне, Е. Торндайк та Г. Ревеш, та такі видатні математики, як А. Пуанкаре та Ж. Адамар. Велика різноманітність напрямів визначає і велика різноманітність у підходах до вивчення математичних здібностей. Вочевидь, вивчення математичних здібностей слід розпочинати з визначення. Спроби такого роду робилися неодноразово, але встановленого, що задовольняє всіх визначення математичних здібностей немає досі. Єдине, в чому сходяться всі дослідники, це, мабуть, думка про те, що слід розрізняти звичайні, «шкільні» здібності до засвоєння математичних знань, до їх репродукування та самостійного застосування та творчі математичні здібності, пов'язані з самостійним створенням оригінального та має суспільну цінність продукту.

Ще в 1918 році в роботі А. Роджерс відзначалися дві сторони математичних здібностей, репродуктивна (пов'язана з функцією пам'яті) та продуктивна (пов'язана з функцією мислення). Ст Бетц визначає мат. Можливості як можливості ясного усвідомлення внутрішнього зв'язку математичних відносин і здатність точно мислити математичними поняттями. З робіт вітчизняних авторів необхідно згадати оригінальну статтю Д. Мордухай-Болтовського "Психологія математичного мислення", опубліковану в 1918 році. Автор, спеціаліст математик, писав з ідеалістичної позиції, надаючи, наприклад, особливо значення «несвідомому розумовому процесу», стверджуючи, що «мислення математика глибоко впроваджується у несвідому сферу, то, спливаючи її поверхню, то занурюючись у глибину. Математик не усвідомлює кожного кроку своєї думки, як віртуоз руху смичка».

Великий інтерес має спроба Мордухай-Болтовського виділити компоненти математичних здібностей. До таких компонентів він відносить зокрема: "сильну пам'ять", пам'ять на "предмети того типу, з якими має справу математика", пам'ять швидше не на факти, а на ідеї та думки, "дотепність", під яким розуміється здатність "обіймати в одному судженні» поняття з двох малозв'язаних областей думки, знаходити в вже відомому подібне з даними, шукати подібне в самих відокремлених здавалося б, абсолютно різнорідних предметах.

Радянська теорія здібностей створювалася спільною працею найвідоміших вітчизняних психологів, у тому числі насамперед треба назвати Б.М. Теплова, а також Л.С. Виготського, О.М. Леонтьєва, С.Л. Рубінштейна та Б.Г. Ананьєва.

Крім загальнотеоретичних досліджень, проблеми математичних здібностей, В.А. Крутецький своєю монографією «Психологія математичних здібностей школярів» започаткував експериментальний аналіз структури математичних здібностей. Під здібностями до вивчення математики він розуміє індивідуально-психологічні особливості (насамперед особливості розумової діяльності), що відповідають вимогам навчальної математичної діяльності та обумовлюють за інших рівних умов успішність творчого оволодіння математикою як навчальним предметом, зокрема відносно швидке, легке та глибоке оволодіння знаннями, вміннями , навички в галузі математики. Д.М. Богоявленський та Н.А. Менчинська, говорячи про індивідуальні розбіжності у навчальності дітей, вводить поняття психологічних властивостей, що визначають за інших рівних умов успіх у вченні. Вони не використовують термін «здатності», але по суті відповідне поняття близьке до того визначення, яке дано вище.

Математичні здібності - складне структурне психічне освіту, своєрідний синтез властивостей, інтегральне якість розуму, що охоплює різноманітні його боку та розвивається у процесі математичної діяльності. Зазначена сукупність є єдине якісно-своєрідне ціле, - лише з метою аналізу ми виділяємо окремі компоненти, не розглядаючи їх як ізольовані властивості. Ці компоненти тісно пов'язані, впливають одна на одну і утворюють у своїй сукупності єдину систему, прояви якої ми умовно називаємо «синдром математичної обдарованості».

2. Структура математичних здібностей

Великий внесок у розробку цієї проблеми зробив В.А. Крутецький. Зібраний ним експериментальний матеріал дозволяє говорити про компоненти, що займають значне місце у структурі такої інтегральної якості розуму, як математична обдарованість.

Загальна схема структури математичних здібностей у шкільному віці

1. Отримання математичної інформації

А) Здатність до формалізованого сприйняття математичного матеріалу, охоплення формальної структури завдання.

2. Переробка математичної інформації.

А) Здатність до логічному мисленнюу сфері кількісних та просторових відносин, числової та знакової символіки. Здатність мислити математичними знаками.

Б) Здатність до швидкого та широкого узагальнення математичних об'єктів, відносин та дій.

В) Здатність до згортання процесу математичного міркування та системи відповідних дій. Здатність мислити згорнутими структурами.

Г) Гнучкість розумових процесів у математичній діяльності.

Д) Прагнення до ясності, простоті, економності та раціональності рішень.

Е) Здатність до швидкої та вільної перебудови спрямованості розумового процесу, перемикання з прямого на зворотний хід думки (оборотність розумового процесу при математичному міркуванні.

3. Зберігання математичної інформації.

А) Математична пам'ять (узагальнена пам'ять на математичні відносини, типові характеристики, схеми міркувань та доказів, методи вирішення завдань та принципи підходу до них)

4. Загальний синтетичний компонент.

А) Математична спрямованість інтелекту.

Не входять у структуру математичної обдарованості ті компоненти, наявність що у цій структурі необов'язково (хоч і корисно). У цьому сенсі є нейтральними стосовно математичної обдарованості. Проте їх наявність чи відсутність у структурі (точніше ступінь розвитку) визначають типи математичного складу розуму.

1. Швидкість розумових процесів як часова характеристика. Індивідуальний темп роботи немає вирішального значення. Математик може розмірковувати неквапливо, навіть повільно, але дуже докладно і глибоко.

2. Обчислювальні здібності (здатності до швидких і точним обчисленням, часто на думці). Відомо, що є люди, здатні робити в думці складні математичні обчислення (майже миттєве зведення в квадрат та куб трицифрових чисел), але не вміють вирішувати складні завдання. Відомо також, що існували й існують феноменальні «лічильники» які дали математиці нічого, а видатний математик А.Пуанкаре писав себе, що помилки неспроможна зробити навіть додавання.

3. Пам'ять на цифри, формули, числа. Як вказував академік О.М. Колмогоров, багато видатних математиків не мали скільки-небудь визначної пам'яті такого роду.

4. Здатність до просторових уявлень.

5. Здатність наочно представляти абстрактні математичні відносини та залежності

Слід наголосити, що схема структури математичних здібностей має на увазі математичні здібності школяра. Не можна сказати якою мірою її можна вважати загальною схемою структури математичних здібностей, якою мірою її можна віднести до обдарованих математиків, що цілком склалися.

3. Типи математичних складів розуму

Добре відомо, що в будь-якій галузі науки обдарованість як якісне поєднання здібностей завжди різноманітна і в кожному окремому випадку своєрідна. Але при якісному різноманітті обдарованості завжди можна намітити якісь основні типологічні відмінності в структурі обдарованості, виділити певні типи, що відрізняються один від одного, різними шляхами приходять до однаково високих досягнень у відповідній області. Про аналітичний та геометричний типи згадується працях А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Д. Мордухай-Болтовського, але з цими термінами у них пов'язується швидше логічний, інтуїтивний шляхи творчості в математиці.

З вітчизняних дослідників питаннями індивідуальних відмінностей учнів під час вирішення завдань із погляду співвідношення абстрактних і образних компонентів мислення багато займалася Н.А. Менчинська. Вона виділяла учнів із відносним переважанням: а) образного мислення над абстрактним; б) абстрактного над образним в) гармонічним розвитком обох видів мислення.

Не можна думати, що аналітичний тип проявляється лише у алгебрі, а геометричний - у геометрії. Аналітичний склад може виявлятися у геометрії, а геометричний – у алгебрі. В.А. Крутецький дав розгорнуту характеристику кожного типу.

Аналітичний тип

Мислення представників цього характеризується явним переважанням дуже добре розвиненого словесно-логічного компонента над слабким наочно-образным. Вони легко оперують абстрактними схемами. У них немає потреби в наочних опорах, у використання предметної або схематичної наочності при вирішенні завдань, навіть таких, коли дані в задачі математичні відносини та залежності «наштовхують» на наочні уявлення.

Представники цього не відрізняються здатністю наочно-образного уявлення і з цього використовують складніший і складний логіко-аналітичний шлях вирішення там, де опора на образ дає набагато простіше рішення. Вони дуже успішно вирішують завдання, виражені в абстрактної форми, Завдання ж, виражені в конкретно-наочній формі, намагаються по можливості переводити в абстрактний план. Операції, пов'язані з аналізом понять, здійснюються ними легше, ніж операції, пов'язані з аналізом геометричної схеми чи креслення.

Геометричний тип

Мислення представників цього характеризується дуже добре розвиненим наочно-образним компонентом. У зв'язку з цим умовно можна говорити про переважання добре розвиненим словесно-логічним компонентом. Ці учні відчувають потребу в наочній інтерпретації висловлювання абстрактного матеріалу і демонструють велику вибірковість щодо цього. Але якщо їм не вдається створити наочні опори, використовувати предметну або схематичну наочність при вирішенні завдань, то вони важко оперують абстрактними схемами. Вони наполегливо намагаються оперувати наочними схемами, образами, уявленнями навіть там, де завдання легко вирішується міркуванням, а використання наочних опор зайве чи важко.

Гармонічний тип

Для цього типу характерна відносна рівновага добре розвинених словесно-логічного та наочно-образного компонентів при провідній ролі першого. Просторові уявлення у представників цього типу розвинені добре. Вони вибіркові в наочній інтерпретації абстрактних відносин і залежностей, але наочні образи та схеми підпорядковані вони словесно-логическому аналізу. Оперуючи наочними образами, ці учні чітко усвідомлюють, що зміст узагальнення не вичерпується окремими випадками. Успішно здійснюють вони і образно-геометричний підхід до вирішення багатьох завдань.

Встановлені типи, очевидно, мають значення. Наявність їх підтверджується багатьма дослідженнями.

4. Вікові особливості математичних здібностей

математичний здібність розум

У зарубіжній психології до нашого часу поширені ставлення до вікових особливостях математичного розвитку школяра, що виходять із ранніх досліджень Ж.Пиаже. Піаже вважав, що дитина тільки до 12 років стає здатною до абстрактного мислення. Аналізуючи стадії розвитку математичних міркувань підлітка, Л. Шоан прийшов до висновку, що в плані наочно-конкретному школяр мислить до 12 - 13 років, а мислення у плані формальної алгебри, пов'язаної з оволодінням операціями, символами, складається лише до 17 років.

Вивчення вітчизняних психологів дають інші результати. Ще П.П. Блонський писав про інтенсивний розвиток у підлітка (11 - 14 років) узагальнюючого та абстрагуючого мислення, вміння доводити та розумітися на доказах. Виникає законне питання: якою мірою можна говорити про математичні здібності щодо молодших школярів? Дослідження під керівництвом І.В. Дібровіною, дає підстави відповісти на це питання таким чином. Звичайно, виключаючи випадки особливої ​​обдарованості, ми не можемо говорити про скільки-небудь сформовану структуру власне математичних здібностей стосовно цього віку. Тому поняття «математичні здібності» умовно застосування до молодшим школярам - дітям 7 -10-років, щодо компонентів математичних здібностей у віці мова зазвичай може лише про елементарних формах таких компонентів. Але окремі компоненти математичних здібностей формуються вже у початкових класах.

Досвідчене навчання, яке здійснювалося у ряді шкіл співробітниками Інституту психології (Д.Б. Ельконін, В.В. Давидов) показує, що при спеціальній методиці навчання молодші школярі набувають більшої здатності до відволікання та міркування, ніж прийнято думати. Проте, хоча вікові особливостями школяра більшою мірою залежить від умов, у яких здійснюється навчання, що вони цілком створюються навчанням, було б неправильно. Тому неправильна крайня думка цього питання, коли вважають, що немає ніякої закономірності природного психічного розвитку. Найефективніша система навчання може «стати» весь процес, але до певних меж, може трохи змінитися послідовність розвитку, але може надати лінії розвитку зовсім інший характер.

Таким чином, вікові особливості, про які йдеться, – це дещо умовне поняття. Тому всі дослідження орієнтовані на загальну тенденцію, на загальний напрямок розвитку основних компонентів структури математичних здібностей під впливом навчання.

Висновок

Проблема математичних здібностей у психології представляє широке полі впливу для дослідника. У силу протиріч між різними течіями в психології, а також усередині самих течій, поки що не може бути й мови про точне і строго розуміння змісту цього поняття.

Розглянуті у цій роботі книги підтверджують цей висновок. Водночас слід зазначити невгасаючий інтерес до цієї проблеми у всіх течіях психології, що підтверджує такий висновок.

Практична цінність досліджень з цієї теми очевидна: математична освіта грає провідну роль більшості освітніх систем, а вона, своєю чергою, стане ефективнішим після наукового обгрунтування його основи - теорії математичних здібностей.

Отже, як стверджував В.А. Крутецький: "Завдання всебічного та гармонійного розвиткуособистості людини робить абсолютно необхідною глибоку наукову розробку проблеми здатності людей до тих чи інших видів діяльності. Розробка цієї проблеми становить як теоретичний, і практичний інтерес".

Бібліографія

1. Габдрєєва Г.Ш. Основні аспекти проблеми тривожності у психології // Тонус. 2000 №5

2. Гуревич К.М. Основи профорієнтації М. 72.

3. Дубровіна І.В. Індивідуальні відмінності у здатності до узагальнення математичного та нематематичного матеріалу у молодшому шкільному віці. // Питання психології., 1966, №5

4. Ізюмова І.С. Індивідуально-типологічні особливості школярів з літературними та математичними здібностями.// Психол. журн. 1993 №1. Т.14

5. Ізюмова І.С. До проблеми природи здібностей: задатки мнемічних здібностей у школярів математичних та літературних класів. // Психол. журн.

6. Єлесєєв О.П. Практикум із психології особистості. Спб., 2001

7. Ковальов А.Г. Мясищев В.М. Психологічні особливості людини. Т.2 «Здібності» ЛДУ.: 1960

8. Колесніков В.М. Емоційність, її структура та діагностика. Петрозаводськ. 1997.

9. Кочубей Б.І. Новіков Є.А. Емоційна стійкість школярів. М. 1988

10. Крутецький В.А. Психологія математичних здібностей. М. 1968

11. Левітов В.Г. психічний стан занепокоєння, тривоги.// Питання психології 1963. №1

12. Лейтіс Н.С. Вікова обдарованість та індивідуальні відмінності. М. 1997

Розміщено на Allbest.ru

...

Подібні документи

Компоненти математичних здібностей, ступінь їхнього прояву в молодшому шкільному віці, природні передумови та умови формування. Основні форми та методика проведення позакласної роботи: гурткові заняття, математичні вечори, олімпіади, ігри.

дипломна робота , доданий 06.11.2010


Специфіка розвитку математичних здібностей. Формування математичних здібностей дітей дошкільного віку. Логічне мислення. Роль дидактичних ігор. Методика навчання рахунку та основ математики дошкільнят через ігрову діяльність.

реферат, доданий 04.03.2008


Психолого-педагогічна характеристика дітей 5-6 років, специфіка розвитку математичних здібностей. Вимоги до підготовленості вихователя та роль дидактичної гри. Залучення батьків у діяльність із розвитку математичних здібностей.

реферат, доданий 22.04.2010


Здібності та їх зв'язок з вміннями та навичками. Загальна структура математичних здібностей з В.А. Крутецькому. Аналіз задачного матеріалу теми "Теорія подільності". Особливості формування здатності до формалізованого сприйняття математичного матеріалу.

дипломна робота , доданий 26.08.2011


Поняття творчості та творчих здібностей. Види математичних ігор. Ігри Б. Фінкельштейна з блоками Дьенеша як розвиток творчих здібностей. Результати дослідно-практичної роботи з використання ігор із математичним змістом.

курсова робота , доданий 11.08.2014


Сутність поняття "здібності". Класифікація складових математичних можливостей учнів, які забезпечують повноцінну діяльність дитини. Логіко-дидактичний аналіз теми "Звичайні дроби" щодо розвитку математичних здібностей.

курсова робота , доданий 10.04.2014


Особливість розвитку математичних здібностей молодших школярів, як психолого-педагогічна проблема. Аналіз застосування орігамі в сучасній навчальної літературидля учнів. Вироблення загальноматематичних умінь у дітей під час уроків технології.

дипломна робота , доданий 25.09.2017


Особливості розвитку математичних здібностей, переваги використання дидактичних ігор у процесі занять. Методика навчання дітей старшого дошкільного віку основ математики у вигляді дидактичних ігор та завдань, оцінка їх ефективності.

курсова робота , доданий 13.01.2012


Сутність понять "творчість", "творчі здібності". Розвиток здібностей дитини на молодшому шкільному віці. Діагностика творчих здібностей. Розвиток креативних здібностей учнів. Інтелектуальна обдарованість та творчі здібності.

курсова робота , доданий 07.04.2014


Основи методики вивчення математичних понять. Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять. Психолого-педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах. Психологічні аспекти формування понять.

"Ні ні одного дитини не здатного, бездарного. Важливо, щоб цей розум, ця талановитість сталі основою успіхів в навчанні, щоб ні один учень не вчився нижче своїх можливостей" (Сухомлинський В.А.)

У чому полягає математичні здібності? Чи є не що інше, як якісна спеціалізація загальних психічних процесів і властивостей особистості, тобто загальні інтелектуальні здібності, розвинені стосовно математичної діяльності? Чи є математична здатність унітарною чи інтегральною властивістю? У разі можна говорити про структурі математичних здібностей, про компоненти цього складного освіти. Відповіді на ці запитання шукали психологи та педагоги ще початку століття, але досі немає єдиного погляду на проблему математичних здібностей. Спробуємо розібратися у цих питаннях, проаналізувавши роботи деяких провідних фахівців, які працювали над цією проблемою.

Велике значення у психології надається проблемі здібностей взагалі та проблемі здібностей школярів зокрема. Ціла низка досліджень психологів спрямовано виявлення структури здібностей школярів до різних видів діяльності.

У науці, зокрема, в психологічній, триває дискусія про саму сутність здібностей, їх структуру, походження та розвиток. Не вдаючись у деталі традиційних та нових підходів до проблеми здібностей, вкажемо деякі основні спірні пункти різних точок зору психологів на здібності. Однак серед них немає єдиного підходу до цієї проблеми.

Відмінність у розумінні сутності здібностей виявляється, насамперед, у тому, розглядаються вони як соціально набуті властивості або зізнаються як природні. Одні автори під здібностями розуміють комплекс індивідуально-психологічних особливостей людини, які відповідають вимогам даної діяльності і є умовою успішного її виконання, які не зводяться до підготовленості, до знань, умінь і навичок. Тут слід звернути увагу до кілька фактів. По-перше, здібності - це індивідуальні особливості, тобто те, що відрізняє одну людину від іншої. По-друге, це просто особливості, а психологічні особливості. І, нарешті, здібності це не всякі індивідуально-психологічні особливості, а лише ті, що відповідають вимогам певної діяльності.

При іншому підході, найяскравіше вираженому у К.К. Платонова, здатністю вважається будь-яка якість "динамічної функціональної структури особистості", якщо вона забезпечує успішне освоєння та виконання діяльності. Проте, як зазначав В.Д. Шадриков, "при такому підході до здібностей онтологічний аспект проблеми переноситься на задатки, під якими розуміються анатомо-фізіологічні особливості людини, що є основою розвитку здібностей. Вирішення психофізіологічної проблеми заводилося в безвихідь у тих здібностей як таких, оскільки здібності, як психологічна категорія не розглядалися як властивість мозку. Не більш продуктивний і ознака успішності, бо успішність діяльності визначається і метою, і мотивацією, і багатьма іншими факторами ". Згідно з його теорією здібностей, продуктивно визначити здібності як особливості можна тільки по відношенню до їх поодинокого та загального".

Загальним (загальним) кожної здібності В.Д. Шадриков називає властивість, з урахуванням якого реалізується конкретна психічна функція. Кожна властивість є сутнісною характеристикою функціональної системи. Саме для того, щоб реалізувати цю властивість, формувалася конкретна функціональна система в процесі еволюційного розвитку людини, наприклад, властивість адекватно відображати об'єктивний світ (сприйняття) або властивість відображати зовнішні впливи (пам'ять) і так далі. Властивість проявляється у процесі діяльності. Таким чином, тепер можна визначити здібності з позиції загального як властивість функціональної системи, що реалізує окремі психічні функції.

Розрізняють два види властивостей: ті, які не мають інтенсивності і тому не можуть її змінювати, і ті, які мають інтенсивність, тобто можуть бути більшими або меншими. Гуманітарні науки мають справу головним чином із властивостями першого виду, природні із властивостями другого виду. Психічні функції характеризуються властивостями, які мають інтенсивність, міру виразності. Це дозволяє визначити здібності з позиції одиничного (окремого, індивідуального). Одиничне буде представлено мірою виразності якості;

Таким чином, згідно представленої вище теорії, здібності можна визначити як властивості функціональних систем, що реалізують окремі психічні функції, які мають індивідуальну міру виразності, що виявляється в успішності та якісному своєрідності освоєння та реалізації діяльності. Оцінюючи індивідуальної міри виразності здібностей доцільно використовувати самі параметри, як і за характеристиці будь-який діяльності: продуктивність, якість і надійність (у плані аналізованої психічної функції).

Одним із ініціаторів вивчення математичних здібностей школярів був видатний французький математик А. Пуанкаре. Він констатував специфічність творчих математичних здібностей та виділив їх найважливіший компонент – математичну інтуїцію. З цього часу розпочалося вивчення цієї проблеми. Згодом психологи виділили три види математичних здібностей - арифметичні, алгебраїчні та геометричні. При цьому залишалося нерозв'язним питання про наявність математичних здібностей.

У свою чергу, дослідники В. Хаекер і Т. Циген виділили чотири основні складні компоненти: просторовий, логічний, числовий, символічний, що є "ядром" математичних здібностей. У цих компонентах вони розрізняли розуміння, запам'ятовування, оперування.

Поряд з основним компонентом математичного мислення - здатністю до виборчого мислення, до дедуктивного міркування в числовій та символічній сферах, здатністю до абстрактного мислення, А. Блекуелл виділяє ще й здатність до маніпулювання просторовими об'єктами. Також він відзначає вербальну здатність і здатність зберігати в пам'яті дані в їх точному та строгому порядку та значенні.

Значна частина їх цікавить і сьогодні. У книзі, яку в оригіналі названо "Психологія алгебри", Е. Торндайк формулює спочатку загальні математичні здібності: вміння поводитися з символами, вибирати та встановлювати співвідношення, узагальнювати та систематизувати, певним чином вибирати суттєві елементи та дані, наводити в систему ідеї та навички. Він виділяє також спеціальні алгебраїчні здібності: можливість розуміти і складати формули, виражати у вигляді формули кількісні співвідношення, перетворювати формули, складати рівняння, що виражають дані кількісні відносини, вирішувати рівняння, виконувати тотожні перетворення алгебри, графічно виражати функціональну залежність двох величин і т.д.

Одне з найбільших з часу виходу робіт Е. Торндайка досліджень математичних здібностей належить шведському психологу І. Верделіну. Він дає дуже широке визначення математичних здібностей, в якому відображає репродуктивний і продуктивний аспекти, розуміння та застосування, але основну увагу він приділяє найважливішому з цих аспектів – продуктивному, який досліджує у процесі вирішення завдань. Вчений вважає, що у характері математичних здібностей може позначатися спосіб навчання .

Найбільший швейцарський психолог Ж. Піаже надавав велике значення розумовим операціям, виділяючи в онтогенетичному розвитку інтелекту стадію малоформалізованих конкретних операцій, пов'язаних із конкретними даними, та стадію узагальнених формалізованих операцій, коли організуються операторні структури. Він співвідносив останні з трьома фундаментальними математичними структурами, виділеними Н. Бурбаками: алгебраїчними, структурами порядку та топологічними. Ж. Піаже виявляє всі типи цих структур у розвитку арифметичних та геометричних операцій у свідомості дитини та в особливостях логічних операцій. Звідси робиться висновок про необхідність синтезу математичних структур та операторних структур мислення у процесі викладання математики.

У психології вивченням проблеми математичних здібностей займався В.А. Крутецький. У своїй книзі "Психологія математичних здібностей школярів" він наводить таку загальну схему структури математичних здібностей школярів. По-перше, отримання математичної інформації - здатність до формалізованого сприйняття математичного матеріалу, схоплювання структури завдання. По-друге, переробка математичної інформації - здатність до логічного мислення у сфері кількісних та просторових відносин, числової та знакової символіки, здатність мислити математичними символами, здатність до швидкого та широкого узагальнення математичних об'єктів, відносин та дій, здатність до згортання процесу математичних міркувань та системи відповідних дій, здатність мислити згорнутими структурами. Також необхідна гнучкість розумових процесів у математичній діяльності, прагнення до ясності, простоті, економності та раціональності рішень. Істотну роль грає тут здатність до швидкої та вільної перебудови спрямованості розумового процесу, переключення з прямого на зворотний хід думки (оборотність розумового процесу при математичному міркуванні). По-третє, зберігання математичної інформації - математична пам'ять (узагальнена пам'ять на математичні відносини, типові характеристики, схеми міркувань та доказів, методи вирішення завдань та принципи підходу до них). І, нарешті, загальний синтетичний компонент – математична спрямованість розуму. Всі наведені вище дослідження дозволяють стверджувати, що фактор загальних математичних міркувань є основою загальних розумових здібностей, і математичні здібності мають загальноінтелектуальну основу.

З різного розуміння сутності здібностей випливає різний підхід до розкриття їх структури, яка в різних авторів постає у вигляді набору різних якостей, що класифікуються з різних підстав і що у різному співвідношенні.

Немає однозначної відповіді і на питання про генезу та розвиток здібностей, їх зв'язку з діяльністю. Поряд із твердженням, що здібності у своїй родовій формі існують у людини до діяльності як передумова її реалізації. Висловлювалася й інша, суперечлива думка: здібності немає до діяльності Б.М. Тепловим. Останнє становище заводить у глухий кут, тому що незрозуміло, яким чином починає здійснюватися діяльність без здібностей до неї. Насправді здібності на певному рівні їх розвитку існують до діяльності, а з початком її виявляються і потім розвиваються в діяльності, якщо вона висуває дедалі вищі вимоги до людини.

Однак це не розкриває співвідношення навичок та здібностей. Вирішення цієї проблеми запропонував В.Д. Шадріков. Він вважає, що суть онтологічних відмінностей здібностей і навичок полягає в наступному: здатність описується функціональною системою, одним з її обов'язкових елементів є природний компонент, як якого виступають функціональні механізми здібностей, а навички описуються ізоморфною системою, одним з її головних компонентів є здібності, виконують у системі ті функції, які у системі здібностей реалізують функціональні механізми. Таким чином, функціональна система навичок хіба що виростає із системи здібностей. Це система вторинного рівня інтеграції (якщо прийняти систему здібностей за первинну).

Говорячи про здібності взагалі, слід зазначити, що здібності бувають різного рівня навчальні та творчі. Навчальні здібності пов'язані з засвоєнням вже відомих способів виконання діяльності, набуттям знань, умінь та навичок. Творчі здібності пов'язані зі створенням нового, оригінального продукту, із знаходженням нових способів виконання діяльності. З цього погляду розрізняють, наприклад, здібності до засвоєння, вивчення математики та творчі математичні здібності. Але, як писав Ж. Адамар, "між роботою учня, вирішального завдання …, і творчою роботою різниця лише на рівні, тому що обидві роботи аналогічного характеру".

Природні причини мають значення, проте, вони є власне здібностями, а є задатками. Самі собою задатки не означають, що з людини розвинуться відповідні здібності. Розвиток здібностей залежить від багатьох соціальних умов(виховання, потреба у спілкуванні, система освіти).

Види здібностей:

1. Природні (природні) можливості.

Є загальними для людини та тварин: сприйняття, пам'ять, здатність до елементарної комунікації. Дані можливості безпосередньо пов'язані з вродженими задатками. За підсумками цих задатків в людини, за наявності елементарного життєвого досвіду, через механізми вчення, формуються специфічні можливості.

2. Специфічні можливості.

Загальні: визначають успіхи людини у різних видах діяльності (розсудливі здібності, мова, точність ручних рухів).

Спеціальні: визначають успіхи людини у специфічних видах діяльності, для яких необхідні задатки особливого роду та їх розвиток (музичні, математичні, лінгвістичні, технічні, художні здібності).

Крім того, здібності поділяють на теоретичні та практичні. Теоретичні визначають схильність людини до абстрактно-теоретичних роздумів, а практичні – до конкретних практичних дій. Найчастіше теоретичні та практичні здібності не поєднуються одна з одною. Більшість людей мають або один, або інший тип здібностей. Разом вони зустрічаються дуже рідко.

Існує також розподіл на навчальні та творчі здібності. Перші визначають успішність навчання, засвоєння знань, умінь та навичок, а другі визначають можливість відкриттів та винаходів, створення нових предметів матеріальної та духовної культури.

3. Творчі здібності.

Це насамперед уміння людини знаходити особливий погляд на звичні та повсякденні речі чи завдання. Це вміння безпосередньо залежить від світогляду людини. Чим більше він знає, тим легше йому глянути на досліджуване питання з різних ракурсів. Творча особистість постійно прагне більше дізнатися про навколишній світ у сфері своєї основний діяльності, а й у суміжних галузях. В більшості випадків творча людина- це насамперед оригінально мисляча людина, здатна на нестандартні рішення.

Рівні розвитку здібностей:

• 1) Задатки - природні причини здібностей;
• 2) Здібності - складне, інтегральне, психічне освіту, своєрідний синтез властивостей та компонентів;
• 3) Обдарованість - своєрідне поєднання здібностей, що забезпечує людині можливість успішного виконання будь-якої діяльності;
• 4) Майстерність - досконалість у конкретному виді діяльності;
• 5) Талант - високий рівень розвитку спеціальних здібностей (це певне поєднання високорозвинених здібностей, т.к. ізольована здатність, навіть дуже високорозвинена, може бути названа талантом);
• 6) Геніальність – вищий рівень розвитку здібностей (за всю історію цивілізації було не більше 400 геніїв).

Загальні розумові здібності- це здібності, які необхідні для виконання жодної однієї, а багатьох видів діяльності. До загальних розумових здібностей відносять, наприклад, такі якості розуму, як розумова активність, критичність, систематичність, зосереджена увага. Людина від природи наділена загальними здібностями. Будь-яка діяльність освоюється на фундаменті загальних здібностей, що розвиваються у цій діяльності.

Як зазначає В.Д. Шадріков, " спеціальні здібності"є загальні здібності, що набули рис оперативності під впливом вимог діяльності". Спеціальні здібності це здібності, які необхідні для успішного оволодіння якоюсь однією певною діяльністю. Ці здібності також є єдністю окремих приватних здібностей. Наприклад, у складі математичних здібностейвелику роль грає математична пам'ять; здатність до логічного мислення у сфері кількісних і просторових відносин; швидке та широке узагальнення математичного матеріалу; легке та вільне перемикання від однієї розумової операції до іншої; прагнення до ясності, економічності, раціональності міркувань тощо. Всі приватні здібності поєднуються стрижневою здатністю математичної спрямованістю розуму (під якою розуміють тенденцію вичленувати при сприйнятті просторові та кількісні відносини, функціональні залежності), пов'язаної з потребою у математичній діяльності.

А. Пуанкаре дійшов висновку, що найважливіше місце у математичних здібностях займає вміння логічно побудувати ланцюг операцій, що призведуть до вирішення завдання. Крім того, для математика недостатньо мати гарну пам'ять та увагу. На думку Пуанкаре, людей, здатних до математики, відрізняє вміння вловити порядок, у якому мають бути розташовані елементи, необхідні математичного докази. Наявність інтуїції такого роду є основним елементом математичної творчості.

Л.А. Венгер відносить до математичних здібностей такі особливості розумової діяльності, як узагальнення математичних об'єктів, відносин та дій, тобто здатність бачити загальне у різних конкретних виразах та завданнях; здатність мислити "згорнутими", великими одиницями і "економно", без зайвої деталізації;здатність перемикання з прямого на зворотний хід думки.

Щоб зрозуміти, які ще якості потрібні задля досягнення успіхів у математиці, дослідниками аналізувалась математична діяльність: процес вирішення завдань, способи доказів, логічних міркувань, особливості математичної пам'яті. Цей аналіз призвів до створення різних варіантів структур математичних здібностей, складних за компонентним складом. У цьому думки більшості дослідників сходилися щодо одного: що ні, і може бути єдиної яскраво вираженої математичної здібності це сукупна характеристика, у якій відбиваються особливості різних психічних процесів: сприйняття, мислення, пам'яті, уяви.

Виділення найважливіших компонентів математичних здібностей представлено малюнку 1:

Малюнок 1

Деякі дослідники виділяють також як самостійний компонент математичну пам'ять на схеми міркувань і доказів, методи вирішення завдань та способи підходу до них. Одним із них є В.А. Крутецький. Він так визначає математичні здібності: "Під здібностями до вивчення математики ми розуміємо індивідуально-психологічні особливості (перш за все особливості розумової діяльності), що відповідають вимогам навчальної математичної діяльності та обумовлюють на інших рівних умовах успішність творчого оволодіння математикою як навчальним предметом, зокрема відносно швидке, легке та глибоке оволодіння знаннями, вміннями та навичками в галузі математики”.

У своїй роботі ми, головним чином, спиратимемося на дослідження саме цього психолога, тому що його дослідження цієї проблеми і на сьогодні є найбільш глобальними, а висновки є найбільш експериментально обґрунтованими.

Отже, В.А. Крутецький розрізняє дев'ять компонентів математичних здібностей:

• 1. Здатність до формалізації математичного матеріалу, до відокремлення форми від змісту, абстрагування від конкретних кількісних відносин та просторових форм та оперування формальними структурами, структурами відносин та зв'язків;
• 2. Здатність узагальнювати математичний матеріал, вичленювати головне, відволікаючись від несуттєвого, бачити загальне у зовнішньому різному;
• 3. Здатність до оперування числової та знакової символікою;
• 4. Здатність до "послідовного, правильно розчленованого логічного, міркування", пов'язаного з потребою в доказах, обґрунтуванні, висновках;
• 5. Здатність скорочувати процес міркування, мислити згорнутими структурами;
• 6. Здатність до оборотності розумового процесу (до переходу з прямого на зворотний хід думки);
• 7. Гнучкість мислення, здатність до перемикання від однієї розумової операції до іншої, свобода від сковуючого впливу шаблонів та трафаретів;
• 8. Математична пам'ять. Можна припустити, що її характерні особливостітакож випливають із особливостей математичної науки, що це пам'ять на узагальнення, формалізовані структури, логічні схеми;
• 9. Здатність до просторових уявлень, яка безпосередньо пов'язана з наявністю такої галузі математики, як геометрія.

Крім перелічених, є такі компоненти, наявність яких у структурі математичних здібностей, хоча й корисно, необов'язково. Вчителю, перш ніж відносити учня до здібних або нездатних до математики, необхідно це враховувати. Не є обов'язковими у структурі математичної обдарованості такі компоненти:

• 1. Швидкість розумових процесів як часова характеристика.
• 2. Індивідуальний темп роботи немає вирішального значення. Учень може розмірковувати неквапливо, повільно, але докладно і глибоко.
• 3. Здібності до швидких та точних обчислень (зокрема в умі). Насправді обчислювальні здібності які завжди пов'язані з формуванням справді математичних (творчих) здібностей.
• 4. Пам'ять на цифри, числа, формули. Як вказував академік О.М. Колмогоров, багато видатних математиків не мали скільки-небудь визначної пам'яті такого роду.

Більшість психологів та педагогів, говорячи про математичні здібності, спираються саме на цю структуру математичних здібностей В.А. Крутецького. Однак у процесі різних досліджень математичної діяльності учнів, які виявляють здібності до цього шкільного предмета, деякими психологами було виділено й інші компоненти математичних здібностей. Зокрема нас зацікавили результати дослідницької роботи З.П. Горільченко. Він зазначив у здатних до математики учнів такі особливості. По-перше, він уточнив і розширив компонент структури математичних здібностей, званий у сучасній психологічній літературі "узагальнення математичних понять" і висловив думку про єдність двох протилежних тенденцій мислення учня до узагальнення та "звуження" математичних понять. У зазначеному компоненті можна бачити відображення єдності індуктивного та дедуктивного методів пізнання учнями нового в математиці. По-друге, діалектичні зачатки у мисленні учнів при засвоєнні нових математичних знань. Це виявляється в тому, що майже в будь-якому окремому математичному факті найбільш здібні учні прагнуть побачити, зрозуміти факт, протилежний йому, або, принаймні, розглянути граничний випадок досліджуваного явища. По-третє, він відзначив особливу підвищену увагу до нових математичних закономірностей, протилежним раніше встановленим .

Одним із характерних ознакпідвищених математичних здібностей учнів і переходу їх до зрілого математичного мислення можна вважати і щодо раннє розуміння потреби аксіом як вихідних істин за доказами. Доступне вивчення аксіом та аксіоматичного методу значною мірою сприяє прискоренню розвитку дедуктивного мислення учнів. Помічено також, що естетичне почуття у математичній роботі у різних учнів проявляється по-різному. По-різному різні учні відповідають і спробу виховати і розвинути вони естетичне почуття, відповідне їх математичному мисленню. Крім зазначених компонентів математичних здібностей, які можна і має розвивати, необхідно враховувати ще й те, що успішність здійснення математичної діяльності є похідним певного поєднання якостей: активного позитивного ставлення до математики, інтересу до неї, прагнення займатися нею, що переходять на високому рівні розвитку у пристрасну захопленість. Також можна виділити ряд характеристичних рис, таких як: працьовитість, організованість, самостійність, цілеспрямованість, наполегливість, а також стійкі інтелектуальні якості, почуття задоволення від напруженої розумової роботи, радість творчості, відкриття і так далі.

Наявність у часі здійснення діяльності сприятливих до виконання психічних станів, наприклад, стан зацікавленості, зосередженості, хорошого " психічного " самопочуття тощо. Певний фонд знань, умінь та навичок у відповідній галузі. Визначені індивідуально-психологічні особливості у сенсорній та розумовій сферах, що відповідають вимогам даної діяльності.

Найбільш здатних до математики учнів відрізняє особливий естетичний склад математичного мислення. Він дозволяє їм порівняно легко розуміти деякі теоретичні тонкощі в математиці, вловлювати бездоганну логіку та красу математичних міркувань, фіксувати найменшу шорсткість, неточність у логічному ладі математичних концепцій. Самостійне стійке прагнення до оригінального, нешаблонного, витонченого розв'язання математичного завдання, до гармонійної єдності формальних і семантичних компонентів розв'язання задачі, блискучі припущення, іноді випереджаючі логічні алгоритми, часом важко перекладені на мову символів, свідчать про наявність у мисленні почуття добре розвиненого. однією зі сторін естетичного мислення у математиці. Підвищені естетичні емоції при математичному роздумі властиві насамперед учням з високо розвиненими математичними здібностями і разом із естетичним складом математичного мислення можуть бути істотною ознакою наявності математичних здібностей у школярів.

Погляди зарубіжних психологівна математичні здібності. У дослідження математичних здібностей зробили свій внесок і такі яскраві представники певних напрямів у психології, як А. Біне, Е. Трондайк та Г. Ревеш, та такі видатні математики, як А. Пуанкаре та Ж. Адамар.

Велика різноманітність напрямів визначила і велика різноманітність у підході до дослідження математичних здібностей, у методичних засобах та теоретичних узагальненнях.

Єдине, в чому сходяться всі дослідники, це, мабуть, думка про те, що слід розрізняти звичайні, «шкільні» здібності до засвоєння математичних знань, до їхнього репродукування та самостійного застосування та творчі математичні здібності, пов'язані з самостійним створенням оригінального та має суспільну цінність продукту.

Велике єдність поглядів виявляють зарубіжні дослідники щодо вродженості чи набутості математичних здібностей. Якщо і тут розрізняти два різні аспекти цих здібностей - «шкільні» та творчі здібності, то щодо других існує повна єдність - творчі здібності вченого-математика є вродженою освітою, сприятливе середовище необхідне лише для їхнього прояву та розвитку. Що стосується «шкільних» (навчальних) здібностей зарубіжні психологи висловлюються менш одностайно. Тут, мабуть, домінує теорія паралельної дії двох факторів – біологічного потенціалу та середовища.

Основним питанням у дослідженні математичних здібностей (як навчальних, так і творчих) за кордоном було і залишається питання сутності цієї складної психологічної освіти. У цьому плані можна назвати три важливі проблеми.

1. Проблема специфічності математичних здібностей. Чи існують власне математичні здібності як специфічна освіта, відмінна від категорії загального інтелекту? Або математичні здібності є якісна спеціалізація загальних психічних процесів та властивостей особистості, тобто загальні інтелектуальні здібності, розвинені стосовно математичної діяльності? Інакше кажучи, чи можна стверджувати, що математична обдарованість - це не що інше, як загальний інтелект плюс інтерес до математики та схильність до неї?
2. Проблема структурності математичних здібностей. Чи є математична обдарованість унітарною (єдиною нерозкладною) або інтегральною (складною) властивістю? У разі можна ставити питання структурі математичних здібностей, про компоненти цього складного психічного освіти.
3. Проблема типологічних відмінностей у математичних здібностях. Чи існують різні типи математичної обдарованості або за однієї і тієї ж основі мають місце відмінності тільки в інтересах і схильностях до тих чи інших розділів математики?

Погляди Б.М. Теплована математичні здібності. Хоча математичні здібності і були предметом спеціального розгляду працях Б.М. Теплова, проте відповіді багато питань, пов'язані зі своїми вивченням, можна знайти у його роботах, присвячених проблемам здібностей. Серед них особливе місце займають дві монографічні роботи «Психологія музичних здібностей» і «Розум полководця», які стали класичними зразками психологічного вивчення здібностей і увібрали в себе універсальні принципи підходу до цієї проблеми, які можливо і необхідно використовувати щодо будь-яких видів здібностей.

У обох роботах Б. М. Теплов як дає блискучий психологічний аналіз конкретних видів діяльності, а й у прикладах видатних представників музичного та військового мистецтва розкриває необхідні складові, у тому числі складаються яскраві таланти у тих областях. Особливу увагуБ. М. Теплов приділив питанню про співвідношення загальних та спеціальних здібностей, доводячи, що успіх у будь-якому виді діяльності, у тому числі у музиці та військовій справі, залежить не тільки від спеціальних компонентів (наприклад, у музиці – слух, почуття ритму), а й від загальних особливостей уваги, пам'яті, інтелекту. При цьому загальні розумові здібності нерозривно пов'язані зі спеціальними здібностями та суттєво впливають на рівень розвитку останніх.

Найбільш яскраво роль загальних здібностей продемонстрована у роботі «Розум полководця». Зупинимося на розгляді основних положень цієї роботи, оскільки вони можуть бути використані при вивченні інших видів здібностей, пов'язаних із розумовою діяльністю, у тому числі математичних здібностей. Провівши глибоке вивчення діяльності полководця, Б.М. Теплов показав, яке у ній займають інтелектуальні функції. Вони забезпечують аналіз складних військових ситуацій, виявлення окремих істотних деталей, здатних вплинути на результат майбутніх битв. Саме здатність до аналізу забезпечує перший необхідний етап у прийнятті правильного рішення, у складанні плану битви. Після аналітичної роботою настає етап синтезу, що дозволяє об'єднати в єдине ціле різноманіття деталей. На думку Б.М. Теплова, діяльність полководця вимагає рівноваги процесів аналізу та синтезу, за обов'язкового високого рівня їх розвитку.

Важливе місце у інтелектуальній діяльності полководця займає пам'ять. Вона дуже вибіркова, тобто утримує насамперед необхідні, суттєві деталі. Як класичний приклад такої пам'яті Б.М. Теплов наводить висловлювання про пам'ять Наполеона, який пам'ятав практично все, що мало безпосереднє відношення до його військової діяльності, починаючи від номерів частин і закінчуючи особами солдатів. При цьому Наполеон був нездатний запам'ятовувати безглуздий матеріал, але мав важливу особливість миттєво засвоювати те, що підпорядковувалося класифікації, визначеному логічним законом.

Б.М. Теплов приходить до висновку, що «уміння знаходити і виділяти істотне і постійна систематизація матеріалу - ось найважливіші умови, що забезпечують єдність аналізу та синтезу, то рівновага між цими сторонами розумової діяльності, які відрізняють роботу розуму доброго полководця» (Б.М. Теплов 1985, стор 249). Поряд з видатним розумом полководець повинен мати певні особистісні якості. Це насамперед мужність, рішучість, енергія, тобто те, що стосовно полководницької діяльності прийнято позначати поняттям «воля». Не менш важливою особистісною якістю є стресостійкість. Емоційність талановитого полководця проявляється у поєднанні емоції бойового збудження та вмінні зібратися, зосередитися.

Особливе місце у інтелектуальній діяльності полководця Б.М. Теплов відводив наявності такої якості, як інтуїція. Він аналізував це якість розуму полководця, порівнюючи його з інтуїцією вченого. Між ними є багато спільного. Основна ж відмінність, на думку Б. М. Теплова, полягає в необхідності для полководця прийняття термінового рішення, від якого може залежати успіх операції, тоді як учений не обмежений тимчасовими рамками. Але й у тому й іншому випадку «осяянню» має передувати завзята праця, на основі якої і може бути прийнято єдине вірне вирішення проблеми.

Підтвердження положенням, проаналізованим та узагальненим Б.М. Тепловим з психологічних позицій, можна знайти у роботах багатьох видатних учених, зокрема і математиків. Так, у психологічному етюді «Математична творчість» Анрі Пуанкаре докладно описує ситуацію, за якої йому вдалося зробити одне з відкриттів. Цьому передувала довга підготовча робота, великий питома вагау якій становив, на думку вченого, процес несвідомого. За етапом «осяяння» необхідно слідував другий етап - ретельної свідомої роботи з упорядкування докази та її перевірці. А. Пуанкаре дійшов висновку, що найважливіше місце у математичних здібностях займає вміння логічно побудувати ланцюг операцій, що призведуть до вирішення завдання. Здавалося б, це має бути доступно будь-якій здатній логічно мислити людині. Однак далеко не кожен виявляється здатним оперувати математичними символами з тією самою легкістю, як і під час вирішення логічних завдань.

Для математика недостатньо мати хорошу пам'ять та увагу. На думку Пуанкаре, людей, здатних до математики, відрізняє вміння вловити порядок, у якому мають бути розташовані елементи, необхідні математичного докази. Наявність такого роду інтуїції - є основним елементом математичної творчості. Одні люди не володіють цим тонким почуттям і не володіють сильною пам'яттю і увагою і тому не здатні розуміти математику. Інші мають слабку інтуїцію, але обдаровані гарною пам'яттю і здатністю до напруженої уваги і тому можуть розуміти і застосовувати математику. Треті мають таку особливу інтуїцію і навіть за відсутності відмінної пам'яті можуть як розуміти математику, а й робити математичні відкриття.

Тут йдеться про математичну творчість, доступну небагатьом. Але, як писав Ж. Адамар, «між роботою учня, вирішального завдання з алгебри чи геометрії, і творчої роботою різниця лише у рівні, як, оскільки обидві роботи аналогічного характеру». Щоб зрозуміти, які якості ще потрібні для досягнення успіхів у математиці, дослідниками аналізувалась математична діяльність: процес вирішення завдань, способи доказів, логічних міркувань, особливості математичної пам'яті. Цей аналіз призвів до створення різних варіантів структур математичних здібностей, складних за компонентним складом. У цьому думки більшості дослідників сходилися щодо одного - що немає і може бути єдиної яскраво вираженої математичної здібності - це сукупна характеристика, у якій відбиваються особливості різних психічних процесів: сприйняття, мислення, пам'яті, уяви.

Серед найважливіших компонентів математичних здібностей виділяються специфічна здатність до узагальнення математичного матеріалу, здатність до просторових уявлень, здатність до абстрактного мислення. Деякі дослідники виділяють також як самостійний компонент математичних здібностей математичну пам'ять на схеми міркувань і доказів, методи вирішення завдань та принципи підходу до них. Радянський психолог, який досліджував математичні здібності у школярів, В.А. Крутецький дає таке визначення математичних здібностей:

«Під здібностями до вивчення математики ми розуміємо індивідуально-психологічні особливості (передусім особливості розумової діяльності), що відповідають вимогам навчальної математичної діяльності та обумовлюють на інших рівних умовах успішність творчого оволодіння математикою як навчальним предметом, зокрема, відносно швидке, легке та глибоке оволодіння знаннями, вміннями та навичками в галузі математики».

Дослідження математичних здібностей включає і рішення однієї з найважливіших проблем - пошуку природних передумов, або задатків, даного виду здібностей. До задатків відносяться вроджені анатомо-фізіологічні особливості індивіда, які розглядаються як сприятливі умови для розвитку здібностей. Довгий час задатки розглядалися як фактор, що фатально визначає рівень і напрямок розвитку здібностей. Класики вітчизняної психології Б.М. Теплов та С.Л. Рубінштейн науково довели неправомірність такого розуміння задатків та показали, що джерелом розвитку здібностей є тісна взаємодія зовнішніх та внутрішніх умов. Вираженість тієї чи іншої фізіологічної якості жодною мірою не свідчить про обов'язковий розвиток конкретного виду здібностей. Воно може бути лише сприятливою умовоюдля цього розвитку. Типологічні властивості, що входять до складу задатків і є важливою їх складовою, відображають такі індивідуальні особливості функціонування організму, як межа працездатності, швидкісні характеристики нервового реагування, здатність до перебудови реакції у відповідь на зміну зовнішніх впливів.

Властивості нервової системи, тісно пов'язані з властивостями темпераменту, своєю чергою, впливають прояв характерологічних особливостей особистості (В.С. Мерлін, 1986). Б. Г. Ананьєв, розвиваючи уявлення про загальну природну основу розвитку характеру та здібностей, вказував на формування в процесі діяльності зв'язків здібностей та характеру, що призводять до нових психічних утворень, що позначаються термінами «талант» та «покликання» (Ананьєв Б.Г., 1980). Таким чином, темперамент, здібності та характер утворюють як би ланцюг взаємопов'язаних підструктур у структурі особистості та індивідуальності, що мають єдину природну основу

Загальна схема структури математичних здібностей у шкільному віці за В.А. Крутецькому.
Зібраний В. А. Крутецьким матеріал дозволив йому побудувати загальну схему структури математичних здібностей у шкільному віці.
1. Одержання математичної інформації.
Здатність до формалізованого сприйняття математичного матеріалу, схоплювання формальної структури завдання.
2. Переробка математичної інформації.

1. Здатність до логічного мислення у сфері кількісних та просторових відносин, числової та знакової символіки. Здатність мислити математичними знаками.
2. Здатність до швидкого та широкого узагальнення математичних об'єктів, відносин та дій.
3. Здатність до згортання процесу математичного міркування та системи відповідних дій. Здатність мислити згорнутими структурами.
4. Гнучкість розумових процесів у математичній діяльності.
5. Прагнення до ясності, простоті, економності та раціональності рішень.
6. Здатність до швидкої та вільної перебудови спрямованості розумового процесу, переключення з прямого на зворотний хід думки (оборотність розумового процесу при математичному міркуванні).

3. Зберігання математичної інформації.

1. Математична пам'ять (узагальнена пам'ять на математичні відносини, типові характеристики, схеми міркувань та доказів, методи вирішення завдань та принципи підходу до них).

4. Загальний синтетичний компонент.

1. Математична спрямованість розуму. Виділені компоненти тісно пов'язані, впливають один на одного і утворюють у своїй сукупності єдину систему, цілісну структуру, своєрідний синдром математичної обдарованості, математичний склад розуму.

Не входять у структуру математичної обдарованості ті компоненти, наявність що у цій системі необов'язково (хоч і корисно). У цьому сенсі є нейтральними стосовно математичної обдарованості. Проте їх наявність чи відсутність у структурі (точніше, ступінь їх розвитку) визначають тип математичного складу розуму. Не є обов'язковими у структурі математичної обдарованості такі компоненти:

1. Швидкість розумових процесів як часова характеристика.
2. Обчислювальні здібності (здатності до швидких та точним обчислень, часто в умі).
3. Пам'ять на цифри, числа, формули.
4. Здатність до просторових уявлень.
5. Здатність наочно уявити абстрактні математичні відносини та залежності.

1.2 Математичні здібності та їх структура

Тож у чому полягають математичні здібності? Чи є ні що інше, як якісна спеціалізація загальних психічних процесів і властивостей особистості, тобто загальні інтелектуальні здібності, розвинені стосовно математичної діяльності? Чи є математична здатність унітарною чи інтегральною властивістю? У разі можна говорити про структурі математичних здібностей, про компоненти цього складного освіти. Відповіді на ці запитання шукали психологи та педагоги ще початку століття, але досі немає єдиного погляду на проблему математичних здібностей. Спробуймо розібратися у цих питаннях, проаналізувавши роботи деяких провідних фахівців, які працювали над цією проблемою.

Намагаючись розібратися в психології математичного мислення, Д. Мордухай-Болтовський виділяє у ньому два процеси: постановку проблеми та її вирішення, і вказує властивості розуму, необхідних успішного здійснення цих процесів. Для успішної постановки проблеми головним необхідною умовоювін вважає творчу уяву: "При самому виборі проблеми іноді необхідно робити гіпотезу, необхідна не точна ланцюг силогізмів, а уяву" (65, с.495). Другий складовою називає пам'ять на схеми міркувань і несвідомі розумові процеси. "Мислення математика ... глибоко впроваджується в несвідому сферу, то спливаючи на її поверхню, то занурюючись у глибину" (65, с.496). Так само Д. Мордухай-Болтовський виділяє дотепність, як одне з характерних властивостей математичної здібності ¾ “здатність обіймати розумом зараз два абсолютно різнорідні предмети” (65, с.496) (тобто дотепність ¾ це здатність поєднувати в одному судженні поняття з двох малопов'язаних) областей) ¾ і, нарешті, швидкість математичного мислення. У цьому він особливо зазначає, що з аналізі математичної здібності слід різко відрізняти схильність до відомого роду занять здібностей (65, 66).

А. Пуанкаре дійшов висновку, що найважливіше місце у математичних здібностях займає вміння логічно побудувати ланцюг операцій, що призведуть до вирішення завдання. Крім того, для математика недостатньо мати гарну пам'ять та увагу. На думку Пуанкаре, людей, здатних до математики, відрізняє вміння вловити порядок, у якому мають бути розташовані елементи, необхідні математичного докази. Наявність такої інтуїції ¾ є основним елементом математичної творчості (74).

Л.А. Венгер відносить до математичних здібностей такі особливості розумової діяльності, як узагальнення математичних об'єктів, відносин та дій, тобто здатність бачити загальне у різних конкретних виразах та завданнях; здатність мислити "згорнутими", великими одиницями та "економно", без зайвої деталізації; здатність перемикання з прямого на зворотний хід думки (13).

Б.А. Кордемський не говорить про математичні здібності, а виділяє елементи математичного мислення. До них він відносить ініціативність (бажання самому осягнути проблему, прагнення до самостійного пошуку способів та засобів вирішення задачі), гнучкість та критичність розуму (вигадування та застосування нешаблонних, оригінальних, дотепних прийомів вирішення завдань та методів міркувань з постійною перевіркою їх правильності, строгості та практичної цінності) (42, 43). Крім цього, він виділяє і такий елемент, як вольові зусилля, під якими розуміє "завзятість і наполегливість, які проявляються у подоланні труднощів, що виникають у процесі оволодіння математичними методами при вирішенні завдань" (42, с.34).

Щоб зрозуміти, які ще якості потрібні задля досягнення успіхів у математиці, дослідниками аналізувалась математична діяльність: процес вирішення завдань, способи доказів, логічних міркувань, особливості математичної пам'яті. Цей аналіз призвів до створення різних варіантів структур математичних здібностей, складних за компонентним складом. При цьому думки більшості дослідників сходилися в одному: що ні, і не може бути єдиною яскраво вираженою математичною здатністю - це сукупна характеристика, в якій відображаються особливості різних психічних процесів: сприйняття, мислення, пам'яті, уяви.

Серед найважливіших компонентів математичних здібностей виділяються специфічна здатність до узагальнення математичного матеріалу, здатність до просторових уявлень, здатність до абстрактного мислення. Деякі дослідники виділяють також як самостійний компонент математичну пам'ять на схеми міркувань і доказів, методи вирішення завдань та способи підходу до них. Одним із них є В.А. Крутецький. Він так визначає математичні здібності: ”Під здібностями до вивчення математики ми розуміємо індивідуально-психологічні особливості (насамперед особливості розумової діяльності), що відповідають вимогам навчальної математичної діяльності та обумовлюють на інших рівних умовах успішність творчого оволодіння математикою як навчальним предметом, зокрема, відносно швидке, легке та глибоке оволодіння знаннями, вміннями та навичками в галузі математики” 948, с.41). У своїй роботі ми, головним чином, спиратимемося на дослідження саме цього психолога, тому що його дослідження цієї проблеми і на сьогодні є найбільш глобальними, а висновки є найбільш експериментально обґрунтованими. Отже, В.А. Крутецький розрізняє дев'ять здібностей (компонентів математичних здібностей):

Здатність до формалізації математичного матеріалу, до відділення форми від змісту, абстрагування від конкретних кількісних відносин та просторових форм та оперування формальними структурами, структурами відносин та зв'язків;

Здатність узагальнювати математичний матеріал, вичленювати головне, відволікаючись від несуттєвого, бачити загальне у зовнішньому різному;

Здатність до оперування числової та знакової символікою;

Здатність до "послідовного, правильно розчленованого логічного міркування", пов'язаного з потребою в доказах, обґрунтуванні, висновках;

Здатність скорочувати процес міркування, мислити згорнутими структурами;

Здатність до оборотності розумового процесу (до переходу з прямого на зворотний хід думки);

Гнучкість мислення, здатність до перемикання від однієї розумової операції до іншої, свобода від сковуючого впливу шаблонів та трафаретів;

Математична пам'ять. Можна припустити, що її характерні риси також випливають з особливостей математичної науки, що це пам'ять на узагальнення, формалізовані структури, логічні схеми;

Здатність до просторових уявлень, яка безпосередньо пов'язана з наявністю такої галузі математики, як геометрія.

Більшість психологів та педагогів, говорячи про математичні здібності, спираються саме на цю структуру математичних здібностей В.А. Крутецького. Однак у процесі різних досліджень математичної діяльності учнів, які виявляють здібності до цього шкільного предмета, деякими психологами було виділено й інші компоненти математичних здібностей. Зокрема нас зацікавили результати дослідницької роботи З.П. Горільченка (20). Він зазначив у здатних до математики учнів такі особливості. По-перше, він уточнив і розширив компонент структури математичних здібностей, званий у сучасній психологічній літературі "узагальнення математичних понять" і висловив думку про єдність двох протилежних тенденцій мислення учня до узагальнення та "звуження" математичних понять. У зазначеному компоненті можна побачити відображення єдності індуктивного і дедуктивного способів пізнання учнями нового в математиці. По-друге, діалектичні зачатки у мисленні учнів при засвоєнні нових математичних знань. Це виявляється в тому, що майже в будь-якому окремому математичному факті найбільш здібні учні прагнуть побачити, зрозуміти факт, протилежний йому, або, принаймні, розглянути граничний випадок досліджуваного явища. По-третє, він відзначив особливу підвищену увагу до нових математичних закономірностей, протилежних раніше встановленим. Мислення захоплених математикою школярів відрізняється особливою сприйнятливістю до математичних контрастів, не пов'язаними з попередніми розглянутими явищами, що не випливають із них, а іноді й вступають у протиріччя з ними. Зазначена особливість математичного поведінки найбільш здібних учнів тісно пов'язані з виникненням вони елементів діалектичного мислення разом із ними служить великим стимулом, що спонукає учнів до нових математичних роздумів, посилює і зміцнює їх великий інтерес до математики. Він також зазначив і особливе захоплення здібних учнів складними математичними проблемами. З.П. Горельченко зазначає, що “справжнє захоплення серйозними математичними завданнями характерне лише для учнів, які закохані в математику та виявляють підвищені здібності до успішних занять нею. Цим учням властиве прагнення спробувати свої сили насамперед на змістовних завданнях, які вирішували багато математиків та вирішення яких досі не знайдено“ (20, с.11). Таким чином, природний потяг окремих учнів до найважчих математичних завдань свідчить про схильність їх до серйозної математичної роботи, наявність у них здібностей до успішних занять математикою. Відзначається і така характерна особливість здатних до математики учнів, як захоплення математичною роботою з неможливістю швидко виключитися з процесу математичних роздумів. Як правило, для перемикання на нову, не математичну роботу захопленим математикою учням потрібно часу набагато більше, ніж учням, які не відрізняються особливою схильністю до такого роду занять. Однією з характерних ознак підвищених математичних здібностей учнів і переходу їх до зрілого математичного мислення може вважатися відносно раннє розуміння потреби аксіом як вихідних істин при доказах. Доступне вивчення аксіом та аксіоматичного методу значною мірою сприяє прискоренню розвитку дедуктивного мислення учнів. Помічено також, що естетичне почуття у математичній роботі у різних учнів проявляється по-різному. По-різному різні учні відповідають і спробу виховати і розвинути вони естетичне почуття, відповідне їх математичному мисленню. Найбільш здатних до математики учнів відрізняє особливий естетичний склад математичного мислення. Він дозволяє їм порівняно легко розуміти деякі теоретичні тонкощі в математиці, вловлювати бездоганну логіку та красу математичних міркувань, фіксувати найменшу шорсткість, неточність у логічному ладі математичних концепцій. Самостійне стійке прагнення до оригінального, нешаблонного, витонченого розв'язання математичного завдання, до гармонійної єдності формальних і семантичних компонентів розв'язання задачі, блискучі припущення, іноді випереджаючі логічні алгоритми, часом важко перекладені на мову символів, свідчать про наявність у мисленні почуття добре розвиненого. однією зі сторін естетичного мислення у математиці. Підвищені естетичні емоції при математичному роздумі притаманні насамперед учням з високо розвиненими математичними здібностями і разом із естетичним складом математичного мислення можуть бути істотним ознакою наявності математичних здібностей в школьников. Слід зазначити і порівняно велику швидкість просування здатних учнів у оволодінні математичними знаннями та підвищену швидкість розв'язання математичних завдань. Як правило, у найбільш здатних до математичної роботи учнів швидкість сприйняття та засвоєння нових знань підвищена. Вважаючи цю якість з великою ймовірністю одним з необхідних, хоч і далеко не достатньою умовоюнаявності математичних здібностей, слід розглядати цю умову, як компонент їх структури, причому такий, яким найлегша первісна орієнтація у виявленні найбільш здатних до математики учнів. І, нарешті, виділяється такий компонент структури математичних здібностей, як характерні риси пам'яті учнів здатних до математики. Найбільш здатні до математики у процесі математичної роботи орієнтують своє мислення передусім хороше розуміння пізнаваного і потім на запам'ятовування його. У цьому вони прагнуть якнайглибше усвідомити, зрозуміти як окремі математичні факти, а й основні ідеї, пов'язують їх друг з одним та іншим засвоєним раніше математичним матеріалом, чітко визначити логічне місце нових пізнаваних фактів у системі певних математичних знань.

Крім зазначених компонентів математичних здібностей, які можна і має розвивати, необхідно враховувати ще й те, що успішність здійснення математичної діяльності є похідним певного поєднання якостей:

Активного позитивного ставлення до математики, інтересу до неї, прагнення займатися нею, що переходять на високому рівні розвитку у пристрасне захоплення.

Ряди характерологічних характеристик; насамперед працьовитості, організованості, самостійності, цілеспрямованості, наполегливості, а також стійких інтелектуальних якостей, почуття задоволення від напруженої розумової роботи, радість творчості, відкриття тощо.

Наявності у часі здійснення діяльності сприятливих її виконання психічних станів, наприклад, стан зацікавленості, зосередженості, хорошого “психічного” самопочуття тощо.

Але вони сходяться в одному, що гра є способом розвитку особистості, збагачення її життєвого досвіду. - З усього різноманіття ігор можна назвати математичну гру, як розвитку пізнавального інтересу учнів до математики. Використання математичної гриу позакласній роботі з математики найефективніше сприяє виникненню інтересу у учнів до математики. - ...

Говорячи про те, що деякі види технічних засобів мають виключно великими можливостяминаочний показ матеріалу навчання. Олімпіада одна з основних форм організації позакласної роботи з математики. Термін «олімпіада» виявився давно, хотілося б згадати історію вітчизняної математичної олімпіади. Спочатку про неї говорили в однині, оскільки вона організовувалась...

Монету вдруге не кидають), у четвертому – другому. Шанси гравців на виграш відносяться як 3 до 1. У цьому відношенні треба розділити ставку. Розділ II. Елементи теорії ймовірностей і статистики під час уроків математики у початковій школі (методика роботи) Перший крок шляху ознайомлення молодших школярів зі світом ймовірності полягає у тривалому експериментуванні. Експеримент повторюють багато разів при...